1 Números Título naturales

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1 6 1 Números Título naturales VAMOS A CONOCER Números naturales Números romanos Sistema e numeración ecimal Descomposición polinómica Operaciones con números naturales Suma y resta Multiplicación y ivisión Propieaes e las operaciones con números naturales Propieaes conmutativa y asociativa e la suma Propieaes conmutativa y asociativa el proucto Propiea istributiva el proucto respecto e la suma Propiea funamental e la ivisión entera Jerarquía e operaciones Uso e paréntesis QUÉ NECESITAS SABER? Sumas y restas Opera: a) c) e) b) ) f) 6 : Resolución e problemas Luis gastó 13 en un libro y 20 en un CD e música. Si tenía 50, cuánto le quea?

2 La forma e contar que usamos en la actualia se basa en el sistema e numeración ecimal. Observa cuántos eos tienes en las manos; los números naturales son la ampliación e contar con nuestros 10 eos. Y

3 8 Matemáticas Y 1. Números naturales El conjunto e los números naturales se representa por la letra y se correspone con el siguiente conjunto e números: = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,, 20,, 1.000, } Aunque el 0 es una cifra que se usa para expresar números naturales, no es propiamente un número natural. Decimal Representación inoarábiga Inoarábigo Nuestro sistema e numeración procee el sistema e numeración esarrollao en la Inia y que introujeron los árabes en Europa; e ahí su nombre: sistema inoarábigo. Tenemos que saber que los ígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 no siempre se han escrito e esta manera, e hecho la representación que conocemos en la actualia proviene e la escritura árabe. Números romanos Aemás el sistema ecimal, el sistema e numeración para expresar números naturales que nos resulta más conocio son los números romanos. Este sistema utiliza letras para representar números cuya equivalencia con el sistema ecimal es la siguiente: I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = Las reglas prácticas para usar los números romanos son las siguientes: Los valores e las letras I, X y C se suman. Las letras I, X y C pueen repetirse hasta tres veces seguias. La letra M se puee poner tantas veces como haga falta. Las letras V, L y D sólo se pueen poner una vez. Si una letra está a la erecha e otra e mayor valor se suman sus valores. Si una letra está a la izquiera e otra e mayor valor se restan sus valores. Ejemplos III = = 3 VI = = 6 MV = = DCXII = = 612 CMLII = = 952 MCMLIV = = ACTIVIDADES 1. Escribe en el sistema e numeración romano las siguientes cantiaes: a) 43 b) 214 c) 132 ) 987 e) f) Escribe el valor e los siguientes números romanos: a) CII b) LIV c) CCCXXI ) MMDXLII e) MCCLIV f) XCLIV

4 1 Números naturales 9 2. Sistema e numeración ecimal El sistema e numeración romano tiene muchos problemas. Quizá el más importante es que no se puee operar con sencillez. Por ejemplo, si quisiéramos sumar los números MCCIV y CDLII, tenríamos que hacer primero la corresponencia con el sistema ecimal, luego hacer la suma y finalmente transformar el resultao a números romanos. Comprueba si el resultao es MDCLVI. Para resolver este problema se utiliza el sistema e numeración ecimal. Este sistema es posicional, lo que quiere ecir que caa ígito tiene un valor en función e la posición que ocupe. La tabla e posiciones es la siguiente:! El sistema e numeración ecimal utiliza 10 cifras: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} RECUERDA TABLA DE POSICIONES... Uniaes Centenas Decenas Uniaes Centenas Decenas Uniaes e millón e millar e millar e millar... UM Cm Dm Um C D U Tenieno en cuenta el valor e sus iferentes cifras, caa número natural tiene una escomposición polinómica que se realiza como inicamos en los siguientes ejemplos: Ejemplos = = unia e millar + 3 centenas + 2 ecenas + 4 uniaes = = ecenas e millar + 5 centenas + 6 ecenas + 7 uniaes = = uniaes e millar + 4 centenas + 2 ecenas + 3 uniaes En el último ejemplo tenemos os cifras 2; en la primera posición por la izquiera vale 2.000, mientras que en la posición tercera por la izquiera tiene un valor e 20. Vemos que el mismo ígito tiene un valor istinto epenieno e la posición que ocupa. Antes e resolver un ejercicio lee atentamente el enunciao para saber exactamente lo que se pie. ACTIVIDADES 3. Escribe la escomposición polinómica e los siguientes números: a) c) e) b) 453 ) f) Escribe el número que se correspone con caa una e las siguientes escomposiciones factoriales: a) c) b) ) Para caa uno e los números el ejercicio 3, inica a qué cifra correspone caa ígito. Y

