CONJUNTOS DE CONSUMO Y

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1 CONJUNTOS DE CONSUMO Y Capítulo PREFERENCIAS 2 CAPÍTULO Conjuntos de consumo y restricción presupuestaria Generalidades Un consumidor es un agente económico individual (un individuo en sentido estricto o una familia) que toma decisiones de consumo, es decir, escoge cantidades de bienes y servicios que demanda y cantidades de trabajo que oferta. Supondremos que hay un número finito m de consumidores, que distinguiremos con el subíndice i = 1,2,...,m. El conjunto de elección del i-ésimo consumidor está constituido por un conjunto X i R l de consumos posibles. Un consumo posible (o un plan de consumo) es un vector l-dimensional del espacio de mercancías R l y lo representamos por x i = (x i1,x i2,...,x il ). El elemento x ik de este vector describe la cantidad de la mercancía k consumida por el i-ésimo consumidor. Cada plan de consumo especifica ciertas cantidades de bienes y servicios consumibles, así como ciertas cantidades de factores productivos que el consumidor puede ofertar (diversos tipos de trabajo). El conjunto de todos los consumos posibles para el i-ésimo consumidor se denomina conjunto de consumo. La forma más sencilla de modelizar estos conjuntos es identificando los planes de consumo con vectores no-negativos, X i = R l +. Así pues, con esta aproximación, un plan de consumo es posible para un consumidor si y sólo si está constituido por cantidades no negativas. Tomar los planes de consumo como vectores no-negativos facilita notablemente la discusión del comportamiento del consumidor por tres razones: (1) Porque R l + es un conjunto con muy buenas propiedades operativas (en particular, es un conjunto no vacío, cerrado, convexo y acotado inferiormente); (2) Porque todos los consumidores tienen idénticos conjuntos de consumo, de modo que lo que les diferencia son sus formas de valorar las distintas alternativas y su riqueza; y (3) Porque los problemas de optimización con restricciones de no negatividad son tratables con procedimientos más sencillos.

2 14 - Microeconomía Observación: La mayor parte de las propiedades que obtendremos no dependen de este supuesto particular, sino que son válidas para todo subconjunto de R l cerrado, convexo y acotado inferiormente. El problema económico del consumidor consiste en elegir algún plan de consumo en el subconjunto de R l + que determinen sus restricciones. El comportamiento racional del consumidor consistirá en elegir aquel plan de consumo que resulte el mejor de los alcanzables. Así pues, para describir adecuadamente el comportamiento del consumidor, habremos de definir y modelizar tanto las restricciones a las que se enfrenta (restricción presupuestaria) como su criterio de valoración (preferencias). Nos ocuparemos ahora de la restricción presupuestaria y en la sección siguiente de las preferencias. En una economía de mercado las restricciones que afectan a los consumidores están asociadas a su capacidad de gasto, que viene determinada por los precios de mercado y su riqueza. Cuando se trata además de una economía competitiva los precios de mercado constituyen una variable externa puesto que ningún consumidor puede, individualmente, afectar con sus decisiones a dichos precios. Ello equivale a suponer que los consumidores toman los precios de mercado como un dato. Tanto en esta sección como en el capítulo siguiente supondremos que esta capacidad de gasto viene descrita por un número M i, que podemos interpretar como una cantidad de dinero. 1 Diremos que M i R representa la riqueza del i-ésimo consumidor, i = 1,2,...,m. Representaremos los precios de las mercancías mediante un vector de R l, p = (p 1,p 2,...,p l ), de modo que el coste de adquirir un vector de mercancías vendrá dado por: x i = (x i1,x i2,...,x il ) px i = l p k x ik k=1 Dado un vector de precios p R l el i-ésimo consumidor podrá adquirir todas aquellas cantidades de mercancías que no cuesten más que su riqueza M i. Diremos así que un plan de consumo x i es accesible para el i-ésimo consumidor a los precios p si px i M i. Se denomina conjunto presupuestario al conjunto β i (p,m i ) = {x i R l + / px i M i } que describe aquellos planes de consumo que el i-ésimo consumidor puede pagar, cuando su riqueza es M i y los precios de mercado vienen dados por el vector p. Suele denominarse par precio-riqueza al vector (p,m i ) R l+1 que define la restricción presupuestaria. Al escribir el conjunto presupuestario como β i (p,m i ) estamos indicando que este conjunto varía con los precios y la riqueza. La correspondencia β i : R l+1 R l + que asocia a cada par precio-riqueza el conjunto de consumos que el i-ésimo consumidor puede pagar, se denomina correspondencia presupuestaria. Es inmediato comprobar que el conjunto presupuestario no cambia si multiplicamos precios y riqueza por cualquier número positivo, es decir, β i (λp,λm i ) = β i (p,m i ) para cualquier número λ > 0. La correspondencia presupuestaria es pues homogénea de grado cero en precios y riqueza (una propiedad que se 1 Más adelante tomaremos M i como el valor de los activos que posee el consumidor y por tanto será una función de los precios de mercado y no una cuantía fija.

