Def.: Trabajo es la transferencia de energía que se produce cuando una fuerza produce un desplazamiento. El trabajo es una magnitud escalar.

Transcripción

1 Tema 5

2 5.1 Trabajo mecánico En la vida cotidiana, se tiende a medir el trabajo realizado por el esfuerzo muscular que supone o por el cansancio que produce. Sin embargo, este criterio no se puede aplicar en el campo de la Física. Para que exista trabajo se necesita una fuerza cuyo punto de aplicación se mueva. Una fuerza en movimiento produce trabajo, una fuerza estacionaria, no. Def.: Trabajo es la transferencia de energía que se produce cuando una fuerza produce un desplazamiento. El trabajo es una magnitud escalar. Def.: Se denomina trabajo mecánico, W, realizado por la fuerza constante, F, que actúa sobre un cuerpo, al producto del módulo de la fuerza por el desplazamiento, x, que experimenta en la misma dirección que la fuerza F: W = F x = F (x f x 0 ) Trabajo mecánico Si la fuerza tiene la misma dirección que el desplazamiento, ésta desarrolla el máximo trabajo posible. Sin embargo, a veces la fuerza y el desplazamiento no tienen la misma dirección; en este caso, sólo realiza trabajo la componente de la fuerza paralela al desplazamiento, F x : W = F x x = F x cos La unidad del trabajo en el SI es el Julio: 1 J = 1 N m Fuerza y desplazamiento en distinta dirección Ej.: Un bloque se desplaza 4 m sobre la superficie horizontal en que se apoya al actuar sobre él una fuerza de 50 N. Calcula el trabajo realizado por la fuerza: a) si tiene la misma dirección y sentido del movimiento. b) forma un ángulo de 45º con el desplazamiento. c) forma un ángulo de 90º con el desplazamiento.

3 La fuerza aplicada a un cuerpo no siempre es constante. El procedimiento general para calcular el trabajo cuando la fuerza es variable consiste en dividir el desplazamiento en pequeños tramos, de modo que, en cada uno de ellos, se pudiera considerar que la fuerza es constante. Pero el trabajo también puede obtenerse de forma gráfica. Para ello representaremos en el eje de ordenadas cómo varía la componente de la fuerza en la dirección del movimiento, y en el eje de abscisas el desplazamiento del cuerpo. En un diagrama cartesiano fuerzadesplazamiento, el trabajo es el área encerrada entre la gráfica de la fuerza y el eje de abscisas. Trabajo realizado: A) la fuerza es variable; B) la fuerza es proporcional al desplazamiento; C) la fuerza es variable Trabajo como suma de áreas Si la fuerza es constante, el trabajo coincide con el área de un rectángulo, pero si la grafica de la fuerza es una curva, el área se calcula por aproximaciones sucesivas (integrando). Se divide el desplazamiento en tramos iguales y se supone que la fuerza es constante en cada tramo. Sumando el área de todos los rectángulos se obtiene, aproximadamente, el trabajo. Ej.: La fuerza aplicada a un cuerpo varía según el gráfico adjunto. a) Qué trabajo realiza la fuerza en cada tramo? b) Cuánto vale el trabajo total? Gráfica del ejemplo El trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento es un ejemplo característico de trabajo negativo, ya que la fuerza y el desplazamiento tienen sentido contrarios. W R = F R x cos 180º = - F R x = - m g x Fuerzas en un plano horizontal 3

4 En el caso de que el plano sea inclinado, la expresión vendrá dada por: W R = - m g cos x Si las fuerzas F o P x son mayores que F R, el trabajo resultante es positivo y existe aceleración, que provoca un aumento en la velocidad a lo largo del desplazamiento. Fuerzas en un plano inclinado Ej.: Sobre un cuerpo de 4.5 kg de masa se aplica una fuerza que lo desplaza horizontalmente con una velocidad constante de 5 m/s. El coeficiente cinético de rozamiento con el plano es Qué trabajo realiza la fuerza aplicada al cuerpo si recorre 15 m? Cuánto vale el trabajo de rozamiento? 5. La potencia Una fuerza es tanto más eficaz cuanto menor sea el tiempo que emplea en realizar un trabajo determinado. La magnitud física que relaciona el trabajo con el tiempo recibe en nombre de potencia. Def.: La potencia es una magnitud escalar que se define como el trabajo realizado en la unidad de tiempo. W P t dw P dt donde W representa el trabajo realizado en un tiempo t. donde dw representa el trabajo realizado en un tiempo infinitesimal dt. En el SI, la unidad de potencia es el vatio: 1 W = 1 J/s. El trabajo que realizan las máquinas (trabajo útil) es siempre menor que el teóricamente posible (trabajo motor o motriz), puesto que siempre existen fuerzas de rozamiento, y como hemos visto, el trabajo de rozamiento es siempre negativo. Llamamos potencia útil de una máquina al cociente: P u W t u 4

