UNIVERSIDAD DE SONORA

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1 UNIVERSIDAD DE SONORA División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas El Problema L p Dirichlet para la Ecuación de Laplace T E S I S Que para obtener el título de: Licenciado en Matemáticas Presenta: Luis René San Martín Jiménez Director de Tesis: Dr. Jorge Rivera Noriega Hermosillo, Sonora, México, Junio de 0

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3 SINODALES Dr. Jorge Rivera Noriega Universidad Autónoma del estado de Morelos, Cuernavaca, México. Dra. Martha Dolores Guzmán Partida Universidad de Sonora, Hermosillo, México. Dr. Jesús Adolfo Minjarez Sosa Universidad de Sonora, Hermosillo, México. M.C. Marysol Navarro Burruel Universidad de Sonora, Hermosillo, México.

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5 A mi familia 5

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7 Quiero agradecer a mis padres por apoyarme siempre, a mis maestros durante la licenciatura por sus enseñanzas, en especial a la Dr. Martha Guzmán. Doy las gracias también a mi Director de Tesis, Dr. Jorge Rivera Noriega, a mis sinodales Dra. Martha Dolores Guzmán Partida, Dr. Jesús Adolfo Minjarez Sosa y M.C. Marysol Navarro Burruel por sus contribuciones a este trabajo y porque cada uno fue mi maestro. 7

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9 Índice general Introducción. El Problema Clásico de Dirichlet en el Disco del plano R 7.. La invarianza de la Ecuación de Laplace y la forma polar del Laplaciano 8.. La Fórmula de Poisson Series de Fourier Solución al Problema Clásico de Dirichlet en el Disco Ecuación de Laplace y Ecuación de Poisson 3.. Solución fundamental del Laplaciano Ecuación de Poisson Propiedades de las funciones armónicas Funciones de Green Derivación de la Función de Green Simetría de la Función de Green Función de Green para el Semi - espacio R n Función de Green para una bola en R n

10 0 ÍNDICE GENERAL 4. Problema Clásico de Dirichlet para dominios con frontera regular Funciones subarmónicas y superarmónicas Convergencia de funciones armónicas Solución al problema Clásico de Dirichlet en dominios con frontera regular Teorema de Diferenciación de Lebesgue y Función Maximal de Hardy - Littlewood El Teorema de Cubierta de Vitali Función Máximal de Hardy - Littlewood Teorema de Diferenciación de Lebesgue El conjunto de Lebesgue de una función Convoluciones e Identidades Aproximadas Convoluciones Identidades aproximadas Problema de Dirichlet en el Semi - espacio R n+ + con dato en L p Planteamiento del Problema L p Dirichlet Planteamiento del Problema L p Dirichlet

11 Introducción El Problema Clásico de Dirichlet en su versión más general se puede plantear de la siguiente manera: Dado Ω R n abierto, conexo y acotado y una función f : Ω R, encontrar una función u armónica en Ω cumpliendo u = f en Ω. En este trabajo revisaremos las soluciones a algunos Problemas Clásicos de Dirichlet, y a través del estudio de estos problemas se generará una propuesta de cómo plantear el Problema de Dirichlet en su versión L p : Dado Ω R n abierto, conexo y acotado tal que Ω es de clase C, y una función f L p ( Ω), encontrar una función u armónica en Ω que además satisfaga u = f para casi todo punto en Ω. Así mismo, presentamos técnicas de como resolver este Problema. El contenido de este trabajo está dividido en seis capítulos como se describen a continuación: En el Capítulo abordamos el Problema Clásico de Dirichlet en el Disco del plano - dimensional. Se demuestra la invarianza de la Ecuación de Laplace bajo isometrías, hecho que sugiere encontrar la forma del Operador de Laplace en coordenadas polares. Una vez logrado esto, a través del método de separación de variables llegamos a una solución en forma de una serie trigonométrica bajo ciertas suposiciones sobre el dato en la frontera, y a partir de esta representación conseguimos otra por medio de la Fórmula de Poisson. Posteriormente investigamos que propiedades se pueden añadir al

12 Introducción dato en la frontera para que la solución en forma de serie trigonométrica tenga sentido. Finalmente, establecemos el resultado principal de este capítulo, que proporciona condiciones suficientes en el dato en la frontera para producir una solución. En el Capítulo primero presentamos la solución fundamental del Laplaciano que en primera instancia nos servirá para resolver la Ecuación de Poisson. Luego, demostramos un importante número de propiedades que satisfacen las funciones armónicas, como la Propiedad del Valor Medio y el Principio del Máximo. También estudiamos la regularidad y analiticidad de una función armónica, así como el Teorema de Liouville y la Desigualdad de Harnack para funciones armónicas positivas. Estos resultados nos serán de gran ayuda en el desarrollo del capítulo 4. En el Capítulo 3 resolvemos el Problema Clásico de Dirichlet con dato continuo para dos dominios específicos: la bola en R n y el Semi - espacio R n+ +. Nuestro enfoque será partir de un dominio en general y proponer una función de Green para este dominio, luego representar a la solución del Problema de Dirichlet por medio de la función de Green y el dato en la frontera. Una vez hecho esto, construiremos la función de Green para cada dominio en concreto y mostraremos que la respectiva Fórmula de Representación es en verdad una solución. En el capítulo 4 resolvemos el Problema Clásico de Dirichlet con dato continuo y un dominio Ω con frontera regular. Para realizar esto, primero definimos las funciones subarmónicas (y superarmónicas), que serán el germen de nuestro método de solución. Luego enunciamos un Principio del Máximo para funciones subarmónicas (Principio del Mínimo para funciones superarmónicas), una herramienta de recurrente uso en este capítulo. Más adelante se estudia un poco aspectos de la convergencia de sucesiones de funciones armónicas. Después exponemos el Método de Perron de funciones subarmónicas. A cada dato en la frontera g le asociamos su función de Perron ω g, probamos que ω g es armónica y luego examinamos su comportamiento en la frontera de Ω cuando esta es regular. Finalmente damos algunas condiciones geométricas sobre la frontera de Ω que aseguren su regularidad. En el Capítulo 5 nos apartamos por un momento del estudio de los Problemas Clásicos de Dirichlet con el fin de tener herramientas para plantear el Problema L p Dirichlet. Para una función f introducimos la Función Maximal de Hardy - Littlewood M f, probamos algunas de sus propiedades fundamentales, como el Teorema de Hardy - Littlewood y el acotamiento del operador f Mf en L p, p >. Esto nos preparará para formular el Teorema de Diferenciación de Lebesgue. Con este resultado será posible hablar sobre convergencia casi en todas partes en varios contextos. En el Capítulo 6 comenzamos con algunos resultados básicos sobre convoluciones que nos dirán que algunas convoluciones tienen sentido. Después concentramos nuestra atención en identidades aproximadas. Luego de definirlas, analizaremos inmediatamente la convergencia f φ a f cuando a 0 en L p, casi en todas partes y no tangencial casi en todas partes, donde (φ a ) a es una identidad aproximada y

