INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA INGENIERIA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA MODELADO Y ANÁLISIS ELECTROMAGNÉTICO DE UNA ESTRUCTURA GUIADA UTILIZANDO EL MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO PARA TELECOMUNICACIONES DE ALTA VELOCIDAD Proyecto de Investigación que presentan Gerardo Allende Alba Eduardo De los Santos Mendoza Para Obtener el Grado de Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica Director del Proyecto: Dr. Mauro Alberto Enciso Aguilar. México D.F. Diciembre 2007

2 ii JUSTIFICACION El aumento en la demanda de alta velocidad en las telecomunicaciones ha traído como consecuencia un incremento en la tasa de transferencia de datos requerida en la comunicación entre los dispositivos electrónicos y por lo tanto de las frecuencias de operación de los mismos, que alcanzan e incluso sobrepasan aquellas del orden de las microondas y de las ondas milimétricas. Este fenómeno representa un reto importante para las tecnologías de fabricación de circuitos, debido a los efectos no deseados e intrínsecos de los materiales empleados en su construcción y de las interconexiones entre los dispositivos electrónicos a altas frecuencias. En el presente trabajo se analiza de forma cualitativa una propuesta de sustitución a las interconexiones electrónicas utilizadas actualmente, basada en una guía de onda de placas planas paralelas, mediante simulaciones y utilizando el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo.

3 iii OBJETIVO Modelar una estructura guiada de placas paralelas con índice de refracción variable y simular la propagación electromagnética en dicha estructura para emplearse en tarjetas de circuito impreso a frecuencias de operación superiores a 10 GHz. OBJETIVOS PARTICULARES Emplear el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo para discretizar las ecuaciones de Maxwell y obtener la distribución discreta de los campos eléctrico y magnético en una guía de onda placas planas paralelas. Modelar la guía de onda de placas planas paralelas. Analizar la propagación electromagnética en la guía de onda de placas planas paralelas en el modo transversal magnético 1. Implementar en código computacional el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo para la estructura guiada propuesta. Simular la propagación electromagnética en la estructura guiada propuesta a una frecuencias de operación de 11 GHz y 55 GHz.

4 iv RESUMEN En este trabajo se describe una aplicación del método de diferencias finitas en el dominio del tiempo para simular la propagación electromagnética en una estructura guiada inmersa en sustratos de índices de refracción constante y variable. Dicha estructura guiada es modelada tomando como base una guía de onda de placas planas paralelas y es propuesta como una tecnología alternativa a las interconexiones electrónicas en placas de circuito impreso cuya frecuencia de operación se encuentra por arriba de los 10 GHz. La estrategia del método de diferencias finitas se basa en escribir las ecuaciones diferenciales de Maxwell en una formulación discreta en el espacio y tiempo para trasladar dicha formulación a un algoritmo que pueda ser resuelto numéricamente por medio de un código computacional. Además, este trabajo pretende motivar a los estudiantes hacia la simulación de fenómenos electromagnéticos ondulatorios. Por medio de cualquier lenguaje computacional puede generarse un código que posteriormente permita obtener animaciones que simulen las diferentes condiciones de las ondas electromagnéticas en su propagación a través de estructuras guiadas.

5 v Padres Hermanos Amigos Profesores Instituto Politécnico Nacional... Gracias.

6 vi Agradecimientos Agracedecemos de manera sincera a todas las personas que sin dudar nos proporcionaron su ayuda en todo momento. Agradecemos a nuestro asesor, Dr. Mauro Alberto Enciso Aguilar por sus valiosos consejos y su siempre oportuna atención para la realización de este trabajo, además de habernos brindado la confianza necesaria para seguir adelante. Al Ing. José Ricardo García por su siempre atenta disposición para ayudarnos en la solución de varios problemas relacionados con el presente trabajo, así como al M. en C. Manuel Alberto Benavides cuyo trabajo estableció bases importantes que hicieron posible la realización de este trabajo. Agradecemos a todos los buenos profesores de nuestra escuela que, con una labor docente excepcional, marcaron nuestras personas y nos proporcionaron armas para continuar en nuestro camino. Y, con profunda emoción, agradecemos a nuestras familias y amigos cuyo apoyo incondicional nos ayudó a mirar siempre hacia adelante aún ante las vicisitudes que se presenten. Gerardo Allende Alba Eduardo De los Santos Mendoza

7 vii Cada paso y cada triunfo en la vida han sido siempre gracias a ustedes: Margarita y Artemio, mis más grandes soportes y el mejor ejemplo de trabajo. Todo esto no sería sin ustedes. Mi gratitud a mis abuelos, en cuyos senderos mis padres trazaron el suyo y que han de marcar por siempre el mío. Gracias a mi luz, mi esperanza y mi fortaleza. El sostén imbatible en cada uno de mis días... Verenice. Gracias a mis hermanos, mi apoyo incondicional ante todo. Gracias a mis amigos y a mis buenos profesores, cuya influencia en mí me han convertido en una mejor persona. Mis gracias a la vida por darme la posibilidad de lograr una de mis metas más importantes. Aquí comienza todo. Gerardo Allende Alba

8 viii Muchas son las personas que han contribuido en mi formación y a quienes quiero expresar mi gratitud por el apoyo y confianza que me han prestado de forma desinteresada. Todo este trabajo nunca hubiera sido posible sin el amparo incondicional de mis padres: Donato y Felicia, por su ejemplo y constante apoyo. Así como mi hermano Alejandro, gracias por tu comprensión y cariño. Esto es un logro del fruto de su enseñanza y también es su premio. No puedo olvidar a mis compañeros y amigos con los cuales he compartido incontables horas de trabajo. Gracias por los buenos y malos momentos, por aguantarme y por escucharme. Gracias a la vida por dejarme vivir y orientar mis pasos hacia el éxito. Eduardo De los Santos Mendoza

9 Este trabajo fue escrito usando el sistema de composición de textos L A TEX2ε ix

10 Una gran filosofía no es la que instala la verdad definitiva, es la que produce una inquietud. Charles Péguy x

11 ÍNDICE GENERAL 1.. El método de diferencias finitas en el dominio del tiempo Introducción Formación de las ecuaciones de diferencia Serie de Taylor Notación en diferencia finita Resumen Expresión de las ecuaciones de Maxwell mediante el método DFDT Ecuaciones de Maxwell en forma diferencial Formulación en tres dimensiones Análisis de propagación electromagnética en una dimensión utilizando el método DFDT Algoritmo de Yee Formulación en el espacio libre para tres dimensiones Determinación del tamaño de la celda espacial Estabilidad numérica Ejemplo del calculo del límite de estabilidad Dispersión numérica Condiciones de frontera de absorcíon Fuentes numéricas Funcionalidad de la fuente Fuente dura Fuente suave

