CONSTRUYENDO RELOJES DE SOL EN EL AULA

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1 CONSTRUYENDO RELOJES DE SOL EN EL AULA INDICE 1. DIDACTICA DE LOS RELOJES DE SOL 2. CÓMO EMPEZAR 3. RELOJ SOLAR PARA EL POLO 4. RELOJ ECUATORIAL PARA CUALQUIER LATITUD 5. SIGUIENTES MODELOS: CUADRANTE HORIZONTAL, VERTICAL 6. CALENDARIO 7. OTRA PROPUESTA: EL RELOJ CILÍNDRICO 8. UTILIDADES ADICIONALES DEL RELOJ CILINDRICO 9. EL PROBLEMA DE LA HORA OFICIAL Y LA QUE INDICA UN RELOR SOLAR 10. UN RELOJ SOLAR PARA EL PATIO DEL INSTITUTO

2 1. DIDACTICA DE LOS RELOJES DE SOL La construcción de relojes solares proporciona siempre una serie de recursos didácticos muy interesantes. Por una parte el manejo de diversos conceptos astronómicos sencillos de mecánica celeste, o la utilización de recursos geométricos o de cálculo propios del área de matemáticas. Además al ser un trabajo de taller suele suponer un atractivo añadido para el alumnado, y mucho más cuando una vez acabado comprueba su funcionamiento o utilidad. Se puede trabajar en todos los niveles: - Desde niños-as pequeños a quienes conviene suministrarles los modelos de relojes con las diferentes líneas ya trazadas, y su labor consistirá en decorarlos, recortar, pegar, montarlos, comprobar su funcionamiento. Quizás utilizarlos luego para explicar más fácilmente una serie de conceptos. - Hasta alumnado de bachiller que puede utilizar la trigonometría en el cálculo y trazado de las diferentes líneas horarias y elementos del reloj. Incluso alumnado aventajado de estos niveles o superiores puede sentirse motivado al intentar realizar e incluso diseñar, nuevos modelos, ya que en este campo el límite lo pone la imaginación. El planteamiento que aquí se realiza está dirigido fundamentalmente a la secundaria obligatoria aunque algunas indicaciones podrían ser útiles para trabajar en otros niveles. Normalmente cuando se plantea al alumnado construir un reloj de sol suele hacerse dándole unas pautas o instrucciones que le ayudarán a obtener el objeto final, pero no a entender por qué debe hacerlo de esa manera. Ya se ha mencionado que a determinadas edades ese puede ser el camino, pero a nivel de secundaria pueden y deben comprender el proceso y se puede utilizar un enfoque didáctico de manera que los diferentes pasos no se les den ya hechos, ni tampoco se realicen a partir de unos desarrollos matemáticos complejos para este alumnado, sino siguiendo un razonamiento lógico a partir del movimiento aparente del sol, y las diferentes proyecciones que hay que hacer según la situación y colocación del reloj. Se hace imprescindible entrar en los fundamentos de la construcción y funcionamiento. El por qué se hace así, y el por qué funciona. Conviene comenzar por el reloj ecuatorial, y cuando se llega al siguiente paso, el vertical o el horizontal en la mayoría de los casos, el alumnado debe tener muy claros dichos fundamentos para ver la relación entre los conceptos y lo que está haciendo, ya que en caso contrario lo artificioso del proceso de trazado (por métodos geométricos o analíticos) le haría alejarse de los conceptos astronómicos que se quieren trabajar. Teniendo en cuenta las anteriores consideraciones, se aborda aquí la construcción de relojes solares con el objetivo de proporcionar una metodología lógica, fijar unas ideas básicas, e incluso utilizar los relojes solares como recurso para entender mejor algunos aspectos de la mecánica celeste.