3 CONJUNTOS DE CONSUMO Y PREFERENCIAS - 15 Gráfico 2.1: La restricción presupuestaria traslada a la función de demanda, como veremos). 2 Bajo el supuesto establecido sobre los conjuntos de consumo, el conjunto β i (p,m i ) resulta cerrado y convexo (aunque podría ser vacío). El gráfico 2.1 ilustra la restricción presupuestaria para el caso l = 2, es decir, β i (p,m i ) = {x i R 2 + / p 1x i1 +p 2 x i2 M i }. Si medimos el bien 2 en el eje de ordenadas, la ecuación de la recta que delimita el conjunto presupuestario puede expresarse como: x i2 = M i p 2 p 1 p 2 x i1. De aquí se deduce que la pendiente de la restricción presupuestaria viene dada por los precios relativos ( p 1 p 2 ), mientras que la posición del conjunto presupuestario depende de la riqueza real ( M i p 2 ). Consecuentemente, cambios en los precios relativos modifican la pendiente de la restricción presupuestaria, mientras que cambios en M i desplazan dicha restricción La oferta de trabajo Una de las decisiones que el consumidor debe adoptar al escoger un plan de consumo es cómo distribuir su tiempo disponible entre ocio y trabajo. Cuando la cantidad de tiempo disponible está limitada, el tiempo que no se destina al trabajo se destina al ocio, de modo que el consumo de ambas mercancías (demanda de ocio u oferta de trabajo) puede describirse mediante una sola variable. 2 Pensemos que ésto es lo que ha ocurrido en aquellos países europeos que se han incorporado a la moneda única: tanto los precios como el valor de los activos han pasado a estar denominados en euros en lugar de en las tradicionales monedas nacionales.

4 16 - Microeconomía Gráfico 2.2: Trabajo y ocio Al representar los planes de consumo mediante vectores de R l + es habitual dar a todas las mercancías el tratamiento de bienes. 3 Para ello hemos de dar una interpretación correcta a las mercancías que representan la oferta de trabajo de los consumidores. La idea básica a este respecto es que la oferta de trabajo no aparece de forma explícita en los planes de consumo. Lo que aparece es la demanda de ocio, de modo que la oferta de trabajo resulta ser la diferencia entre el tiempo disponible y el tiempo de ocio demandado. Para ilustrar este punto, supongamos que únicamente hay dos mercancías, trigo y ocio (o trigo y trabajo, si se prefiere) y que el consumidor dispone de una cantidad de tiempo T i, que describe la máxima cantidad de horas que el consumidor i puede dedicar a trabajar (una cantidad que dependerá de aspectos tales como edad, salud, capacitación, etc.). Un plan de consumo vendrá dado así por un vector x i = (x i1,x i2 ) donde x i1 es la cantidad demandada de trigo y x i2 se interpreta como la cantidad demandada de tiempo de ocio. Con ello estamos indicando que cuando el consumidor elige este plan de consumo se propone trabajar una cantidad T i x i2 de horas. Si x i2 = 0 estamos diciendo que el consumidor destina todo su tiempo disponible a trabajar, mientras que el caso x i2 = T i corresponde a un plan de consumo en el que el consumidor dedica todo su tiempo disponible al ocio y no trabaja. Valores de x i2 mayores que T i nos indican que el consumidor está demandando una cantidad negativa de trabajo, es decir, está demandando trabajo de otros (servicios domésticos o clases particulares, por ejemplo). El gráfico 2.2 describe esta situación 4. 3 Ello se convierte en una exigencia cuando suponemos, como haremos en la sección siguiente, que las preferencias son monótonas (es decir, que el consumidor está siempre dispuesto a consumir cantidades mayores de todos los bienes). 4 Conviene advertir que estamos suponiendo implícitamente que solo existe un único tipo de trabajo. Cuando hay dos o más tipos de trabajo el conjunto de consumo incorpora una restricción que describe la relación de transformación entre los diferentes tipos de trabajo, dado el tiempo total disponible. Restricciones de esta clase implican que el conjunto de consumo es un subconjunto estricto de R l +.