5 10 Matemáticas Y 3. Operaciones con números naturales. Propieaes 3.1. Suma Si tengo un cesto con 14 manzanas y otro cesto con 23 manzanas, al sumar los os cestos tenré en total 37 manzanas = 37 Se utiliza la suma e números naturales cuano queremos añair os o más cantiaes. Propiea conmutativa e la suma Si cambio el oren e los sumanos la suma no varía. a + b = b + a 3.2. Resta Si en el cesto en que tenía 23 manzanas hay 12 con gusano, cuántas manzanas sanas me quean? = 11 manzanas sanas Se utiliza la resta e números naturales cuano a una cantia le queremos sustraer otra cantia Operaciones con sumas y restas Si en la misma operación tenemos sumas y restas, las operaciones se hacen e izquiera a erecha. Ejemplos = = = 8 4 = = = = = = = = = = 4 4 = = = = = 8 ACTIVIDADES 6. Realiza las siguientes sumas: a) c) e) b) ) f) Realiza las siguientes restas: a) 7 2 c) e) 8 2 b) ) f) Se cumple la propiea conmutativa para la resta e números enteros? Por qué? 9. Realiza las siguientes operaciones: a) c) e) b) ) f)

6 1 Números naturales Multiplicación En una caja caben 15 libros. Si tengo 5 cajas, cuántos libros tengo? Tenemos os alternativas: Sumar el contenio e caa caja: = 75 libros Utilizar la multiplicación. La suma anterior es equivalente a multiplicar los libros que caben en caa caja por el número total e cajas: 15 5 = 75 Propiea conmutativa e la multiplicación Si cambio el oren e los factores el resultao no varía. a b = b a 3.5. División Queremos empaquetar 30 libros en cajas e 6 libros caa una. En este caso, utilizaremos la ivisión para repartir los 30 libros en varias cajas iguales, para obtener el número e cajas que necesitamos : 6 = 5 cajas 0 5 En nuestro ejemplo no sobra ningún libro, por tanto, tenemos lo que llamamos ivisión exacta. También poría ocurrir que en vez e tener 30 libros tuviéramos 32. Tenríamos que utilizar también 5 cajas, pero sobrarían 2 libros (resto). En este caso hablaríamos e ivisión entera. Propiea funamental e la ivisión entera D r c D = c + r r < Si la ivisión es exacta: D = c Propiea funamental e la ivisión entera En una ivisión entera se cumple la siguiente iguala: Divieno = ivisor cociente + resto, con resto < ivisor ACTIVIDADES 10. Realiza las siguientes operaciones: No te precipites a la hora e resolver las activiaes, piensa siempre lo que tienes que hacer en caa paso. a) 9 72 c) e) 12 3 b) 15 6 ) f) Calcula las siguientes ivisiones: a) 50 : 10 c) 35 : 7 e) 36 : 12 b) 78 : 13 ) 615 : 15 f) 48 : En caa caja e huevos caben 7 ocenas. Cuántos huevos llevo en 3 cajas? 13. Aplica la propiea funamental e la ivisión entera a las siguientes ivisiones: a) 45 : 13 c) 63 : 17 e) 134 : 54 b) 54 : 21 ) 73 : 12 f) 98 : 26 Y

