Análisis bayesiano de modelos de riesgo en compañías de seguros

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1 Análisis bayesiano de modelos de riesgo en compañías de seguros M. Concepción Ausín, Departamento de Estadística e Investigación Operativa, Universidad Complutense de Madrid. Trabajo conjunto con Juan M. Vilar, Ricardo Cao, Cristina González-Fragueiro Departamento de Matemáticas, Universidade da Coruña 7 de Noviembre de 2008

2 Motivación Este trabajo está motivado por un proyecto de la UDC con la empresa Inditex. El objetivo de Inditex era examinar si la empresa podía funcionar como su propia compañía de seguros y hasta qué ĺımite. El proyecto se llevó a cabo utilizando técnicas de inferencia no paramétrica. A partir de este proyecto desarrollamos un trabajo para modelos de pérdida agregada basada en técnicas de inferencia no paramétrica. Alternativamente, en este trabajo proponemos una metodología bayesiana para realizar el mismo análisis y comparamos resultados.

3 1 Modelo de pérdida agregada 2 La distribución Coxiana. 3 Estimación de los tiempos entre siniestros y de sus cuantías. 4 Estimación del número de siniestros y su cuantía total. 5 Estimación bajo franquicia y/o ĺımites en las pólizas. 6 Ilustración con datos reales. 7 Comentarios y conclusiones

4 1. Modelo de pérdida agregada Modelo de pérdida agregada El objetivo principal es la estimación de la distribución de la cuantía total de siniestros hasta el instante, t, N(t) S (t) = Y j, donde N (t) es el número total de siniestros hasta el instante t e Y 1, Y 2,... son las cuantías de los mismos. Se asume que N (t) es un proceso de renovación tal que los tiempos entre siniestros sucesivos, X 1, X 2,..., son i.i.d. y las cuantías de los mismos, Y 1, Y 2,..., son también i.i.d. e independientes de los tiempos entre siniestros. j=1

5 1. Modelo de pérdida agregada 0.8 Histograma de los tiempos entre siniestros, X x 10 4 Histograma de las cuantías de siniestros, Y x 10 4 Histogramas de los tiempos entre ocurrencia de siniestros (arriba) y de las cuantías de siniestros (abajo) en cierto sector.

6 1. Modelo de pérdida agregada A veces, las cuantías de siniestros presentan censura por la izquierda ya que sólo se sabe que son menores que un cierto valor (franquicia) porque la compañía de seguros no está encargada de su pago. La selección de modelos de distribución apropiados para tiempo entre ocurrencias de siniestros, X, y la cuantía de los mismos, Y, es esencial en la estimación de número total de siniestros N(t) y su cuantía total, S(t), en un período futuro, (0, t). Para simplificar los cálculos se asume a menudo que las variables X e Y siguen distribuciones exponenciales. Sin embargo, el modelo exponencial no es siempre realista para describir las características que aparecen frecuentemente en datos de seguros.

7 1. Modelo de pérdida agregada 1 Una posibilidad es (Vilar et al., 2008): Utilizar técnicas de inferencia no paramétrica para estimar las distribuciones de X e Y. Luego, usando métodos de simulación Monte Carlo, estimar las distribuciones de N(t) y de S(t). Por último, usando técnicas bootstrap, obtener intervalos de confianza para las medidas características de de N(t) y de S(t). 2 Alternativamente, en este trabajo (Ausín et al., 2008): Utilizamos la metodología bayesiana para obtener las distribuciones predictivas de N(t) y de S(t). Para ello, aproximamos las distribuciones de X e Y mediante distribuciones Coxianas, que son flexibles y densas en [0, ). Además, las Coxianas permiten obtener expresiones expĺıcitas de las transformadas de Laplace de N(t) y de S(t). Proponemos un algoritmo MCMC que estima la densidad de X e Y y aproxima las densidades predictivas de N(t) y S(t) simultáneamente.