5 El rendimiento de una máquina es el cociente entre el trabajo útil y el trabajo motriz (teórico) o, lo que es lo mismo, entre la potencia útil y la potencia motriz: W W u m P P u m Ninguna máquina tiene un rendimiento del 100 %. Los motores de los coches, por ejemplo, suelen tener rendimientos inferiores al 40 %. Ej.: La cabina de un ascensor tiene una masa de 50 kg y transporta 4 personas de 70 kg cada una. Si asciende con velocidad constante hasta una altura de 4 m en 40 s, calcula: a) el trabajo realizado para subir la cabina y los pasajeros. b) la potencia media desarrollada en kw y CV (1 CV = W). 5.3 La energía Def.: La energía es la capacidad que un cuerpo o sistema físico tiene para producir trabajo. Una consecuencia importante de la definición de energía es que no podemos conocer el valor absoluto de la energía que posee un cuerpo, pero sí sus variaciones, por medio del trabajo que es capaz de realizar. La energía se mide en las mismas unidades que el trabajo, en julios. En el lenguaje corriente se habla de muchas clases de energía: eléctrica, eólica, solar, nuclear, limpia, renovable, etc. Pero un análisis más profundo nos muestra que la energía de un cuerpo pertenece siempre a una o varias de estas tres categorías fundamentales: Energía cinética: está asociada al estado de movimiento del cuerpo o sistema. Energía potencial: se debe a la posición que el cuerpo ocupa dentro de un campo de fuerzas. Energía interna: es debida a la composición y al estado del cuerpo o sistema físico. Esta última categoría fundamental es última instancia una energía de tipo cinético. <Etr> = 3/ kt, siendo k la constante de Boltzmann k =1,38x10-3 J/K 5

6 5.3.1 La energía cinética La fuerza constante F que actúa sobre el cuerpo de masa m hace que se desplace horizontalmente, con aceleración constante, una distancia x = x x 1. Teniendo en cuenta la Ecuación fundamental de la Dinámica y el concepto de aceleración en el movimiento rectilíneo y uniformemente Energía cinética de un cuerpo variado, el trabajo realizado por la fuerza es: W = F x = m a x = m (v v1 ) x x m (v v1 ) 1 mv 1 mv 1 = E c, E c,1 Un cuerpo que está en movimiento tiene energía porque es capaz de realizar trabajo; puede comunicar movimiento a otro cuerpo si choca con él. La energía cinética de la partícula, de un cuerpo, depende de su masa y de su velocidad: E cin = ½ m v Def.: La energía cinética es la energía debida al movimiento, es la capacidad de realizar trabajo que poseen aquellos cuerpos que están en movimiento. La expresión que obtuvimos anteriormente, W = E c, E c,1 = E c, recibe el nombre de Teorema de las fuerzas vivas. El trabajo realizado por la fuerza total F al desplazar un cuerpo es igual al cambio que experimenta la energía cinética de dicho cuerpo. Ej.: Un coche de masa 100 kg que se desplaza por una carretera plana u sin rozamiento a una velocidad de 7 km/h acelera hasta alcanzar una velocidad de 5 m/s. a) Qué energía cinética posee inicialmente? b) Qué trabajo realiza el motor cuando aumenta su velocidad? 6