7 12 Matemáticas Y 4. Jerarquía e operaciones Juan tiene cajas e istintos tamaños: 5 cajas con 12 libros caa una, 6 cajas con 8 libros caa una y 13 cajas con 5 libros caa una. Cuántos libros tiene en total? Primer tipo e caja 5 12 = 60 libros. Seguno tipo e caja 6 8 = 48 libros. Tercer tipo e caja 13 5 = 65 libros. En total tiene = 173 libros. Si lo ponemos en una única operación, ésta sería la siguiente: = = 173 Si nos fijamos, hemos realizao primero los prouctos y luego las sumas. La regla general e la jerarquía e operaciones es la siguiente: 1. Se realizan los prouctos y las ivisiones. 2. Si hay varios prouctos y ivisiones encaenaos, éstos se operan en oren e izquiera a erecha. 3. Se realizan las sumas y las restas. 4. Si existen varias sumas o restas encaenaas, éstas se operan en oren e izquiera a erecha. Ejemplos : 2 : = 24 4 : = = = : = = = = : = 30 : = = : 3 : = 20 3 : = = = = 31 3 = Opera: a) : b) 18 : : ACTIVIDADES 15. Realiza las siguientes operaciones: a) 65 : : 5 15 : b) 24 : : Luis tiene 60 manzanas y las mete en bolsas e 5 manzanas caa una. María tiene 36 peras y las guara en bolsas e 6 peras caa una. Cuántas bolsas tienen entre los os? Resuélvelo como una única operación combinaa. 17. Tengo que recorrer los 420 km que hay e Mari a Alicante. Si ya he conucio 2 h a 120 km/h, cuántos kilómetros me quean por recorrer? Si el resto el camino lo realizo a 90 km/h, cuánto tiempo me quea para llegar?

8 1 Números naturales Uso e paréntesis Marta y Daniel tienen 36 y 60 huevos respectivamente. Cuántas ocenas tienen entre los os? Para resolver este problema tenemos os alternativas: Saber cuántas ocenas tiene caa uno y sumarlas: Marta 36 : 12 = 3 Daniel 60 : 12 = 5 Total 8 ocenas Como vimos en el apartao anterior, en una única operación sería: 36 : : 12 = = 8 ocenas Saber cuántos huevos tienen entre los os y luego iviir para calcular el número e ocenas: Total e huevos = 96 Total e ocenas 96 : 12 = 8 Con una sola operación se escribiría e la siguiente forma: ( ) : 12 Y se resolvería e la siguiente manera: ( ) : 12 = 96 : 12 = 8 ocenas Poemos observar que con la seguna alternativa, utilizano paréntesis, se realizan menos operaciones. Cuano en una operación combinaa aparecen paréntesis, lo primero que ebemos resolver son las operaciones que se encuentran en su interior. La jerarquía que utilizamos entro e los paréntesis es la misma que vimos en el apartao anterior. Ejemplos 6 (18 8) (2 + 3) 5 = = = : (2 + 8 : 2) = 72 : (2 + 4) + 16 = 72 : = = (24 : ) = 18 ( ) = = (5 2 2) + 4 (12 : ) = = 6 (5 4) + 4 ( ) = 6 (1) + 4 ( ) = = (1 + 28) = (29) = = 122 ACTIVIDADES 18. Opera: a) 6 ( ) : 4 c) 3 (5 2 2) b) 2 (7 2) 4 ) 8 : (14 5 2) Calcula el valor e las siguientes expresiones: a) ( ) : 4 2 (7 5) b) 3 (5 2 2) + 2 (7 2) 20. Realiza las siguientes operaciones y compara los resultaos: a) (6 3) 5 b) 4 (7 4) c) (16 8) : : 4 Y

9 14 Matemáticas Y 6. Propieaes con paréntesis Juan, María y Luis tienen 12, 13 y 17 años respectivamente. Cuánto suman las eaes e estos tres amigos? = ( ) + 17 = = 42 ó = 12 + ( ) = = 42 Es ecir, = ( ) + 17 = 12 + ( ) = 42 Propiea asociativa e la suma Cuano realizamos una suma con varios sumanos, el resultao es inepeniente el moo en que se reúnan las sumas. (a + b) + c = a + (b + c) Tengo 4 cajas con 15 paquetes e 50 folios caa uno. Cuántos folios tengo? = (4 15) 50 = = ó = 4 (15 50) = = Es ecir, = (4 15) 50 = 4 (15 50) = Propiea asociativa el proucto Cuano realizamos un proucto con varios factores, el resultao es inepeniente el moo en que se reúnan los prouctos. (a b) c = a (b c) ACTIVIDADES 21. Comprueba que se cumple la propiea asociativa en las siguientes sumas: a) 5 + (6 + 3) = (5 + 6) + 3 b) 12 + (13 + 8) = ( ) + 8 c) (7 + 15) + 9 = 7 + (15 + 9) ) ( ) + 23 = 17 + ( ) 22. Comprueba que se cumple la propiea asociativa en los siguientes prouctos: a) 5 (6 3) = (5 6) 3 c) (7 15) 9 = 7 (15 9) b) 12 (13 8) = (12 13) 8 ) (17 32) 23 = 17 (32 23) 23. Juan tiene 6, Antonio 13 y Paula 8. Cuántos euros tienen entre los tres? Resuélvelo e os maneras istintas aplicano la propiea asociativa. 24. Una empresa transporta leche en cajas e 12 botellas caa una. Cuántas botellas transportará esta empresa si utiliza 5 camiones y caa camión lleva 150 cajas? Resuélvelo e os maneras istintas aplicano la propiea asociativa.