8 2. La distribución Coxiana. La distribución Coxiana. Asumimos que los tiempos entre ocurrencias de siniestros, X, siguen una Coxiana de parámetros L, P = (P 1,..., P L ) y λ = (λ 1,..., λ L ), η 1, con prob = P 1, η 1 + η 2, con prob = P 2, X =.. η η L, con prob = P L, donde η i exp (λ i ) y L P i = 1. i=1 Aumentando L es posible aproximar cualquier densidad positiva. Se incluyen la exponencial, Erlang y mixturas de exponenciales como casos particulares. Asumimos también que las cuantías de siniestros, Y, siguen una Coxiana de parámetros M, Q = (Q 1,..., Q L ) y µ = (µ 1,..., µ L ).

9 2. La distribución Coxiana. La distribución Coxiana

10 2. La distribución Coxiana. La distribución Coxiana. La función de densidad se puede escribir como una mixtura, f (x L, P, λ) = L P i f i (x λ 1,..., λ i ), x > 0, i=1 donde f i es la densidad de una suma de i exponenciales, donde, f i (x λ 1,..., λ i ) = C ti = i C ti λ t exp{ λ t x}, t=1 i s=1 s t λ s λ s λ t. Sin pérdida de generalidad, se puede asumir que λ 1 λ 2... λ L.

11 3. Estimación de los tiempos entre siniestros y de sus cuantías. Estimación de los tiempos entre siniestros y sus cuantías. Se tiene una muestra de tiempos entre ocurrencias de siniestros, D X = {x 1,..., x n }, que siguen una Coxiana con θ X = (L, P, λ). Independientemente, una muestra de cuantías de siniestros, D Y = {y 1,..., y n }, que siguen una Coxiana con θ Y = (M, Q, µ). Así que asumiendo distribuciones a priori independiente para θ X e θ Y, sus distribuciones a posteriori serán también independientes. Por tanto, podemos estimar por separado las densidades de X y de Y con el mismo procedimiento de inferencia.

12 3. Estimación de los tiempos entre siniestros y de sus cuantías. Estimación de los tiempos entre siniestros. Definiendo una distribución a priori, π(θ X ), estamos interesados en la densidad predictiva, f (x D X ) = f (x θ X ) π (θ X D X ) dθ X. (1) Θ X Aunque el cálculo análitico de π (θ X D X ) es muy complicado, podemos construir un algoritmo MCMC que simule valores : k = 1, 2,..., B 1 } de la posteriori y aproximar (1) mediante, {θ (k) τ f (x D X ) 1 B 1 ( ) f x θ (k) X. B 1 k=1

13 3. Estimación de los tiempos entre siniestros y de sus cuantías. Reparametrización y densidad a priori. Primero, reparametrizamos las tasas, λ, mediante, λ i = λ 1 υ 2...υ i, donde 0 < υ s 1, para i, s = 2,..., L. Esta reparametrización facilita la definición de una densidad a priori no informativa, L Uniforme (0, 20) P Dirichlet (1,..., 1), π(λ 1 ) 1 λ 1, para 0 < λ 1 < υ i Uniforme(0, 1), para i = 1,..., L. A no imponer demasiada información a priori sobre λ 1 es posible aproximar distribuciones de cola pesada.

14 3. Estimación de los tiempos entre siniestros y de sus cuantías. Distribuciones a posteriori condicionales. Cada periodo entre siniestros, x j, procede de una componente de la mixtura, z j, que es un dato faltante y así, Pr (z j = i x j, L, P, λ 1, υ) P i f i (x j λ 1, υ 2,..., υ i ), para i = 1,..., L, La distribución a posteriori condicional de los pesos de la mixtura es, P x, z, L Dirichlet(1 + n 1,..., 1 + n L ), Las distribuciones a posteriori condicionales de λ 1 y υ i, i = 2,..., L, π (λ 1 D X, z, L, υ) π (λ 1 ) n ( ) f zj x λ1, υ 2,..., υ zj, π (υ i D X, z, L, λ 1, υ i ) π (υ i ) n ( ) f zj xj λ 1, υ 2,..., υ zj. j=1 j=1 z j i