3 2. CÓMO EMPEZAR A la hora de construir cualquier reloj se plantean 3 problemas: cómo colocar el gnomon o varilla, dónde poner el cuadrante o superficie sobre la que se proyectará la sombra, y cómo trazar las líneas horarias o incluso las de calendario. Como se verá a lo largo de este trabajo, la primera cuestión es crucial y hay que hacerlo de manera estricta, la segunda puede tener cualquier respuesta, pero la decisión sobre ella condicionará a la tercera. Efectivamente, la cuestión más importante es la colocación del gnomon: estilete, listón o arista cuya sombra nos determinará la hora. A muchos-as alumnos-as les parece normal utilizar un listón vertical, e incluso en algunos textos que tratan el tema de forma somera así aparece erróneamente. Puede parecer lógico poner la varilla de cualquier manera, por ejemplo vertical, luego anotar empíricamente la posición de su sombra cada hora y ya está. Pero el método es totalmente erróneo porque el movimiento aparente del sol varía según la fecha y por tanto las sombras también. Es suficiente hacer dos mediciones a la misma hora de dos días diferentes (suficientemente separados) para que el alumnado compruebe que la sombra de dicho listón vertical no indica la misma dirección, y por tanto no es útil. La explicación habitual de que el listón debe estar colocado sobre la línea Norte-Sur con una inclinación igual a la latitud porque así será paralelo al eje de la Tierra, aunque en un principio puede parecer lógica, no se hace del todo inteligible. Casi siempre este dato se le da al alumnado al principio, lo cual es un error porque lo puede deducir él y el proceso puede ser enriquecedor. Y aquí es donde surge nuestra propuesta 3. RELOJ SOLAR PARA EL POLO Para comenzar, examinamos la situación en el polo Norte en primavera o verano: El Sol está por encima del horizonte, el eje terrestre allí es vertical, y al girar la Tierra sobre ese eje durante las 24 horas, veremos al Sol moverse uniformemente paralelo al horizonte dando una

4 vuelta completa. Si no es conocida por el alumnado esta situación se puede visualizar con una lámpara o mejor con el Sol real, y un globo terráqueo colocado con el eje vertical (globo terráqueo paralelo en el polo) al que haremos girar. Resulta lógico que si colocamos un listón vertical en el polo (prolongación del eje terrestre), su sombra girará de manera uniforme y podremos marcar las líneas horarias sobre el suelo cada 15º (360º/24). Esto también se ve si lo hacemos con el globo terráqueo. Así, comenzaremos construyendo un reloj solar para el polo, porque sabemos cómo debe estar colocado el gnomon allí, y este será nuestro primer modelo. Para ello puede ser adecuado proporcionar a cada alumno-a un cuadrado de madera o cartón pluma de unos 15 o 20 cm de lado, y una varilla redonda de madera. El cuadrado irá en el suelo del polo, y por tanto la varilla se introducirá en el centro una vez taladrado el cuadrado para que quede vertical. Antes de taladrarlo conviene trazar las líneas horarias, que tal como hemos razonado irán separadas por 15º. Cuántas líneas habrá que marcar? Efectivamente las 24 pues en primavera y verano el Sol siempre está por encima del horizonte. Si el alumnado no es muy hábil con el transportador y las pieza de madera están bien escuadradas se sugiere comenzar trazando las dos diagonales que se toman como referencia para colocar el transportador y trazar las demás, y para determinar el centro donde se insertará el gnomon. Además, aunque para este primer modelo no es necesario, de cara a su modificación posterior dos de las líneas deben ser perpendiculares a los lados del cuadrado. En el polo geográfico no deberíamos numerar las horas porque aunque oficialmente la haya, en el mismo polo no hay hora (o son todas las horas a la vez), y si nos movemos un poco la hora dependerá de la dirección en la que lo hayamos hecho. Es interesante que 12 el alumnado reflexione sobre esta circunstancia. De todas formas como 12 referencia numeraremos las líneas trazadas, marcando las 12 del mediodía en una de las líneas perpendiculares a un lado, para más facilidad en los pasos sucesivos.

