LECCIÓN Nº 01 SISTEMAS COMBINACIONALES

Transcripción

1 LECCIÓN Nº 01 SISTEMAS COMBINACIONALES 1. GENERALIDADES PUERTAS LOGICAS Una puerta lógica es un elemento que recibe varias entradas binarias (variables) y, dependiendo del estado de las entradas, su salida tiene un estado u otro. 1

2 ALGEBRA DE BOOLE Se define como álgebra de Boole a un sistema matemático con un conjunto de elementos B y dos operaciones binarias cerradas ( ) y (+) siempre y cuando se cumplan los siguientes postulados: 1) Las operaciones tienen la propiedad conmutativa: 2) Las operaciones son distributivas entre sí: 3) Las operaciones tienen elementos identidad diferentes dentro de B. Estos elementos son definidos como 0 para (+) y 1 para ( ). 4) Para cada elemento, a, del conjunto B, existe otro elemento denominado complemento, a también del conjunto B, tal que se cumple: Como podemos ver, en cualquier álgebra booleana se cumple el principio de dualidad: Cualquier teorema o identidad algebraica deducible de los postulados anteriores puede transformarse en un segundo teorema o identidad válida sin más que intercambiar las operaciones binarias y los elementos identidad. Como en cualquier álgebra, podemos disponer de constantes y de variables. Así, una constante se define como cualquier elemento del conjunto B. Mientras que una variable es un símbolo que representa un elemento arbitrario del álgebra, ya sea una constante o una fórmula algebraica completa. 2

3 Funciones Booleanas Expresión Booleana Teoremas 3

4 Ejemplo 01: Demostrar dos teoremas: Ejemplo 02: Conseguir la expresión booleana de: 2. SIMPLIFICACIONES LEY DE MORGAN 4

5 1. El complemento de la suma de variables es igual al producto de los complementos de las variables. (X1 + X Xn) = X1 X2... Xn En el caso de dos variables se tiene, (X + Y) = X Y El circuito equivalente a la ecuación anterior se muestra en la figura. Símbolo lógico para la compuerta NOR. Ejemplo: Obtener una compuerta OR utilizando compuertas NAND. Y = (A + B) = [(A + B) ] = (A B ) Compuerta OR utilizando compuertas NAND 2. El complemento del producto de variables es igual a la suma de los complementos de las variables. (X1 X2... Xn) = X1 + X Xn En el caso de dos variables se tiene, (X Y) = X + Y El circuito equivalente en dos variables a la ecuación se muestra en la figura. Símbolo lógico para la compuerta NOR. Ejemplo: Obtener una compuerta AND utilizando compuertas NOR. Y = A B = [(A.B) ] = (A +B ) Circuito lógico para la compuerta AND 5

6 Ejemplo: FORMAS CANONICAS Mintérmino Si se tienen n entradas a un circuito combinacional, entonces existen 2exp(n) posibles combinaciones de las entradas. Un mintérmino es la representación de cada una de las posibles combinaciones de las entradas mediante un producto de n literales. Para implementar un mintérmino en un circuito, lo único que se necesita es una compuerta and de tantas entradas como variables se tengan y un conjunto de compuertas negadoras cuyo número variará según la cantidad de variables negadas tenga el mintérmino que se desea expresar. Maxtérmino: Si se tienen n entradas a un circuito combinacional, entonces existen 2exp(n) posibles combinaciones de las entradas. Un maxtérmino es un término suma de n literales. Para implementar un maxtérmino en un circuito lo único que se necesita es una compuerta OR de tantas entradas como literales se tengan y un conjunto de 6

7 compuertas negadoras cuyo número variará según la cantidad de variables negadas tenga el maxtérmino que se desea representar. Representación de funciones mediante Mintérminos y Maxtérminos Suponga que se tiene la siguiente tabla de verdad: Donde f es la función que se desea cumplir, f(x) se puede escribir de dos maneras: 1. Mediante una suma de los mintérminos que en la función sean iguales a 1. f(x)=x'yz + xy'z' + xyz 2. Mediante el producto de los maxtérminos que en la función sean iguales a 0. f(x)=(x'+y'+z')(x'+y'+z)(x'+y+z')(x+y'+z)(x+y+z') Simplificaciones Algebraicas 7