7 Ejercicio 1. La explosión de pólvora en el cañón de un fusil origina una fuerza constante que actúa sobre el proyectil de 0 g de masa. El cañón del fusil tiene una longitud de 60 cm y la velocidad de salida del proyectil es de 50 m/s. Calcula: a) la variación dela energía cinética del proyectil. b) el trabajo mecánico realizado por la explosión de la pólvora. c) la fuerza media que actúa sobre el proyectil La energía potencial La energía potencial es la energía de posición. Un cuerpo posee energía potencial si puede realizar trabajo al cambiar de posición. Una teja situado en el tejado de una casa, un esquiador en la parte alta de la pista, un muelle comprimido, un clavo de hierro situado cerca de un imán tienen energía potencial, puesto que pueden realizar trabajo al desplazarse. Existen varios tipos de energía potencial. Vamos a comentar dos tipos que ya conocemos (más adelante ampliaremos el concepto de energía potencial): la energía potencial gravitatoria y la energía potencial elástica La energía potencial gravitatoria La energía potencial gravitatoria, E P, es la que posee todo cuerpo bajo la acción de la gravedad. El valor de la energía potencial gravitatoria terrestre viene dado por el trabajo que es necesario realizar para elevar un cuerpo a una cierta altura venciendo su peso. E P = F h = m g h El trabajo realizado por la fuerza peso es igual a la disminución de la energía potencial: Energía potencial debida a la altura W = - E POT Esta expresión sólo es válida para las fuerzas conservativas. Ej.: El consumo de agua de una ciudad es de m 3 diarios, siendo necesario elevarla a unos depósitos situados a 85 m por encima del río donde tiene lugar la captación. Sin tener en cuenta otras consideraciones, calcula: a) el trabajo diario que hay que realizar. b) la potencia de las bombas que elevan el agua. 7

8 5.3.. La energía potencial elástica Cuando se comprime o se alarga un muelle se realiza trabajo que éste acumula en forma de energía potencial. Si la deformación es pequeña, la fuerza elástica o recuperadora del muelle sigue la ley de Hooke: F = - K x, donde x es la elongación o deformación. Por tanto, la fuerza externa a aplicar tiene sentido opuesto. F externa = K x. Aunque la fuerza no es constante, podemos calcular el trabajo como el área bajo la gráfica fuerzadesplazamiento: W 0 x = ½ Kx x = ½ K x En general, si el desplazamiento tiene lugar entre dos posiciones cualesquiera del muelle, x 1 y x, obtendremos: W 1 = ½ K x - ½ K x 1 La expresión del trabajo necesario para deformar un muelle permite definir la energía potencial elástica: Def.: la energía potencial elástica es la que adquiere todo cuerpo sometido a la acción de una fuerza elástica o recuperadora. Si el cuerpo está unido a un muelle de constante K, su valor viene dado por: E POT = ½ K x Energía potencial elástica Ej.: Al colgar un cuerpo de 10 kg de un muelle vertical se produce un alargamiento de 7. cm. Calcula: a) la constante elástica del muelle. b) la energía potencial elástica almacenada. 8

9 5.3.3 Fuerzas conservativas y no conservativas La fuerza de la gravedad y la fuerza elástica acumulan energía potencial en los cuerpos, pero esto no ocurre con todos los tipos de fuerzas. Sólo las fuerzas conservativas dan origen a energía potencial. El trabajo que realiza una fuerza conservativa no depende del camino seguido por el cuerpo. Esto nos permite definir las fuerzas conservativas. La fuerza que actúa sobre un cuerpo es conservativa cuando el trabajo que dicha fuerza realiza depende sólo de las posiciones de partida y de llegada, siendo independiente del camino seguido por el cuerpo: W 1 = E P, 1 E P, = - E POT Por lo tanto, en un ciclo, el trabajo realizado por la fuerza conservativa es igual a cero. Trabajo de fuerzas conservativas El signo negativo que aparece en la ecuación del trabajo nos recuerda que cuando una fuerza conservativa realiza trabajo, W > 0, lo hace a costa de disminuir su energía potencial, E POT < 0. Por eso mismo, cuando movemos un cuerpo venciendo una fuerza conservativa que se nos opone, el trabajo que realizamos aumenta la energía potencial. Ten en cuenta que en general otras fuerzas, como el rozamiento, no son conservativas y, por tanto no darán lugar a energía potencial. El trabajo realizado dependerá del camino escogido. 5.4 Conservación de la energía Principio de conservación de la energía mecánica La energía mecánica de un cuerpo material es la suma de la energía cinética y de la energía potencial mecánica: E mec = E cin + E pot Donde la energía potencial tiene, en general, dos contribuciones: gravitatoria y elástica. Tal y como se muestra en la gráfica, las distintas formas de energía mecánica se pueden intercambiar entre sí. La suma de los diferentes tipos de energía mecánica se mantiene constante. Se trata del principio de conservación de la energía mecánica: Energía potencial energía cinética Cuando todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son conservativas, su energía mecánica se mantiene constante. 9