5 4. RELOJ ECUATORIAL PARA CUALQUIER LATITUD Esteban Esteban Una vez obtenido este primer modelo que sirve para el polo, el siguiente paso es cómo hay que modificarlo para que funcione en otras latitudes; y para explicar el proceso se construyen varios iguales al anterior pero de pequeño tamaño con cuadrados de cartón de unos 3 cm y palillos de dientes. Debido al tamaño no se puede usar el transportador, y las líneas horarias se trazan de manera aproximada; pero si aún así al alumnado le resulta complicada su construcción, se les puede dar ya hechos. Luego se coloca el globo terráqueo paralelo. Se desmonta el globo de su soporte, se coloca sobre un cilindro de manera que quede nuestra localidad arriba y nuestro meridiano en la dirección Norte-Sur y de esta manera si le da el sol, recibe la misma iluminación que la Tierra real permitiendo simular muchas circunstancias relacionadas con la iluminación solar y las sombras. En este globo terráqueo se coloca y un pequeño reloj en el polo norte (si estamos en primavera o verano), y a ser posible con el sol real. Si este reloj lo movemos paralelamente, seguirá funcionando porque el Sol está muy lejos y los rayos de luz llegan paralelos a cualquier lugar de la Tierra. Para apoyarlo en el globo terráqueo debemos mover (introducir) la varilla. Hacemos esto con varios de los relojes pequeñitos para diferentes latitudes (0,30,-30,45,60,..) y les colocamos en nuestro meridiano, todos con el eje paralelo, y con el extremo de la línea de las 12 apoyada en su posición en la superficie del globo terráqueo. Comprobaremos que (tal como es lógico, todos marcan la misma hora. Con ello se visualiza el motivo de que los relojes de sol deben tener el gnomon paralelo al eje de la Tierra, es decir en un plano Norte-Sur. A continuación se verá que esto significa que su inclinación respecto al suelo horizontal del lugar en que se han colocado es la latitud: Les recogemos todos y les colocamos uno al lado del otro anotando en qué latitud estaban, y comprobamos que la inclinación del gnomon es la

6 Para que el gnomon sea paralelo al eje de la Tierra, su inclinación B debe ser igual a la latitud: A- latitud Los triángulos ACD y CDE B son semejantes por tener sus lados perpendiculares. Por ello C=A Esteban Esteban latitud. Aunque esto se puede justificar con el gráfico adjunto, en un primer momento es interesante visualizarlo sin precisión. A E C D C=B por ser opuestos por el vértice. Por tanto B=A=latitud En este momento se propone al alumnado construir el segundo modelo. Será un reloj ecuatorial (el plano que en el polo era el suelo es siempre paralelo al ecuador) válido para cualquier latitud sin más que ajustar la varilla. Se puede utilizar el modelo anterior perforando totalmente el orificio si no lo está, o mejor (para conservarlo) construir otro igual en el cual la varilla se introducirá más o menos hasta conseguir el ángulo adecuado a la latitud correspondiente; e incluso podemos construir varios que se fijarán según varias latitudes. Fijaremos uno para nuestra latitud. Para ello se recorta un pequeño triángulo rectángulo de cartón con un ángulo igual a la latitud y su cateto opuesto igual a la mitad del lado del cuadrado donde marcamos las horas. Lo pegaremos a la cara inferior y al gnomon, que se ajustará a la medida del otro cateto. Si la varilla permanece bien perpendicular al plano (por ejemplo si se hace con madera) no es necesario pegar el triángulo; se dibuja, se mide el cateto, y se ajusta el gnomon. La línea de las 12 estará siempre apoyada en el suelo, y en dirección Norte respecto a la base del gnomon. Puede ser ahora el momento de preguntarse si nosotros necesitamos las 24 líneas horarias como en el polo, y qué pasa en otoño e invierno, en que allí no funcionaba. Habrá que explicar la posición del sol debajo del plano ecuatorial, y que por ello habrá que marcar líneas horarias también en la cara inferior (que lógicamente se tienen que corresponder con

7 las que tienen encima; en la cara superior en el sentido de las agujas del reloj y en la inferior en sentido contrario). En la cara superior serán necesarias más de 12 horas, pero en la inferior no. Antes de continuar, y a modo de prueba del funcionamiento es interesante el colocar varios relojes ecuatoriales de los pequeñitos en distintos lugares del globo terráqueo paralelo (en nuestra misma latitud o en otra distinta, pero cambiando la longitud geográfica), y observar con el Sol real la hora actual en cada lugar, comprobando la diferencia horaria. 5. SIGUIENTES MODELOS: CUADRANTE HORIZONTAL, VERTICAL Una vez construido el reloj ecuatorial suele abordarse la elaboración de los relojes de cuadrantes horizontal y vertical en sus diferentes variantes. Los relojes verticales son los más habituales y suelen estar en paredes de casas o iglesias (las líneas horarias están trazadas en un plano vertical), y los horizontales suelen colocarse como elemento decorativo en mesas, fuentes o jardines con las líneas en el suelo u otro plano horizontal. Al contrario que ocurría en el ecuatorial el gnomon no es perpendicular al plano del cuadrante por estar inclinado. Además en estos relojes las líneas horarias no son equidistantes y el principal problema es determinar dichas líneas. Este trazado puede hacerse utilizando fórmulas trigonométricas o por un método geométrico directo que se aprecia en el gráfico: Se utiliza el reloj ecuatorial ya construido se apoya sobre un plano horizontal o vertical, anotando en este plano el punto donde toca el gnomon (en el caso del vertical habría que cortarlo a medida), y los puntos donde cortan las líneas horarias a la arista común a ambos planos. Se unen estos puntos con el de la intersección del gnomon obteniendo las nuevas líneas horarias. El gnomon será el mismo que el del ecuatorial. El trabajar físicamente con el reloj ecuatorial real en ocasiones puede resultar engorroso o algo inexacto si no se es cuidadoso. Existe otra solución manipulativa que es