8 Ejemplo 01: F = A B C + A B C F = A B (C + C ) F = A B Ejemplo 02: F= (A +B) (A+B ) F = A A + A B + A B + B B F = A B + A B Ejemplo 03: F = [(A + C) (B + D )] F = (A + C) +(B + D ) F= A C + B D Ejemplo 04: F = (X + Z ) (Z + W Y) + (V Z + W X ) (Y + Z) F = (X + Z ) [Z (W + Y )] + [(V Z + W X ) (Y Z )] F = (X + Z ) (Z W + Z Y ) + V Y Z Z + W X Y Z F = W X Z + X Y Z + Z Z W + Z Z Y + W X Y Z F = W X Z + X Y Z + W Z + Y Z + W X Y Z F = W Z (1 + X) + Y Z (1 + X) + W X Y Z F = W Z + Y Z + W X Y Z F = W Z + Y Z (1 + W X ) F = Z (W + Y ) 3. METODOS TABULARIA DE KARNAUGHT Y QUINE MC CLUSKEY METODO DEL MAPA DE KARNAUGHT Dada una función booleana representada en forma de mapa de Karnaugh. Definimos casillas adyacentes a aquellas que sólo se diferencian entre sí, en el valor de una de las variables de la función (en el mapa de Karnaugh estarán juntas gráficamente). 8

9 Definimos grupo permitido de [1's] a aquel en forma de cuadrado ó rectángulo, que contenga un número de 2 n casillas, y que cada casilla que lo forma sea adyacente con otras n casillas de dicho grupo A cada grupo de los formados corresponderá a un término producto, que contendrá todas las variables que permanezcan constantes en todas las casillas apareciendo complementadas para el caso de tener valor 0 y sin complementar en caso de tener valor 1 Serán implicantes todos los términos producto obtenidos a partir de un grupo permitido de [1's] Serán implicantes primos aquellos implicantes que no puedan ser incluidos en otro grupo permitido de [1's] mayor. Serán implicantes primos esenciales aquellos implicantes primos que son imprescindibles para cubrir por completo todos los [1's] de la función 9

10 Simplificación con Mapas de Karnaugh Minimización con Mapas de Karnaugh 10

11 Ejemplo 01: METODO TABULAR DE QUINE MC CLUSKEY El empleo del mapa de Karnaugh es conveniente cuando la función a minimizar no contiene más de cinco o seis variables. En estos casos, empleamos un procedimiento sistemático, llamado el algoritmo de Quine McCluskey, el cual produce una expresión normalizada y simplificada. El algoritmo debe obedecer a un conjunto de pasos que se verán a través de un ejemplo. Ejemplo Simplificar la función de Boole usando el algoritmo de Quine-McCluskey. 11

12 1. Enumerar en una tabla todos los mintérminos en forma binaria, organizados según el número de unos que contenga. La aplicación de este paso se muestra en la tabla. Tabla. Mintérminos agrupados según la cantidad de unos 2. Entre los grupos adyacentes buscar los mintérminos que sólo difieren en un bit en la misma posición, para hallar los primeros implicantes primos. La metodología consiste en comparar el primer mintérmino con el resto de los términos del segundo grupo. Así, los términos del segundo grupo se comparan con los mintérminos del grupo siguiente. De la forma anterior, se procede con los demás mintérminos de los demás grupos. Los mintérminos utilizados se les pone una marca ( ) con el fin de ir diferenciando los términos utilizados y la variable apareada en el proceso se reemplaza con un guión para denotar la eliminación de la variable. Los términos no marcados en la tabla son los primeros implicantes primos (PIX). Los mintérminos utilizados se les pone una marca ( ) con el fin de ir diferenciando los términos utilizados y la variable apareada en el proceso anterior se reemplaza con un guión para denotar la eliminación de la variable. Tabla. Implicantes primos de la función F 1 3. Construir una tabla que enumere los implicantes primos y los mintérminos contenidos por cada implicante primo. La letra X en la tabla indica el mintérmino contenido en cada implicado por fila. Por ejemplo, en la tabla se observa en el primer renglón los mintérminos 2, 3, 6 y 7 para el primer implicante primo. El resto de la tabla se construye de forma similar. 12