10 1 Números naturales 15 Propiea istributiva el proucto respecto e la suma Anrea y Luis tienen 3 y 4 ocenas e huevos respectivamente. Cuántos huevos tienen entre los os? (3 + 4) 12 Tenemos os formas e resolverlo: Primero calculamos las ocenas que tienen entre los os y luego multiplicamos por 12 para saber el número e huevos: Galileo Galilei ijo (3 + 4) 12 = 7 12 = 84 Calculamos cuántos huevos tiene caa uno multiplicano el número e ocenas por 12 y luego sumamos los resultaos: (3 + 4) 12 = = = 84 Si nos fijamos, hemos resuelto el apartao primero aplicano la regla e los paréntesis. En el seguno, sin embargo, hemos aplicao la propiea istributiva el proucto respecto e la suma. Propiea istributiva el proucto respecto e la suma El proucto e un número por la suma (o resta) e varios números es igual a la suma (o resta) e los prouctos e ese número por caa sumano. a (b + c) = a b + a c ó (b + c) a = b a + c a a (b c) = a b a c ó (b c) a = b a c a De manera más general: a (b + c ) = a b + a c a Ejemplos (3 + 5) 7 = = = 56 6 (4 + 5) = = = 54 (7 4) 9 = = = 27 4 (9 5) = = = 16 5 ( ) = = = 100 c Las matemáticas son el alfabeto con el que Dios ha escrito el Universo. Galileo Galilei fue un astrónomo, físico, matemático y filósofo que nació en Italia en 1554 y murió en Con un telescopio construio por él, Galileo escubrió cuatro lunas e Júpiter, los cráteres e la Luna y las manchas solares, emostrano que los astros no eran tan perfectos como se pensaba hasta entonces. Aemás se io cuenta e que Venus era un planeta el Sistema Solar. Pero su mayor y más comprometio hallazgo fue escubrir que la Tierra gira alreeor el Sol y no al contrario, como se pensaba hasta entonces. ACTIVIDADES 25. Opera aplicano la propiea istributiva: a) (4 + 6) 5 b) 12 (8 3) c) 2 (5 + 4) ) (24 8) Comprueba, en las siguientes operaciones, que el resultao es el mismo si aplico la regla e los paréntesis o la propiea istributiva: a) ( ) 5 c) 4 ( ) b) ( ) 9 ) 9 ( ) 27. Resuelve aplicano la propiea istributiva: a) 6 + ( ) 4 c) ( ) 4 2 (7 5) b) 8 (14 5 2) + 3 ) 3 (5 2 2) + 2 (7 2) cy