8 sustiruír el reloj ecuatorial por un simple papel en el que se han trazado los ángulos horarios de 15º. En un gnomon de cartón en forma de triángulo PQD acorde a nuestra latitud se mide la distancia PQ, se traslada al papel, pasando por Q se traza la línea AB que será la arista común del ecuatorial del papel y el nuevo reloj horizontal y sobre ella podemos medir con una regla las diferentes distancias QR que separan las líneas horarias en esa arista común y solo faltará anotarlas en el nuevo reloj y unirlas con el punto D (gráficos siguientes) B A R Aunque con alumnado de E.S.O. a partir de este momento, y si queremos continuar con el tema, normalmente se pasaría al reloj cilíndrico, si se quiere profundizar más y se les considera capaces, puede incluso emprenderse el trazado de los relojes vertical declinantes, laterales u otros tipos por el método geométrico. Igual que para el horizontal se parte siempre del ecuatorial con ángulos iguales de 15º, se considera un reloj de otro tipo con el mismo gnomon que el ecuatorial y mediante uno o varios pasos se van trasladando los puntos de corte de las líneas horarias con la arista común. Para ilustrar este método pueden examinarse los gráficos que aparecen a continuación correspondientes a los métodos trigonométricos. También, a partir de 4º de ESO, dependiendo del nivel del alumnado, puede explicarse la deducción de las fórmulas trigonométricas para los distintos modelos (horizontal, vertical orientado y declinante, lateral e incluso inclinado) y utilizar dichas fórmulas; aunque desde el punto de vista didáctico no parece muy conveniente el trazado utilizando la fórmula sin más, ni tampoco los métodos geométricos clásicos en que no se aprecia su fundamento, y simplemente podrían usarse para comprobar que lo realizado por el método geométrico directo es correcto y coincide con los valores que se obtienen de las fórmulas. Se dan a continuación dichos métodos, únicamente como recurso para una profundización en el tema, por ejemplo en un taller extraescolar, o ante un gran interés personal, pero nunca como recurso didáctico aconsejado

9 R Q Reloj horizontal B P D La línea del mediodía (12 hora solar) estará dibujada en dirección Norte a partir del arranque del gnomon, y a partir de ella se dibujan las demás: A partir del reloj ecuatorial que tiene ángulos iguales de 15º: En PQR Tg 15º=QR/QP En PQD Sen( )= QP/QD Por ello: QR= QP. Tg 15º= QD.Sen( ). Tan 15º Tg = QR/QD = Sen( ). Tan 15º, y = Arc tg ( Sen( ). Tan 15º) y se obtiene el A ángulo entre la línea de las 12 y las de las 11. Para la siguiente línea 30º en vez de 15º. Reloj vertical orientado al sur El procedimiento es análogo y se obtiene Arc tg(cos( ). Tan 15º) Reloj vertical declinante (no orientado al sur) La línea del mediodía es vertical, y a partir de ella de trazan las demás según los ángulos Se parte de un reloj horizontal obtenido antes y mediante razonamientos trigonométricos similares pero algo más complejos se obtiene: Sen Arctg Cos( ). Tg A D Reloj lateral (vertical orientado al Este o al Oeste)