15 3. Estimación de los tiempos entre siniestros y de sus cuantías. Algoritmo MCMC. 1. Fijar valores iniciales θ (0) X = ( L (0), P (0), λ (0) 1, υ(0) ). 2. Actualizar z simulando de z (k+1) z D X, θ (k) X. 3. Actualizar P simulando de P (k+1) P D X, z (k+1), L (k). 4. Actualizar λ 1 simulando de, λ (k+1) 1 λ 1 D X, z (k+1), L (k), υ (k). 5. Para i = 1,..., L (k), actualizar υ i simulando de: υ (k+1) i υ i D X, z (k+1), L (k), λ (k+1) 1, υ (k+1) 6. Actualizar L simulando de 7. k = k + 1. Ir a 2. 1,..., υ (k+1) i 1 L (k+1) L D X, z (k+1), P (k+1), λ (k+1) 1, υ (k+1)., υ (k) i+1,..., υ(k) L (k)

16 3. Estimación de los tiempos entre siniestros y de sus cuantías. Datos censurados. Si no conocemos el valor de x j, pero sabemos que pertenece al intervalo (a j, b j ), podemos reemplazar en la verosimilitud, por, f zj (x j λ 1,..., λ j ), Pr(a j x j b j z j, λ 1,..., λ j ) = F zj (b j λ 1,..., λ j ) F z j (a j λ 1,..., λ j ), donde, z ( ) j F zj xj λ 1,..., λ zj = C tzj (1 exp{ λ t x j )}. t=1

17 4. Estimación del número de siniestros y su cuantía total. Estimación del número de siniestros y su cuantía total. Queremos estimar las distribuciones de N(t) y S(t) dados D X y D Y. La distribución predictiva de N(t), Pr (N (t) m D X ) = Pr (N (t) m θ X ) π (θ X D X ) dθ X, Θ X puede aproximarse mediante, Pr (N (t) m D X ) 1 B 1 B 1 ( Evaluar anaĺıticamente Pr k=1 ( Pr N (t) m θ (k) X N (t) m θ (k) X ) para cada θ (k) X ), es muy costoso porque hay que evaluar la exponencial de una matriz muy grande. Pero podemos invertir rápidamente su transformada de Laplace.

18 4. Estimación del número de siniestros y su cuantía total. Estimación de N(t) Suponemos fijos los parametros θ X = (L, P, λ) de X. Usando que, m Pr (N (t) m) = Pr x j t, se tiene que, F Σx j (s) = 0 j=1 m e st Pr x j t dt = 1 s j=1 [ f x j (s)] m, donde, f x j (s) = L i P i i=1 t=1 ( ) λt. λ t + s

19 4. Estimación del número de siniestros y su cuantía total. Estimación de las medidas características de N(t) También podemos aproximar la media predictiva de N (t) mediante, E [N (t) D X ] 1 B 1 B 1 k=1m=0 ( m Pr N (t) = m θ (k)), y obtener intervalos predictivos calculando los cuantiles. Análogamente, podemos calcular otras medidas de N(t) como la varianza, mediana, cuantiles, etc.

20 4. Estimación del número de siniestros y su cuantía total. Estimación de S(t). Análogamente, dados los datos, D = {D X, D Y }, aproximamos la distribución predictiva de S(t), Pr (S (t) x D) = Pr (S (t) x θ X, θ Y ) π (θ X, θ Y D) dθ X θ Y, Θ Y mediante, Θ X Pr (S (t) x D) 1 B 1 B 1 k=1 ( Pr S (t) x θ (k) X, θ(k) Y ), ( invirtiendo numéricamente la transformada de Pr S (t) x θ (k) X para cada par θ (k) X, θ(k) Y., θ(k) Y )