12 Índice general Recursos Computacionales Resumen Modelado de una estructura guiada inmersa en dieléctrico con pérdidas Introducción Guía de onda de placas planas paralelas Modo Transversal Magnético (TM) Modo Transversal Eléctrico (TE) Propagación electromagnética en un medio dieléctrico con pérdidas Modelado de un medio dieléctrico con pérdidas Discretización del modelo de un medio dieléctrico con pérdidas Características de una estructura guiada inmersa en material dieléctrico Análisis de reflexión y transmisión de energía electromagnética Resumen Simulación mediante el método DFDT Análisis de propagación electromagnética en la estructura guiada mediante el método DFDT Implementación del método, experimentación y resultados Experimentación con sustrato dieléctrico de índice de refracción constante Experimentación con sustrato dieléctrico de índice de refracción variable Análisis de resultados Resumen Conclusiones y trabajos futuros Trabajos Futuros

13 Índice general 3 Apéndice 91 A.. Unidades Gaussianas B.. Código computacional

14 ÍNDICE DE FIGURAS 1.1. Definición de una derivada discreta Cuadrícula basada en nodos de una dimensión Cuadrícula basada en nodos de dos dimensiones Cuadrícula basada en nodos de tres dimensiones Escalonamiento de las componentes de campo en la dirección z Representación de las componentes E x y H y en forma discreta espacial Cálculo de Hy n+1 (k +1/2) y Ex n+1/2 (k) a partir de sus vecinos más cercanos en espacio y tiempo Posición de las componentes vectoriales de campo eléctrico y magnético en una unidad de célula cúbica de una malla espacial de Yee de dimensiones x por y por z [4] Geometría de una guía de onda de placas planas paralelas Esquema de una estructura guiada basada en una guía de onda de placas planas paralelas inmersa en sustrato dieléctrico con pérdidas Componente Ez vista en 1D en la iteración 5 al comienzo de la propagación Componente Ez vista en 1D en la iteración 78 al incidir sobre el medio dieléctrico Componente Ez vista en 2D con corte en x=43 en la guía de onda inmersa en Rogers RT/Duroid 5880 en la iteración Nótese la inexistencia de propagación Componente Hx vista en 2D con corte en x=66 en la guía de onda inmersa en Rogers RT/Duroid 5880 en la iteración

15 Índice de figuras Componente Ey vista en 2D con corte en x=66 en la guía de onda inmersa en Rogers RT/Duroid 5880 en la iteración Componente Ez vista en 3D con corte en x=66 en la guía de onda inmersa en Rogers RT/Duroid 5880 en la iteración Variación gradual del índice de refracción Componente Ez vista en 1D a 386 iteraciones Componente Ez vista en 2D, con corte en x=67 en la guía de onda inmersa en dieléctrico de índice de refracción variable en la iteración 1000, con f = 11 GHz Componente Ey vista en 3D con corte en x=52 en la guía de onda inmersa en dieléctrico de índice de refracción variable en la iteración 1300, con f = 55 GHz Componente Hx en vista 3D con corte en x=52 en la guía de onda inmersa en dieléctrico de índice de refracción variable en la iteración 1300, con f = 55 GHz Componente Ez vista en 2D con corte en x=52 en la guía de onda inmersa en dieléctrico de índice de refracción variable en la iteración 1300, con f = 55 GHz Componente Ez en vista en 3D con corte en x=52 en la guía de onda inmersa en dieléctrico de índice de refracción variable en la iteración 1300, con f = 55 GHz

16 1. EL MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO 1.1. Introducción Científicos e ingenieros disponen de tres métodos para encontrar la descripción de fenómenos electromagnéticos. Estos métodos se clasifican en: experimental, análitico y númerico. El método experimental consume tiempo, recursos y en general no permite gran flexibilidad en la variación de parámetros. El método análitico da solución a ciertos fenómenos electromagnéticos mediante distintas técnicas, i.e., separación de variable y aplicando condiciones de frontera aunque desafortunadamente la complejidad del procedimiento se incrementa a la par de la geometría que se esté describiendo. Una alternativa bastante eficiente para resolver una amplia gama de problemas es a través de los métodos númericos. Uno de éstos es el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo (DFDT). En el análisis electromagnético de la propagación en guías de onda, las ecuaciones de Maxwell proporcionan un método analítico para la solución de la distribución del campo electromagnético en dichos medios. El método DFDT nos permite resolver numéricamente las expresiones obtenidas de las ecuaciones de Maxwell para esta problemática. Actualmente este método es ampliamente utilizado para la descripción del campo electromagnético en diversas situaciones físicas. La posibilidad de poder resolver las ecuaciones analíticas utilizando el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo nos permite a su vez poder utilizar algoritmos computacionales para ayudarnos en el cálculo de la

17 1. El método de diferencias finitas en el dominio del tiempo 7 solución de problemas de ciertas caracteristicas. El método DFDT se emplea comunmente en la solución de problemas electromagnéticos transitorios utilizando diferencias finitas. Este método fue desarrollado por A.Thom [7] en la década de 1920 con el nombre de el método de cuadrados cuyo propósito fue resolver ecuaciones no lineales de hidrodinámica. Desde entonces se ha empleado para resolver diferentes problemas en distintas ramas del conocimiento. Por ejemplo, en el estudio de problemas de compatibilidad electromagnética y en la verificación del cumplimiento de normas de exposición humana a campos electromagnéticos en relación con los teléfonos móviles. Además facilita el análisis de materiales con propiedades complejas. Sin embargo es importante resaltar a pesar de su gran respuesta en campos cercanos, presenta limitaciones cuando se calculan campos en grandes dominios espaciales. El método DFDT ofrece varias ventajas como herramienta de modelado, simulación y análisis. Entre sus capacidades se incluyen: Interacción con objetos de cualquier conductividad. Parámetros dependientes de la frecuencia constituidos para el modelado de materiales dieléctricos disipativos, magnéticos, y ferritas magnetizadas. Este método se basa en aproximaciones que permiten sustituir ecuaciones diferenciales por ecuaciones en diferencia finita. Tales expresiones son de forma algebraica y relacionan la variable dependiente en un limitado número de puntos de la región de solución. Como solución, la ecuación diferencial que describe el problema, se reemplaza por un número finito de ecuaciones de diferencia, en relación a los términos de la variable dependiente en puntos seleccionados de la región de solución. Entonces las incógnitas pasan de una distribución espacial continua de la variable dependiente por puntos en la región de solución. Este sistema de ecuaciones algebraicas debe ser resuelto sujeto a las condiciones

