Gobierno del Estado de Sinaloa Subsecretaría de Educación Básica Departamento de Educación Secundaria Técnica

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1 Gobierno del Estado de Sinaloa Subsecretaría de Educación Básica Departamento de Educación Secundaria Técnica MARTHA CATALINA GUZMÁN REYES AGOSTO 2009

2 INTRODUCCIÓN A partir del ciclo escolar las escuelas secundarias de todo el país, inician en el primer grado la aplicación de nuevos programas que son parte del Plan de Estudios establecido en el marco de la Reforma en Secundaria, esto significa que los profesores trabajan con asignaturas actualizadas y con renovadas orientaciones para la enseñanza y el aprendizaje, adecuadas a las características de los adolescentes, a la naturaleza de los contenidos y a las modalidades de trabajo las escuelas. En el ciclo escolar se realizó un estudio de exploratorio sobre la comprensión y las dificultades que tienen los profesores de educación secundaria con los contenidos de probabilidad establecidos en el programa de matemáticas Los resultados indican que la probabilidad es un área que resulta compleja para los profesores ya que se han observado una serie de errores conceptuales de los principales conceptos probabilísticos que se abordan en el nuevo programa de matemáticas de secundaria. Como consecuencia de ello, se deduce que los profesores requieren una preparación profunda en probabilidad para desempeñarse adecuadamente en la enseñanza de la probabilidad. Partiendo de los resultados obtenidos y con el propósito de que los profesores cuenten con los elementos necesarios para tratar el tema de noción de probabilidad en las aulas de los tres grados y se deje de evitar su tratamiento; se diseña el presente un curso- taller para los docentes (en servicio) de secundarias técnicas del Estado de Sinaloa. 2

3 ÍNDICE Pág Introducción 2 Actividad de apertura 4 I Una mirada al programa de estudio 4 II Experiencia aleatoria 7 III Aleatoriedad, secuencias aleatorias y sus propiedades 9 IV Experimentación y estimación frecuencial de probabilidades 11 V Cálculo de probabilidades y juego equitativo 16 VI Probabilidad de eventos independientes 20 VII Probabilidad de eventos excluyentes 24 VIII Simulación 26 Bibliografía 28 Revisión téorica 29 La probabilidad y sus diferentes enfoques de conceptualización Enfoque clásico Enfoque frecuencial 30 Enfoque subjetivo 32 Ideas estocásticas fundamentales 33 Espacio muestral 33 Equiprobabilidad y juego justo 33 Juego y probabilidad 34 Eventos independientes 34 Eventos mutuamente excluyentes 37 Simulación de urnas de Bernoulli 38 Aleatoriedad 39 Propósito de la enseñanza de la probabilidad 40 Anexos 41 Cuestionario de diagnóstico 42 3

4 ACTIVIDADES DE APERTURA: Propósitos: Que los participantes: a) Desarrollen las actividades del taller en un clima de confianza y compromiso individual y colectivo b) Revisen de manera general la estructura y el enfoque del taller Materiales: a) Texto motivacional en Power point b) Guía de estudio Actividades: 1. Mensaje de Bienvenida a cargo de los coordinadores de grupo 2. Ejercicio motivacional a través de un texto en power point 3. Lectura comentada de la presentación y la introducción de la guía de estudio 4. Propuestas para garantizar el logro de los propósitos APARTADO I: Una mirada al programa de estudio. Aprendizaje esperado: Identifiquen el propósito de la enseñanza de probabilidad y ubiquen el Subtema de nociones de probabilidad en los tres grados y que conocimientos y habilidades se van a trabajar en cada apartado así como los aprendizajes esperados. La probabilidad en la actualidad está teniendo un crecimiento notable por su aplicabilidad en las diferentes disciplinas y por la relevancia en la sociedad actual, la cual no sólo requiere de individuos que manejen aparatos y sistemas, sino que también entiendan, interpreten y comparen información antes de tomar una decisión, transfiriendo sus conocimientos a distintos contextos y situaciones. 4