21 4. Estimación del número de siniestros y su cuantía total. Estimación de S(t). Suponemos fijos θ X = (L, P, λ), y θ Y = (M, Q, µ). Se sabe que, f S(t) (s) = g N(t) [f Y (s)], donde gn(t) [s] es la función generadora de momentos de N (t) y f Y (s) es la transformada de Y. Entonces, 0 e sx Pr (S (t) x) dx = 1 s [fy (s)] m Pr (N (t) = m). m=0 donde, f Y (s) = M i Q i i=1 t=1 ( µt ) µ t + s

22 4. Estimación del número de siniestros y su cuantía total. Se pueden obtener estimaciones de la media y varianza de S(t) usando las relaciones, E [S (t)] = E [N (t)] E [Y ], V [S (t)] = E [N (t)] V [Y ] + E [Y ] 2 V [N (t)].

23 5. Estimación bajo franquicia y ĺımites en las pólizas. Estimación bajo franquicia y ĺımites en las pólizas. Es interesante también la estimación de la distribución de la cuantía total de siniestros cuando los siniestros están sujetos a franquicia y/o ĺımites en la póliza de seguros. Para cada siniestro, Y j, se tiene la siguiente representación: 0, if 0 < Y j < a, Ỹ j = Y j a, if a Y j < b, b a, if b Y j, donde a es la franquicia y b es el ĺımite de la póliza. Ahora el interés se centra en la estimación de: S (t) = Ỹ j. N(t) j=1

24 5. Estimación bajo franquicia y ĺımites en las pólizas. La distribución de S(t) puede obtenerse como antes usando que, f S(t) (s) = gn(t) [ f (s) Ỹ ], donde, f Ỹ (s) = M i Q i i=1 t=1 ( C ti [1 + e µta e µtb (b a)s) ( )] µ t 1. µ t+s La media y varianza de S pueden aproximarse con las relaciones anteriores usando que, y 2 E [Ỹ ] M = ] M E [Ỹ = i=1 Q i M i=1 i=1 Q i M i=1 C ti [ 2e µ ta µ 2 t [ e µ ta e µtb ] C ti µ t 2e µtb µ 2 t ] (1 + (b a) µ t ).

25 5. Estimación bajo franquicia y ĺımites en las pólizas. Obsérvese que el mismo procedimiento puede realizarse para otras especificaciones de Ỹ como, { Y, if 0 < Y < a, Ỹ = a, if a Y <, que puede ser de interés del asegurado, o bien, { 0, if 0 < Y < b, Ỹ = Y b, if b Y <, que puede ser de interés de la compañía reaseguradora.

26 6. Ilustración con datos reales. Ilustración con datos reales Se dispone de una base de datos procedente de una compañía aseguradora de la empresa Inditex que contiene las fechas y las cuantías de siniestros producidos en distintos sectores tales como comercio, transporte, responsabilidad civil, etc. Los datos, que están reescalados para preservar la confidencialidad, presentan censura por la izquierda debido a las franquicias. Se presentan aquí los resultados relativos dos sectores: sector C y sector T. El sector C contiene 600 observaciones de las cuales 200 están censuradas por la izquierda y el sector T contiene 400 observaciones de las cuales 100 están censuradas por la izquierda. Ambas muestras están observadas en períodos de tiempo pasado.

27 6. Ilustración con datos reales. Ilustración con datos reales El objetivo es estimar la distribución del número total de siniestros, N(200), y de la cuantía total de los mismos, S(200), en un tiempo futuro de longitud 200, para los dos sectores por separado y conjuntamente. También, se desea estimar la distribución de la cuantía total de siniestros que pagaría la compañía de seguros, S(200) con una franquicia de unidades y un ĺımite de póliza de unidades.

28 6. Ilustración con datos reales. Análisis del sector C X Y Media Mediana Desviación típica Asimetría Curtosis Percentil Percentil A continuación, ejecutamos el algoritmo MCMC para los datos completos del tiempo entre siniestros, X, y el algoritmo MCMC modificado para datos censurados para las observaciones de la cuantía de siniestros, Y. Usamos B 1 = iteraciones, tras eliminar iteraciones burn-in.