5 CONJUNTOS DE CONSUMO Y PREFERENCIAS - 17 Gráfico 2.3: Restricción presupuestaria y oferta de trabajo Al describir los planes de consumo como vectores de R l + el gasto del consumidor incluye el pago de las cantidades de ocio consumidas y la riqueza incluye los ingresos asociados a la capacidad de trabajo disponible. El ocio es así valorado según su coste de oportunidad (es decir, según el precio del trabajo). Para verlo consideremos el siguiente ejemplo con dos mercancías, trigo y ocio. Supongamos como antes que el consumidor puede trabajar a lo sumo una cantidad de T i horas y sea p = (p 1,p 2 ) el vector de precios de mercado (donde p 1 representa el precio del trigo y p 2 el salario). Un plan de consumo x i = (x i1,x i2 ) R 2 + representa las cantidades x i1 de trigo y x i2 de ocio que el agente puede consumir. Si suponemos que el trabajo es la única fuente de riqueza de este consumidor, para hacer el ejemplo más sencillo, tendremos que M i = p 2 T i. Así pues M i nos dice en este caso cuáles son los ingresos que el consumidor obtendría si dedicara todo su tiempo a trabajar. Su restricción presupuestaria vendrá dada por: β i (p,m i ) = {x i R 2 + / px i p 2 T i } De aquí se deduce que p 1 x i1 + p 2 x i2 p 2 T i, es decir, que p 1 x i1 p 2 (T i x i2 ), donde (T i x i2 ) es precisamente la cantidad de trabajo ofertada y p 2 (T i x i2 ) representa los ingresos derivados del trabajo. El gráfico 2.3 ilustra este ejemplo Preferencias Una forma general de establecer un criterio de comparación entre alternativas consiste en la introducción de algún tipo de ordenación sobre los planes de consumo. Aludiremos a este criterio de comparación con el nombre genérico de preferencias. Para modelizar

6 18 - Microeconomía el criterio de valoración de las opciones de consumo del i-ésimo consumidor supondremos que éste tiene definida una relación de preferencias i sobre R l +, donde i es una relación binaria que puede leerse como ser al menos tan preferido como. Es decir, dados dos elementos x i,x i Rl +, la expresión x i i x i significa que el i-ésimo consumidor estima que el plan de consumo x i es al menos tan preferido como (mejor o igual que) el plan de consumo x i. Con respecto a esta relación de preferencias vamos a considerar una serie de propiedades (a veces denominados axiomas) que nos permitan una modelización operativa de los consumidores. Dividiremos estas propiedades en tres grupos diferentes. El primer grupo (completitud y transitividad) se refiere a propiedades de ordenación; su cumplimiento garantiza que la relación i es un preorden completo. El segundo grupo (continuidad y convexidad) introduce una estructura analítica precisa. Finalmente, discutiremos diversas formulaciones de la idea de no-saciabilidad. Es importante darse cuenta que las propiedades de orden son independientes de las hipótesis establecidas sobre el conjunto de consumo (en particular no dependen de tomar R l + como espacio de referencia), mientras que las propiedades analíticas no lo son Propiedades de orden Comencemos presentando las dos propiedades básicas de ordenación, que son aplicables a un conjunto de elección cualquiera: completitud y transitividad. Estas propiedades reflejan la idea de un agente que es capaz de valorar de forma coherente cualquier par de alternativas. Formalmente: completitud Para todo x i,x i Rl +, se verifica x i i x i, o bien x i i x i. Transitividad Para todo x i,x i,x i Rl +, [x i i x i x i i x i ] x i i x i La completitud establece que la relación de preferencias es aplicable a cualquier par de alternativas del conjunto de consumo. Es decir, descarta la posibilidad de que existan opciones incomparables (no existen pares de alternativas frente a los cuales el sujeto es incapaz de establecer la relación i ). Obsérvese que esta propiedad, tal y como está formulada, implica que la relación i es reflexiva (dado que podríamos tomar x i = x i). La propiedad de transitividad postula la coherencia en el comportamiento del agente y garantiza la ordenación sistemática de las alternativas. Cuando no se cumple se pierde la lógica del criterio de ordenación y aparecen ciclos de preferencia que pueden hacer imposible tomar decisiones en algún subconjunto de R l +. Si tomamos, a modo de ejemplo, el subconjunto {x i,x i,x i } y resulta que x i es mejor o igual que x i, x i mejor o igual que x i, y x i mejor o igual que x i, nunca sabríamos con qué opción quedarnos. No obstante hay contextos en los que resulta plausible que no se cumpla esta propiedad, como ocurre cuando las opciones son imperfectamente distinguibles, o cuando admitimos que el consumidor no es un agente individual sino que está constituido por una familia que decide por un sistema de mayoría (véase el problema 2.7). 5 En realidad esta modelización es válida siempre que el conjunto de consumo sea un subconjunto cerrado, convexo y acotado inferiormente de R l.