10 Ej.: Desde una terraza situada a 15 m de altura se lanza una pelota de 7 g con una velocidad inicial de 0 m/s formando un ángulo de 45º con la horizontal. Calcula: a) la energía mecánica de la pelota cuando se encuentra a una altura de 10 m sobre el suelo. b) la velocidad de la pelota al llegar al suelo. Ejercicios 1. A un cuerpo de 1 kg de masa se le comunica una velocidad de 1. m/s y choca contra un muelle cuya constante es 50 N/m. Calcula la máxima compresión del muelle si no existe rozamiento.. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 6 m/s. Calcula, aplicando el principio de conservación de la energía mecánica, la altura máxima que puede alcanzar. Qué altura alcanzará si se duplica la velocidad? 3. El vagón de una montaña rusa de la ilustración, junto a su ocupante, tiene una masa total de 00 kg y parte del reposo desde la primera cumbre, que está a 50 m de altura y pasa por las posiciones A, B y C (suelo). Calcula las energías cinética y potencial en los puntos A, B y C, suponiendo despreciable el rozamiento y teniendo en cuenta que el origen de energía potencial Gráfica del ejercicio 3 es el punto C (suelo) y que sólo existe la fuerza gravitatoria como fuerza conservativa Presencia de fuerzas no conservativas Cuando existen fuerzas no conservativas, la energía mecánica no se conserva. En ese caso, el trabajo procede de dos contribuciones: W total = W conservatias + W no conservativas E c = - E P + W no conservativas Por tanto, cuando actúan sobre un cuerpo fuerzas mecánicas conservativas y no conservativas, la variación de la energía mecánica coincide con el trabajo de las fuerzas no conservativas: 10

11 E c + E P = W no conservativas W no conservativas = E MEC Ej.: En el punto más elevado de un plano inclinado de 3.0 m de altura se sitúa un cuerpo de 10 kg que se desliza a lo largo del plano. Calcula: a) la velocidad del cuerpo al pie del plano. b) Si se mide esta velocidad, siempre es menor que la teóricamente prevista, siendo en este caso de 4.8 m/s. Cuánto vale el trabajo de rozamiento? Principio general de conservación de la energía Si soltamos una pelota desde una determinada altura, la energía potencial gravitatoria se transforma en energía cinética, siendo constante la energía mecánica. Pero al llegar al suelo, tras sucesivos botes, la energía cinética se termina agotando con pérdida neta de la energía mecánica inicial. Si analizamos este o cualquier otro ejemplo, vemos que la energía mecánica se ha intercambiado con otros tipos de energía no mecánica. Innumerables experiencias con las diferentes formas de la energía confirman que todas ellas son intercambiables entre sí. Sin embargo, aunque la energía se puede transformar, su cantidad total no cambia. Este es el principio general de conservación de la energía: La energía ni se crea ni se destruye, solo se transforma. Por tanto, la energía total de un sistema aislado se mantiene constante. Sin embargo, ya vimos el año pasado que la energía, aunque conserva su valor total, sufre un proceso de degradación, porque no todas las formas de energía son igual de útiles para producir trabajo. 11