5 Actividad No. 1 De acuerdo al programa matemáticas 2006 Cuál es el propósito de la enseñanza de probabilidad en secundaria? En la actualidad en el programa de la reforma 2006, aparece en el eje manejo de la información agrupados los temas: el análisis de la información y el tratamiento de la información que a su vez presenta el Subtema de nociones de probabilidad y que su tratamiento se propone en los tres grados de la manera siguiente: Contenidos sobre probabilidad contemplados en el eje de Manejo de la Información del Programa de Matemáticas (SEP, 2006) EJE TEMA SECUNDARIA 1º 2º 3º Manejo de la Noción de Espacio muestreal información probabilidad Estimación de probabilidades. Cálculo de la Estimación de probabilidades. probabilidad de eventos Probabilidad independientes. Simulación: urnas clásica. de Bernoulli. Cálculo de Comparación de probabilidades. Juegos eventos mutuamente excluyentes. equitativos o no equitativos 5

6 GRADO APARTADO CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES

7 APARTADO II Experiencia aleatoria Aprendizaje esperado: identifique una experiencia aleatoria y su espacio muestreal Actividad No. 3 contesta lo que se te pide 1. Indica cuáles de las siguientes experiencias se consideran como aleatorias y cuáles no: Sacar una carta de una baraja española y observar si es de oros. Observar si en las próximas 24 horas sale el sol. Poner agua a enfriar y observar si se congela a cero grados. Lanzar un tiro a una canasta de baloncesto y observar si el balón entra Dejar caer un huevo desde un tercer piso y observar si se rompe al chocar con el suelo. 2. En una bolsa hay 3 bolas amarillas, 4 azules y 1 verde. Indica con una cruz en la tabla siguiente el tipo de suceso en la experiencia de sacar una bola de la bolsa y anotar su color: Sacar una bola azul Sacar una bola roja Sacar una bola que no sea azul Sacar una bola que no sea roja SEGURO POSIBLE IMPOSIBLE 3.- Si en un salón hay 10 mujeres y 20 hombres y en otro hay 15 mujeres y 5 hombres, cuántas parejas distintas se pueden formar tomando una personas de cada salón? Argumenta tu respuesta. 7

8 4.- Cuántas combinaciones son posibles: a) Al lanzar dos dados b) Un dado y una moneda c) Si se lanzan dos dados, uno rojo y otro azul, y se suman los puntos que aparezcan, de cuántas formas diferentes pueden aparecer los puntos de los dados? d) De una bolsa con 3 bolas blancas y 3 bolas azules sacamos dos bolas. Describe todos los resultados si: - Devolvemos la primera bola a la caja después de ver el color - No la devolvemos 5.-Santiago tiene una bolsa negra que contiene cuatro canicas, cada una de ellas está etiquetada con los siguientes dígitos: 4, 6, 8 y 1. El pide a un compañero que seleccione una canica de la bolsa y anote el número, y después regresa la canica a la bolsa. Este procedimiento se repite hasta completar 3 dígitos. Cuántos números diferentes de 3 dígitos se espera que puedan obtener el amigo de Santiago? 6.- Una caja contiene tres esferas: una roja, un azul y una blanca. Se extraen una esfera y se observa su color y se regresa a la caja (con reemplazo) y son revueltas antes de extraer una segunda esfera y se observa su color. Dibuja un diagrama de árbol para representar los posibles resultados. Socializa tus estrategias, argumentos y resultados 8

9 APARTADO III Aleatoriedad, secuencias aleatorias y sus propiedades Aprendizaje esperado: comprendan el concepto de aleatoriedad y las propiedades de las secuencias aleatorias Actividad No. 4 Resuelve los siguientes problemas: 1. Cuál de las siguientes sucesiones consideras que más probable de aparecer al lanzar una moneda equilibrada al aire 5 veces? a) AAASS b) ASSAS c) SASSS d) ASASA e) Las cuatro sucesiones son igual de probables. 2.- En una clase se pidió a los niños que lanzaran una moneda 40 veces. Algunos hicieron el experimento, pero otros hicieron trampa y solo colocaron el resultado como si realmente lo hubieran hecho. Utilizaron A para águilas y S para soles. A continuación se muestran los resultados de Juan y Pedro. Juan: A S A S S A A S A S A A S S A S S A A S S A S A A S S A S A S A S A S A S S A S Pedro: A S S S A S S A S A S S S A S S S S A A S S S A S S A S S A S S S S A S S S A S Consideras que tanto Juan como Pedro hicieron el experimento? ó Quién sí lo hizo y quién no?, Justifica tu respuesta 9

