Cada Unidad presenta:

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2 Relacionate con tu texto! Cada Unidad presenta: La Portada: En ella encontrarás detallado los contenidos relacionados con el tema principal de la unidad. También, hallarás una pequeña biografía de un personaje que ha contribuido al desarrollo de la Matemática con investigaciones referentes al tema en mención. Al final de la página, podrás leer unos pequeños pero profundos pensamientos de grandes filósofos que te ayudarán a reflexionar sobre la vida, los mismos que aparecen con el nombre de Reflexiones. Un comienzo dinámico: Aquí tendrás la oportunidad de leer un artículo que, además de informarte sobre la utilidad del conocimiento que vas a aprender, te induce por medio de preguntas a recordar los conocimientos previos con el fin de prepararte para los nuevos. Aprendo: Trata sobre el desarrollo gradual de los contenidos de la unidad, acompañado de ejercicios que ejemplifican lo expuesto en cada uno de los temas, así como también da información complementaria donde se asocia el conocimiento matemático con datos de la vida real, además de notas curiosas tituladas como Sabías que? e información en pequeños Recuerda. Aprendo Haciendo: Comprende una amplia gama de ejercicios y problemas que te servirán para afianzar tu aprendizaje. Encontrarás temas objetivos como también de desarrollo.

3 A Practicar en casa: Tú conoces que el proceso de aprendizaje no termina en la clase, entonces en tu texto encontrarás ejercicios y problemas para que los realices en tu casa y puedas confirmar lo aprendido. Reforzando Aprendo: Al término del desarrollo del contenido de la unidad hallarás un compendio de ejercicios y problemas misceláneos que te permitirán reforzar definiciones, propiedades, teoremas y retroalimentar. Para Divertirse: Es una propuesta de matemática recreativa a través de ejercicios de habilidad mental, juegos de ingenio; donde probarás tu lógica y te divertirás encontrando soluciones originales a los problemas. Soy Competente porque...: En esta parte tienes la oportunidad de demostrar tus destrezas en casos donde la matemática tiene una aplicación real. Consta de una serie de preguntas, ejercicios, problemas de opciones múltiples y/o desarrollo. Aquí plasmarás tus logros y estarás satisfecho de haber asimilado y puesto en práctica tu conocimiento.

4 Índice Contenido Páginas PRÓLOGO... RELACIÓNATE CON TU TEXTO... ÍNDICE... 4 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS, FACTORIZACIÓN Operaciones con expresiones Algebraicas... Suma y Resta de Polinomios... Multipicación de Polinomios... -Productos Notables... -Triángulo de Pascal... División de Polinomios... -Cocientes Notables... Factorización... Factorización de un Monomio... Factorización de un Polinomio... -Factor Común... -Factor Común Monomio... -Factor Común Polinomio... -Factor Común por Agrupación de Términos... Trinomio Cuadrado Perfecto... Diferencia de Cuadrados Perfectos... Trinomio Cuadrado Perfecto y Diferencia de Cuadrados Perfectos... Trinomio Cuadrado Perfecto por adicción y substracción de expresiones algebraicas... Trinomio de la forma x +bx+c... Trinomio de la forma ax +bx+c... Cubo Perfecto de Binomios... Suma o diferencia de Cubos Perfectos... Suma o diferencia de Potencias iguales... Ejercicios de factorización combinando los métodos estudiados... Descomposición factorial por el Método de Evaluación