12 5.5 Choques y colisiones Las leyes de conservación de la cantidad de movimiento y de la energía nos permiten resolver una gran cantidad de problemas en los que dos cuerpos, que en principio se mueven libremente, se aproximan y colisionan entre sí. Mientras que el principio de conservación de la cantidad de movimiento se conserva siempre en ausencia de fuerzas externas, no ocurre lo mismo con la energía cinética de un sistema de partículas, ya que una parte de ella se transforma en energía térmica y en energía potencial elástica interna cuado los cuerpos se deforman tras la colisión. Esto permite clasificar los choques según se conserve o no la energía cinética del sistema: Choque elástico: es aquel en el que se conserva tanto la energía cinética del sistema como su momento lineal. Choque elástico m 1 v 1 + m v = m 1 v 1 + m v ½ m 1 v 1 + ½ m v = ½ m 1 v 1 + ½ m v Choque inelástico: es el choque en el que la energía cinética no se conserva. Un caso particular de choque inelástico es aquel en el que los dos cuerpos permanecen unidos después del choque. Este tipo de choque también se llama choque perfectamente inelástico: m 1 v 1 + m v = (m 1 + m ) v Ej.: Una masa colgante en reposo de 1 kg recibe el impacto horizontal de un proyectil de 80 g que se mueve a 50 m/s. Si el choque es elástico, qué pasará después del impacto? Ejercicios 1. Se dispara un proyectil de 100 g de masa horizontalmente contra un bloque de 0 kg que cuelga del techo. Tras el impacto, el proyectil se aloja dentro del bloque y el conjunto oscila ascendiendo 40 cm. Determina la velocidad del proyectil.. Una bola de kg de masa que se mueve con una velocidad de 4 m/s, choca contra otra bola de kg que se desplaza a 4 m/s en la misma dirección, pero en sentido opuesto. Después de la colisión, cada bola posee una velocidad igual en magnitud, pero de sentido contrario a su velocidad inicial. Se trata de una colisión elástica? Justifica tu respuesta. 1

13 EJERCICIOS 1. Calcula el trabajo que se realiza al empujar un saco por el suelo a lo largo de m con una fuerza constante de 400 N, si: a) la fuerza se aplica en la dirección del movimiento. b) la fuerza forma un ángulo de 0º con la dirección del desplazamiento.. Sobre un cuerpo que se mueve en línea recta horizontal actúa una fuerza con igual dirección y sentido que el movimiento. Su valor varía según la expresión: F = a + b x, donde a y b son constantes y la fuerza se expresa en N. Calcula gráficamente el trabajo realizado por la fuerza entre x 1 = 1 m y x = 3 m. 3. Calcula el trabajo que, entre x 1 = 1 m y x = 5m, realiza una fuerza cuyo valor en la dirección del movimiento varía tal como muestra la figura anexa. 4. Se lanza un cuerpo de 4 kg para que deslice sobre el suelo. Si el coeficiente de rozamiento vale = 0.18, qué trabajo realiza la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desliza m? 5. Un bloque de 50 kg se desliza hacia abajo por un plano inclinado de 0º. Si el coeficiente de rozamiento vale = 0.15, calcula el trabajo que realiza cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo cuando este se desliza 0 cm. Comprueba que la suma de todos los trabajos coincide con el trabajo dela fuerza resultante. 6. Qué potencia tiene que ejercer una máquina que levanta 1000 kg de mineral a una velocidad media de 5.0 m/s? 7. Para elevar un cuerpo con una velocidad constante de.5 m/s se necesita un motor de. kw de potencia. Cuál es el peso del cuerpo? 8. Calcula el rendimiento de un motor de 1 kw que eleva un ascensor de 400 kg a 30 m en 15 s. 9. Un motor de 13 kw eleva un montacargas de 500 kg a 50 m de altura en 5 s. Calcula el trabajo realizado, la potencia útil y el rendimiento. 10. Cuánto vale la energía cinética de un coche de 800 kg de masa que se mueve a 35 m/s? 11. Calcula la energía producida en un año por un parque eólico de 0 MW de potencia media. Expresa el resultado en kwh. 1. Una bala que se mueve a 400 m/s tiene una energía cinética de 9.6 kj. Cuál es su masa? 13. Un cuerpo de 50 kg de masa, inicialmente en Gráfica del ejercicio 3 Gráfica del ejercicio 13 reposo, recibe el trabajo que se muestra en la figura. Cuál será la velocidad final del cuerpo? 14. Sobre un cuerpo de 00 g que sigue un MRU con v 0 = 36 km/h, comienza a actuar una fuerza constante de 6 N en la dirección y sentido del movimiento. Calcula, mediante el teorema de las fuerzas vivas y con las leyes de la dinámica, la velocidad final del cuerpo tras recorrer 8 m. 15. Un cuerpo de 10 kg reposa en el suelo. Si recibe una fuerza vertical que realiza un trabajo de 4 kj, hasta qué altura sube? 13