13 Introducción 3 f es una función en L p. Posteriormente estaremos interesados en obtener un acotamiento del tipo f φ a (x) CMf(x) para casi todo x, y también otro del tipo f φ a (x ) CMf(x) para casi todo x, donde x está en un cono con vértice en x. Todo lo anterior es la base para poder resolver el Problema de Dirichlet para el Semi - espacio R n+ + con dato en la frontera en L p, estudiar este caso específico a la postre será la motivación para plantear el Problema de Dirichlet en su versión L p. Por último, en el Capítulo 7 identificamos los elementos que aparecen en el Problema de Dirichlet para el Semi - espacio para vislumbrar que elementos son esenciales en el planteamiento del caso general. Notación A lo largo de este trabajo, cuando escribimos Ω R n nos referimos siempre a un subconjunto abierto del espacio euclideano n - dimensional, en ocasiones añadiremos condiciones adicionales a Ω. La mayoría del tiempo consideraremos funciones con dominio en algún conjunto Ω R n tomando valores reales, cuando no sea así se especificará con oportunidad. Presentamos gran parte de la notación requerida a continuación. En caso de aparecer nueva notación en el desarrollo de este trabajo, será aclarada inmediatamente. Notación básica Ω es la frontera de Ω, Ω = Ω Ω es la cerradura de Ω. Si Ω y Ω son abiertos de R n, escribimos Ω Ω si Ω Ω y Ω es compacto, y decimos que Ω está compactamente contenido en Ω. B(x, r) = {y R n : y x < r} es la bola con centro en x y radio r > 0. Si x = (x,..., x n ) y y = (y,..., y n ) son puntos en R n, escribimos x y = n x i y i, x = (x x) i= α(n) = λ(b(0, )) = π n Γ( n +) es el volumen de la bola unitaria en Rn. λ es la medida de Lebesgue y Γ es la función gamma. α(n)r n = λ(b(x, r)) es el volumen de la bola B(x, r). ω n = nα(n) = λ( B(0, )) es el área de la superficie de la esfera unitaria B(0, ) en R n. nα(n)r n = λ( B(x, r)) es el área de la superficie de la esfera B(x, r).

14 4 Introducción Notación para derivadas Sea u : Ω R, x Ω. u x i u xi u(x+he = lím i ) u(x) h 0 h, siempre que este límite exista. A veces escribimos en vez de u x i. De manera análoga se definen Adoptamos la notación multi - índice. u x i x j = u xi x j, 3 u x i x j x k = u xi x j x k, etc. Un vector de la forma α = (α,..., α n ), donde cada α i es un entero positivo es llamado multi - índice de orden α = α + + α n. Dado un multi - índice α definimos D α u := α u α x αn x n = α x αn x n u Si k es un entero positivo, D k u(x) = {D α u(x) : α = k} es el conjunto de todas las derivadas parciales de orden k, y definimos D k u = D α u α =k Si k =, Du = (u x,..., u xn ) es el vector gradiente de u. Si k = es la matriz hessiana. D u = u u x..... u x n x u x n x x n A veces usamos D x para denotar las variables que se están derivando. Por ejemplo, si u = u(x, y), x R n, x R m, entonces D x u = (u x,..., u xn ) y D x u = (u y,..., u ym ). Notación para espacios de funciones C(Ω) = {u : Ω R : u es continua} C(Ω) = {u : Ω R : u es uniformemente continua} C k (Ω) = {u : Ω R : D α u es continua siempre que α k} C k (Ω) = {u : Ω R : D α u es uniformemente continua siempre que α k} Si u C k (Ω), entonces D α u se puede extender continuamente a Ω para cada multi - índice α, α k.

15 Introducción 5 Decimos que Ω tiene frontera de clase C k si para cada z Ω, existe una vecindad B de z y una función ψ C k (B), k N tal que. Ω B = {x : ψ(x) < 0}. Ω B = {x : ψ(x) = 0} 3. Dψ(x) 0 para cada z Ω B C (Ω) = {u : Ω R : u es infinitamente diferenciable} = k= Ck (Ω) C (Ω) = k= Ck (Ω) sop(u) = {x Ω : u(x) 0} C c (Ω), C k c (Ω), etc. denotan las funciones en C(Ω), C k (Ω), etc. con soporte compacto. L p (Ω) = {u : Ω R : u es Lebesgue medible, u L p (Ω) < }, donde ( u L p (Ω) = u p dx Ω ) p p < L (Ω) = {u : Ω R : u es Lebesgue medible, u L (Ω) < }, donde u L (Ω) = esssup Ω u L p loc (Ω) = {u : Ω R : u Lp (Ω ) para todo Ω Ω} Du L p (Ω) = Du L p (Ω) D u L p (Ω) = D u L p (Ω)

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17 Capítulo El Problema Clásico de Dirichlet en el Disco del plano R El objetivo de este capítulo es resolver el problema clásico de Dirichlet cuando Ω R es un disco, el cual denotaremos desde este momento por D. No abordaremos este problema en discos del plano usando coordenadas rectangulares, pues encontraremos que es más conveniente replantearlo con coordenadas polares. Para hacer esto exhibiremos la forma polar del Laplaciano, que resulta ser bastante sencilla debido a que este operador es invariante bajo movimientos rígidos en el plano, es decir, bajo composiciones de rotaciones y traslaciones. Una vez conseguida la forma polar del Laplaciano buscaremos soluciones de esta ecuación con condición en la frontera utilizando separación de variables. Por último, demostraremos que si el dato es una función lo suficiente suave, entonces podremos asegurar la existencia de una solución para el Problema de Dirichlet en el disco. La unicidad será cubierta cuando exploremos posteriormente algunas propiedades de las funciones armónicas. Para este capítulo seguimos las referencias [] y [3]. 7

18 8 El Problema Clásico de Dirichlet en el Disco del plano R.. La invarianza de la Ecuación de Laplace y la forma polar del Laplaciano Definición... Sea Ω un abierto de R y u C (Ω). La ecuación de Laplace en el plano es u = u = u xx + u yy = 0 (..) A u se le conoce como el Laplaciano de u. Una función u que cumple la ecuación de Laplace se le llama función armónica. Definición... Sea Ω un abierto de R y T : R R. Diremos que es invariante bajo T en Ω si (u T ) = ( u) T, para cualquier u C (Ω). Una traslación en el plano es una transformación f : R R definida por (x, y) f (x, y ) = (x + a, y + b) a, b R Una rotación en el plano es una transformación g : R R dada por (x, y) para algún ángulo 0 α π. g (x, y ) = (x cos α + y sin α, x sin α + y cos α) Se puede verificar fácilmente la invarianza de para una traslación. Veamos la invarianza bajo rotaciones. Derivando tenemos Tomando segundas derivadas parciales Entonces u x (x, y ) = u x (x, y ) cos α u y (x, y ) sin α u y (x, y ) = u x (x, y ) sin α + u y (x, y ) cos α u xx (x, y ) = [u x (x, y ) cos α u y (x, y ) sin α] x cos α [u x (x, y ) cos α u y (x, y ) sin α] y sin α u yy (x, y ) = [u x (x, y ) sin α + u y (x, y ) cos α] x sin α + [u x (x, y ) sin α + u y (x, y ) cos α] y cos α u xx (x, y ) + u yy (x, y ) = u x x (x, y ) cos α u x y (x, y ) sin α cos α Hemos demostrado el siguiente u x y (x, y ) sin α cos α + u y y (x, y ) sin α + u x x (x, y ) sin α + u x y (x, y ) sin α cos α + u x y (x, y ) sin α cos α + u y y (x, y ) cos α = u x x (x, y ) + u y y (x, y )

19 . La invarianza de la Ecuación de Laplace y la forma polar del Laplaciano 9 Teorema... es invariante bajo movimientos rígidos en el plano. Esto es, es invariante bajo cualquier transformación que sea la composición de rotaciones y traslaciones. Esto da pie a intentar resolver el Problema de Dirichlet en coordenadas polares. Con este objetivo encontraremos la forma del laplaciano en coordenadas polares. Sea f : R R la función (r, θ) f (x, y) = (r cos θ, r sin θ) 0 θ < π Haciendo la composicón u f y calculando (u f) tenemos ( ) cos θ r sin θ (u f(r, θ)) = u(x, y) Df(r, θ) = (u x (x, y), u y (x, y)) sin θ r cos θ Entonces [u(f(r, θ))] = cos θ r x u(x, y) + sin θ u(x, y) y [u(f(r, θ))] = r sin θ θ x u(x, y) + r cos θ u(x, y) y Estas expresiones pueden escribirse usando notación de operadores como Despejando Componiendo operadores ( x = cos θ r sin θ r r = cos θ x + sin θ y = r sin θ θ x + r cos θ y x = cos θ r sin θ r θ y = sin θ r + cos θ r θ ) ( cos θ θ r sin θ r ( = cos θ sin θ r cos θ r r θ sin θ r θ ( ) sin θ + sin θ r r θ + cos θ r θ = cos θ sin θ cos θ r r r θ + sin θ r θ ) θ ) sin θ r + sin θ cos θ (cos θ r θ sin θ ) r r θ + sin θ r r