13 Tabla. Selección de implicantes primos esenciales En la tabla se seleccionan las columnas de los mintérminos que contengan solamente una cruz. En este ejemplo, hay dos mintérminos cuyas columnas tienen una sola cruz: 6 y 15. Es decir, la selección del primer implicado PI 1 (A C) garantiza que el término mínimo 6 está incluido en la función. De la misma forma, el término mínimo 7 está cubierto por el primer implicado PI 7 (A' B C D). Los primeros implicados que cubren los mintérminos con una sola cruz, se llaman primeros implicados esenciales (en la tabla se encuentran marcados con un asterisco) y son indispensables en la construcción de la función. 4. Seleccionar en cada columna los mintérminos que estén cubiertos por los primeros implicados esenciales. Por ejemplo, el primer implicado esencial * PI 1 (A C) cubre los mintérminos 2, 3, 6 y 7. De la misma forma, el primer implicado esencial *PI 7 (A' B C D) cubre los mintérminos 7 y 15. Hasta el momento la selección de primeros implicados cubre los mintérminos 2, 3, 6, 7 y 15 excepto 1, 8, 9 y 10. Estos términos mínimos deben ser seleccionados por medio de otros primeros implicados esenciales. En la tabla, la selección de los primeros implicados PI 3 y PI 6 garantiza el cubrimiento de los términos mínimos 1, 8, 9 y 10. En la tabla. se muestra el proceso de selección. Tabla. Selección de primeros implicados esenciales La función simplificada se obtiene de la suma de los primeros implicados hallados: F= PI 1 + PI 3 +PI 6 + PI 7 F= (0-1-) + (-001) + (10-0) + (-111) F = A' C + B C D + A B D + B C D Ejemplo 01: Minimizar la siguiente función utilizando el método tabular de Quine-McCluskey: f(w,v,x,y,z)= m(0,1,3,8,9,11,15,16,17,19). 13

14 Solución: Para encontrar todos los cubos 1 de la función, se deben ordenar los mintérminos de acuerdo a la cantidad de unos: Al hacerlo, la tabla resultante es la siguiente: Ahora, se reagrupan los términos que difieren solo en una variable y se van marcando a medida que se reagrupan en la tabla anterior (ver asteriscos): Se tienen entonces 13 cubos-1; ahora se reagrupan nuevamente, y se marcan los términos que se puedieron reagrupar: 14

15 Se tienen por lo tanto, cuatro cubos-2 y no es posible hallar cubos de orden mayor; los implicantes primos son todos aquellos que no fueron marcados: m11,15: 01X11 m0,1,8,9: 0X00X m0,1,16,17: X000X m1,3,9,11: 0X0X1 m1,3,17,19: X00X1 Ahora, hay que hallar los implicantes primos esenciales: Luego, los implicantes primos esenciales darían la ecuación resultante: m0,1,8,9+m0,1,16,17+m1,3,17,19+m11,15 =0X00X+X000X+X00X1+01X11 4. FUNCION INCOMPLETA Decimos que una función combinacional se presenta incompleta o presenta una indeterminación en su salida para una combinación de valores de entrada, si el valor de la función para dicha combinación no está especificado. Causas: a) Porque en la definición de la función se establece explícitamente la inespecificación. b) Porque la combinación de valores que provoca la indeterminación no pueden darse nunca en las entradas. Las indeterminaciones son asignadas interesadamente, a valor 0 ó a valor 1 de forma que la implementación de la función sea la mínima posible. Una vez implementada la función ya no presentará indeterminaciones. Al aplicar sobre la función la combinación que provocaba la indeterminación, obtendremos a la salida el valor asignado a dicha combinación en tiempo de diseño. 15

16 Ejemplo 01: Diseñar un circuito cuya entrada sea un número en BCD, de cuatro dígitos y la salida sea cuando la entrada valga 1, 2, 5, 6 o 9. Solución: Ejemplo 02: La siguiente función no se encuentra especificada completamente, Minimizarla por el método de Mc Cluskey: f(a,b,c,d,e,f)= m (0,2,4,7,8,16,24,32,36,40,48)+ d(5,18,22,23,54,56) Nota: d indica los términos que son indiferentes. Solución: Al igual que con los mapas de Karnaugh, se pueden agrupar los términos indiferentes con los mintérminos: 16

17 8 cubos-2. Solamente se tiene un cubo-3: m0,8,16,24,32,40,48,56 XXX000 Los implicantes primos serían los términos no marcados a excepción de los grupos de términos indiferentes que se pueden desechar: m4,5+m5,7+m7,23+m0,2,16,18+m0,4,32,36+m0,8,16,24,32,40,48,56. 17

18 Luego, la ecuación quedaría de la forma: 5. MULTIFUNCIONES En el diseño de sistemas digitales, con frecuencia es necesario implantar más de una función de salida con algún conjunto dado de variables de entrada. Con las técnicas desarrolladas hasta ahora, podemos resolver el problema considerando cada función de manera individual. Sin embargo, podríamos compartir algunas compuertas y así obtener un diseño más sencillo y de mejor precio. Realizamos la extensión del método tabular Q-M al caso de varias salidas igual que el caso singular, con las siguientes excepciones: 1. A cada mintérmino se le asocia una señal para identificar la función donde aparece. 2. Podemos combinar dos términos (o mintérminos) sólo si ambos tienen una o más señales comunes y el término resultante de las combinaciones sólo tiene señales comunes a ambos mintérminos. 3. Podemos eliminar cada término en la tabla de minimización sólo si todas las señales de éste aparecen en el término resultante de la combinación. Ejemplo 01 Utilizar el método tabular para obtener una realización mínima de las funciones: Observe que este ejemplo ilustra también una minimización con prescindibles. Mostramos la tabla de minimización a continuación. Min Lista 1 Min Lista 2 Térms ABCD Señales Terms ABCD Señales αγ αγ PI αβγ PI γ PI β β PI 4 18