14 16. Un cuerpo de 10 kg está situado a 5 m de altura. Calcula su energía potencial gravitatoria y el trabajo que puede realizar cuando desciende hasta una altura de m. 17. Un muelle se alarga cm cuando colgamos de él un cuerpo de 5 kg. Qué trabajo se realiza cuando se comprime dicho muelle 1 cm? 18. Calcula el trabajo necesario para estirar un muelle de constante elástica K =.5 N/m, desde x 1 = 1 cm hasta x = cm. 19. En la cima de la montaña rusa de la figura, el coche con sus ocupantes (masa total 1000 kg) está a una altura del suelo de 40 m y lleva una velocidad de 5.0 m/s. Suponiendo que no hay rozamientos, calcula la energía cinética del coche cuando está en la segunda cima, que tiene una altura de 0 m. 0. Un cuerpo se desliza desde el reposo sin rozamiento por una vía en forma de rizo, como indica la figura. Calcula: a) la velocidad del cuerpo cuando para por el punto A. b) la velocidad del cuerpo cuando pasa por el punto B. c) Desde qué altura se debe dejar caer el cuerpo para que al pasar por el punto B el cuerpo no se caiga? Gráfica del ejercicio 19 Gráfica del ejercicio 0 1. Un bloque de 5.0 kg choca con una velocidad de 10 m/s contra un muelle de constante elástica K = 5 N/m. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie horizontal es 0.0. Calcula la longitud que se comprime el muelle.. Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo de 5 g con una velocidad de 100 m/s y vuelve al punto de partida con una velocidad de 95 m/s. Calcula la fuerza de rozamiento con el aire si alcanzó una altura de 495 m. 3. Un bloque de madera está unido a un resorte. Contra el bloque de 1.00 kg de dispara horizontalmente un proyectil de 00 g con una velocidad de 100 m/s quedando incrustado en el bloque. Si la constante elástica del muelle vale K = 00 N/m, calcula: a) la velocidad con que inicia el movimiento el sistema bloque-proyectil después del impacto. b) la longitud que se comprime el muelle. 4. Un objeto de 50 g de masa se lanza con velocidad de 3. m/s sobre una mesa horizontal. El extremo de la mesa está a una distancia de 1.4 m y el coeficiente de rozamiento cinético entre el objeto y la mesa es 0.1. a) Explica si el objeto caerá o no al suelo. b) En caso afirmativo, y suponiendo que la altura de la mesa sobre el suelo es de 0.9 m, a qué distancia caerá de la mesa? 5. Sobre un bloque de madera de kg, que se encuentra al comienzo de un plano inclinado de 30º se dispara un proyectil de 100 g con una velocidad de 100 m/s incrustándose en él. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0.10, calcula la distancia que recorre el bloque sobre el Gráfica del ejercicio 4 Gráfica del ejercicio 5 14

15 plano. 6. Dos cuerpos de masas m 1 = 00 g y m = 500 g se mueven en la misma dirección, uno al encuentro del otro, con velocidades respectivas de m/s y 1 m/s. Si el choque es perfectamente elástico, calcula la velocidad con que se mueven después. 7. Un cuerpo de kg se mueve con una velocidad de 0.5 m/s. Otro cuerpo de 1 kg se mueve en la misma dirección y sentido con una velocidad de 3 m/s. Si después del choque ambos cuerpos permanecen unidos, calcula al velocidad con que se mueven y la energía cinética perdida en el choque. 8. Un cuerpo de 4 kg se mueve sobre el eje OX en sentido positivo con una velocidad de m/s. Otro cuerpo de 1 kg se mueve con la misma velocidad hacia el origen de coordenadas formando un ángulo de 30º con el eje OX. Las partículas chocan. Calcula la velocidad con que se mueven después del choque si es perfectamente elástico. 15