5 Competencias: Analítica operativa y funcional Expresiones Algebraicas: Productos y Cocientes Notables, Factorización Recapitulación de Operaciones con Expresiones Algebraicas Suma y Resta de polinomios. Multiplicación de polinomios. Productos Notables. -Cuadrado de un binomio. -Producto de la suma por la diferencia de dos expresiones algebraicas. -Producto de la forma (x+a)(x+b), (ax+b)(cx+d). -Cubo de un binomio. Triángulo de Pascal. División de Polinomios. 0 Factorización Factorización de un monomio. -Factor Común Monomio. -Factor Común Polinomio. Factor Común por Agrupación de Términos. Trinomio Cuadrado Perfecto Diferencia de Cuadrados Perfectos Trinomio Cuadrado Perfecto y Diferencia de Cuadrados Perfectos Trinomio Cuadrado Perfecto por adición y substracción de expresiones algebraicas. Trinomio de la forma x +bx+c Trinomio de la forma ax +bx+c Diferencia de potencias de exponente par Suma de potencias de exponente impar. Diferencia de potencias de exponente impar Descomposición factorial por el método de evaluación Reflexiones: La inteligencia consiste no sólo en el conocimiento, sino también en la destreza de aplicar los conocimientos en la práctica. Aristóteles Abel Niels Henrik (Finno Noruega 0) (Froland Noruega 9) Nacido en el seno de una familia muy humilde y numerosa. Fue un evidente matemático noruego, el cual se destacó por sus inventivas, una de las cuales fue encontrar la solución para la ecuación quíntica (ecuación de 5 grado). En su primer intento por encontrar la solución, Abel se dio cuenta que cometió un error y la había declarado como imposible. Luego continuó con sus intentos por resolver la ecuación utilizando métodos puramente algebraicos dando así el preámbulo para que los matemáticos de ese tiempo puedan indagar las condiciones de que se podían resolver algebraicamente ecuaciones de cualquier grado. Abel se dio cuenta además de que Euler sólo había demostrado el teorema binomial para potencias racionales, y cubrió el hueco dando una demostración válida para el caso general. También cultivó la rama del análisis matemático referente a la teoría de la Trigonometría Superior. Su nombre ha quedado vinculado, junto con el de Jacobi a uno de los más importantes descubrimientos en dicho campo. Evidencia Matemática 0mo Unidad

6 RECUERDA! Términos de la suma Sumandos a + b = c RECUERDA! De se refiere al minuendo Restar se refiere al sustraendo. RECUERDA! Suma operador Términos de la resta Operador p - q = r Minuendo Sustraendo Diferencia Ley de los signos: +. + = = = = - Aprendo Recopilación de Operaciones con Expresiones Algebraicas Suma y Resta de Polinomios En base a lo estudiado en noveno año, recordemos que para sumar o restar polinomios, debemos tener en cuenta lo siguiente: Ordenar los polinomios, por lo general de forma descendente (de mayor a menor). Sumar o restar verticalmente. Para ello, ubicaremos los polinomios uno debajo de otro, dejando en columna los términos semejantes. Sumar o restar horizontalmente. Para ello, agruparemos los términos semejantes. Desarrollar las sumas o diferencias de términos semejantes, para llegar así al polinomio resultado. Ejemplos a) Sumar: (a 4 b c a b - 0.b a c) + (5 ba - a 4 c b ) + (-7ca b a b + 9-0a 4 b c ) Ordenamos los polinomios de forma descendente respecto de a, en orden alfabético y procedemos a ubicarlos verticalmente, somo sigue: a 4 b c a b c - a b 5 - a 4 b c - a b a 4 b c - 7 a b c + a b + 9-5a 4 b c a b c -- a b b) Restar - x 4 y x y x y + -0x 4 y de -5y x x y yx 4 Ordenamos los polinomios de forma descendente respecto de x considerando el orden alfabético. Restar - x 4 y -0x 4 y x y x y + de -5x 4 y x y x y Lo anterior es equivalente a: - - x 4 y -0x 4 y x y x y x 4 y x y x y x 4 y x y x y x 4 y + 0x 4 y x y x y - 4 (- 5x 4 y + x 4 y + 0x 4 y ) x y x y x y x y + (0 - ) 4 (x 4 y ) x y + () Reduciendo términos semejantes 5 x 4 y x y + Suprimiendo paréntesis Multiplicación de Polinomios Suprimiendo paréntesis Agrupando términos semejantes En la multiplicación de polinomios, debemos recordar lo siguiente: Ordenar los polinomios, preferible de forma descendente. Aplicar la propiedad distributiva de dos formas: Horizontal: Cada uno de los términos del primer factor se multiplican por todos los términos del segundo factor.