18 1. El método de diferencias finitas en el dominio del tiempo 8 de frontera y/o condiciones iniciales predefinidas. La implementación computacional del método consume demasiados recursos, lo cual representa un gran inconveniente. Si el problema esta dado en geometrías regulares y con una malla poco densa las ecuaciones recurrentes anteriores son implementadas mediante algoritmos secuenciales, mientras que si se incurren en geometrías irregulares o se requiere de una malla muy fina de soluciones es conveniente utilizar algoritmos paralelos con el propósito de aumentar la capacidad de memoria y procesamiento y a la vez disminuir el tiempo de ejecución del algoritmo. Dado el desarrollo de computadores personales, los cálculos se pueden obtener mediante programas de cómputo ejecutandose en computadoras que soporten un alto grado de procesamiento Formación de las ecuaciones de diferencia El método DFDT es usado para tratar númericamente las ecuaciones diferenciales parciales. La solución diferenciable es aproximada por una función de malla, i.e, por una función que está definida por un número finito de puntos de cuadrícula subyacente en el dominio de la función. Cada derivada presente en una ecuación diferencial parcial tiene que ser reemplazada por funciones de diferencia finita al punto de la cuadrícula seleccionado. Tales aproximaciones de derivadas por fórmulas de diferencias pueden ser generadas de varias maneras. Por ejemplo, mediante la expansión de series de Taylor o por ecuaciones locales balanceadas [2]. El método DFDT sigue los siguientes preceptos: El dominio dado por las ecuaciones diferenciales debe contener una cantidad suficientemente larga de puntos cuadriculares. Todas las derivadas requeridas en los puntos de la cuadrícula serán reemplazadas, aproximando a diferencias finitas que utilizan una función cuyos

19 1. El método de diferencias finitas en el dominio del tiempo 9 valores están representados por una cuadrícula. Puede comenzarse a hacer el análisis de las expresiones del método DFDT, mediante la definición común de la derivada de primer orden de la función f(x) en una dimensión con respecto a x que es: df(x) dx = lím f(x) f(x x) x 0 x (1.1) df(x) dx = lím f(x + x) f(x) x 0 x (1.2) df(x) dx = lím f(x + x) f(x x) x 0 2 x (1.3) Estas expresiones son matemáticamente equivalentes. La aproximación converge a la derivada cuando el límite x 0. Ahora el problema se resume a determinar x en su forma finita en lugar de poseer un tamaño infinitesimal. Por lo tanto, las ecuaciones (1.4)-(1.6) muestran los operadores utilizados en diferencias finitas. df(x) dx f(x) f(x x) x (1.4) df(x) dx f(x + x) f(x) x (1.5) df(x) dx f(x + x) f(x x) 2 x (1.6)

20 1. El método de diferencias finitas en el dominio del tiempo 10 La ecuación (1.4) es el operador de diferencias finitas hacia atrás. La ecuación (1.5) es el operador de diferencias finitas hacia adelante y la ecuación (1.6) es el operador de diferencias finitas central Serie de Taylor La ídea clave es expresar una función f(x) en una distancia finita x : f(x+ x) mediante expansiones de la serie de Taylor, veáse figura 1.1. Fig. 1.1: Definición de una derivada discreta Dicha expansión puede escribirse como f(x ± x) = n=0 1 dn f(x) n! (± x)n dx, (1.7) n Si se toma un desplazamiento positivo x + x en la ecuación 1.7 y se expresa en forma desarrollada, queda como f(x+ x) = f(x)+ x df(x) dx +( x)2 2! d 2 f(x) + ( x)3 dx 2 3! d 3 f(x) dx 3 + ( x)4 4! d 4 f(x) dx 4 +O[( x) 5 ] (1.8)

21 1. El método de diferencias finitas en el dominio del tiempo 11 Para poder obtener una expresión en términos de un operador de diferencias, específicamente el operador de diferencias finitas hacia adelante, a la ecuación (1.8) se le resta f(x) y posteriormente se divide entre x. Por lo tanto, dicha ecuación queda como f(x + x) f(x) x = df(x) dx +( x) 2! d 2 f(x) + ( x)2 dx 2 3! d 3 f(x) + ( x)3 d 4 f(x) +O[( x) 4 ] dx 3 4! dx 4 (1.9) De (1.9) se despeja el término df(x)/dx, quedando como df(x) dx f(x + x) f(x) = x ( x) 2! d 2 f(x) ( x)2 dx 2 3! d 3 f(x) ( x)3 d 4 f(x) O[( x) 4 ] dx 3 4! dx 4 (1.10) de donde puede obtenerse O[( x)] = ( x) d 2 f(x) ( x)2 d 3 f(x) ( x)3 d 4 f(x) O[( x) 4 ] (1.11) 2! dx 2 3! dx 3 4! dx 4 que a su vez permite obtener O[( x) 2 ] = ( x) d 2 f(x) O[( x) 2 ] (1.12) 2! dx 2 Se denota que O[( x) 2 ] y O[( x)] son errores al momento de trucar la serie de expansión de Taylor. La exactitud de la aproximación de diferencia finita depende del último término. El error de la diferencia hacia adelante y hacia atrás son de primer orden, o sea O[( x)], mientras que la de diferencia central

22 1. El método de diferencias finitas en el dominio del tiempo 12 es de segundo orden, o sea O[( x) 2 ]. Por lo tanto la definición completa de derivada en diferencia finita es la siguiente: df(x) dx f(x + x) f(x) = + O[( x)] (1.13) x Finalmente, se expresan los operadores de diferencia finita con un error de truncamiento en la serie de expansión de Taylor, quedando como df(x) dx f(x) f(x x) = + O[( x)] x f(x) f(x x) x (1.14) df(x) dx f(x + x) f(x) = + O[( x)] x f(x + x) f(x) x (1.15) df(x) dx f(x + x) f(x x) = + O[( x) 2 ] 2 x f(x + x) f(x x) 2 x (1.16) Una vez expresadas las derivadas de una función f(x) en términos de operadores de diferencia finita, es importante especificar una notación que permita expresar de forma clara cualquier discretización sobre sistemas de ecuaciones diferenciales que se realice Notación en diferencia finita Los sistemas de cuadrícula empleados en DF dependen de la dimensión del nodo utilizado, es decir, una dimensión (figura 1.2), dos dimensiones (figura 1.3) y tres dimensiones (figura 1.4). Cada uno de los nodos tiene asignada una cantidad determinada, de acuerdo a la aplicación en cuestión.