7 CONJUNTOS DE CONSUMO Y PREFERENCIAS - 19 Cuando la relación i cumple estas dos propiedades constituye un preorden completo, que se denomina preorden de preferencias del i-ésimo consumidor. Dicho preorden refleja la valoración del sujeto de las distintas opciones de consumo posibles. Lo importante para la teoría es que las preferencias del sujeto puedan establecerse como un preorden, sin entrar en el análisis de los motivos que le llevan a valorar las cosas de una determinada forma. A partir de la relación i podemos definir una nueva relación sobre los elementos del conjunto de consumo. Se trata de la relación de indiferencia, que representamos por el símbolo i, y que se define como sigue: Dados x i,x i Rl +, x i i x i [x i i x i x i i x i ] que se lee como x i es indiferente a x i, indicando que las opciones x i y x i son igualmente valoradas por el sujeto 6 Puede comprobarse fácilmente que, cuando i es completa y transitiva, la relación de indiferencia es reflexiva, simétrica (es decir, x i i x i implica que x i i x i ), y transitiva; es decir, constituye una relación de equivalencia. Las clases de equivalencia de R l + por la relación de indiferencia las designaremos como I i (x i ) R l +, donde I i (x i) = {x i R l + / x i i x i} Los conjuntos I i (x i ) se conocen como clases de indiferencia. Una clase de indiferencia contiene todas las opciones que resultan igualmente apreciadas (indiferentes) a una dada x i por el i-ésimo consumidor. Por ser una relación de equivalencia, las clases de indiferencia constituyen una partición del conjunto de elección, de modo que se verifica (véase problema 2.6): (a) I i (x i ) x i Rl +. (b) x i Rl + I i (x i ) = Rl +. (c) Sean x i,x i R l + dos planes de consumo que no son indiferentes. Entonces, I i (x i ) I i (x i ) =. Cuando la capacidad de discriminación del consumidor no es absoluta, la transitividad de la indiferencia tiene implicaciones difícilmente aceptables. Un ejemplo tradicional es el siguiente: Supongamos que le pedimos a un individuo amante del café que escoja entre dos tazas de café con azúcar. La única diferencia entre ambas es que una tiene medio milígramo más de azúcar que la otra. Cabe esperar que el individuo sea incapaz de distinguir entre ambas tazas de café y se declare indiferente. Si repetimos la prueba, variando de medio en medio milígramo de azúcar resultará, por la transitividad de la indiferencia, que le da lo mismo el café sin azúcar que con 20 cucharadas. A partir de las relaciones i y i podemos a su vez definir una nueva, la relación de preferencia estricta, que simbolizaremos por i, que se define como sigue: Dados x i,x i Rl +, x i i x i [x i i x i (x i i x i)] (donde (x i i x i ) indica que x i no es indiferente a x i ). Diremos en este caso que x i es preferido a x i, o también que x i es estrictamente mejor que x i. 6 Adviértase que los conceptos de indiferente e incomparable son distintos en términos lógicos. En efecto, el primero nos dice que x i i x i y que también x i i x i, mientras que el segundo nos dice que ni x i es mejor o igual que x i, ni lo contrario..

8 20 - Microeconomía La relación i no es reflexiva ni simétrica. Es transitiva y verifica las propiedades de asimetría (x i i x i implica que x i i x i ) y de irreflexividad (x i i x i ). Si aplicamos la relación i al conjunto cociente (R l +/ i ) obtendremos una ordenación en sentido estricto y completa de las clases de indiferencia Propiedades analíticas Discutiremos a continuación las propiedades de continuidad y convexidad. Estas dos propiedades juegan un papel fundamental en la formulación matemática del problema de decisión del consumidor. Pero no se justifican únicamente por su utilidad formal; también expresan dos ideas muy intuitivas acerca del modo en que los individuos valoran sus opciones de consumo. La propiedad de continuidad traduce la idea de que pequeños cambios en las cantidades consumidas suponen pequeños cambios en nuestra satisfacción. Así, planes de consumo muy parecidos serán valorados de forma similar. La propiedad de convexidad está relacionada con un viejo principio de la psicología experimental que establece que la repetición continuada de un estímulo disminuye la intensidad de la respuesta. Por tanto la satisfacción de un individuo tiende a aumentar con la variedad de los estímulos. Veamos cómo se formalizan estas ideas. Continuidad Para todo x o i Rl +, los conjuntos son abiertos en R l +. M i (x o i ) {x i R l + / x i i x o i } P i (x o i ) {x i R l + / xo i i x i } El conjunto M i (x o i ) describe las opciones de consumo que resultan mejores que x o i ; análogamente, P i(x o i ) es el conjunto de planes de consumo que son peores que xo i. Por tanto, la idea intuitiva de continuidad de las preferencias puede expresarse como sigue: Sean x i,x i Rl +, tales que x i i x i ; entonces puntos que se encuentren muy cerca de x i también resultarán preferidos a x i. Más formalmente, la continuidad de las preferencias significa que dados dos planes de consumo x i,x i Rl + tales que x i i x i, podemos encontrar una bola de centro x i y radio ε > 0, que denotamos por B(x i,ε), y una bola de centro x i y radio δ > 0, que denotamos por B(x i,δ), tales que para todo z en B(x i,ε) se verifica z i x i, y para todo s B(x i,δ) se verifica x i i s. Podemos definir también los conjuntos MI i (x o i) {x i R l + / x i i x o i } PI i (x o i) {x i R l + / x o i i x i } es decir, MI i (x o i ) es el conjunto de todas las opciones que resultan mejores o iguales que x o i, y PI i(x o i ) es el conjunto de las opciones peores o iguales que xo i. Nótese que, 7 Recordemos que, dada una relación de equivalencia definida sobre un conjunto X, denominamos conjunto cociente, y lo denotamos por (X/ ), al conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia definidas en X por la relación.