10 En este caso se parte de teórico un reloj vertical orientado al Sur que estuviese junto al lateral. Las líneas horarias son paralelas y hay que determinar su distancia (AB) a la línea de las 6 o 18 h. que se situa en la pared a la altura del gnomon y paralela a él. AB=AD/ Tg( ) Reloj inclinado Partiendo de un reloj horizontal, después de una laboriosa deducción se obtiene Arcsin cos( ) sin 2 sin ( sin 2.sin(arccos(sin ) sin 2 cos ( 2 ).cos )) 2sin.sin.sin.cos sin( ).cos( ) En cualquier caso existen también programas de ordenador que dibujan cualquier tipo de reloj solar. Tanto éstos como las fórmulas que se han dado, podrían ser útiles para comprobar que el resultado obtenido por el método geométrico es correcto. 6. CALENDARIO Aunque no imprescindible, es interesante abordar también el trazado de las líneas de calendario, que aunque en la mayoría de modelos es complicado, en el reloj ecuatorial es muy didáctico y sencillo. Estas líneas son recorridas a lo largo del día por el extremo de la sombra del gnomon por lo que vienen determinadas por la longitud de éste y suelen dibujarse las correspondientes a los días límite de un mes a otro. En realidad en este punto hay dos opciones; utilizar la tendencia clásica y marcar las líneas que delimitan los cambios de signo zodiacal (sobre el día 21), o bien los meses (el día 1). El primero es más cómodo de realizar porque aparecen menos líneas, y más sencillo de utilizar porque no se solapan los intervalos; sin embargo, debido a la confusión que puede ocasionar en su correlación con la fecha, con nuestro alumnado puede ser más adecuado utilizar los meses habituales, pero simplificar el trazado y su posterior interpretación marcando solamente las líneas correspondientes al sentido ascendente de enero a junio o de julio a diciembre, según la fecha en que realicemos la actividad.

11 Para trazar las líneas de calendario, que en el modelo ecuatorial serán círculos con centro en la base del gnomon, es conveniente cortar y afilar la parte superior del gnomon hasta que no sobresalga más de una quinceava parte del lado del cuadrado si queremos que la línea que delimita agosto y septiembre no se salga del cuadrado, y aún así la de marzoabril será imposible de representar (hay que tener en cuenta que en fechas próximas a los equinoccios este reloj no funciona); y en la parte inferior habrá que poner una marca a esta altura. Con una tabla de las declinaciones solares del primer día de cada mes y un sencillo cálculo trigonométrico o utilizando la semejanza de triángulos se determina el radio de cada círculo; los de otoño e invierno en la cara inferior y el resto en la superior. 7. OTRA PROPUESTA: EL RELOJ CILÍNDRICO Un modelo de reloj solar no tan utilizado pero incluso con mayores valores didácticos es el ecuatorial cilíndrico. Igual que en el caso anterior, se parte de la situación en el polo y por lo tanto ahora también el gnomon será una varilla vertical. Pero las líneas horarias las marcaremos en la cara interna de un cilindro cuyo eje es el gnomon, y con su misma altura que será al menos un tercio del diámetro para que aún en el solsticio de Verano la sombra llegue a la pared cilíndrica interna. De esta manera cualquier día de Primavera o Verano, y a cualquier hora funcionará nuestro reloj en el polo. Se puede utilizar un tubo de cartón o de PVC, y las líneas horarias se trazarán también cada 15º, y si resulta difícil hacerlo en la superficie cilíndrica, se puede hacer en un papel, una vez calculada la longitud de la circunferencia y dividida en 24 partes, que luego se pegará. Cómo será este reloj si lo queremos usar en el Ecuador? Hay que tener en cuenta que aquí debe funcionar todo el año y durante las 12 horas exactas que dura el día en cualquier fecha.

12 En cualquiera de los dos modelos trazaríamos también las líneas de calendario según el mismo criterio que en el ecuatorial plano, y serán círculos intersección del cilindro con planos perpendiculares al eje, colocados en los lugares adecuados a la declinación solar de las distintas fechas. Si queremos utilizarlo en otra latitud, al igual que en el caso del reloj ecuatorial plano habrá que inclinar adecuadamente el gnomon y con ello todo el modelo; y si queremos apoyarlo en el suelo habrá que poner una cuña, o cortar adecuadamente el tubo por su parte inferior. La primera solución parece más adecuada por su sencillez, pero la segunda nos aportará varias utilidades didácticas muy interesantes. Efectivamente; el modelo a colocar en el polo funcionará siempre que haya sol (las 24 horas en primavera y verano) pero al modificar su orientación si queremos que siga siendo tan eficaz tendremos que cortar la arista superior según un plano horizontal que pase por el extremo del gnomon. Siempre que sea de día el Sol está por encima del horizonte y por ello la sombra del extremo del gnomon caerá por debajo del mencionado plano. Por otra parte si no hiciésemos este corte y simplemente inclinásemos el modelo del polo, en otoño e invierno la propia sombra de la base y de la pared del cilindro cubriría totalmente el gnomon e impediría el funcionamiento. Y si inclinamos el modelo del ecuador (conseguiríamos el que suele aparecer en muchas publicaciones), perderíamos las horas adicionales de sol de Primavera y Verano. El modo de hacer este corte plano que nos dé la arista superior no es sencillo porque si desplegásemos dicha arista veríamos que no es una sinusoide cuyos parámetros dependen del radio del cilindro y la latitud. Se pueden utilizar unos cuantos métodos diferentes para su trazado y de lo más diversos; pero sin entrar a fondo en este asunto, y teniendo en cuenta que estamos usando