23 1. El método de diferencias finitas en el dominio del tiempo 13 Fig. 1.2: Cuadrícula basada en nodos de una dimensión Fig. 1.3: Cuadrícula basada en nodos de dos dimensiones Para lograr una notación en términos de dichas cuadrículas de nodos, se plantea un punto espacial en una malla rectangular de tres dimensiones uniforme, como en la figura 1.4, donde: (i, j, k) = (i x, j y, k z). (1.17) Aquí, x, y y z son respectivamente, los incrementos espaciales en las direcciones de coordenadas x,y y z, e i,j y k son enteros. Puede denotarse cualquier función u del espacio y tiempo evaluadas en un punto discreto de la cuadricula y en un punto discreto de tiempo como u(i x, j y, k z, n t) = u n (i, j, k) (1.18) donde t es un incremento de tiempo, asumida como intervalo de observación

24 1. El método de diferencias finitas en el dominio del tiempo 14 Fig. 1.4: Cuadrícula basada en nodos de tres dimensiones uniforme, y n un entero. Se puede obtener una expresión para la primera derivada parcial espacial de u en la dirección x, evaluada a un tiempo fijo t n = n t denotada como u x (i x, j y, k z, n t) = un (i + 1/2, j, k) u n (i 1/2, j, k) + O[( x) 2 ] x (1.19) Se aprecia que un incremento de ±1/2 en el subíndice i (coordenada x) de u, denota un espacio de diferencia finita sobre ±1/2 x. Como complemento, debe añadirse una aproximación númerica semejante a (1.19) para u/ y y u/ z que puedan ser escritas con el incremento de los subíndices j o k de u por ±1/2 y o ±1/2 z, respectivamente. De forma similar, la expresión para la primera derivada parcial temporal de u, evaluada en un punto espacial fijo (i, j, k) se denota como u t (i x, j y, k z, n t) = un+1/2 (i, j, k) u n 1/2 (i, j, k) + O[( t) 2 ] (1.20) t

25 1. El método de diferencias finitas en el dominio del tiempo 15 Nótese que el ±1/2 incremento en el superíndice n (coordenada de tiempo) de u, denota un tiempo de diferencia finita sobre ±1/2 t Resumen Las ecuaciones diferenciales parciales forman la base de varios modelos matemáticos que describen el comportameinto de fenónemos físicos, químicos y biológicos y más recientemente su aplicación se extiende al campo económico, financiero, y metereológico. Obtener las predicciones de los sistemas formados por las ecuaciones diferenciales parciales se realiza mediante aproximaciones númericas. La estrategia del método radica en expresar las ecuaciones diferenciales parciales en forma discreta a tráves de diferencias finitas. Posteriormente se puede crear un algoritmo en base a la formulación hecha y luego encontrar la solución númerica del problema descrito por medio de ecuaciones diferenciales parciales. Existen tres métodos clásicos para hayar la solución númerica de dichas ecuaciones. Estos son el método de diferencias finitas, el método del elemento finito, y el método del volumen finito. El método de diferencias finitas fue elegido por su fácil implementación, entendimiento y flexibilidad. El concepto de los fundamentos presentados para tratar de forma discreta las ecuaciones diferenciales parciales son aplicables a las ecuaciones de Mawell y abordar el problema de la propagación electromagnética en un algún tipo de medio específico.

26 2. EXPRESIÓN DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL MEDIANTE EL MÉTODO DFDT En el presente capítulo se desarrollan las ecuaciones de Maxwell en su forma diferencial mediante el método DFDT así como el uso del algoritmo de Yee cuyo sostén son las aproximaciones de diferencia finita de las derivadas espaciales y temporales de las ecuaciones diferenciales de Maxwell. Además, se cubren los aspectos de normalización de las ecuaciones en diferencia finita, dimensionamiento de los escalones espaciales y temporales, para lo cual es necesario cumplir con las condiciones de estabilidad de Courant [5],[9] en las ecuaciones discretizadas. También se da una introducción a los diferentes tipos de fuentes de excitación de ondas electromagnéticas apropiados para el modelado de problemas de ingeniería. Por último se analizan las condiciones de frontera de absorción utilizado para simular la propagación de las ondas electromagnéticas más allá del área de cálculo Ecuaciones de Maxwell en forma diferencial El comportamiento de los campos electromagnéticos debe satisfacer las ecuaciones de Maxwell.Por ello, la importancia de estas ecuaciones radica en que resumen todas las leyes electromagnéticas conocidas hasta la fecha [26]. Antes de proceder a desarrollar las ecuaciones de Maxwell mediante el método DFDT en tres dimensiones, primero se hará un análisis introductorio en una dimensión. Se considera una región del espacio, libre de fuentes donde existan materiales con pérdida eléctrica o magnética, esto significa que el campo electromagnético

27 2. Expresión de las ecuaciones de Maxwell mediante el método DFDT 17 pierde potencia debido a una mala conducción, fenómeno que trae como consecuencia calor disipado. Por ello se establece una densidad de corriente magnética equivalente J M para justificar el mecanismo de pérdida magnética: J M = σ H (2.1) y una densidad de corriente eléctrica equivalente J E para dar razón al mecanismo de pérdida eléctrica: J E = σ E (2.2) En las ecuaciones (2.1) y (2.2), σ es la resistividad magnética y σ es la conductividad eléctrica. Las ecuaciones de Maxwell pueden expresarse tanto es su forma diferencial como integral. La forma integral de las ecuaciones de Maxwell requiere definir claramente la superficie de análisis, mientras la forma diferencial es la de uso común en la resolución de problemas, además el método DFDT requiere ecuaciones expresadas en forma diferencial. Por consiguiente, se escriben las ecuaciones de Maxwell en su forma diferencial utilizando las unidades del sistema internacional Ley de Faraday B t = E J M (2.3) Ley Ampère (corregida por Maxwell) Ley de Gauss para campos magnéticos D t = H J E (2.4) B = 0 (2.5)