20 0 El Problema Clásico de Dirichlet en el Disco del plano R ( y = sin θ r + cos θ ) ( sin θ r θ r + cos θ r ( = sin θ cos θ r + sin θ r r θ cos θ r θ ( ) cos θ + cos θ r r θ sin θ r θ = sin θ sin θ cos θ + r r r θ + cos θ r θ Sumando obtenemos el siguiente ) θ ) + cos θ r sin θ cos θ Teorema... Si u C (Ω) donde Ω es un abierto de R, entonces u(x, y) + u(x, y) = x y r u(f(r, θ)) + r donde f(r, θ) = (r cos θ, r sin θ). (sin θ r θ + cos θ ) r r r u(f(r, θ)) + r θ + cos θ r r u(f(r, θ)) (..) θ.. La Fórmula de Poisson Nos enfocaremos en el disco de radio a > 0, D = {re iθ : 0 r < a 0 θ < π}. Haremos la identificación de D = {ae iθ : 0 θ < π} con [0, π), de modo que una función f : D R puede ser vista también como f : [0, π) R. Consideremos el problema { uxx + u yy = 0 x + y < a u = f(θ) x + y = a (..) Por separación de variables, suponemos soluciones de la forma u(r, θ) = R(r)Θ(θ). Sustituyendo esta expresión en la forma polar de la ecuación de Laplace (..) tenemos De esto 0 = u rr + r u r + r u θθ = R Θ + r R Θ + r RΘ (..) r R R + r R R = Θ Θ Lo cual solo es posible si ambos lados son iguales a una constante, digamos λ, así obtenemos dos ecuaciones lineales ordinarias r R + rr λr = 0 (..3) Θ + λθ = 0 (..4)

21 . La Fórmula de Poisson Para Θ(θ) imponemos periodicidad, Θ(θ + π) = Θ(θ). La constante λ no admite cualquier valor, de hecho λ es el cuadrado de un entero. Primero veamos que λ 0. Supongamos que λ < 0, entonces λ = α para algún α > 0. Sabemos que una solución particular a (..4) es Θ (θ) = e αθ, esta función debe ser periódica, entonces = e α0 = e πα, una contradicción a la elección de α. Ya que λ 0, entonces λ = α para algún α 0 y observamos que Θ (θ) = cos αθ es una solución, de nuevo por la periodicidad = cos α0 = cos απ, entonces α es un entero, que es lo que buscabamos. Por lo anterior, la solución general a (..4) es Θ n (θ) = A n cos nθ + B n sin nθ A n, B n R n = 0,,,... Resolvemos (..3) proponiendo las soluciones R(r) = r a. Sustituyendo vemos que a = ±n, por lo que la solución general es R n (r) = C n r n + D n r n C n, D n R n = 0,,,... Y conseguimos soluciones a (..) de la forma u n (r, θ) = (C n r n + D n r n )(A n cos nθ + B n sin nθ) Si n = 0, las soluciones que hemos dado a (..) son constantes, pero un cálculo directo muestra que log r es solución, y en este caso la solución general a (..) toma la forma u(r, θ) = C + D log r C, D R Algunas de las soluciones crecen o decrecen indefinidamente cuando r 0. Aún no hemos impuesto condiciones en R(r). Convenientemente el nuevo requisito será que R(r) tenga un valor finito en r = 0. Las soluciones restantes son u n (r, θ) = r n (A n cos nθ + B n sin nθ) También sumas finitas de estas soluciones de la forma u(r, θ) = m A 0 + r n (A n cos nθ + B n sin nθ) (..5) n= son solución. Haciendo r a se tendría la condición a la frontera f u (θ) = m A 0 + a n (A n cos nθ + B n sin nθ) n= Ahora nos preguntamos que restricciones debemos exigir a f para que admita la representación por medio de la serie uniformemente convergente f(θ) = A 0 + a n (A n cos nθ + B n sin nθ) (..6) n=

22 El Problema Clásico de Dirichlet en el Disco del plano R Esta pregunta la responderemos en la siguiente sección, por lo pronto supongamos que h se puede respresentar como en (..6). La nueva tarea es calcular los coeficientes A n y B n, la observación clave para esto son las siguientes igualdades π 0 π 0 π Calculemos ahora los coeficientes A n : Por tanto Así π 0 0 f(φ) cos mφ dφ = A 0 Y los coeficientes B n : π 0 sin nφ cos mφ dφ = 0 n, m N { 0 n m sin nφ sin mφ dφ = π n = m { 0 n m cos nφ cos mφ dφ = π n = m + n= π 0 = A m a m π cos mφ dφ a n ( A n π 0 cos mφ cos nφ dφ + B n π 0 ) cos mφ sin nφ dφ A m = π πa m f(φ) cos mφ dφ m = 0,,,... (..7) 0 f(φ) sin mφ dφ = A 0 + n= π 0 = B m a m π sin mφ dφ a n ( A n π 0 sin mφ cos nφ dφ + B n π 0 ) sin mφ sin nφ dφ B m = π πa m f(φ) sin mφ dφ m = 0,,,... (..8) 0 La solución a (..) estará dada en términos de la ecuación..5 y de los coeficientes A n y B n, los cuales ya hemos encontrado bajo la suposición de que f se represente

23 . La Fórmula de Poisson 3 como en (..6). El problema (..) estará resuelto encontrando propiedades concretas del dato en la frontera f que garanticen su representación por medio de una serie uniformemente convergente como en (..6) y que dichas propiedades impliquen que u(r, θ) = A 0 + r n (A n cos nθ + B n sin nθ) n= satisfaga (..). Dejaremos momentáneamente este problema. Supondremos que u se representa por medio de una serie uniformemente convergente como arriba y derivaremos una representación alternativa para u, la fórmula de Poisson para el disco. Aclarado este punto procedemos como sigue: π u(r, θ) = π 0 [( + r n πa n n= π = π = π 0 π 0 f(φ) dφ π 0 f(φ) dφ + = π f(φ) π 0 Pero + n= Por tanto f(φ) + π { + ) ( f(φ) cos nφ dφ cos nθ + πa n n= n= π 0 ) ] f(φ) sin nφ dφ sin nθ r n π πa n f(φ)(cos nφ cos nθ + sin nφ sin nθ) dφ 0 n= r n a n π r n a n cos n(θ φ) = + u(r, θ) = a r π π 0 0 f(φ) cos n(θ φ) dφ r n cos n(θ φ) an n= } dφ r n a n ein(θ φ) + r n a n e in(θ φ) n= ( ) ( ) = + r + a ei(θ φ) r a ( ) ( e i(θ φ) ) re i(θ φ) re i(θ φ) = + a re i(θ φ) + a re i(θ φ) = + rei(θ φ) ( a re i(θ φ)) + re i(θ φ) ( a re i(θ φ)) a ar cos(θ φ) + r = + a cos(θ φ) r a ar cos(θ φ) + r = a r a ar cos(θ φ) + r f(φ) a ar cos(θ φ) + r dφ 0 r < a, 0 θ < π (..9)