13 procedimientos sencillos, lo más adecuado sería sumergir el cilindro adecuadamente inclinado en un recipiente con pintura, y la arista de corte quedaría marcada. Como lo pringoso del asunto no lo haría indicado para repetirlo con cada alumno-a, a partir del cilindro pintado calcaríamos una plantilla en papel que copiaríamos en los otros. Una vez marcada la línea de corte puede hacerse con un cúter si el cilindro es de cartón o con una sierra si es de plástico, y no es dificultoso si se orienta la herramienta según el plano adecuado. 8. UTILIDADES ADICIONALES DEL RELOJ CILINDRICO Después de cortar el cilindro de la manera indicada la arista superior y las líneas de calendario de los solsticios nos delimitarán la superficie útil sobre la que se proyectará el extremo de la sombra en cualquier momento del año que sea de día, y con ello conseguimos las siguientes utilidades con solo observar nuestro reloj y sin necesidad de que haga sol: a) Duración del día según la fecha, que nos la dará la longitud de cada línea de calendario, y se determina fácilmente por su intersección con las líneas horarias. b) Horas de salida y puesta de sol en cualquier fecha. Irán determinadas por la línea horaria en que se encuentren situados los puntos de corte de la correspondiente línea de calendario con la arista superior del cilindro. c) Lugares de salida y puesta de sol según la fecha. Se visualizarán alineando los mencionados puntos de corte de la correspondiente línea de calendario con la arista superior del cilindro, con el extremo del gnomon, y prolongando hasta el horizonte teórico. Aunque nunca lo utilizaremos como reloj, conviene construir además diferentes modelos para el polo, los círculos polares, los trópicos o el ecuador; porque con ellos estas utilidades didácticas mencionadas cobran un valor añadido al permitir comparar las distintas situaciones. En definitiva, todas las circunstancias relativas la movimiento aparente del sol en cualquier fecha y desde cualquier latitud quedan reflejadas de una manera directa y visual en este tipo de reloj que va mucho más allá de su función habitual, y una vez construido proporciona un potente recurso didáctico. 9. EL PROBLEMA DE LA HORA OFICIAL Y LA QUE INDICA UN RELOR SOLAR Sea cual sea el reloj solar que consultemos, hay que tener en cuenta que normalmente éstos indican "hora solar verdadera local". Marcarán las 12 cuando el sol se encuentre en dirección sur. Esta hora hasta finales del siglo XIX era la que regía en cada localidad, y su diferencia con la hora legal actual es distinta según la longitud geográfica del lugar (entre Cataluña y Galicia hay una diferencia de 48 minutos), o según la fecha (de

14 hasta media hora por la denominada ecuación del tiempo), además de tener en cuenta las variaciones en los horarios oficiales de Invierno o de Verano. Los tres factores pueden corregirse desviando la posición de las líneas horarias originales, sustituyendo las líneas rectas por otras sinusoidales que siguen "la ecuación del tiempo", y modificando la numeración; pero aunque se puede conseguir que indiquen exactamente la fecha y la hora exactas, no suelen hacerse estas correcciones; por lo que puede ser muy diferente la indicación de un reloj solar y la de nuestro reloj de pulsera. (En Bilbao en las fechas más extremas, el 15 de Febrero una hora y 26 minutos o el 1 de Noviembre 56 minutos de diferencia, aunque hay diferencias mayores con horario de verano). Por lo tanto, si observamos la hora que nos marca un reloj solar, y queremos saber cual es la hora oficial, no es suficiente con sumarle una hora si estamos con el gráfica aparece en la figura. El reloj solar atrasa El reloj solar adelanta horario de invierno o dos con el de verano, sino que además hay que sumarle 4 minutos por cada grado de longitud Oeste según la localidad en que nos encontremos (o restarlo si estamos al Este del meridiano de Greenwich), y así mismo hay que sumarle o restarle unos minutos según en la fecha que nos encontremos, debido a la ecuación del tiempo, cuya Esta ecuación del tiempo, que hace que la diferencia entre la hora solar verdadera y la oficial sea distinta en cada fecha, está motivada por dos razones. Una de ellas es que aunque la rotación de la Tierra es constante, no lo es la velocidad con que gira alrededor del Sol (por la segunda ley de Kepler va más deprisa cuando está más cerca del Sol), y al estar condicionada la duración del día por estos dos movimientos, hace que unos días sean más largos que otros (entendiendo como duración del día el periodo de tiempo desde que el Sol pasa por el meridiano local en dirección Sur, hasta que lo vuelve a hacer). La otra causa es que el Sol a lo largo del año no sigue el Ecuador celeste, sino la línea de la Eclíptica. En la mayoría de los relojes de sol estas correcciones no suelen hacerse y únicamente puede calcularse la diferencia entre lo que marca el reloj y la hora oficial, pero en el caso del reloj ecuatorial cilíndrico resultan más sencillas que en otros con lo que puede visualizarse la hora oficial.