19 βγ PI αβ PI βγ β β β αβ β PI α PI βγ PI αβγ PI γ PI γ β α α PI 9 Min Lista 3 Térms ABCD Señales β PI 1 Consideremos la combinación 0, 8 de la lista 2. Este término es generado por la función f γ (.4, B, C, D) a partir de los mintérminos O y 8 de la lista 1. No podemos eliminar el mintérmino 8, pues su etiqueta completa βγ no está incluida en la etiqueta para el mintérmino 0. El mintérmino 0 esta marcado gracias al término 0, 2 de la lista 2. Es importante señalar que aunque hasta ahora nuestras tablas de minimización han tenido tres listas, en general el número de listas puede ser cualquier entero menor o igual a n + 1, donde n es el número de variables de entrada para la función de conmutación (o funciones, en el caso de varias salidas). A continuación mostramos la tabla de implicantes primos para la tabla de minimización (recuerde que no deben aparecer prescindibles en la parte superior) La tabla muestra que Pl 1, Pl 2 y Pl 5 son implicantes primos esenciales. A continuación mostramos la tabla de implicantes primos reducida; observe que hemos omitido los implicantes primos que sólo cubren prescindibles. 19

20 Es claro que el mejor conjunto de implicantes primos restantes es Pl 3 y PI 13. Elegimos Pl 3 en vez de Pl 11 porque tiene menos literales. Por tanto, las realizaciones mínimas para las tres funciones son: f α = PI 2 + PI 5 + PI 13 f β = PI 1 + PI 5 o bien f γ = PI 2 + PI 3 + PI 13 Es importante observar que Pl 2, Pl 5 y Pl 13 sólo se generan una vez, pero que se utilizan para implantar dos de las funciones, como se muestra en la figura. 6. NORMALIZACION DE FUNCIONES LOGICAS Los símbolos lógicos que se emplearon en la presente lección son los símbolos estándar que se han utilizado en la industria digital por muchos años. Estos símbolos son bastante adecua para las compuertas lógicas básicas ya que cada símbolo de compuerta tiene una forma que lo distingue de los demás y la entrada de cada compuerta tiene la misma función. Sin embargo, no proporcionan información suficiente para dispositivos lógicos más complejos corno flip-flops, contadores, 20

21 decodificadores, multiplexores, memorias y CI de interfaz para microprocesador. Estos circuitos complejos a menudo tienen varias entradas y salidas con diferentes funciones y modos de operación. En 1984 se introdujo un nuevo conjunto de símbolos estándar que proporciona información más útil sobre estos complejos dispositivos: el estándar IFEE/ANSI. Estos nuevos símbolos están siendo aceptados gradualmente por un cada vez creciente número de compañías de electrónica y fabricantes de CI. La principal diferencia en el nuevo estándar es que en lugar de usar diferentes símbolos recurre a símbolos rectangulares para todos los dispositivos. Se emplea un sistema de notación especial para indicar cómo las salidas dependen de las entradas. La figura 1 muestra los nuevos símbolos rectangulares junto con los símbolos tradicionales para las compuertas básicas. Los nuevos símbolos utilizan un pequeño triángulo recto en lugar de la pequeña burbuja que aparece en los símbolos tradicionales. Al igual que la burbuja, el triángulo indica una inversión del nivel lógico. La presencia o ausencia del triángulo también indica si una entrada o salida es activa en BAJO o activa en ALTO. Una flotación especial dentro de cada símbolo rectangular describe la relación lógica entre las entradas y la salida. El 1 del símbolo del INVERSOR denota un dispositivo con una sola entrada; el triángulo en la salida indica que éste irá al estado activo en BAJO cuando la entrada se encuentra en su estado activo en ALTO. El & dentro del símbolo AND significa que la salida estará en su estado activo en ALTO cuando todas las entradas también se encuentren en su estado activo en ALTO. El dentro de la compuerta OR indica que la salida irá a su estado activo (ALTO) cuando uno o más entradas se encuentren en su estado activo (ALTO). Figura 1: Símbolos lógicos estándar: (a) tradicionales; (b) rectangulares Los símbolos rectangulares para las compuertas NAND y NOR son los mismos que los de las compuertas AND y OR, respectivamente, con la adición en la salida de un pequeño triangulo de inversión. 21