24 4 El Problema Clásico de Dirichlet en el Disco del plano R.3. Series de Fourier En la sección anterior obtuvimos soluciones al Problema Clásico de Dirichlet en el Disco del plano R, de la forma u(r, θ) = A 0 + m r n (A n cos nθ + B n sin nθ) n= donde los coeficientes A n y B n están dados por (..7) y (..8). Luego asumíamos que una suma infinita era solución también y terminábamos con una fórmula de representación integral para una solución de este tipo, la Fórmula de Poisson. En esta sección atenderemos a las condiciones bajo las cuáles esta fórmula es válida, es decir, las propiedades que el dato en la frontera debe cumplir para poder obtener esta representación en serie. Comenzaremos dando los preliminares necesarios para ello. Definición.3.. Si f : [0, π] C es una función integrable en [0, π], entonces el n-ésimo coeficiente de Fourier se define como f(n) = π f(x)e inx dx π 0 n Z y la serie formal de Fourier de f es n= f(n)e inx En ocasiones usaremos a n para los coeficientes de Fourier de f y adoptaremos la notación f(x) a n e inx n= para indicar que la serie de la derecha es la serie de Fourier de f. La N - ésima suma parcial de la serie de Fourier de f, para un entero positivo N está dada por N S N (f)(x) = f(n)e inx n= N Cuando f sea integrable en algún intervalo de longitud π y f sea π - periódica, diremos que f es integrable en el círculo. Por la periodicidad se sigue que f es integrable en cualquier intervalo de longitud π. Así, cuando impongamos esta hipótesis usaremos el intervalo que más nos convenga. Esto es válido pues los coeficientes de Fourier de f no se alteran si cambiamos el intervalo donde f está definida. Dada la

25 .3 Series de Fourier 5 definición que hemos admitido de coeficientes de Fourier; solo en esta sección asumiremos que f tome valores en C. Nuestro objetivo en este momento es encontrar condiciones bajo las cuales se de la convergencia uniforme de S N (f) a f. El siguiente lema es la piedra angular para cumplir esta meta. Lema.3.. Si f es integrable en el círculo y f(k) = 0 para toda k Z. Entonces f(θ 0 ) = 0 siempre que f sea continua en θ 0. Demostración. Supongamos que f toma valores reales y que f está definida en [ π, π], f(θ 0 ) > 0 y θ 0 = 0. Por la continuidad de f en 0 existe 0 < δ π tal que f(x) > f(0) > 0 si x < δ. Sean ɛ = 3 ( cos δ) y p(θ) = ɛ + cos θ. Si δ θ π, entonces cos θ < cos δ y obtenemos p(θ) = ɛ + cos θ < ɛ 3ɛ + cos θ < cos δ + cos θ < cos θ < cos δ así p(θ) < ɛ. ɛ < ɛ + cos θ = p(θ) + ɛ + cos θ > 0 Sea η < mín{δ, cos ( ɛ )}, si θ < η entonces + cos δ + cos θ > cos δ + 3 cos θ > 0 p(θ) = ɛ + cos θ ɛ + ɛ = + ɛ Finalmente definamos p k (θ) = [p(θ)] k y sea B > 0 tal que f(θ) B. Luego ( f(θ)p k (θ) dθ f(θ) p k (θ) dθ πb ɛ ) k δ θ π Además, por la elección de δ > 0 θ <η η θ <δ δ θ π f(θ)p k (θ) dθ 0 f(θ)p k (θ) dθ η f(0) ( + ɛ ) k

26 6 El Problema Clásico de Dirichlet en el Disco del plano R Por tanto π π f(θ)p k (θ) dθ πb Veamos que lo último es una contradicción. Como también se debe tener que π π consecuentemente f(k) = f(θ)(cos θ) k dθ = ( ɛ ) k f(0) ( + η + ɛ k si k (.3.) ) π π π π π π f(θ)e ikθ dθ = 0, k Z ( e iθ + e iθ ) k f(θ) dθ = 0, k Z f(θ)p k (θ) dθ = 0, k Z por esto (.3.) es imposible. Si f(0) < 0 aplicamos el mismo razonamiento a f para llegar a una contradicción similar y concluir que f(0) = 0. Si θ 0 0, f 0 (θ) = f(θ 0 θ) es continua en 0, por el razonamiento anterior f(θ 0 ) = f 0 (0) = 0. Así queda demostrado el caso en el que f toma valores en R. Si f(θ) = u(θ) + iv(θ), sea f(θ) = f(θ). Recordando que y observando que f(k) = π π π u(θ) = f(θ) + f(θ) f(θ) f(θ), v(θ) = i f(θ)e ikθ dθ = π f(θ)e π ikθ dθ = π f(θ)e π π ikθ dθ = f( k) π concluimos que û(k) = v(k) = 0, k Z. Aplicando lo demostrado a u y v obtenemos que f(0) = 0. Corolario.3.. Si f es continua en [0, π] y f(n) = 0, n Z, entonces f = 0. Corolario.3.. Suponga que f es continua en [0, π] y que f(n) <. Entonces la serie de Fourier de f converge uniformemente a f. Demostración. n= f(n)e inθ n= f(n) < n= Por tanto f(n)e n= inθ converge uniformemente a una función g(θ), dicha función es continua porque S N (f) lo es para cada n N. Los coeficientes de Fourier de f y g son los mismos, así (f g)(n) = 0 para cada n N, además f g es continua, entonces el corolario anterior afirma que f = g.

27 .4 Solución al Problema Clásico de Dirichlet en el Disco 7 Teorema.3.. Si f tiene segunda derivada continua en [0, π], entonces existe C > 0 tal que f(n) Cn para n suficientemente grande, y como consecuencia n= f(n) <, es decir, la serie de Fourier de f converge uniformemente a f. Demostración. Utilizando integración por partes π f(n) = [ = π f(θ)e inθ dθ 0 ] π f(θ) e inθ = π in = n 0 π 0 in 0 f (θ)e inθ = in f (θ)e inθ dθ π f (θ) e inθ 0 in [f (θ) e inθ in dθ ] π 0 π f (θ) e inθ dθ in 0 in Entonces πn f(n) = π 0 f (θ)e inθ π dθ f (θ) dθ πb 0 donde B > 0 es cota de f (θ) en [0, π]. Finalmente n= f(n)e inθ n= f(n) B Por tanto S N (f) f uniformemente en [0, π]. n= n <.4. Solución al Problema Clásico de Dirichlet en el Disco Sabemos que u(r, θ) = A 0 + m r n (A n cos nθ + B n sin nθ) n= es armónica si A n, B n R son arbitrarios. Ahora quisieramos que u(r, θ) = A 0 + r n (A n cos nθ + B n sin nθ) (.4.) n=

28 8 El Problema Clásico de Dirichlet en el Disco del plano R sea una solución al Problema de Dirichlet en el disco con dato en la frontera f, donde los coeficientes A n y B n ya no son arbitrarios, sino que se calculan como en (..7) y (..8). Como vimos, esto obliga a que f se represente por medio de la serie f(θ) = A 0 + a n (A n cos nθ + B n sin nθ) n= Sabiendo esto, usaremos los resultados sobre series de Fourier para encontrar las condiciones que debe satisfacer f para hacer válida la representación de arriba. Además, mostraremos que (.4.) es armónica en el disco y que coincide con el dato en la frontera f. Esto es algo que aún no habíamos hecho y merece especial atención. Teorema.4.. Sea f una función con segunda derivada continua en el círculo {ae iθ : 0 θ < π}, a > 0. Entonces f admite la representación en serie f(θ) = A 0 + a n (A n cos nθ + B n sin nθ) n= donde los coeficientes A n y B n se calculan como en (..7) y (..8). Además el problema { uxx + u yy = 0 x + y < a u = f(θ) x + y = a (.4.) tiene como solución a u(r, θ) = A 0 + r n (A n cos nθ + B n sin nθ) n= Y tenemos una fórmula de representación de Poisson u(r, θ) = a r π para 0 r < a, 0 θ π. π 0 f(φ) a ar cos(θ φ) + r dφ Demostración. Como f tiene segunda derivada continua en el círculo, por el Teorema.3. f(θ) = f(n)e inθ n=