28 2. Expresión de las ecuaciones de Maxwell mediante el método DFDT 18 Ley de Gauss D = ρ v (2.6) En un medio lineal, isotrópico y homogeneo, las siguientes relaciones constitutivas se mantienen entre las intensidades de campo eléctrico y magnético y las densidades de flujo: B = µ H (2.7) D = ε E (2.8) donde se establece además: ε : permitividad eléctrica [F/m] ε r : permitividad relativa (adimensional) ε 0 : permitividad en el espacio libre (8, ) [F/m] µ : permeabilidad magnética [H/m] µ r : permeabilidad relativa (adimensional) µ 0 : permeabilidad en el espacio libre (4π 10 7 ) [H/m] Empleando las relaciones anteriores en las ecuaciones de Maxwell, se obtiene H t = 1 µ E 1 µ J M (2.9) E t = 1 ε H 1 ε J E (2.10) Estas cantidades representan los campos vectoriales variantes en el tiempo y son

29 2. Expresión de las ecuaciones de Maxwell mediante el método DFDT 19 funciones reales de las coordenadas espaciales x, y, z, y variable en el tiempo t. Estas cantidades están definidas como: E es la intensidad de campo eléctrico [V/m]. H es la intensidad de campo magnético [A/m]. D es la densidad de flujo eléctrico [C/m 2 ]. B es la densidad de flujo magnético [Wb/m 2 ]. J M es la densidad de corriente magnética ficticia [V/m 2 ]. J E es la densidad de corriente eléctrica [A/m 2 ]. ρ v es la densidad de carga eléctrica [C/m 3 ] Formulación en tres dimensiones Para continuar con el análisis, es importante que se escriban las componentes vectoriales de los operadores diferenciales expresados en las ecuaciones (2.9) y (2.10). En coordenadas cartesianas, el sistema de ecuaciones escalares queda como H x t = 1 µ ( E y z E z y J Mx) (2.11) H y t = 1 µ ( E z x E x z J My) (2.12) H z t = 1 µ ( E x y E y x J Mz) (2.13) E x t = 1 µ ( H z y H y z J Ex) (2.14)

30 2. Expresión de las ecuaciones de Maxwell mediante el método DFDT 20 E y t = 1 µ ( H x z H z x J Ey) (2.15) E z t = 1 µ ( H y x H x y J Ez) (2.16) El enrejado del espacio de DFDT debe ser estructurado de tal forma que la relación de la ley de Gauss este implícita en las posiciones de los campos E y H en el enrejado, y en las operaciones derivadas del espacio númerico sobre estas componentes que modelen el efecto del operador diferencial Análisis de propagación electromagnética en una dimensión utilizando el método DFDT Antes de abordar la formulación en tres dimensiones del método DFDT, se parte de la formulación en una dimensión donde se tendrá un conjunto de dos ecuaciones en términos de H y y E x. Haciendo uso de las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre se obtiene H y t = 1 µ 0 E x z (2.17) E x t = 1 ε 0 H y z (2.18) Estas ecuaciones son de una onda plana con el campo eléctrico orientado en la dirección x, el campo magnético orientado en la dirección y, y viajando en la dirección z. Para comenzar el proceso de discretización se toma la aproximación de la diferencia central para la derivada espacial de las ecuaciones (2.17) y (2.18) con

31 2. Expresión de las ecuaciones de Maxwell mediante el método DFDT 21 un escalón de x = z/2 y de acuerdo con lo establecido por (1.14)-(1.16), se tiene H y : z ±k z, k = 1,..., K z E x : z ±(k + 1/2) z, k = 1,..., K z La discretización espacial aplica para cualquiera de los ejes coordenados. Discretizando el primer término se tiene E x z E x z z = 1 [ ] E x (z + z/2) E x (z z/2) + O[( z) 2 ] z (2.19) El índice dentro del paréntesis representa la variación en el espacio coordenado z de la onda. Fig. 2.1: Escalonamiento de las componentes de campo en la dirección z. Como resultado del uso de las diferenicas finitas en la discretización de los términos temporales, la ecuación (2.17) puede escribirse como H t y(k) t = 1 µ 0 z [Et x(k + 1/2) E t x(k 1/2)] (2.20)

32 2. Expresión de las ecuaciones de Maxwell mediante el método DFDT 22 Fig. 2.2: Representación de las componentes E x y H y en forma discreta espacial. Dicho desarrollo puede verse de forma más clara en la figura 2.2. Siguiendo el mismo procedimiento se discretiza espacialmente la segunda ecuación, resultando en E t x(k + 1/2) t = 1 ε 0 z [Ht y(k + 1) H t y(k)] (2.21) Ahora, se debe determinar la forma de diferencia finita de las derivdas parciales en tiempo de las ecuaciones (2.20) y (2.21). De 1.16 se procede a desarollar las ecuaciones diferenciales parciales en tiempo en su forma discreta con un = t/2 H t y(k) t = Hn y (k) Hy n 1 (k) + O[( t) 2 ] (2.22) t E t x(k + 1/2) t = En+1/2 x (k + 1/2) Ex n 1/2 (k + 1/2) + O[( t) 2 ] (2.23) t Finalmente se obtiene el conjunto de ecuaciones en su forma de diferencia finita, suprimiendo el error generado por el truncamiento de la serie de Taylor:

33 2. Expresión de las ecuaciones de Maxwell mediante el método DFDT 23 Hy n (k) Hy n 1 (k) t = 1 µ 0 z [Et x(k + 1/2) E t x(k 1/2)] (2.24) E n+ 1 2 x (k ) En 1 2 x (k ) t = 1 ε 0 z [Ht y(k + 1) H t y(k)] (2.25) Las ecuaciones (2.24) y (2.25) pueden ser reformuladas por un algoritmo iterativo: Ex n+1/2 (k) = Ex n 1/2 (k) t ε 0 x [Hn y (k + 1/2) Hy n (k 1/2)] (2.26) Hy n+1 (k + 1/2) = Hy n (k + 1/2) t µ 0 x [En+1/2 x (k + 1) Ex n 1/2 (k)] (2.27) Obsérvese que los cálculos están intercalados tanto en espacio y tiempo, es decir, en las ecuaciones (2.26) y (2.27), el nuevo valor del campo E x se calcula a partir del valor anterior de E x y el valor presente de H y como lo sugiere la figura 2.3. Este es el principal paradigma del método DFDT [4]. Las ecuaciones (2.26) y (2.27) son muy similares, pero debido a que ε 0 y µ 0 difieren por varios ordenes de magnitud, E x y H y, sus magnitudes también diferiran por mucho. Para ello se necesita hacer un cambio de variables [9], es decir Ẽ = ε0 µ 0 E (2.28) Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell se normalizan por la sustitución de la ecuación (2.28). Éste es un sistema llamado unidades Gaussianas, el cual es