11 16 Matemáticas Y ACTIVIDADES RESUELTAS Pasa al sistema e numeración romano o ecimal las siguientes cantiaes: a) 46 b) CCLXXXVIII Solución a) 46 = XLVI = = XL 2. 6 = = VI = = XLVI b) CCLXXXVIII = CC = = LXXX = = VIII = = 8 CCLXXXVIII = CC + LXXX + VIII = = 288 Escribe la escomposición polinómica e los siguientes números: a) 498 b) c) Solución a) 498 = centenas + 9 ecenas + 8 uniaes b) = u. e millar + 6 centenas + 8 ecenas + 7 uniaes c) = c. e millar + 5. e millar + 3 centenas + 2 ecenas Opera: a) b) c) 9 24 : : 5 Solución a) = = = 77 b) = = = = = 17 c) 9 24 : : 5 = = = = 45 5 = 40 María y Pero salen a cenar a una pizzería. María come 2 porciones a 3 la porción y Pero come 3 porciones a 4 caa una. Aemás María bebe un refresco e limón que le cuesta 1 y Pero una botella e agua que le cuesta 1. Cuánto le costará la meriena a María? Y a Pero? Cuánto gastarán entre los os? Solución María = = 7 Pero = = 13 Entre los os gastarán = 20 Aplica la propiea funamental e la ivisión entera a la ivisión 135 : 23. Solución D = 135 = 23 c = 5 r = 20 Opera: D = c + r 135 = a) 5 ( ) 9 : (6 3) b) 9 (5 3 1) (12 5) c) [12 8 (7 + 5) 6] (9 5) : Solución a) 5 ( ) 9 : (6 3) = 5 (3 + 4) 9 : 3 = = = 35 3 = 32 b) 9 (5 3 1) (12 5) = 9 (2 1) 7 = = 9 7 = 63 c) [12 8 (7 + 5) 6] (9 5) : = = [ ] 4 : = [96 72] = = = = 26 Resuelve aplicano la propiea istributiva: a) 3 ( ) b) 9 ( ) Solución a) 3 ( ) = = = = = 45 b) 9 ( ) = = = = = 117 A Inés le mana su mare a la frutería con 34. Allí compra 2 kg e peras a 2 /kg, 3 kg e tomates a 3 /kg, 5 kg e manzanas a 2 /kg y 4 kg e patatas a 1 /kg. Cuántos kg e fresas a 3 /kg porá comprar? Cuánto inero le sobrará? Solución Inés ha gastao: 2 kg e peras 2 /kg = 4 3 kg e tomates 3 /kg = 9 5 kg e manzanas 2 /kg = 10 4 kg e patatas 1 /kg = 4 Total = = 27 Le quean = 7 para comprar fresas. Diviimos 7 entre 3 /kg y miramos el cociente y el resto Poremos comprar 2 kg e fresas y sobrará 1

12 1 Números naturales 17 ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Números naturales 28. Escribe con símbolos romanos los siguientes números: a) 793 b) 83 c) ) 481 e) f) Escribe en el sistema ecimal los siguientes números romanos: a) CCCXLV c) XCVI e) CCXLIV b) CMDLIII ) MMMDCXXIV f) MMCCLXIII 30. Antonius le ijo a Marius que tenía LXIV cabras y que le regalaba VIII. Con cuántas cabras se queó Antonius? Operaciones con números naturales. Propieaes 34. Calcula los valores que faltan: 35. Opera: D c r a) 45 : 13 c) 63 : 17 e) 134 : 54 b) 54 : 21 ) 73 : 12 f) 98 : Si reparto 150 alumnos en clases e 30 alumnos, cuántas clases necesito? 37. Si en el ejercicio anterior fueran 175 alumnos, cuántos alumnos sobrarían? 38. Pon un ejemplo y explica por qué no se puee aplicar la propiea conmutativa en la ivisión. Sistema e numeración ecimal 31. Rellena una tabla como la siguiente con las cantiaes que aparecen a continuación: UM Cm Dm Um C D U 39. Cómo continúa la serie? a) 1, 3, 6, 10, 15, 21 c) 1, 2, 4, 8, 16, 32 b) 30, 27, 24, 21, 18, 15 ) 1, 2, 6, 24, 110, Calcula el valor e las letras en caa operación: a) 5 + a + 3 = 15 c) 6 c = 30 b) b = 10 ) 36 : = 12 a) 32 centenas b) 213 uniaes c) 32 centenas e millar 32. Observa la tabla y contesta a las cuestiones: Cm Dm Um C D U (1) (2) (3) a) Cuántas centenas hay en (1)? b) Cuántas ecenas e millar hay en (2)? c) Cuántas uniaes hay en (3)? 33. Escribe la escomposición polinómica e los siguientes números: a) c) 123 e) b) ) f) Jerarquía e operaciones 41. Calcula: a) ) : 7 8 b) e) 21 : : 3 c) f) : Opera: a) ) b) e) 25 : c) : 3 f) : 4 Uso e paréntesis 43. Opera y observa el resultao: 8 + (5 2) a) c) (4 3) (5 2) 8 b) ) (4 2) : 2 2 Y