29 6. Ilustración con datos reales Empírica Exponencial Coxiana sin censura Coxiana con censura 0.6 F(x) Estimaciones de la función de distribución de los tiempos entre ocurrencia de siniestros en el sector C. x

30 6. Ilustración con datos reales Empírica sin censura Exponencial Empírica KM Coxiana con censura 0.6 F(x) Estimaciones de la función de distribución de las cuantías de siniestros en el sector C. x

31 6. Ilustración con datos reales Pr(N(200) m data) Posterior mean Posterior median 95% credible interval 95% credible interval m Distribuciones e intervalos predictivos al 95% para la distribución del número de siniestros, N (200), que se producirán en el sector C hasta t = 200. La media estimada con un proceso de Poisson es , mientras que el verdadero valor observado fue de 220 siniestros.

32 6. Ilustración con datos reales. Medida Estimación BY Intervalo 95% BY Media Mediana Dev. típ Cuantil Cuantil Medida Estimación NP Intervalo 95% NP Media Mediana Dev. típ Cuantil Cuantil Estimaciones Bayesianas (BY) e intervalos predictivos al 95% de algunas medidas características de N (200), comparadas con las estimaciones no paramétricas (NP) e intervalos de confianza al 95% en el sector C. La media estimada con un proceso de Poisson es , mientras que el verdadero valor observado fue de 220 siniestros.

33 6. Ilustración con datos reales Pr(S(200) x data) Posterior mean Posterior median 95% credible interval 95% credible interval x x 10 5 Distribuciones e intervalos predictivos al 95% para la distribución de la cuantía total de siniestros, S (200), que se producirán en el sector C hasta t = 200. La media estimada con un proceso de Poisson con pérdidas exponenciales es , mientras que el verdadero valor fue de

34 6. Ilustración con datos reales. Medida Estimación BY Intervalo 95% BY Media Mediana Dev. típ Cuantil Cuantil Medida Estimación NP Intervalo 95% NP Media Mediana Dev. típ Cuantil Cuantil Estimaciones Bayesianas (BY) e intervalos predictivos al 95% de algunas medidas características de S (200), comparadas con las estimaciones no paramétricas (NP) e intervalos de confianza al 95% en el sector C. La media estimada con un proceso de Poisson con pérdidas exponenciales es , mientras que el verdadero valor fue de

35 6. Ilustración con datos reales Pr(S ~ (200) x data Posterior mean Posterior median 95% interval x x 10 4 Distribuciones e intervalos predictivos 95% para la distribución de la cuantía total de siniestros, S (200), en el sector C hasta t = 200 con una franquicia de a = y un ĺımite de b = El verdadero valor observado fue de

36 6. Ilustración con datos reales. Medida Estimación BY Intervalo 95% BY Media Mediana Dev. típ Cuantil Cuantil Medida Estimación NP Intervalo 95% NP Media Mediana Dev. típ Cuantil Cuantil Estimaciones Bayesianas (BY) e intervalos predictivos al 95% de algunas medidas características de S (200), comparadas con las estimaciones no paramétricas (NP) e intervalos de confianza al 95% en el sector C. El verdadero valor observado fue de

37 6. Ilustración con datos reales. Análisis del sector global Presentamos ahora los resultados para los dos sectores C y T conjuntamente. Se dispone de una muestra de 1000 tiempos entre ocurrencias de siniestros y 1000 cuantías de siniestros, de las cuales 300 están censuradas por la izquierda. Ejecutamos el correspondiente algoritmo MCMC para cada una de estas dos muestras. A continuación, presentamos los resultados de las principales medidas características del número total de siniestros, N G (200), de la cuantía total de los mismos, S G (200), en un periodo futuro de 200 unidades para el sector global.