34 2. Expresión de las ecuaciones de Maxwell mediante el método DFDT 24 Fig. 2.3: Cálculo de Hy n+1 (k + 1/2) y Ex n+1/2 (k) a partir de sus vecinos más cercanos en espacio y tiempo frecuentemente usadas por físicos (véase apéndice A). El motivo de emplear esta relación es, además, para simplificar las expresiones (2.26) y (2.27). Entonces sustituyendo en las ecuaciones (2.26) y (2.27) se tiene Ẽx n+1/2 (k) = Ẽn 1/2 x (k) 1 t ε0 µ 0 x [Hn y (k + 1/2) Hy n (k 1/2)] (2.29) H n+1 y (k + 1/2) = H n y (k + 1/2) 1 ε0 µ 0 t x [Ẽn+1/2 x (k + 1) Ẽn 1/2 x (k)] (2.30) En las siguientes secciones se realiza una generalización sobre la discretización de las ecuaciones de Maxwell en tres dimensiones a través del llamado algoritmo de Yee.

35 2. Expresión de las ecuaciones de Maxwell mediante el método DFDT Algoritmo de Yee En 1966, Kane Yee propuso un conjunto de ecuaciones de diferencia finita para el sistema de ecuaciones (2.9)-(2.10) para el caso de materiales sin pérdida σ = 0 y σ = 0 [4]. El algoritmo de Yee es de gran útilidad y provee varias ventajas debido a que su base fundamental es muy robusta. Algunas de estas ventajas son: 1. El algoritmo de Yee resuelve para ambos campos eléctrico y magnético en tiempo y espacio el par de ecuaciones diferenciales de Maxwell a diferencia de resolver el campo eléctrico solamente (o el campo magnético solamente). Usando la información de ambos campos E y H, la solución es más robusta que usando solo uno. Las propiedades eléctricas y magnéticas de los materiales pueden ser modelados de manera directa. Esto es especialmente importante cuando se modela la atenuación de una sección trasnversal de un radar. 2. El algoritmo de Yee centra sus componentes E y H en un espacio tridimensional, cada componente E está rodeado por cuatro componentes circulantes H, y cada componente H está rodeado por cuatro componentes circulantes E como se sugiere en la figura 2.4. El arreglo espacial en la figura 2.4 no es arbitrario puesto que éste debe ser consistente con la ley de Faraday y Ampère [9]. Además, se tienen los siguientes atributos de la malla espacial de Yee: Las expresiones en diferencia finita para las derivadas espaciales representadas por los operadores diferenciales son diferencias centrales por naturaleza y de segundo orden. En la resolución del problema, simplemente se especifíca la permitividad y permeabilidad del material en cada punto del medio. Esto

36 2. Expresión de las ecuaciones de Maxwell mediante el método DFDT 26 Fig. 2.4: Posición de las componentes vectoriales de campo eléctrico y magnético en una unidad de célula cúbica de una malla espacial de Yee de dimensiones x por y por z [4]. permite tener una aproximación de la superficie y geometría interna de la estructura a modelar, con un espacio de resolución establecida por el tamaño de celda. La malla de Yee está libre de divergencias con respecto a sus campos E y H en la ausencia de cargas eléctricas y magnéticas. 3. El algoritmo de Yee también centra sus componentes E y H en tiempo de acuerdo a los términos de salto. Todos los cálculos de E del espacio modelado son completamente modelados y almacenados en la memoria en un punto de tiempo particular empleando los datos de H previamente almacenados. Entonces todos los cálculos H en el espacio son completados y almacenados en la memoria usando los datos de E previamente computados. El ciclo comienza con el recálculo de las componentes de E basadas en el nuevo arreglo H. Este proceso continua hasta que es concluido las iteraciones en tiempo. Las iteraciones de tiempo en el algoritmo no son disipativas. Esto es, los modos de propagación de la ondas numéricas en la malla no se

37 2. Expresión de las ecuaciones de Maxwell mediante el método DFDT 27 atenuan falsamente debido al artefacto de escalamiento en tiempo no físico del algoritmo. Los saltos en el escalamiento en tiempo son completamente explicitos, por ello se evitan los problemas envueltos con ecuaciones simultaneas Formulación en el espacio libre para tres dimensiones Desarrollar el algoritmo en tres dimensiones llega a ser más complicado porque su implementación necesita un mayor número de recursos computacionales el cual precise el problema porque se manejaran todos los vectores de campo y cada una de ellos en tres dimensiones. Los campos E y H estarán dispuestos alrededor de intervalos de una celda cuyo origen es el punto (i, j, k), ver figura 2.4. Cada campo E se localiza 1/2 ancho de celda del origen en la dirección de su orientación, mientras que cada campo H se desplaza 1/2 de ancho en cada dirección excepto el de su orientación. Por lo tanto pueden ser construídas las Ecuaciones de Maxwell en tres dimensiones en diferencias finitas, quedan como E n+1/2 x (i + 1/2, j, k) = E n 1/2 (i + 1/2, j, k)+ x t x ε 0 µ 0 [H n z (i + 1/2, j + 1/2, k) H n z (i + 1/2, j 1/2, k) H n y (i + 1/2, j, k + 1/2) + H n y (i + 1/2, j, k 1/2)] (2.31) Hx n+1 (i, j + 1/2, k + 1/2) = Hx n (i, j + 1/2, k + 1/2) t x ε [Ey n+1/2 (i, j + 1/2, k + 1) Ey n+1/2 (i, j + 1/2, k) 0 µ 0 Ez n+1/2 (i, j + 1, k + 1/2) + Ez n+1/2 (i, j, k + 1/2)] (2.32)