7 Aprendo Haciendo #. Contesta V de ser verdadero o F de ser falso: a) La suma de dos expresiones algebraicas enteras, es otra expresión algebraica entera. b) El producto de dos expresiones algebraicas irracionales, puede dar una expresión algebraica racional. c) El binomio de la forma (a+b) n, tiene n - términos en su desarrollo. d) El desarrollo de la forma (a - b), tiene todos sus siete términos positivos. e) El producto de (x - a )(x + a ) es igual a un entero positivo, si y solo si 0<a<x, a, x X Z f ) El cuadrado de x posee un término x independiente igual a -.. Encierra en un círculo el literal correcto: a) x +x++( - x - )+x+ es igual a: a. (x+) b. (x - ) b) (x +x+)(x+) es igual a: a. (x - ) b. (x+) c) x - 4y es el resultado de: a. (x+y)(x - y) b. (x+y)(x - y) d) (x+) --. (x+) es igual al: a. Elemento neutro de la multiplicación de números reales. b. Inverso multiplicativo de - e) En el desarrollo de w, el término independiente puede ser expresado como: a b. (. ) -- f ) (z 4 +z +z - z - ) - (z - 4) + 0z z es igual a: a. z z +z +z b. z 4 +z +z. Resuelve las siguientes sumas y productos de polinomios: a) ( - 0a+5b - 4a +b) b a - a 5 b) ( -4xy + y - 0) + ( - y + 0xy -5) - (- y -) c) - 0w x w (4-5w) 4 d) - x 4 + x x x x x 4 e) ( - x 4 + x + ) + ( x - ) ( - x + ) w f ) - w 5 + w ( - w+ ) ( - w+) g) - z 5 + z z + z - ( z - 7z + ) h) ( - 4y 4 - y + y 5 - y + 7 )( y + - 4y ) i ) - 0c 4 - c c c 4 c c - j ) - { - [ - 0x + y - ( - x+y)] - } + (x+y)(x - ) k) x x x x - x 4 (x +) y y 4 y 5 y 5 y l ) - ( - 4xy + )(x+)(x +x - 4)(+x ) m) - { - [x y - (5yx +x y)](x - y)} n) (z - )(z+5)(z+)(z - 7) o) (w+)[- 4w +5w - (- w +7w - w)] p) (5p - q)(p - pq+q )(p+7q) q) (m +n )(m - n) + (m - n )(m+n) + m 4 - n 4 4. Coloca un S en el cuadro de la respuesta correcta: a) El término central en el desarrollo de (x+y) es igual a: 4xy 4x y b) El término independiente en el desarrollo de (- x +4) es: múltiplo de múltiplo de c) El máximo exponente en el desarrollo de (- x+4+x - x - ) 4 es igual a: d) Los exponentes positivos de x en el desarrollo de x, tienen el siguiente orden: x,5,4,4, e) Los términos centrales en el desarrollo de ( - 4x+) 7 son: 90x 4, -40x x, -40x Evidencia Matemática 0mo Unidad