29 .4 Solución al Problema Clásico de Dirichlet en el Disco 9 Observemos que r n (A n cos nθ + B n sin nθ) = rn πa n = rn πa n + rn πa n i = rn πa n rn πa n ( r n = πa n = rn ( π 0 ( π 0 ( π 0 ( π 0 ( π 0 π 0 ) f(φ) cos nφ dφ cos nθ + rn πa n ( f(φ) e inφ + e inφ) dφ ( f(φ) e inφ e inφ) dφ π f(φ)e inφ dφ + f(φ)e inφ dφ 0 π ) f(φ)e inφ dφ e inθ + a f(n)e inθ n + rn inθ f( n)e an 0 ( π 0 ) f(φ) sin nφ dφ sin nθ ) (e inθ + e inθ) ) (e inθ e inθ) i ) f(φ)e inφ dφ (e inθ + e inθ) ) f(φ)e inφ dφ (e inθ e inθ) ( r n π ) πa n f(φ)e inφ dφ 0 e inθ para 0 r a. De aquí se sigue que f(θ) = A 0 + a n (A n cos nθ + B n sin nθ) (.4.3) n= Asumiendo esta representación en serie de f ya probamos la fórmula de representación de Poisson en (..9), por lo que será suficiente mostrar que (.4.) es armónica en el disco y que coincide con el dato en la frontera f. Veamos primero la armonicidad. Definamos u m (r, θ) = m A 0 + r n (A n cos nθ + B n sin nθ) n= Cada u m es armónica por la forma en que fue encontrada. Utilicemos otra vez que f tiene segunda derivada continua. De nuevo, por el Teorema.3. f(n) < lo cual podemos reescribir como f(0) + n= ( ) f(n) + f( n) < n= Luego, los mismos cálculos con los que deducimos (.4.3) nos permiten concluir que r n (A n cos nθ + B n sin nθ) f(n) + f( n)

30 30 El Problema Clásico de Dirichlet en el Disco del plano R y como consecuencia resulta la convergencia uniforme de (u m ) a u en {re iθ : 0 r < a, 0 θ π}, dicha función debe ser armónica por ser el límite uniforme de funciones armónicas, como probaremos en un capítulo posterior (ver Teorema 4..). Finalmente u(a, θ) = A 0 + a n (A n cos nθ + B n sin nθ) = n= terminando la demostración. n= f(n)e inθ = f(θ)

31 Capítulo Ecuación de Laplace y Ecuación de Poisson En este capítulo mostraremos la solución fundamental del Laplaciano para luego resolver la ecuación de Poisson. Después de esto, nos enfocaremos en algunas de las muchas propiedades de las funciones armónicas. Como veremos, la Propiedad del valor medio revela un número considerable de consecuencias acerca del comportamiento de las funciones armónicas. Durante el desarrollo de este capítulo las identidades de Green probarán su fuerza apareciendo en pasos claves de varias de las deducciones presentadas. Como referencia a este capítulo véase [3]... Solución fundamental del Laplaciano De entre las ecuaciones diferenciales parciales más importantes se pueden destacar a la ecuación de Laplace: u = 0 (..) y a la ecuación de Poisson u = f (..) Recordemos que el laplaciano de u es u = n i= u x i x i. En (..) y (..), x Ω donde Ω es un abierto en R n y la función desconocida es u : Ω R, u = u(x). En (..) f es conocida. Como antes, una función u C (Ω) es armónica si cumple (..). 3

32 3 Ecuación de Laplace y Ecuación de Poisson Derivaremos una solución explícita de (..). Buscamos primero una solución radial, pues el laplaciano es invariante bajo rotaciones (El caso - dimensional fue hecho a detalle en la sección., para el caso n - dimensional véase [] pp. - 4). Intentemos encontrar una solución de la forma u(x) = v( x ) = v(r) con x R n y v se selecciona, si es posible, de manera que se cumpla u = 0. Notemos que Luego y x i u(x) = r x i (x) = x i u(x) = ( x i = v (r) ( n i= x i ) (x i ) = x i r v(r) = v (r) x i x i r v (r) x ) i = v (r) ( xi r x i r ( ( r xi )) xi r r ( = v (r) x i r + v (r) r x i r 3 Por lo que el laplaciano de u toma la forma + v (r) x i ) r ) + v (r) x i r u = v (r) + n v (r) r De aquí u = 0 si y solo si v + n v = 0 r Si v 0 se deduce ( log v ) v = v = n r Consecuentemente v (r) = ar n para alguna constante a, por lo que si r > 0, obtenemos v(r) = { b log r + c n = br n + c n 3 A partir de estas consideraciones damos la siguiente Definición... La función Φ(x) = π log x n = n(n )α(n) x n n 3 (..3) definida para x R n, x 0, es la solución fundamental a la Ecuación de Laplace.

33 . Ecuación de Poisson 33 Observación... A partir de la definición de Φ logramos las estimaciones para algunas constantes C, C > 0 DΦ(x) C x n x 0 (..4) D Φ(x) C x n x 0 (..5) Demostración. Probemos solamente la estimación (..4), pues (..5) se demuestra a través de cálculos semejantes. Si n = Φ(x) = x i x i π x i =, y si n 3 x i Φ(x) = DΦ(x) = ( ) x π x 4 + x = x 4 π x n n(n )α(n) x i j= x j ( ) n n = n(n )α(n) x i j= = nα(n) x n i =,,..., n. n x j n (x i ) ( n DΦ(x) = nα(n) i= x i x n ) = nα(n) x n.. Ecuación de Poisson La solución fundamental de la ecuación de Laplace es armónica para x 0 por construcción. Si cambiamos el origen a un nuevo punto y también tenemos una solución a (..), esto es, x Φ(x y) es armónica si x y. Dada una función f : R n R notamos que también x f(y)φ(x y) es una función armónica para cada y R n,

34 34 Ecuación de Laplace y Ecuación de Poisson asimismo cualquier suma finita de funciones de este tipo para distintos puntos y. Este razonamiento sugiere que la convolución u(x) = Φ(x y)f(y) dy R n (..) resolverá la ecuación de Laplace. Sin embargo, esto es falso. En efecto, como lo sugiere la estimación (..5), D Φ(x y) no es integrable, y por tanto diferenciar a través del signo de integral es incorrecto. No obstante, si f si suficientemente buena podemos decir algo sobre (..), pero necesitaremos un resultado antes. Proposición... Si f C c (R n ), entonces uniformemente en R n. f(x + he i ) f(x) h h 0 f (x) x i i =,,..., n Demostración. Hagamos i =. Sea ɛ > 0. Elegimos r > 0 suficientemente grande para que sop(f) B(0, r). Demostraremos la convergencia uniforme en B(0, r + ) y B(0, r + ) c. En B(0, r + ) c basta tomar δ = para tener dicha convergencia. Veamos en B(0, r + ). Como f tiene soporte compacto, entonces todas las parciales de f son uniformemente continuas en R n, pues se anulan en cada punto fuera de sop(f). Ahora, existe δ > 0 tal que x, y B(0, r + ) x y < δ Para cada x R n existe 0 < δ(x) < δ de manera que h < δ(x) f (x) f (y) x x < ɛ 3 f (x) f(x + he ) f(x) x h < ɛ 3 Luego, existen x, x,..., x k B(0, r + ) cumpliendo B(0, r + ) k i= B(x i, δ(x i) ) Sea x B(0, r + ), existe x j tal que x x j < δ(x j), si h < mín{δ(x ),..., δ(x k )} := δ 0