10 Actividad No. 5 Realiza los siguientes eventos: 1.- Lanza una moneda equilibrada al aire 5 veces y registra la secuencia de tus resultados 2.- Ahora lanza la monda 40 veces y registra la secuencia de tus resultados. Socializa tus resultados con tus compañeros, cuál es la secuencia correcta?, Quién hizo trampa?, 10

11 APARTADO IV Experimentación y estimación frecuencial de probabilidades Aprendizaje esperado: resuelvan problemas que involucren la ley los grandes números y la probabilidad frecuencial Actividad No Imagina que estás jugando al parchís con un amigo. Para poder comenzar a mover la ficha es preciso obtener un cinco, pero tu amigo prefiere que se le exija obtener un 3, porque piensa que de este modo tiene ventaja. Tú que opinas? Puedes dejarle que comience a mover la ficha cuando le salga el 3, o es preciso que los dos juguéis a obtener el mismo número? a) Otro compañero sugiere que hagáis un experimento para resolver la discusión. Piensa que de este modo se puede saber quién tiene ventaja. Fíjate en la tabla que te presentamos a continuación. Trata de adivinar cuantas veces, aproximadamente, saldrá el 3 y cuantas el 5 si lanzas un dado 24 veces. Escribe este número en la columna "número esperado de veces". Resultado Recuento Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Nº esperado de veces total

12 b) Lanza el dado 24 veces y anota los resultados en la tabla. El número de veces que sale cada cara del dado es su frecuencia absoluta. Si dividimos dicho número por el número total de lanzamientos (en este caso 24), obtenemos la frecuencia relativa de ese suceso. Calcula la frecuencia relativa de obtener 5 y la de obtener 3. Cuál es mayor?. c) El profesor mostrará en la pizarra los resultados de toda la clase. Preparará con ellos una tabla y un gráfico de barras. Compara estos resultados con los nuestros y con la estimación que habías hecho. d) Con el fin de apreciar la ley de estabilidad de las frecuencias relativas y comparar los valores de la probabilidad asignados según la regla de Laplace con el correspondiente concepto frecuencial, se recogerán todos los resultados de los distintos grupos en una hoja de registro como la siguiente: Suceso observado: cae 3 Pareja Nº Nº de Frecuencia Nº de Frecuencia Frecuencia experimentos absoluta experimentos acumulada relativa acumulados (A) (A/N)experimentos (N)

13 Suceso observado: cae 5 Pareja Nº Nº de Frecuencia Nº de Frecuencia Frecuencia experimentos absoluta experimentos acumulada relativa acumulados (A) (A/N)experimentos (N) Juana y Jesús juegan tirando dos monedas a la vez y van apuntando los resultados. Juana elige ganar "si salen dos caras", mientras que Jesús elige ganar "cuando sale una cara y una cruz". Observa los resultados obtenidos en 50 tiradas. Dos caras C C ///// ///// /// Dos cruces + + ///// //// Una cara y una cruz C + ///// ///// ///// ///// ///// /// a) Cuántas veces ha ganada Juana? b) Cuántas veces ha ganado Jesús? c) Cuántas veces no ha ganado ninguno? Juana ha pedido la revancha y han vuelto a tirar otras 50 veces. Estos son los resultados. Dos caras C C ///// ///// // Dos cruces + + ///// ///// //// Una cara y una cruz C + ///// ///// ///// ///// //// a) Cuántas veces ha ganado ahora cada uno? b) Y si juntas los resultados de las dos partidas? 13

14 c) Cuál es el conjunto de todos los resultados posibles al tirar dos monedas al aire? d) Qué es más fácil en la experiencia anterior: sacar dos caras o sacar una cara y una cruz? Únete a un compañero o compañera y repite la experiencia de Juana y Jesús. Compara los resultados con los de las tablas obtenidas por ellos. Crees que es una casualidad que haya ganado las dos partidas Jesús? Por qué? Actividad No. 7 Aprendizaje esperado: resuelvan problemas que involucren la ley los grandes números y la probabilidad frecuencial Resuelve los siguientes problemas, subraya la respuesta correcta y argumenta tu respuesta. 1.- La siguiente gráfica representa las frecuencias relativas de águilas que se obtuvieron al lanzar una moneda al aire 30 veces seguidas. Con base en la gráfica contesta lo siguiente: a) La moneda era legal (equilibrada) b) La moneda estaba sesgada (desequilibrada) c) No se puede determinar si la moneda estaba sesgada o no con los datos de la gráfica Justifica tu respuesta 14