9 CONJUNTOS DE CONSUMO Y PREFERENCIAS - 21 Gráfico 2.4: Preferencias lexicográficas cuando i es una relación completa y continua, por complementariedad los conjuntos MI i (x o i ), PI i(x o i ) son cerrados en Rl +. Dejamos como ejercicio la comprobación de las propiedades de completitud, transitividad y continuidad implican que: a) MI i (x i ) PI i (x i ) = I i(x i ) b) MI i (x i ) PI i (x i ) = Rl + c) Las clases de indiferencia son conjuntos cerrados y conexos. El ejemplo característico de una relación de preferencias completa y transitiva pero que no verifica la propiedad de continuidad es el orden lexicográfico. Para el caso R 2 +, podemos definir este orden como sigue: dados x = (x 1,x 2 ), z = (z 1,z 2 ) R 2 +, z x si { (i) z1 > x 1, o bien (ii) si z 1 = x 1, y además z 2 > x 2 El gráfico 2.4 representa el conjunto M i (x) asociado a estas preferencias, para un cierto x. Como puede apreciarse, M i (x) no es abierto ni cerrado, de modo que el axioma de continuidad no se verifica. Desde un punto de vista más intuitivo podemos decir que la falta de continuidad del orden lexicográfico se traduce en que dos alternativas casi idénticas pueden estar muy lejos en la valoración del individuo. Como sucede en el diccionario con dos palabras casi idénticas cuya primera letra es distinta (por ejemplo, bendición y rendición). Observación: Las propiedades de completitud, transitividad y continuidad no son, en realidad, independientes. En el trabajo de Schmeidler (1971) se prueba que si una relación de preferencias es transitiva y continua, también es completa.

10 22 - Microeconomía Consideraremos ahora la condición de convexidad de las preferencias, que refleja la idea de gusto por la variedad : las combinaciones intermedias de planes de consumo alternativos resultan preferidas. Formalmente: 8 Convexidad estricta Para todo x i,x i Rl +, y para todo λ (0,1), x i i x i = [λx i + (1 λ)x i] i x i La convexidad estricta indica que si el consumo x i es preferido o indiferente al x i, entonces todo consumo intermedio (con ponderaciones positivas) resulta preferido a x i. Un caso particular pero ilustrativo, tomando Rl + = R 2 +, es el siguiente: sean x i = (0,x i2 ), x i = (x i1,0) y supongamos que x i i x i. La convexidad estricta implica que el consumo promedio ( 1 2 x i1, 1 2 x i2) resulta preferido a cualquiera de los planes de consumo originales. Nótese que, como R l + es un conjunto convexo, si x i,x i son elementos de R l + los planes consumos de la forma λx i + (1 λ)x i también están en Rl +. La convexidad estricta de las preferencias tiene tres implicaciones importantes: (i) Para todo x i R l +, los conjuntos M i(x i ) de opciones mejores que x i y MI i (x i ) de opciones mejores o iguales que x i, son conjuntos convexos. (ii) Las curvas de indiferencia no pueden ser gruesas (dicho más formalmente, para todo x i Rl +, inti i(x i ) = ). (iii) Las curvas de indiferencia no pueden contener tramos lineales. Es decir, si x i,x i I i(x i ), entonces ningún elemento de la forma λx i + (1 λ)x i, con λ (0,1), puede estar en I i (x i ). Ello implica que que una curva de indiferencia sólo puede ser tangente en un punto a la restricción presupuestaria. El gráfico 2.5 ilustra unas preferencias en las que se cumplen las propiedades (i) y (ii) pero no la (iii) La propiedad de monotonía El último requisito que introducimos se refiere a una idea intuitiva importante: en todo problema económico los bienes de los que efectivamente va a disponer el consumidor resultan escasos en relación a sus deseos y aspiraciones. Consecuentemente, el consumidor preferirá siempre elegir en un conjunto de oportunidades lo más grande posible. Esta idea puede precisarse de varias formas alternativas, con diversos grados de generalidad. Nosotros adopataremos aquí la versión más sencilla, que corresponde al concepto de monotonía dejando para una sección posterior y los problemas una discusión más fina sobre ideas similares. La noción de monotonía de las preferencias se refiere a un principio sencillo que puede resumirse como cuanto más, mejor. Formalmente: Monotonía Para todo x i,x i Rl +, x i >> x i implica x i i x i. 8 Adoptamos aquí la versión más exigente de convexidad. Dejamos para la sección de problemas la discusión de las implicaciones de versiones más generales de esta idea.