38 2. Expresión de las ecuaciones de Maxwell mediante el método DFDT 28 E n+1/2 y (i, j + 1/2, k) = E n 1/2 (i, j + 1/2, k)+ y t x ε 0 µ 0 [H n x (i, j + 1/2, k + 1/2) H n x (i, j + 1/2, k 1/2) H n z (i + 1/2, j + 1/2, k) + H n z (i 1/2, j + 1/2, k)] (2.33) Hy n+1 (i + 1/2, j, k + 1/2) = Hy n (i + 1/2, j, k + 1/2) t x ε [Ez n+1/2 (i + 1, j, k + 1/2) Ez n+1/2 (i, j, k + 1/2) 0 µ 0 Ex n+1/2 (i + 1/2, j, k + 1) + Ex n+1/2 (i + 1/2, j, k)] (2.34) Ez n+1/2 (i, j, k + 1/2) = Ez n 1/2 (i, j, k + 1/2)+ t x ε [Hy n (i + 1/2, j, k + 1/2) Hy n (i 1/2, j, k + 1/2) 0 µ 0 H n x (i, j + 1/2, k + 1/2) + H n x (i, j 1/2, k + 1/2)] (2.35) Hz n+1 (i + 1/2, j + 1/2, k) = Hz n (i + 1/2, j + 1/2, k) t x ε [Ex n+1/2 (i + 1/2, j + 1, k) Ex n+1/2 (i + 1/2, j, k) 0 µ 0 Ey n+1/2 (i + 1, j + 1/2, k) + Ey n+1/2 (i, j + 1/2, k)] (2.36) Dichas ecuaciones pueden ser implementadas en un algoritmo computacional. Sin embargo, es importante aún tomar en cuenta otras consideraciones consecuencia de la discretización de las ecuaciones de Maxwell. En las siguientes secciones se hará un análisis de cada una de ellas.

39 2. Expresión de las ecuaciones de Maxwell mediante el método DFDT Determinación del tamaño de la celda espacial Antes de implementar las ecuaciones en diferencia finita es necesario determinar el tamaño de la celda, posteriormente se determinará el incremento de tiempo con el que se logra la estabilidad numérica. La selección del tamaño de la celda usada en el método DFDT depende del número de muestras que deben ser tomados para asegurar una buena representación, este número de puntos depende de muchos factores [5],[9]. Entonces, el tamaño de la cuadrícula debe ser una fracción de la longitud de onda de la mayor frecuencia contenida en el espectro de frecuencias de excitación para conseguir resultados significativos. El teorema de muestreo de Nyquist menciona que se necesita una frecuencia de muestreo igual o mayor al doble de la frecuencia mayor del espectro que se utiliza, por ello se sugiere que el tamaño de la celda será menor que λ u /2 para conseguir una variación espacial de los campos. Dependiendo de la precisión de los resultados deseados, se ha encontrado que el tamaño de la celda debe ser de λ u /10 o si los recursos computacionales lo permiten de λ u /20. Dependiendo de la geometría se dicta que tan pequeño debe ser el tamaño de la celda, por ejemplo una celda de tamaño λ/99 fue requerida para modelar cierto detalles geometricos de una antena Vivaldi [24]. En general tendremos que centrarnos en la frecuencia mayor que simularemos. Si solamente simulamos en el espacio libre podremos escoger la siguiente relación x = λ 0 10 = 7,5cm (2.37) Aunque si se realiza una simulación en un medio cuya constante dieléctrica relativa sea diferente de 1, tendremos que hayar la longitud de onda en el medio con la mayor constante dieléctrica, porque este tendra la longitud de onda más

40 2. Expresión de las ecuaciones de Maxwell mediante el método DFDT 30 corta. Entonces, se utilizara la siguiente fórmula para obtener dicha longitud de onda λ m = c/ ε r f (2.38) Además del tamaño de celda espacial, es importante hacer consideraciones sobre la estabilidad numérica del método, analizando el tamaño adecuado de la celda temporal Estabilidad numérica La selección del incremento espacial x y temporal t pueden afectar la velocidad de propagación de las ondas numéricas en una malla modelada por diferencias finitas, por ello existe un error numérico. Primero considerese el caso de una dimensión. En un escalón de tiempo, cualquier punto de la onda no debe recorrer más que una celda porque durante un escalón de tiempo el algoritmo DFDT puede propagar la onda de una celda a su más cercano vecino. Cualquier intento de usar un tiempo ligeramente mayor al escalón de tiempo provocara rápidamente inestabilidad numérica. Se tiene que la condición para el caso de una dimensión es t x c (2.39) Si empleamos el signo de igualdad, entonces nos estaremos refiriendo al escalón de tiempo mágico de Taflove [9], es decir c t = x. Para iniciar el análisis de estabilidad numérica se emplea una onda viajera senoidal presente en un espacio enrejado de DFDT en tres dimensiones y muestreado

41 2. Expresión de las ecuaciones de Maxwell mediante el método DFDT 31 discretamente a (x I, y J, z K, t n ). Un vector de campo puede ser escrito como: V n I,J,K = V 0 e j[( w real+j w imag )n t kx I x ky J y kz K z] (2.40) V n I,J,K = V 0 e w imagn t e j( w realn t kxi x kyj y kzk z) (2.41) Aquí k es el número de la onda viajera numérica sinusoidal. Se nota que se tiene tres opciones (2.40): una amplitud de onda consante con tiempo ( w imag = 0), una amplitud exponencial decreciente con tiempo ( w imag > 0), o una amplitud exponencial ceciente con tiempo ( w imag < 0). Con base en lo anterior, se procede a analizar la dispersión numérica permitida para una frecuencia angular de valor complejo: [ 1 w t sen( t 2 )]2 = [ 1 k x sen( x x )] 2 + [ 1 k 2 y sen( y y )] 2 + [ 1 k 2 z sen( z z 2 )]2 (2.42) Primero se resuelve (2.42) para w. Esto resulta en w = 2 t sen 1 (ξ) (2.43) donde ξ = c t 1 k x x ( x) 2 sen2 ( ) ( y) 2 sen2 ( k y y 2 ) + 1 ( z) 2 sen2 ( k z z 2 ) (2.44)

42 2. Expresión de las ecuaciones de Maxwell mediante el método DFDT 32 Se observa de (2.44) que 1 0 ξ c t ( x) 2 ) + 1 ( y) 2 ) + 1 ( z) 2 ) ξ lsuperior (2.45) El parámetro ξ lsuperior es obtenido cuando cada término sen 2 ( k x ) dentro de la 2 raíz, simultáneamente alcanzan el valor de 1. Esto ocurre para la propagación numérica teniendo como componentes vectoriales de onda. k x = ± π x ; k y = ± π y ; k z = ± π z ; (2.46) Es claro que ξ lsuperior puede exceder 1 dependiendo de la selección de t. Esto puede resultar en valores complejos de sen 1 (ξ) en (2.43), por lo tanto valores complejos para w da como resultado inestabilidad numérica Ejemplo del calculo del límite de estabilidad Considere el caso práctico de una celda cúbica en un espacio enrejado de tres dimensiones con x = y = z =. Definiremos el límite de estabilidad de Courant equivalente para el caso de una célula cúbica: S lestabilidad 3D = 1 3 (2.47) De (2.46), el crecimiento de la exponencial dominante ocurre en la propagación de las ondas numéricas a lo largo de las diagonales del enrejado. Los vectores de onda relevantes son k = π (±ˆx ± ŷ ± ẑ) π 3 k = λ = ( 2 3 ) (2.48) 3