38 6. Ilustración con datos reales. Medida Estimacion BY Intervalo 95% BY Media Mediana Dev. típ Cuantil Cuantil Medida Estimacion NP Intervalo 95% NP Media Mediana Dev. típ Cuantil Cuantil Estimaciones Bayesianas (BY) e intervalos predictivos al 95% de algunas medidas características de N G (200), comparadas con las estimaciones no paramétricas (NP) e intervalos de confianza al 95% en el sector global. El verdadero valor observado fue de 402 siniestros.

39 6. Ilustración con datos reales. Medida BY estimation 95% BY interval Media Mediana Dev. típ Cuantil Cuantil Medida NP Estimation 95% NP interval Media Mediana Dev. típ Cuantil Cuantil Estimaciones Bayesianas (BY) e intervalos predictivos al 95% de algunas medidas características de S G (200), comparadas con las estimaciones no paramétricas (NP) e intervalos de confianza al 95% en el sector global. El verdadero valor observado fue de

40 7. Comentarios y conclusiones Resumen, comentarios y conclusiones Dadas muestras históricas de tiempos y cuantías de siniestros, hemos desarrollado un método Bayesiano para estimar sus distribuciones y predecir el número total de siniestros y la cuantía total de los mismos en períodos de tiempo futuro. Para ello, hemos aproximado las densidades de los tiempos entre siniestros y sus cuantías con distribuciones Coxianas mediante un algoritmo MCMC. Con dicha muestra MCMC y resultados anaĺıticos basados en transformadas de Laplace para Coxianas, predecimos las variables de interés en el futuro. Las diferencias entre las estimaciones Bayesianas y no paramétricas pueden deberse a diferencias en las estimaciones de la cola de las distribuciones ya que el modelo Coxiano asume una probabilidad positiva (pequeña) para siniestros muy costosos, mientras que la inferencia no paramétrica asume probabilidad zero para aquellos valores mayores que el máximo observado.

41 7. Comentarios y conclusiones Resumen, comentarios y conclusiones Los intervalos de confianza suelen ser más estrechos con el procedimiento Bayesiano, lo que es esperable ya que la incertidumbre es a menudo menor usando un modelo paramétrico. El coste computacional es ligeramente mayor usando el procedimiento Bayesiano. Por ejemplo, el coste total de estimar todas las distribuciones, medidas características e intervalos predictivos de tres sectores fue de 18 horas con el procedimiento Bayesiano y de 11 horas con el no paramétrico. Hemos asumido independencia entre las ocurrencias de siniestros y entre sus cuantías. Esto puede no ser realista en períodos de tiempo largos. Se puede pensar en extender el procedimiento a otros procesos que no asuman dicha independencia. El procedimiento se puede extender al cálculo de otras cantidades de interés tales como la probabilidad de ruina de la compañía de seguros en tiempo finito o infinito.

42 Referencias Referencias Ausín, M.C, Vilar, J.M., Cao, R., González-Fragueiro, C. (2008). Bayesian analysis of aggregate loss models. Condicionalmente aceptado en Mathematical Finance. Vilar, J.M., Cao, R., Ausín, M.C., González-Fragueiro, C., (2008). Analysis of an aggregate loss model. Journal of Applied Statistics. En prensa. Klugman, S.A., Panger, H.H., and Willmot, G.E., (2004). Loss models: From data to decisions, (2nd ed.) John Wiley. Rolski, T., Schmidli, H., Schmidt, V., Teugels, J., (1999). Stochastic processes for insurance and finance. John Wiley and Sons, New York. Ausín, M.C., Lopes, H.F., (2007). Bayesian estimation of ruin probabilities with heterogeneous and heavy-tailed insurance claim size distribution. Australian and New Zealand Journal of Statistics, 49, Ausín, M.C., Wiper, M.P., and Lillo, R.E., (2008). Bayesian estimation of finite time ruin probabilities. Condicionalmente aceptado en Journal of Applied Stochastic Models in Business and Industry.

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