13 18 Matemáticas Y ACTIVIDADES FINALES 44. Aplica la propiea istributiva y opera: a) 5 (9 5) c) (9 6) 3 b) ( ) 6 ) ( ) Opera: a) (6 4) (7 5) b) (10 5 4) 7 (8 4) : 2 c) ( ) 8 (4 2) (5 3) ) 5 + (16 8) (10 2) (14 6 3) 46. Opera: a) 6 (8 5) (4 2) 7 b) 8 + (18 10) : 4 6 (15 6) : 3 c) (13 6) (17 15) : (9 2) + 15 : 3 ) 8 (5 2) : 2 + (25 3) : Resuelve: a) ( ) 3 (10 6) : 4 b) (8 4) (9 7) c) (6 4) (8 3) (10 9 : 3) ) (16 5 3) : 8 + (4 3) (5 3) Opera: a) [5 (8 3) + (5 + 3) 6] (8 3) 5 b) 6 [6 (4 3) + (6 + 3) : 3 36 : 12] c) 7 + (9 5) [(8 3) : 5 (4 3) (6 5)] ) 9 (8 5) + [6 + (9 3) : 2 (9 4) : 5] Propieaes con paréntesis 49. Poemos efinir la propiea istributiva e la ivisión respecto e la suma e la siguiente manera: (9 6) : 3 = 9 : 3 6 : 3 = 3 2 = 1 Aplícala a estos apartaos: a) (15 + 5) : 5 b) (35 14) : 7 c) (8 4) : Resuelve: a) 4 [5 (4 3) + (5 + 4) : 3 36 : 12] (5 2) b) [15 (8 6) + (1 + 4) 6] (20 5) : 5 c) 10 (13 5) + [5 + (9 3) : 6 (15 5) : 5] ) 17 + (4 2) [(23 3) : (7 2) (6 4)] PROBLEMAS 51. Juan, Luis y Laura salen con 20, 30 y 10 respectivamente. Juan gasta la mita, Luis 13 y Laura se encuentra un billete e 20. Cuánto inero tienen entre los tres cuano llegan a casa? 52. Luis gastó 13 en un libro y 20 en un CD e música. Si tenía 50, cuánto le quea? 53. Qué números pares seguios suman 30? 54. Anrea tiene el instituto a 450 m e su casa. Si sale a las 8:15 e su casa y tara 5 min por caa 50 m, a qué hora llegará a clase? 55. Para ir e Mari a Cáiz tengo que recorrer 720 km. Cuánto tararé a una velocia meia e 120 km/h? 56. Las eaes e Luis, Pero y María suman 40 años. Si Luis tiene 16 años, qué ea tienen Pero y María si son mellizos? 57. Cuál es el valor e la siguiente cesta e la compra? 3 kg e kiwis a 3 /kg 2 kg e aguacates a 5 /kg 1 kg e naranjas a 2 /kg 2 kg e merluza a 35 /kg 4 kg e patatas a 2 caa 2kg 58. El proucto e os números es 90. Si uno es 15, cuál es el otro? 59. Sanra eica a estuiar, e lunes a viernes, 2 h al ía. Si caa mes tiene cuatro semanas, cuántas horas eica al estuio en un mes? 60. Qué altura tiene caa una e las 20 plantas e un eificio que mie 120 m e altura? 61. Luisa y Juana llevan caa una 2 paquetes e 5 botellas e 2 l e agua. Cuánta agua llevan en total?