43 2. Expresión de las ecuaciones de Maxwell mediante el método DFDT 33 donde ˆx, ŷ y ẑ son vectores unitarios definiendo los principales ejes del enrejado. Además, de (2.44) resulta en 1 ξ lsuperior = c t ( ) ( ) ( ) = ( c t) 3 = S 3 (2.49) 2 Para garantizar una estabilidad numérica en el caso general, la condición de estabilidad de Courant [9],[5] establece t 1 c (2.50) ( x) 2 ( y) 2 ( z) 2 En el caso de dos dimensiones, si x = y = z = s, (2.50) se reduce a t s c 2 (2.51) mientras que en el caso de tres dimensiones, (2.50) se reduce a t x c 3 (2.52) Examinando los valores mostrados arriba muestran que el número mínimo de escalones de tiempo requeridos para viajar en la máxima dimension de una unidad de celda es igual a la dimensionalidad de la celda. Por consiguiente, se requieren por lo menos dos escalones de tiempo para atravesar la diagonal de una celda cuadrada de dos dimensiones y al menos tres tiempo para atravesar la diagonal de una celda cúbica de tres dimensiones. En el presente trabajo, se utiliza la relación

44 2. Expresión de las ecuaciones de Maxwell mediante el método DFDT 34 t = x 2c (2.53) donde c es la velocidad de la luz en el espacio libre. La ecuación (2.53) cumple con la condición de estabilidad de Courant y fue elegida además por razón de simplificación del factor de ponderación de las ecuaciones (2.29) y (2.30), quedando como 1 t ε0 µ 0 x = c x/2 c x = 1 2 (2.54) de donde se observa que dicha ponderación engloba la determinación de tamaños de celda espacial y temporal además de la normalización propuesta sobre las ecuaciones de Maxwell Dispersión numérica Se le llama dispersión numérica a la propagación de diferentes longitudes de onda numéricas con diferentes velocidades en la malla. En el caso de una dimensión la dispersión es cero si es empleada la celda temporal adecuada. Generalmente, la dispersión numérica puede reducirse pero no eliminarse, reduciendo el tamaño de celda. El beneficio de disminuir el tamaño de celda es aparente. Si es demasiado grande el tamaño de celda (muy cercano al límite de Nyquist) la onda dejara de propagarse Condiciones de frontera de absorcíon Una consideración básica del enfoque del método DFDT para resolver los problemas de interacción de ondas electromagnéticas es que muchas geometrias

45 2. Expresión de las ecuaciones de Maxwell mediante el método DFDT 35 están definidas en regiones abiertas donde el dominio espacial del campo de cálculo no está limitado en una o mas direcciones de coordenadas. Es claro que no se puede almacenar ilimitadamente una cantidad de datos, y por ello, el dominio del área de cálculo debe estar limitado en tamaño. El dominio de cálculo debe ser lo suficiente grande para encerrar la estructura de interés y contener las condiciones de límite adecuadas en el perímetro exterior del espacio de análisis para simular la extensión hacia el infinito. El rango dinámico del cálculo del método FDTD está más limitado por la dispersión numérica y la precisión de las definiciones de las estructuras a ser modeladas que los mecánismos empleados para evitar las reflexiones de las ondas numéricas en la superficie de los límites del espacio de cálculo. La solución más práctica de actualizar los valores de los campos en la superficie de la malla es empleando las condiciones de frontera de absorción (CFA), algunas veces llamadas como condiciones de frontera de radiación (CFR). En el caso de una dimension, la condición requerida es simple y exacta porque se utiliza un onda plana normal que incide en los bordes de la malla. Para esto, el simple retraso en la propagación de las ondas electromagnéticas pueden ser usadas. Sin embargo, en el caso de dos y tres dimensiones el grado de dificultad aumenta porque las ondas numéricas no son normalmente incidentes al borde de la malla por lo que las ondas no son planas como se indica en una dimensión. Para el caso de una dimensión se simula un pulso en el espacio libre que se origina en el centro y viaja hacia fuera; sin embargo, el método no prevee condiciones de frontera que absorban el pulso y con ello evitar que los campos E y H sean reflejados hacia el espacio de análisis. La problemática surge en la frontera si se anulacen los campos de forma arbitraria para evitar posibles reflexiones. Es decir, para el cálculo del campo H es necesario conocer los valores cercanos del campo E, por lo que cuando se calcula alguno de los componentes en el

46 2. Expresión de las ecuaciones de Maxwell mediante el método DFDT 36 perímetro del espacio de análisis no contará con los datos de las componenetes vecinos. Además, se sabe que no hay fuentes externas al espacio del problema, por lo que la tarea entonces, es determinar el tiempo que le toma una onda en recorrer un intervalo de tiempo a la velocidad de la luz (c), para establecer condiciones de frontera adecuadas. Dicho tiempo puede ser obtenido mediante 2 t = x (2.55) Esencialmente esta ecuación puede interpretarse como un frente de onda que le toma dos periodos de tiempo para cruzar una celda. Conociendo esto, es fácil poder implementarlo. Calculando la condiciones de absorción para k lim, se debe almacenar el valor E x (k lim 1 ) por dos periodos de tiempo y luego colocarlo en E x (k lim ). Estas condiciones deben establecerse en ambos lados del arreglo E x, es decir Ex n (0) = Ex n 2 (1)Ex n (k lim ) = Ex n 2 (k lim 1) (2.56) Sin embargo, como se estableció previamente, para el caso de tres dimensiones las condiciones de frontera no son tan sencillas debido a la complejidad del espacio de análisis. Existen varios métodos para implementar dichas condiciones de frontera, la mayoría de ellos basados en un algoritmo general conocido como Perfect Matched Layer (PML). Sin embargo, la complejidad en la implementación de dicho método provocan un efecto negativo en el rendimiento y complejidad del programa. Un algoritmo relativamente sencillo de implementar en un espacio de análisis de 3 dimensiones son las llamadas condiciones de Taflove. El funcionamiento de