35 . Ecuación de Poisson 35 obtenemos f (x) f(x + he ) f(x) x h f (x) f (x j ) x x + f (x j ) f(x j + he ) f(x j ) x h + f(x j + he ) f(x j ) f(x + he ) f(x) h h ɛ 3 + f (x j + θ j he ) f (x + θhe ) x x donde θ, θ j (0, ), de modo que por lo que (x j + θ j he ) (x + θhe ) x j x + h θ j θ < δ(x j) h < δ 0 f (x) f(x + he ) f(x) x h < ɛ + δ(x j) < δ y δ 0 no depende de la elección de x en B(0, r + ), concluyendo la prueba. Ahora estamos listos para hallar una solución a la ecuación de Poisson. Teorema... Sea f Cc (R n ) y u(x) = Φ(x y)f(y)dy R n (..) entonces. u C (R n ). u = f en R n Por consiguiente, dicha u provee de una solución a la Ecuación de Poisson (..) en R n. Demostración.. La expresión (..) tiene sentido pues f es de soporte compacto y por tanto la integral de la derecha siempre es un número real. Notemos que, por un cambio de variable u(x) = Φ(x y)f(y)dy = Φ(y)f(x y) dy R n R n

36 36 Ecuación de Laplace y Ecuación de Poisson De aquí u(x + he i ) u(x) h [ ] f(x + hei y) f(x y) = Φ(y) dy R n h Pero f(x + he i y) f(x y) h uniformemente en la variable y R n, y así h 0 f (x y) x i u (x) = Φ(y) f (x y) dy x i R n x i i =,,..., n i =,,..., n Similarmente u f (x) = Φ(y) (x y) dy x i x j R n x i x j i, j =,,..., n y como la expresión del lado derecho es continua porque las segundas derivadas parciales de f lo son en la variable x, se sigue que u C (R n ).. Φ crece sin control cerca de 0, por esto aislaremos esta singularidad en una bola pequeña. Sea ɛ > 0, por lo recién demostrado u(x) = ( + B(0,ɛ) := I ɛ + J ɛ R n B(0,ɛ) ) Φ(y) x f(x y) dy El término I ɛ no contribuye cuando ɛ es pequeño. Si n =, usando integración en coordenadas polares (véase [5] p. 79) Si n 3 I ɛ D f L (R n )π π ɛ D f L (R n )ɛ ( + log ɛ ) I ɛ D f L (R n ) n(n )α(n) nα(n) D ɛ f L (R n ) n 0 log r r dr ɛ 0 r n rn dr

37 .3 Propiedades de las funciones armónicas 37 Usando las Fórmulas de Green para J ɛ (véase [3] pp Teorema 3 (ii)) J ɛ = Φ(y) x f(x y) dy = R n B(0,ɛ) R n B(0,ɛ) + := K ɛ + L ɛ DΦ(y) D x f(x y) dy B(0,ɛ) Φ(y) f (x y) ds(y) v v denotando el vector normal unitario interior a lo largo de B(0, ɛ). Luego tenemos Df L (R n ) log ɛ πɛ n = L ɛ π Df L (R n ) n(n )α(n) ɛ n ɛn nα(n) n 3 Entonces el término L ɛ tampoco contribuye cuando ɛ es pequeño. Continuando con integración por partes K ɛ = DΦ(y) D x f(x y) dy = = R n B(0,ɛ) R n B(0,ɛ) B(0,ɛ) Φ(y)f(x y) dy Φ (y)f(x y) ds(y) v B(0,ɛ) Φ (y)f(x y) ds(y) v dado que Φ es armónica lejos del origen. Ahora, por los cálculos de la estimación (..4) Φ (y) = DΦ(y) v = y v nα(n)ɛ n y = ɛ nα(n)ɛ n en B(0, ɛ). Así K ɛ queda K ɛ = = nα(n)ɛ n nα(n)ɛ n B(0,ɛ) B(x,ɛ) f(x y) ds(y) Haciendo ɛ 0 en I ɛ, L ɛ, y K ɛ hallamos lo requerido. f(y) ds(y) f(x).3. Propiedades de las funciones armónicas Comenzamos estudiando algunas de las Propiedades de las funciones armónicas. La Propiedad del valor medio será la que desencadene cada una de las propiedades que presentamos en esta sección.

38 38 Ecuación de Laplace y Ecuación de Poisson.3.. Fórmulas del valor medio Teorema.3. (Propiedad del valor medio). Sea Ω un abierto de R n. Si u C (Ω) es armónica, entonces u(x) = nα(n)r n u(y) ds(y) (.3.) B(x,r) para cada bola B(x, r) Ω. A la identidad (.3.) se le conoce como Propiedad del valor medio (P.V.M.). Demostración. Sea B(x, r) Ω. Definamos φ(t) = nα(n)t n u(y) ds(y) = nα(n) B(x,t) B(0,) u(x + tz) ds(z) (.3.) Como u es continua en B(x, r), existe K > 0 tal que u K en B(x, r) y por tanto u(x + tz) K si z B(0, ). Como consecuencia del teorema de convergencia dominada podemos derivar bajo el signo de integral φ (t) = nα(n) B(0,) Du(x + tz) z ds(z) Entonces, por las Fórmulas de Green (véase [3] pp Teorema 3 (i)) φ (t) = nα(n)t n Du(y) y x ds(y) t = = nα(n)t n nα(n)t n De modo que φ es constante, así que φ(r) = lím t 0 nα(n) = nα(n) De aquí conseguimos (.3.). B(x,t) B(x,t) B(x,t) B(0,) B(0,) t 0 u (y) ds(y) v u(y) dy = 0 u(x + tz) ds(z) lím u(x + tz) ds(z) = u(x) Nótese que la Propiedad del valor medio dice que u(x) iguala al promedio de u sobre la esfera B(x, r) sabiendo que B(x, r) Ω. El siguiente teorema afirma que el promedio puede de hecho tomarse en la bola sólida B(x, r).

39 .3 Propiedades de las funciones armónicas 39 Teorema.3.. Dado Ω un abierto de R n y u C (Ω). Entonces u cumple la Propiedad del valor medio (.3.) si y solo si u(x) = α(n)r n u(y) dy (.3.3) para cada bola B(x, r) Ω. B(x,r) Demostración. ( ) Supongamos que u cumple la Propiedad del valor medio (.3.) en Ω, advertimos que ( r ) u(y) dy = u(y) ds(y) ds 0 B(x,s) B(x,r) = u(x) r 0 nα(n)s n ds = α(n)r n u(x) siempre que B(x, r) Ω llegando a la representación (.3.3). ( ) Supongamos que para toda bola B(x, r) Ω se cumple u(x) = α(n)r n u(y) dy o equivalentemente u(x) = B(x,r) r α(n)r n s n u(x + sz) ds(z) ds 0 B(0,) Derivando en ambos miembros de la ecuación con respecto a r 0 = α(n)r n rn u(x + rz) ds(z) B(0,) n r α(n)r n+ s n u(x + sz) ds(z) ds Consecuentemente u(x + rz) ds(z) = α(n)r B(0,) que reescribiendo queda como = 0 n r α(n)r n+ 0 n α(n)r n+ = n r u(x) u(x) = nα(n) B(0,) B(0,) s n B(x,r) B(0,) u(y) dy = u(x + rz) ds(z) u(x + sz) ds(z) ds n α(n)r n+ α(n)rn u(x)

40 40 Ecuación de Laplace y Ecuación de Poisson que es lo mismo que u(x) = nα(n)r n u(y) ds(y) B(x,r) como deseabamos. Ahora nos referiremos a (.3.) y (.3.3) invariablemente como la Propiedad del valor medio, o bien las llamaremos Fórmulas del valor medio. Nos valemos de estas observaciones y de los cálculos del Teorema.3. para presentar su recíproco que será mejorado un poco después. Teorema.3.3. Sea Ω un abierto de R n. Si u C (Ω) satisface la P.V.M. u(x) = α(n)r n u(y) ds(y) B(x,r) para cada bola B(x, r) Ω, entonces u es armónica. Demostración. Supongamos que existe x Ω tal que u(x) > 0, por continuidad u(y) > 0 con y B(x, r) Ω para algún r > 0. Pero, definiendo φ como en (.3.) 0 = φ (r) = nα(n)r n u(y) dy > 0 B(x,r) lo cual es una contradicción. Por tanto u debe ser armónica..3.. Principio del Máximo He aquí la primera importante consecuencia de las Fórmulas del valor medio, que será transcendental para la unicidad de problemas como el de Dirichlet para ciertos dominios, sobre los cuales nos enfocaremos luego. Teorema.3.4 (Principio del Máximo). Sea Ω R n abierto, conexo y acotado. Suponga que u C (Ω) C(Ω) es armónica. Entonces. Si existe x 0 Ω tal que u(x 0 ) = máxu, entonces u es constante. Ω. máx Ω Demostración. u = máx u Ω