15 2.- Un dado equilibrado fue lanzando al aire 60 veces, Cuál de las siguientes gráficas te parece más apropiada para representar los resultados obtenidos? Justifica tu respuesta. 3.- Cuál es la probabilidad frecuencial del evento obtener un número par, si al lanzar 20 veces un dado no cargado, se obtuvo par en 12 de ellos? Actividad No Cuáles son los enfoques de conceptualización de la probabilidad? 2.- Los problemas de las actividades 6 y 7 corresponde a cuál enfoque corresponden? 3.- Proporciona un ejemplo de cada enfoque 15

16 APARTADO V Cálculo de probabilidades y juego equitativo Aprendizaje esperado: Comparen la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos aleatorios para tomar decisiones. Expliquen las razones por las cuales dos situaciones de azar son equiprobables o no equiprobables Actividad No.9 I.- Contesta las siguientes preguntas: a) Se podría dar el caso de que el número de eventos favorables sea mayor que el número de eventos posibles? b) Cuál es el mayor valor que puede tener la medida de la probabilidad? c) Y el menor valor? d) Qué significa que un fenómeno tiene probabilidad cero de ocurrir? e) Y qué significa que la probabilidad sea uno? f) Si un fenómeno tiene probabilidad uno de ocurrir, hablamos de azar? II Resuelve los siguientes problemas: 1. Un dado tiene 2 caras pintadas de verde, 2 caras pintadas de amarillo y 2 caras pintadas de rojo. Ana dice, "Yo gano si sale verde"; Bernardo dice, "Yo gano si sale amarillo o rojo" y Carlos dice, "Yo gano si no sale verde". Cuál es la probabilidad que tiene de ganar cada niño y niña al tirar este dado? 16

17 2. En una clase de 27 alumnos y alumnas, por cada 5 niñas hay 4 niños. Cuál es la probabilidad de que la primera persona que salga al recreo, tras el profesor, sea una niña? 3. Un juego de la feria consta de dos ruletas como las que se muestran en la figura. Un jugador gana un premio solo si ambas flechas caen en el área sombreada, cuando se hace girar una vez cada una de las flechas. Consideras que el juego anterior es equitativo? Justifica tu respuesta 4.- Cuando se lanzan dos dados simultáneamente, Cuál de los siguientes eventos consideras que es más probable?: a) Obtener un 5 y un 6 b) Obtener 6 en los dos dados Justifica tu respuesta 17

18 5.- Una televisión se va a rifar con cien boletos numerados del 1 al 100. En cuál de las siguientes opciones es más probable que se encuentre el numerado ganador? a) En los números pares b) En los múltiplos de 5 c) En los múltiplos de 3 d) En los diez primeros números (del 1 al 10) 6.- Carmen y Daniel han inventado un juego de dados con las siguientes reglas: - Lanzan dos dados sucesivamente y calculan la diferencia de puntos entre el mayor y el menor. - Si resulta una diferencia de 0, 1 o 2 entonces Carmen gana 1 ficha. - Si resulta 3, 4, o 5 es Daniel quien gana una ficha. - Comienzan con un total de 20 fichas y el juego termina cuando no quedan más. Te parece que este juego es equitativo? Si tuvieras que jugar, cuál jugador preferirías ser? Cuántas fichas debería ganar cada jugador para que el juego sea equitativo sin cambiar el resto de las reglas? 7.- Al lanzar tres monedas, Maria gana 10 PESOS si se obtiene 0 o 1 caras. Juan gana 10 PESOS si se obtienen 2 o 3 caras. María dice que el juego es justo porque solo hay 4 posibilidades y cada uno de ellos tiene ventajas con dos. Juan no está de acuerdo. a) Quién tiene razón? b) Cuál sería la cantidad de dinero que tiene que pagar María a Juan en caso que este gane, para que el juego sea equitativo? 18