11 CONJUNTOS DE CONSUMO Y PREFERENCIAS - 23 Gráfico 2.5: Preferencias no estrictamente convexas La monotonía nos dice que el consumidor mejora si aumentamos las cantidades consumidas de todas las mercancías. Ello no excluye la posibilidad de que el consumidor sea indiferente con respecto al consumo de alguna mercancía concreta. 9 Desde un punto de vista geométrico la monotonía implica que las curvas de indiferencia no pueden cerrarse sobre sí mismas. O, dicho de otro modo, la curva de indiferencia que contiene a un cierto plan de consumo x i siempre estará por debajo del ángulo recto que genera dicho punto por encima del mismo. Por tanto, las curvas de indiferencia tendrán siempre pendiente negativa, serán más abiertas que un ángulo recto y estarán orientadas hacia el exterior (es decir, cuanto más nos alejemos del origen en cualquier dirección prefijada encontraremos mejores clases de indiferencia) Preferencias regulares y relación de sustitución En lo que sigue supondremos sistemáticamente que las preferencias cumplen estas cinco propiedades que hemos descrito hasta ahora: completitud, transitividad, continuidad, convexidad estricta y monotonía. Diremos que las preferencias que cumplen estas cinco propiedades son preferencias regulares. Formalmente: Definición 2.1: Decimos que las preferencias i del i-ésimo consumidor son preferencias regulares si verifican las propiedades de completitud, transitividad, continuidad, convexidad estricta y monotonía. Las preferencias regulares describen un consumidor capaz de comparar sistemáticamente todos los planes de consumo, que muestra un gusto por la variedad y 9 Discutimos en la sección de problemas otras definiciones alternativas de monotonía de las preferencias.

12 24 - Microeconomía prefiere siempre consumir más que menos. Las curvas de indiferencia asociadas a este tipo de preferencias son curvas continuas, con pendiente negativa y convexas desde el origen, que describen combinaciones mejores cuanto más alejadas están del origen de coordenadas (la opción x i = 0 es claramente la peor de todas). Estas características de las curvas de indiferencia (en particular la pendiente negativa) implican que, para mantenernos sobre una curva de indiferencia dada, el aumento de la cantidad consumida de un bien debe ser compensado con la reducción de la cantidad de algún otro. Para un par de bienes concreto esta relación describe cómo el individuo sustituye unidades de un bien por otro para mantener el mismo nivel de satisfacción. Suele hablarse de la relación de sustitución entre estos bienes. Adviértase que: (1) Esta relación describe la valoración subjetiva del individuo, por lo que será en general distinta entre los diferentes consumidores; (2) La relación de sustitución depende del punto en el que estemos considerando la variación (es decir, varía a lo largo de la curva de indiferencia); (3) Cuando las curvas de indiferencia son suaves (diferenciables), entonces se puede medir com la pendiente de la curva en cada punto; se habla entonces de relación marginal de sustitución. Para el caso de dos mercancías, j = 1,2, la relación marginal de sustitución para el consumidor i en el punto x i, es simplemente: RMS 1,2 = dx i1 dx i2 (x i ) donde representamos la mercancía 1 en ordenadas y la mercancía 2 en abcisas. El argumento es válido para cualquier número de bienes, tomando como referencia dos mercancías concretas j, k (lo que equivaldría a fijarnos en la proyección de la curva de indiferencia en el plano (j, k), que describe las combinaciones de mercancías j, k que proporcionan la misma satisfacción -fijado el nivel de consumo de las demás-) *Algunas implicaciones Terminamos este capítulo presentando algunas deducciones de las propiedades anteriores. Se trata de resultados de interés limitado pero que proporcionan un campo de entrenamiento en el que hacer operativas las propiedades estudiadas. Nos centraremos en particular en algunas variantes de la noción de monotonía. Una forma más general de plantear la noción de que el consumidor prefiere elegir en conjuntos lo más grandes posible, presenta en la propiedad de monotonía, es la idea de no-saciabilidad. Podemos expresar formalmente esta idea bajo alguna de las siguientes formas, que van de mayor a menor grado de generalidad: No-saciabilidad Una relación de preferencias i se dice no-saciable si para todo x i R l + existe x i Rl + tal que x i i x i. No-saciabilidad local Una relación de preferencias i se dice no-saciable localmente si para todo x i R l + y para cualquier número α > 0, existe algún x i en B(x i,α) R l + tal que x i i x i (donde B(x i,α) denota una bola de centro x i y radio α). El requisito de no-saciabilidad nos dice simplemente que dado cualquier plan de consumo, siempre podemos encontrar algún otro mejor. El de no-saciabilidad local es más preciso: nos dice que arbitrariamente cerca de cualquier plan de consumo existe siempre un plan de consumo preferido. Claramente la no-saciabilidad local implica la no-saciabilidad. Es fácil comprobar que ninguno de estos requisitos impide que el