14 1 Números naturales Con los atos el ejercicio anterior, si caa ía consumen en su casa 4 l e agua, para cuántos ías tenrán agua? 63. En la liga e baloncesto hay 18 equipos con 8 jugaores por equipo que mien, aproximaamente, 2 m caa uno. Colocaos uno encima e otro, llegaríamos al tejao e un eificio e 250 m e altura? 64. Los tres hoteles e un pueblo tienen 35, 60 y 75 habitaciones respectivamente. Si este fin e semana se espera un congreso e méicos al que acuirán 230, cuántos méicos tenrán que ormir en el pueblo e al lao por falta e habitación? 65. Si conucimos 2 h a 100 km/h, 3 h a 110 km/h y 1 h a 120 km/h, cuántos kilómetros recorreré? 66. Sara tiene que comprar os ramos e flores, uno para su mare y otro para su abuela. Caa ramo está compuesto por una ecena e rosas y caa rosa vale 10. Cuánto gastará? Si lleva 300, cuánto le sobrará? 67. Samuel ha realizao 3 series, e 2 vueltas caa una, en una pista e atletismo e 400 m. Porías ecir cuántos metros ha recorrio? 68. Jaime tiene 5 moneas e 10 cts. e euro, 10 moneas e 20 cts., 3 moneas e 50 cts., 2 moneas e 1 y 4 moneas e 2. Cuántos euros lleva en el moneero? 69. Un frutero compra 220 kg e naranjas a 2 /kg y las envasa en cajas e 4 kg caa una. El transporte, el alquiler y los empleaos le suponen un coste e 1 /kg. Si esea obtener un beneficio total e 110, a cuánto ebe vener caa caja? 70. Un pescaero pagó ayer 375 por 25 kg e lenguaos. Cuántos kg ha comprao hoy si ha pagao 450? 71. En un partio e baloncesto las canastas encestaas por los jugaores e uno e los equipos son las siguientes: 1 punto 2 puntos 3 puntos Luis Antonio Pero Morgan Peter Frey Anrés Con cuántos puntos acabó este equipo? Si el otro equipo anotó 110 puntos, quién ganó? AUTOEVALUACIÓN 1. Pasa al sistema e numeración romano: a) b) 345 c) 623 ) Pasa los siguientes números romanos al sistema e numeración ecimal: a) MMCCXLI b) LXXIV c) CDXLVII ) XXIV 3. Escribe la escomposición polinómica e los siguientes números: a) b) c) 305 ) Calcula: a) c) b) ) : Aplica la propiea istributiva: a) 6 ( ) b) ( ) 3 c) (9 5) Cuántos segunos tiene un ía? 7. Opera: a) (15 6) : b) 8 (8 5) + (9 + 2) 5 c) 6 (9 4) (7 6) ) [(5 3) 6 (3 2) 2] + (15 4) 8. Calcula las siguientes ivisiones enteras e inica el cociente y el resto: a) 865 : 34 b) : Para las ivisiones el ejercicio anterior, aplica la propiea funamental e las ivisiones enteras. 10. Javier tiene 70 y compra 2 bolígrafos y 4 carpetas. Si caa carpeta vale el oble que un bolígrafo y caa bolígrafo cuesta 3, cuánto inero gasta y cuánto le sobra? Y

15 20 Matemáticas Y MATEMÁTICAS RECREATIVAS Un poquito e historia La aritmética es la isciplina entro e las matemáticas que estuia los números naturales, enteros y racionales (estos os últimos tipos los veremos más aelante) y trata las operaciones efinias entre ellos. La aritmética ha estao presente en toas las civilizaciones y, al parecer, las primeras constancias e su esarrollo se encuentran en la antigua Babilonia y Egipto como herramienta para el comercio. Los matemáticos y filósofos griegos Pitágoras y Euclies fueron quienes ieron valor al concepto e número y sus propieaes, y Diofanto e Alejanría (siglo III a. C. aprox.) io el empujón efinitivo a la aritmética con su obra Aritmética, que fue referente e esta materia urante casi os milenios. En el siglo XVII Pierre e Fermat ( ) y en el siglo XIX Giuseppe Peano ( ) formalizaron y esarrollaron la aritmética hasta llevarla a la forma en que la conocemos en la actualia. Peano y los naturales El italiano Giuseppe Peano ( ) fue el matemático que efinió las reglas (axiomas) para poer construir los números naturales, a partir e los cuáles se pueen efinir el resto e los tipos e números El problema el cangrejo Un cangrejo tiene que cruzar una playa e 100 m. Durante el ía recorre 30 m y por la noche se piere y retrocee 20 m. Cuántos ías tarará en cruzar la playa? (Piénsalo un poco, no es tan eviente.) Mutiplicación romana Haz la siguiente multiplicación e números romanos: MDCLVI XXI

16 1 Números naturales 21 EN RESUMEN NÚMEROS NATURALES Utiliza Sistema e numeración ecimal Números romanos Operaciones Son I=1 V=5 X=10 L=50 C=100 D=500 M=1000 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Suma Resta Multiplicación División DM UM Cm Dm Um C D U Propieaes Paréntesis Jerarquía e operaciones Conmutativa e la suma y el proucto Asociativa e la suma y el proucto Distributiva el proucto respecto e la suma Funamental e la ivisión entera AMPLÍA CON P. M. GONZÁLEZ URBANEJA: Pitágoras, el filósofo el número, E. Nivola. M. MATAIX: 2πr Divulgación matemática: Números cotiianos, E. Marcombo. De la serie «Ojo matemático», el programa 6: Números, Yorkshire Television (Metrovieo escuela). Y