8 A practicar en casa #. Encierra en un círculo el literal incorrecto: a) La suma de polinomios racionales es conmutativa. b) En la diferencia de polinomios, el minuendo es siempre el primer término. c) El producto de polinomios cumple con la propiedad asociativa. d) La expresión (x-) x + representa una operación con dos términos. e) El producto entre dos polinomios es otro polinomio. f ) El elemento neutro de la multiplicación es igual a (-) 0.. Con ayuda del cuadro, completa las siguientes igualdades: x +x x +x 4x - 5x x 4 x - x - 7 a) x + x x = x - 4 b) - ( x + x + 4x ) + = x - x c) x + x - x + = x +x d) - x + 4x++0.x+0 + = - x x e) - 4x - x = - x - 9 f ) x x x + x = x 4. Resuelve las siguientes operaciones de suma y multiplicación de polinomios: a) - x 4 + x + x 4 - x + x - x + 0x + 4 y y y y y b) - y y 4 5 c) - 4m 4 n - mn + 5m 4 n + 9n m - 0n m 4 z 4 z 5 d) - - 4z z - - ( - z + z 4 + 0) e) -4ab +0ba - { - [ -b (b -- + a) +4a b]} -ba w m-- w m f ) (5w m+ - w m+ ) w m-- + w m w m g) x x 4 x 5 x x 4 x 5 (x -- + ) h) (x - xy + y )(x - y)(x - x) i ) - z + 4z z (z - )(z + ) j ) (x+) - (x - )(x - )(x - ) m m k) m n n + m n n -- m - n l ) ( - 0z + z - ) + (z+)(z - ) + (z - )(z) 4. Resuelve los siguientes productos notables: a) ( x - y) b) (x - 5) c) (x - )(x+) d) ( x + )(x - ) b e) a a c c b f ) ( - x+)( - 4x+5) g) (x - 5y) h) (x - a )(x - b ) q) (a+b - c)(a+b+c) 4 i ) y z + y z r ) x y x y 5. Resuelve los siguientes problemas: j) x x k) (x - ) (x+ - ) l ) (w - 4)(w - 4) m) x x 4 n) (-x+ )( +x) o) (z - 4) [- (-z - 4)] p) (4a - 5ab+a ) a) Miguel posee x 4 +x +x - libros en su biblioteca. Prestó x 4 - libros a su amigo, a cambio de x +5 libros. Cuántos libros tiene ahora Miguel? b) Un terreno rectángular mide y - y + de base y w - y de altura. Halla el área del terreno. c) Un inversionista tiene un capital inicial de x+ dólares. Si al final de cada mes, su capital se multiplica por la cantidad que tenia el mes anterior. Cuánto tiene al cabo de tres meses? Nota: Utiliza el triángulo de Pascal en la resolución. d) En el desarrollo (x+x -- ) - Cuántos términos se obtienen? - Cuál es el valor del término independiente? - En qué valor constante disminuyen los exponentes de los términos? e) Halla el área de la siguiente región sombreada: x b = a+ 7 Destrezas: Sumar, restar y multiplicar polinomios. Identificar la forma de un producto notable y aplicar las reglas. Desarrollar un binomio aplicando el Triángulo de Pascal.

9 Soy competente porque... Leo, analizo e interpreto: Los Nutricionistas utilizan el valor dado por la relación entre la estatura y la masa de una persona por lo general adulta, para advertir problemas de sobrepeso o de infrapeso. A dicha relación se la denomina Índice de Masa Corporal (IMC) y es utilizada como indicador nutricional desde principios de 90. Para determinarlo se utiliza la siguiente fórmula: IMC = masa (altura) Donde la masa está dada en kilogramos y la altura en metros. Por ejemplo una persona pesa 0 kg y mide.5m, entonces el IMC será: IMC = kg =.04 kg/m (.5m) La siguiente tabla muestra los rangos de IMC y el estimado de peso para una persona entre 5 y 4 años: IMC Criterio x<.5 Ingreso.5 x <.5.5 x < x < x < 0 Infrapeso Bajo peso Peso Normal Sobrepeso Obesidad Mórbida: Hace referencia a personas que están a 45kg por encima de su peso corporal ideal. Si no se trata puede causar enfermedades como diabetes, hipertensión, enfermedades car- 0 x < 40 Obesidad premórbida x 40 Obesidad mórbida diacas, etc.. Contesto C de ser correcto o I de ser incorrecto: a) El Índice de Masa Corporal es un indicador del estado emocional de la persona. b) Si m = 75kg y h =.m, entonces: ICM = b) El IMC sirve como un indicador de peso para 0 IMC < 40 los nutricionistas. 5.5 IMC < 0 c) Para determinar el IMC se reemplaza la masa La persona sufre de obesidad mórbida en gramos y la altura en metros. N.A. d) La obesidad mórbida se refiere a personas que están a 70kg por encima de su peso corporal c) Si m = 00lb y h = 50cm, entonces: ideal. e) El IMC corporal es directamente proporcional m = 44. kg a la masa. IMC = 0.7 f ) Si aumenta la altura de una persona y su masa. IMC <.5 se mantiene constante, entonces el IMC habrá disminuido. (. Encierro en un círculo la respuesta correcta donde m = masa y h = altura. ).5 IMC < 0.5 N.A. a) Si m = 50kg y h =.7m, entonces: IMC = IMC <.5 La persona tiene un peso normal La persona sufre de sobrepeso N.A. d) Si IMC = 7, entonces la persona tiene: infrapeso bajo peso peso normal sobre peso N.A. Evidencia Matemática 0mo Unidad