41 .3 Propiedades de las funciones armónicas 4. Sea M = máx u y suponga que existe x 0 Ω tal que u(x 0 ) = M. Sea r > 0 Ω suficientemente pequeño para que B(x 0, r) Ω. Luego, la Propiedad del valor medio asegura que 0 = u(x 0 ) M = α(n)r n (u(y) M) dy 0 B(x 0,r) lo que implica que u(y) = M si y B(x 0, r). Esto prueba que Ω M = {x Ω : u(x) = M} es abierto en Ω. Basta notar que Ω M = Ω u ({M}) para ver que Ω M es cerrado en Ω. Además Ω M es no vacío pues x 0 Ω M. Todo esto junto con la conexidad de Ω nos lleva a que Ω = Ω M y así u es constante.. Si u es constante esto es obvio. Si u no es constante, u no puede tomar su valor máximo en Ω, forzosamente lo hace en Ω por. Como es de esperarse, también tenemos un principio fuerte del mínimo. Teorema.3.5 (Principio del Mínimo). Sea Ω R n abierto, conexo y acotado. Suponga que u C (Ω) C(Ω) es armónica. Entonces. Si existe x 0 Ω tal que u(x 0 ) = mínu, entonces u es constante. Ω. mín u = mín u Ω Ω Demostración. Aplique el teorema anterior a u. Una aplicación del Principio del Máximo es establecer la unicidad de soluciones para ciertos problemas de valores a la frontera de la Ecuación de Poisson. Teorema.3.6 (Unicidad del Problema Clásico de Dirichlet). Sea Ω R n abierto, conexo y acotado. Suponga que f C(Ω) y g C( Ω). Entonces existe a lo más una solución u C (Ω) C(Ω) del problema de valor a la frontera { u(x) = f(x) x Ω u(x) = g(x) x Ω (.3.4) Demostración. Si u y v resuelven (.3.4), entonces u v y v u son funciones armónicas en Ω cumpliendo u v = v u = 0 en Ω, por el principio fuerte del máximo u = v.

42 4 Ecuación de Laplace y Ecuación de Poisson.3.3. Regularidad El Teorema de Regularidad afirma que toda función armónica es infinitamente diferenciable. Lo interesante es como la estructura algebraica de la ecuación de Laplace conduce a la deducción analítica de que todas las derivadas parciales de cualquier orden existen. Antes de demostrar esto, introducimos una función que nos permitirá regularizar otras funciones. Definimos η C (R n ) como ( ) Ce x x < η(x) = 0 x Aquí C > 0 es elegida de manera que η(x)dx =. R n Observación.3.. Si para cada ɛ > 0 definimos η ɛ (x) = ( x ) ɛ n η ɛ entonces η ɛ C (R n ) para cada ɛ > 0, y se satisface R n η ɛ (x) dx = sop(η ɛ ) B(0, ɛ) Definición.3.. Sea Ω un abierto de R n. Si f : Ω R es localmente integrable definimos su suavizamiento f ɛ en Ω ɛ = {x Ω : d(x, Ω) > ɛ} como f ɛ (x) = (η ɛ f)(x) = η ɛ (x y)f(y) dy = η ɛ (y)f(x y) dy x Ω ɛ Ω B(0,ɛ) Lema.3.. Sea Ω un abierto de R n. Si f : Ω R es localmente integrable, entonces f ɛ C (Ω ɛ ). Demostración. Sea ɛ > 0, x Ω ɛ, i {,,,..., n} y h > 0 tan pequeño para que x + he i Ω ɛ. Observemos que f ɛ (x + he i ) f ɛ (x) = [ ( ) ( )] x + hei y x y h ɛ n η η f(y) dy Ω h ɛ ɛ = [ ( ) ( )] x + hei y x y ɛ n η η f(y) dy Ω h ɛ ɛ para algún abierto Ω Ω. Como [ ( ) ( )] x + hei y x y h 0 η η ( ) η x y h ɛ ɛ ɛ x i ɛ

43 .3 Propiedades de las funciones armónicas 43 uniformemente en Ω, entonces f ɛ (x) = x i Ω ɛ ( η x y x i ɛ ) η ɛ f(y) dy = (x y) f(y) dy Ω x i Un argumento similar muestra que D α f ɛ (x) existe para cada x Ω ɛ y cada multi - índice α. Por tanto f ɛ C (Ω ɛ ). Teorema.3.7. Sea Ω un abierto de R n. Si u C(Ω) satisface la Propiedad del valor medio para cada bola B(x, r) Ω, entonces u C (Ω). Demostración. Sea ɛ > 0 mostraremos que u = u ɛ en Ω ɛ. Si x Ω ɛ u ɛ (x) = Ω = ɛ n = ɛ n = ɛ n η ɛ (x y)u(y) dy ( ) x y η u(y) dy B(x,ɛ) ɛ ( ɛ ( x y η 0 B(x,r) ɛ ɛ ( r ) ( η u(y) ds(y) 0 ɛ B(x,r) ) ) u(y) ds(y) dr pues η(z) = η( z ). Ahora, por hipótesis d(x, Ω) > ɛ, entonces B(x, r) Ω si 0 r < ɛ y la Propiedad del valor medio asegura que u ɛ (x) = ɛ n = u(x) = u(x) ɛ 0 ) dr ( r ) η u(x)nα(n)r n dr ɛ ( ɛ ) nα(n) η ɛ (r)r n dr ( 0 ) η ɛ (y) dy R n = u(x) esto muestra que u C (Ω ɛ ) para cada ɛ > 0, por tanto u C (Ω). Como consecuencia inmediata tenemos Corolario.3.. Sea Ω un abierto de R n. Si u C (Ω) es armónica, entonces u C (Ω). Como se podía anticipar, ya podemos mejorar el Teorema.3.3.

44 44 Ecuación de Laplace y Ecuación de Poisson Teorema.3.8. Sea Ω un abierto de R n. Si u C(Ω) satisface la P.V.M. u(x) = α(n)r n u(y) ds(y) B(x,r) para cada bola B(x, r) Ω, entonces u es armónica. Demostración. Si u cumple con estas hipótesis, entonces u C (Ω) por el Teorema.3.7 y cumple la Propiedad del valor medio. Por el Teorema.3.3, u es armónica en Ω Estimaciones para derivadas Para evidenciar la analiticidad de una función armónica derivaremos estimaciones precisas para las derivadas parciales de una función armónica haciendo uso de la Propiedad del valor medio. Teorema.3.9. Sea Ω R n abierto y acotado. Si u es armónica en Ω, entonces D α u(x 0 ) C k r n+k u L (B(x 0,r)) (.3.5) para cada bola B(x 0, r) Ω y cada multi - índice α de orden α = k, donde C 0 = α(n) C k = ( n+ nk ) k α(n) k =,,... (.3.6) Demostración. Si u es armónica también lo serán todas sus derivadas D α u para cualquier multi - índice α = (α, α,..., α n ), esto gracias a que toda función armónica es infinitamente diferenciable de acuerdo al corolario.3.. Sea B(x 0, r) Ω. Procedamos inductivamente sobre α = k. Si k = 0 u(x 0 ) = α(n)r n B(x 0,r) u(y) dy α(n)r n u L (B(x 0,r)) Si k =, gracias a las Fórmulas de Green (véase [3] pp Teorema 3 (i))