15 10. UN RELOJ SOLAR PARA EL PATIO DEL INSTITUTO Esteban Esteban Puede ser muy motivador para el alumnado colaborar en la elaboración de un reloj solar permanente situado en el exterior del edificio del centro. De todos los posibles modelos, el denominado analemático, que puede hacerse en el suelo del patio, es el más adecuado por diversas razones. Por un lado la facilidad de su construcción que solamente requiere el pintado en el suelo de unas determinadas líneas, no siendo necesario ningún trabajo de albañilería ni la complicada y precisa colocación de un gnomon que además corra el riesgo de ser movido, doblado o arrancado (lo que por desgracia ocurre frecuentemente en otros modelos), y además el trazado se hace en una superficie horizontal que siempre es más fácil que en una pared. Por si esto fuera poco, no requiere de ningún presupuesto económico que vaya más allá de un bote de pintura y una brocha. Por otra parte una vez construido da mucho más juego que otros relojes porque su uso no se limitará a la simple observación de la hora, sino que requiere una cierta intervención por parte de la persona que lo quiera utilizar. Ese valor que le da la interactividad, y que la propia sombra de la persona sea la que indique la hora, será muy motivador para que nuestro alumnado no pase de él como si fuera un simple elemento decorativo, se interese en su funcionamiento y lo use. Este reloj consta de una elipse dibujada en el suelo sobre la que se colocan los dígitos con las horas, y una zona central en que una persona debe colocarse en un punto concreto según la fecha, y su propia sombra determina la hora al proyectarse sobre la elipse. A pesar de sus virtudes, hay que reconocer que en principio este reloj no tiene unos valores didácticos como recurso educativo para explicar de manera sencilla los movimientos y trayectorias del sol sobre nuestro horizonte, al menos tan evidentes como pueden tenerlo otros tipos de relojes solares. O al menos no se ven estas implicaciones de una manera tan clara, por el hecho de que incumple la ley de oro de los relojes solares: Como el movimiento diario aparente del Sol se debe fundamentalmente a la rotación de la Tierra sobre su eje El gnomon debe estar paralelo al eje de la Tierra; es decir orientado Norte-Sur, y con una inclinación igual a la latitud. Sin embargo en este caso no ocurre así. Cuando pretendemos introducir el tema de los relojes solares siempre empezamos explicando que un gnomon vertical no sirve para obtener la hora, y justamente aquí es vertical; y encima no está fijo!. Es cierto que hay algunas excepciones a la citada norma, como el denominado gnomon ortogonal o los relojes basados en la diferente altura del