22 Símbolos IEER/ANSI para compuertas lógicas de CI Los símbolos rectangulares también pueden emplearse para representar la lógica completa de un CI encapsulado que contenga varias compuertas independientes. Ese caso se ilustra en la Figura 2 para el CI INVERSOR hex* TTL 7404, y en la figura 3 para el CI 7420 que contiene dos compuertas. Figura 2: CI INVERSOR hex* 7404 (a) símbolo lógico tradicional; b) símbolo lógico rectangular. La anotación 1 sólo aparece en el rectángulo superior, pero se aplica en todos los bloques ABAJO. Figura 3 CI NAND 7420 con dos compuertas cada una con cuatro entradas; (a) símbolo tradicional; (b) símbolo rectangular. 7. REALIZACION DE FUNCIONES LOGICAS CON COMPUERTAS NAND Y NOR Mediante las compuertas AND, OR y NOT se puede construir cualquier función combinacional. Pero existe una sola compuerta con la cual se puede también representar cualquier función, la cual es la compuerta NAND. Esto se demuestra mostrando que las compuertas AND, OR y NOT se pueden implementar mediante compuertas NAND. La compuerta NOT es la más simple, y se logra simplemente utilizando una compuerta NAND de una sola entrada: 22

23 La compuerta AND se logra mediante dos compuertas NAND. La primera produce una función AND negada y la segunda produce la función AND que se desea: La compuerta OR se logra aplicando el teorema de Morgan mediante dos compuertas NAND utilizadas como negadores y una tercera compuerta que genera la función deseada: Si se quiere construir un circuito únicamente con compuertas NAND hacerlo directamente es un poco difícil, por lo cual lo que se debe hacer es: 1. Dibujar el circuito mediante compuertas AND, NOT y OR. 2. Dibujar un segundo circuito sustituyendo las compuertas AND, OR y NOT por su representación con compuertas NAND. 3. Se sabe que una compuerta NAND de una sola entrada se convierte en un negador, además, se sabe que dos compuertas negadoras conectadas en serie no producen ningún efecto en la función de entrada, por lo cual cuando se presente este caso las compuertas se pueden eliminar. Ejemplo 01: Si queremos representar la función ((XY)+Z)Y+Z mediante compuertas NAND lo podemos hacer siguiendo los pasos anteriores. 1. Dibujar el circuito mediante compuertas AND, OR y NOT. 2. Sustituir las compuertas por su equivalente representación mediante compuertas NAND. 3. Simplificar el circuito. 23

24 Al igual que la compuerta NAND, mediante la compuerta NOR también se puede realizar cualquier función combinacional. La representación de las compuertas AND, OR y NOT se muestra a continuación: La compuerta NOT es la más simple, y se logra simplemente utilizando una compuerta NOR de una sola entrada: La compuerta AND se logra aplicando el teorema de Morgan mediante dos compuertas NOR utilizadas como negadores y una tercera compuerta que genera la función deseada: La compuerta OR se logra mediante dos compuertas NOR. La primera produce una función OR negada y la segunda produce la función OR que se desea: 8. AUTOEVALUACION Problema 01: Analizar el siguiente circuito, indicando la expresión algebraica que realiza, la tabla de verdad correspondiente y la función en minterms y en maxterms asociada. Problema 02: Expresar en forma de minterms las siguientes funciones: Problema 03: Grafique las siguientes funciones sobre el mapa de Karnaugh. 24

25 Problema 04: Minimice las siguientes funciones mediante el mapa K. Problema 05: Minimice las siguientes funciones con términos prescindibles usando el mapa K. Problema 06: Minimice las siguientes funciones mediante un mapa K. Problema 07: Determine cuáles de las siguientes funciones son equivalentes. Problema 08: Utilice mapas K para determinar las siguientes funciones: Problema 09: a) Utilice mapas K para generar todos los implicantes primos de la siguiente red lógica de salida: b) Repita la parte (a) con la técnica de Quine-McCluskey. Compare las tablas de implicantes de salida. 25

26 Problema 10 Minimice las siguientes funciones empleando el método de Quine-McCluskey Problema 11: Minimice las siguientes funciones empleando el método de Quine-McCluskey Problema 12: Utilice el método de Quine-McCluskey para minimizar las siguientes funciones Problema 13: Minimice las siguientes funciones con varias salidas mediante la técnica de Quine 26