13 CONJUNTOS DE CONSUMO Y PREFERENCIAS - 25 consumidor pueda saciarse con respecto a algún bien concreto en R l +; lo que no permite es que pueda saciarse con respecto a todos los bienes simultáneamente. Como se prueba en la siguiente proposición, cuando las preferencias son estrictamente convexas, la no-saciabilidad implica que las preferencias sean no-saciables localmente: Proposición 2.1: Sea i una relación de preferencias definida sobre R l +. Si i verifica los requisitos de convexidad estricta y no-saciabilidad entonces cumple el axioma de nosaciabilidad local. Demostración Sea x i un punto arbitrario de R l +. Queremos probar que para todo α > 0 existe algún x i B(x i,α) R l + tal que x i i x i. La no-saciabilidad nos permite asegurar que existirá un cierto x i R l + tal que x i i x i. De la convexidad estricta de las preferencias se deduce que todos los puntos del segmento que une x i con x i, excepto el x i, son mejores que x i. Es decir, λx i + (1 λ)x i i x i, para todo λ (0,1). La convexidad de R l + asegura que este segmento intersecta necesariamente a todo conjunto de la forma B(x i,α) R l +, con α > 0, lo que prueba el resultado. El siguiente resultado establece que si las preferencias son continuas y monótonas, entonces todas las mercancías son bienes, en el sentido de que aumentar el consumo de cualquiera de ellas sin disminuir las demás nunca empeora la situación. Formalmente: Proposición 2.2: Sea i una relación de preferencias transitiva, completa, continua y monótona, definida sobre R l +. Entonces: x i > x i = x i i x i. Demostración Sea x i R l + tal que x i >> x i. La monotonía de las preferencias implica que x i i x i puesto que x i > x i. Sea { xν i } una sucesión monótona decreciente que nos lleva de x i a x i, con x ν i >> x i para todo ν. Por monotonía se cumple que x ν i i x i. En el límite, x i, el axioma de continuidad implica que x i x i. Una consecuencia importante de este resultado es que, bajo los supuestos de continuidad y monotonía, los precios que determinan la restricción presupuestaria podemos tomarlos siempre como no-negativos (recordemos que los precios negativos correspondían al coste unitario de eliminación de mercancías indeseables). Puesto que no hay mercancías indeseables los precios negativos carecen de sentido. Un concepto muy directamente relacionado con la idea de monotonía es el de bien deseable. Para presentarlo comencemos definiendo e k R l como aquel vector cuyos componentes son todos cero excepto el k-ésimo que es igual a la unidad. Es decir, e 1 = (1,0,...,0), e 2 = (0,1,0,...,0),..., e l = (0,...,0,1). Se dice que el bien k es deseable para el i-ésimo consumidor si, para todo x i R l + y para todo número γ > 0, ( x i + γe k) i x i. En otros términos: un bien es deseable cuando el consumidor mejora al aumentar la cantidad consumida del mismo, sin disminuir las cantidades consumidas de los demás bienes. Es obvio que si todos los bienes son deseables entonces la relación de preferencias es monótona. Aunque el recíproco no es cierto en general, sí que lo es cuando combinamos la propiedad de monotonía con la convexidad estricta. Formalmente:

14 26 - Microeconomía Proposición 2.3: Sea i una relación de preferencias transitiva, completa y continua. Si i es estrictamente convexa y monótona, entonces todos los bienes son deseables. Demostración Sean x i,x i Rl + tales que x i = ( x i + γek), para algún γ > 0. Tenemos que probar que x i i x i. Observemos primero que, aplicando el resultado anterior (Proposición 2.2) podemos concluir que ( x i + γek) i x i. Por otro lado, la estricta convexidad de i asegura que, para todo λ (0,1) tendremos: λx i + (1 λ)x i i x i, es decir, ( λx i + λγe k) + (1 λ)x i = x i + λγek i x i Puesto que λ < 1, x i > x i + λγek. Aplicando nuevamente la Proposición 2 concluimos que x i i x i + λγek. Finalmente, por transitividad, x i i x i + λγek i x i = x i i x i Hemos probado así que todos los bienes son deseables Problemas Problema Supongamos que únicamente existen dos mercancías, trigo y ocio y que el conjunto de consumo es un subconjunto de R 2 + (no necesariamente igual a R 2 + ). Dibujar un conjunto de consumo en el que el consumidor necesita consumir unas mínimas cantidades de trigo para subsistir, cantidades que pueden variar con el trabajo desarrollado. Problema Consideremos un consumidor cuya riqueza está constituída únicamente por los ingresos derivados de su capacidad de trabajo. Hay dos mercancías, trigo y ocio, y el consumidor puede trabajar un máximo de 12 horas. Tomando R 2 + como su conjunto de consumo, dibujar la restricción presupuestaria cuando el precio del trigo es p 1 = 1, y el salario es p 2 = 1, para las primeras 8 horas de trabajo, y p 2 = 1,5 para las restantes (que podemos interpretar como horas extra ). Problema Consideremos nuevamente el consumidor del ejemplo anterior, pero ahora el vector de precios es p = (1,1), con independencia del número de horas trabajadas. Existe además un impuesto progresivo sobre la renta definido como sigue: El consumidor debe pagar como impuestos un 20 % de sus ingresos brutos, si éstos son menores o iguales a 8 unidades; cuando sus ingresos brutos superen esta cifra debe pagar el 20 % de las primeras 8 unidades de renta, y el 30 % de las restantes. Problema Consideremos nuevamente el caso l = 2, pero supongamos ahora que no hay trabajo (las dos mercancías son trigo y leche). Dibujar la restricción presupuestaria de un consumidor cuando su riqueza es M i = 10 y los precios de las mercancías vienen dados por: p 1 = 1; p 2 = 2 si x i2 [0,3], p 2 = 1,5 para x i2 > 3. Es plausible una situación de este tipo? Problema Poner ejemplos de relaciones binarias que: (a) No sean reflexivas; (b) No sean completas; (c) No sean transitivas; (d) No sean simétricas ni antisimétricas. Problema Demostrar que una relación de equivalencia definida sobre un conjunto A genera una partición de A.