16 Sol; pero siempre se ve muy fácil que en realidad se trata de un recurso para simplificar la construcción pero que realmente no infringe la norma, o que se usan principios diferentes. Sin embargo en este caso no es fácil ver la justificación. A pesar de todo este tipo de reloj funciona perfectamente, y el hecho de que el gnomon sea vertical se compensa con que se coloque en diferente lugar según la fecha. TRAZADO DEL RELOJ De manera esquemática, y sin utilizar fórmulas trigonométricas, se puede apreciar el método de construcción en el gráfico adjunto, elaborado por Juan Cruz Iriarte. Se empieza dibujando una elipse en el suelo cuyo semieje mayor a tenga unos 2 o 3 metros, esté orientado en sentido Este-Oeste y la longitud del semieje menor b depende de la latitud geográfica del lugar y se puede obtener gráficamente construyendo el triángulo rectángulo de lados a, b y c de la figura, cuyo ángulo en O es precisamente la latitud. Si se quiere trazar la elipse por el método del jardinero, se colocan los focos f y g sobre el eje mayor a una distancia c (obtenida también en el mencionado triángulo) del centro. Se dibuja una circunferencia auxiliar concéntrica con la elipse y cuyo radio sea igual al semieje mayor a. Esta circunferencia se divide en 24 partes iguales, coincidiendo dos de ellas en los vértices de la elipse, y que indicarán las 6 y las 18 horas, y para el resto de las horas se trazan paralelas al semieje menor por cada uno de esos 24 puntos (aunque lógicamente no marcaremos las correspondientes a las horas nocturnas) Una vez marcadas las horas solo falta calcular los puntos en que debe colocarse el gnomon (la persona) según la fecha. Esto puede hacerse tomando con vértice en uno de los focos f de la elipse los ángulos de declinación solar en cada fecha, si es positiva hacia el Norte, y si es negativa hacia el Sur.

17 Se pueden hacer las correcciones necesarias en los puntos en que se colocan las horas según la longitud del lugar para que el reloj indique hora solar media de Greenwich (atrasando o adelantando cada hora en la circunferencia inicial un ángulo igual a la longitud geográfica) e incluso es frecuente corregir la ecuación del tiempo y obtener así la hora oficial. Como tenemos el calendario esto se puede hacer desplazando en cada fecha a derecha o izquierda el equivalente a los minutos que debe adelantar o atrasar (la separación en sentido E-W entre los puntos de las 11 y las 12 equivaldría a 60 minutos), y así se obtiene la típica lemniscata en forma de 8 sobre la que colocaremos las fechas. De esta manera se podría obtener un reloj que indique la hora oficial; aunque las correcciones solo son exactas al mediodía y el resto de las horas puede haber un error mínimo.. FUNDAMENTOS TEÓRICOS Pero Por qué funciona? Por qué los puntos indicativos de las horas deben estar colocados en una elipse de determinadas proporciones, y precisamente en esos lugares? Por qué el gnomon hay que colocarlo precisamente ahí en cada fecha? En este caso las explicaciones al alumnado de secundaria deben ser muy por encima ya que la justificación teórica exige una formulación que no está a su alcance Las respuestas están, como casi siempre en el reloj solar ecuatorial. Efectivamente, se parte de un reloj ecuatorial y se considera el plano horizontal que pasa por su centro. Ese plano es el suelo sobre el que trazamos el analemático, y sobre él, mediante proyecciones verticales, se van trasladando los distintos elementos. Veamos, por un lado, que efectivamente los elementos de nuestro reloj trazados por el método gráfico coinciden con la proyección del reloj ecuatorial, y comprobaremos también la corrección de su funcionamiento. En el plano del ecuatorial se traza una circunferencia de radio a y centro el punto en que el gnomon corta a dicho plano. La proyección vertical de este círculo es nuestra elipse, ya que la longitud de su eje mayor será a y del menor b = a. sin, que es la misma expresión que se puede deducir en el triángulo de lados a, b, c del método de construcción gráfico. Así mismo, cada marca horaria en la elipse es la proyección vertical de la marca horaria en el ecuatorial colocada en la mencionada circunferencia, lo que explica la colocación de los puntos horarios en el método de trazado gráfico.

18 En el ecuatorial en cada fecha es la sombra de un único punto P del gnomon el que recorre la circunferencia de radio a. La proyección vertical Q de ese punto P sobre el suelo es el punto sobre el que debe colocarse el gnomon vertical en esa fecha. Efectivamente: la distancia z del centro de la elipse al punto Q según se deduce de este gráfico sería z = x cos a. tg cos Y si lo calculamos por el método de construcción geométrico en el gráfico 2, z = c. tg pero como c a b a a sin a (1 sin ) a cos, queda z = a. tg cos que es el mismo resultado que antes. Y finalmente, la sombra del gnomon vertical colocado en Q indicará la hora correcta porque su sombra será un plano vertical que a lo largo del día contiene el punto P del gnomon inclinado y el punto horario en el círculo, y por lo tanto contendrá el punto horario en la elipse que está en su vertical. Este desarrollo detallado debe quedar fuera de los niveles de ESO, donde se haría una explicación intuitiva sencilla, y únicamente en bachillerato podría abordarse.

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