45 .3 Propiedades de las funciones armónicas 45 tenemos que u (x 0 ) x i = α(n) ( u ) r n (y) dy B(x 0, r ) x i = α(n) ( ) r n (uv i )(y) ds(y) B(x 0, r ) ( ) n r nα(n) ( ) r n ds(y) u L B(x 0, r ) ( B(x 0, r )) = n r u L ( B(x 0, r )) donde v i es la i - ésima componente del vector normal unitario a B(x 0, r ). Si x B(x 0, r ), entonces B(x, r ) B(x 0, r) Ω y así u(x) Lo cual implica que α(n) ( ) r n u L (B(x, r )) n α(n)r n u L (B(x 0,r)) de este modo u (x 0 ) x i n r u L ( B(x 0, r )) n α(n)r n u L (B(x 0,r)) = n α(n)r n u L (B(x 0,r)) n+ n α(n)r n+ u L (B(x 0,r)) i =,,..., n Ahora supongamos que la estimación (.3.5), (.3.6) es válida para cualquier multi - índice de orden menor que un entero positivo k. Sea α = (α, α,..., α n ) un multiíndice de orden k. Es claro que D α u = (D β u) xi para algún i {,,..., n} y multiíndice β con β = k. Luego estimamos D α u(x 0 ) = (D β u) xi (x 0 ) = α(n) ( ) r n (D k B(x β u) xi (y) dy 0, rk ) = kn α(n)r n (D β uv i )(y) ds(y) B(x 0, r k ) ( ) nk ) r n ds(y) D B(x β u L 0, r k ) ( B(x 0, r k )) nα(n) ( r k = nk r Dβ u L ( B(x 0, r k ))

46 46 Ecuación de Laplace y Ecuación de Poisson Si x B(x 0, r k k ), entonces B(x, k r) B(x 0, r) Ω. Por hipótesis inductiva ( D β n+ n(k ) ) k u(x) α(n) ( k k r) n+k u L (B(x, k k r)) ( n+ n(k ) ) k Combinando estas desigualdades D α u(x 0 ) nk r Probando lo requerido. α(n) ( k k r) n+k u L (B(x 0,r)) ( n+ n(k ) ) k α(n) ( k k r) n+k u L (B(x 0,r)) = nk(n+ n(k )) k k n+k rα(n)(k ) n+k r n+k u L (B(x 0,r)) k n ( n+ ) k (nk) k = (k ) n α(n)r n+k ( n+ nk ) k α(n)r n+k u L (B(x 0,r)) u L (B(x 0,r)).3.5. Teorema de Liouville Teorema.3.0 (Liouville). Toda función u : R n R armónica y acotada debe ser constante. Demostración. Sea x 0 R n y r > 0, por el Teorema.3.9 u (x 0 ) x i C r n+ u L (B(x 0,r)) C α(n) u r L (R n ) 0 i =,,..., n cuando r, por lo que Du(x 0 ) = 0 para todo x 0 R n y así u es constante. Teorema.3.. Sea f Cc (R n ), n 3. Entonces cualquier solución acotada a u(x) = f(x) x R n (.3.7) tiene la forma u(x) = Φ(x y)f(y) dy + C (.3.8) R n para alguna constante C.

47 .3 Propiedades de las funciones armónicas 47 Demostración. Sabemos que ũ(x) = Φ(x y)f(y) dy R n es una solución a (.3.7). Veamos que es acotada, sea r > 0 tal que sop(f) B(0, r) ũ(x) = Φ(x y)f(y) dy R n = Φ(x y)f(y) dy B(0,r) M Φ(y x) dy B(0,r) donde M > 0 es una cota para f en R n. Si u es otra solución acotada, entonces u ũ es armónica y acotada en R n, por el Teorema.3.0 se sigue que u = C + ũ para alguna constante C. Observación.3.. Si n =, Φ(x) = π log x no esta acotada, así que Φ(y x)f(y) dy R puede estar no acotada Analiticidad Definición.3. (Analiticidad). Una función f : R n R se dice analítica en x 0 si existe r > 0 y {f α } α R tal que si x x 0 < r. f(x) = f α (x x 0 ) α α 0 Lema.3.. Sea Ω un abierto de R n. Si u C (Ω) y B(x 0, r) Ω, entonces para x B(x 0, r) N u(x) k=0 α =k D α u(x 0 )(x x 0 ) α α! = α =N D α u(x 0 + s(x x 0 ))(x x 0 ) α α! (.3.9) para algún s [0, ] dependiendo de x.

48 48 Ecuación de Laplace y Ecuación de Poisson Demostración. Sea x 0 = (x 0, x 0,..., xn 0 ) Ω y r > 0 tal que B(x 0, r) Ω. Tomemos x = (x, x,..., x n ) B(x 0, r) y definamos g(t) = u(x 0 + t(x x 0 )) donde los valores de t varían en un intervalo abierto ( a, a) que contiene a [, ]. El intervalo ( a, a) tiene además la propiedad de que si t ( a, a), entonces x 0 + t(x x 0 ) B(x 0, r). Es claro que g C (( a, a)). La idea de la prueba es aplicar el Teorema de Taylor para funciones reales a g con puntos adecuados de ( a, a) y luego encontrar la relación entre las derivadas de g y las derivadas de u. Veamos primero cual es esta relación, la cual probaremos por inducción sobre el orden de la derivada de g. Afirmamos que Si k = g (k) (t) k! = α =k g (t) = D α u(x 0 + t(x x 0 )) (x x 0 ) α t ( a, a) α! n i= u x i (x 0 + t(x x 0 ))(x i x i 0) Supongamos que la afirmación es válida para k, probemos para k + g (k+) (t) = (g (k) (t)) = k! α u(x 0 + t(x x 0 )) n α! α (x i x i x αn x 0) α i n α =k i= = k! n α + u(x 0 + t(x x 0 )) n α! α =k i= α x αi+ x i αn x n (x i x j 0 )α j (x i x i 0) α i+ si t ( a, a). Cada multi - índice (α,..., α i +,..., α n ) proviene a lo más de los multi-índices (α,..., α i,..., α n ) (α,..., α i +,..., α n ) j= j i. (α,..., α i +,..., α n ) Entonces la constante acompañando a la derivada de u que corresponde al multi-índice (α,..., α i +,..., α n ) es ( k! α! α i! α n! + (α )! (α i + )! α n! ) + + α! (α i + )! (α n )!

49 .3 Propiedades de las funciones armónicas 49 que sumando queda ( ) αi + + α + + α i + α i+ + + α n k! = α! (α i + )! α n! k!(k + ) β! = (k + )! β! donde β = (α,..., α i +,, α n ). De este modo g (k+) (t) = β =k+ (k + )! D β u(x 0 + t(x x 0 ))(x x 0 ) β β! quedando probada nuestra afirmación. Si t = 0, lo que acabamos de probar se ve como g (k) (0) = D α u(x 0 ) (x x 0 ) α k! α! α =k Ahora apliquemos el Teorema de Taylor a g para encontrar s [0, ] tal que N g() k=0 g (k) (0) k! = g(n) (s) N! que finalmente queda N u(x) k=0 α =k D α u(x 0 )(x x 0 ) α α! = α =N D α u(x 0 + s(x x 0 ))(x x 0 ) α α! como deseabamos. Teorema.3. (Analiticidad). Sea Ω R n abierto y acotado. Si u es armónica en Ω, entonces u es analítica en Ω. Demostración. Sea x 0 Ω. Debemos mostrar que u se puede representar como una serie de potencias en una vecindad de x 0. Sea r > 0 tal que B(x 0, 4r) Ω y M = α(n)r n u L (B(x 0,r)), por el Teorema.3.9 sabemos que ( D α n+ u(x) α(n)r n u n α L (B(x,r)) r ( n+ ) α n α M r ) α si x B(x 0, r), así ( D α n+ n α u L (B(x 0,r)) M r ) α