15 CONJUNTOS DE CONSUMO Y PREFERENCIAS - 27 Problema Supongamos que las preferencias de un colectivo (una familia, una asociación, etc.) se establecen en base a principios democráticos, es decir, la opción x se considera mejor que la x si la mayoría de los miembros prefiere x a x. Probar mediante un ejemplo que si el conjunto de elección tiene más de dos opciones y el colectivo más de dos miembros, las preferencias colectivas no verifican el axioma de transitividad. *Problema Se dice que una relación de preferencias es casi-transitiva, si la relación de preferencia estricta es transitiva. Probar que una relación de preferencias casi-transitiva que verifica los axiomas de completitud, continuidad y convexidad estricta es transitiva. **Problema Una relación de preferencias, definida sobre un conjunto de alternativas X, se dice acíclica si, para todo subconjunto finito de elementos x 1,x 2,...,x k X, se verifica que si x 1 x 2... x k entonces x 1 x k. Probar que si X es un conjunto finito y una relación completa, entonces las dos condiciones siguientes son equivalentes: (i) Todo subconjunto no vacío de X posee un elemento maximal; (ii) La relación es acíclica. Problema Una relación de preferencias i se dice débilmente convexa si para todo x i, x i Rl + y para todo λ [0,1] se cumple que: x i i x i = λx i + (1 λ)x i i x i. Comprobar: (i) Una relación de preferencias completa y transitiva es débilmente convexa si y sólo si, para todo x i Rl +, los conjuntos MI i(x i ) son convexos. (ii) Puede suceder que i sea débilmente convexa y que inti i (x i ). Problema Una relación de preferencias i se dice convexa si para todo x i, x i Rl + y para todo λ (0,1) se cumple que: x i i x i = λx i + (1 λ)x i i x i. Comprobar que si una relación de preferencias es convexa y no saciable, entonces inti i (x i ) =, para todo x i Rl +. *Problema Sea i una relación de preferencias completa, transitiva y continua. Probar que, bajo estas condiciones, los requisitos de convexidad y no-saciabilidad se cumplen si y sólo si se verifican los de convexidad débil y no-saciabilidad local. Problema Se dice que una relación de preferencias es débilmente monótona si x i > x i implica x i i x i. Probar que una relación de preferencias i completa, transitiva y continua es débilmente monótona y localmente no-saciable si y sólo si es monótona. Problema Consideremos un consumidor que posee una relación de preferencias tal que x i i x i para todo x i,x i Rl + tales que x ik = x ik, para k = 1,2,...,t < l (es decir, el consumidor no ve afectado su bienestar por el consumo de los bienes t + 1,t + 2,...,l). Cuántas de las propiedades que definen las preferencias regulares incumple esta relación de preferencias? Problema Probar que si i es una relación de preferencias transitiva, completa y continua, entoces para todo x o i Rl + se verifica: a) MI i (x o i ) PI i (x o i ) = I i(x o i ) b) MI i (x o i ) PI i (x o i ) = Rl + *c) I i (x o i ) es un conjunto cerrado y conexo.

16 28 - Microeconomía LECTURAS COMPLEMENTARIAS Debreu (1959, Capít. 4) y Arrow & Hahn (1971, Capít. 4) son las referencias básicas para la discusión desarrollada en este capítulo, donde el criterio de elección del consumidor ha sido modelado en términos de un preorden de preferencias. Mas-Colell, Whinston & Green (1995, Capíts. 1 y 2) analizan de forma asequible algunos temas complementarios (funciones de elección, preferencia revelada). El capítulo 1 del libro de Deaton y Muellbauer (1983) contiene una interesante discusión de las implicaciones de la restricción presupuestaria competitiva.