19 8.- De una caja que contiene 5 pañuelos rojos, 3 verdes y 2 blancos, se saca sin ver un pañuelo. Qué probabilidad hay de sacar un pañuelo verde? 9.- En cuál de las siguientes opciones se presentan eventos no equiprobables? a) Si en un cajón hay 6 pares de calcetines negros y 12 calcetines blancos, cuál es la probabilidad de sacar un calcetín blanco o uno negro? b) La probabilidad de sacar de una urna 1 bola negra o 2 blancas, si en total hay 8 negras y 6 blancas c) Al lanzar un dado, cuál es la probabilidad de obtener un número par o un número mayor de 3? d) La probabilidad de obtener águila-águila o águila-sol al lanzar dos veces una moneda. 19

20 APARTADO VI Probabilidad de eventos independientes Aprendizaje esperado: Resuelvan problemas que implican calcular la probabilidad de dos eventos independientes Actividad No. 10 Resuelve los siguientes problemas, argumenta cada respuesta 1. Se lanza una moneda tres veces seguidas. a) Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras? b) Cuál es la probabilidad de obtener más caras que cruces? 2. Se lanza un dado dos veces seguidas y se suman los puntos obtenidos. a) Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea 8? b) Cuál es la probabilidad de que la suma de puntos sean menor o igual que 10? 3. Una caja contiene 6 bolas blancas y 4 bolas rojas, otra contiene 5 bolas blancas y 7 bolas rojas. Sí karla extrae una bola de cada caja. Cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas? 20

21 4. se extraen 3 canicas sucesivamente de una bolsa que contiene 8 rojas, 6 blancas y 7 azules. Encontrar la probabilidad que se extraigan en el orden roja, blanca y azul si las canicas a) se reemplazan b) no se reemplazan 5. Se tienen dos urnas: la urna A tiene dos bolas, una marcada con la letra a y otra con la letra b. La urna B tiene tres bolas, una marcada con el número 1, otra con el número 2 y otra con el número 3. Se extrae al azar una bola de la urna A y otra bola de la urna B. Cuál es la probabilidad de sacar la bola con la letra a y la bola con el número 3? 6. Se tienen dos urnas: la urna A contiene dos bolas negras y una blanca. La urna B contiene una bola negra y cuatro blancas. Se extrae al azar una bola de la urna A y otra bola de la urna B. Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras? 21

22 7. Se lanzan simultáneamente un dado y una moneda. Cuál es la probabilidad de que caiga sol y el número 4? 8. Se tiene una urna con tres bolas: una negra y dos blancas. Se extrae una bola al azar, se ve su color y se devuelve a la urna. Se mezclan las bolas y se vuelve extraer una bola al azar y se ve su color. Cuál es la probabilidad de extraer una bola negra las dos veces? 9. Una bolsa obscura contiene únicamente dos fichas de igual tamaño. Una de ellas tiene sus dos caras rojas, la otra tiene una cara azul y la otra roja. Una persona saca una ficha y muestra solo una de sus caras y resulta ser roja. Cuál de las siguientes afirmaciones consideras correcta? a) Es más probable que esta ficha tenga las dos caras rojas b) Es igualmente probable que esta ficha sea la que tiene la otra cara azul c) Es menos probable que esta ficha sea la que tiene las dos caras rojas que la de cara roja y azul. Justifica tu respuesta 22

23 10. En una caja tenemos 6 monedas verdes y 5 monedas amarillas, se extrae una moneda al azar, se regresa a la caja y después se extrae una segunda moneda, cuál es la probabilidad de que en la primer extracción la moneda sea amarilla y en la segunda extracción la moneda sea verde? 11. Se tienen dos dados, al lanzarlos al mismo tiempo, cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos de las caras superiores sean múltiplos de tres? 12. En un congreso asisten 100 personas. De ellas, 80 hablan francés y 40 inglés. Cuál es la probabilidad de que un asistente hable los dos idiomas? 23

24 APARTADO VII Probabilidad de eventos excluyentes Aprendizaje esperado: Resuelvan problemas que implican calcular la probabilidad de dos eventos que son mutuamente excluyentes Actividad No. 10 Resuelve los siguientes problemas, argumenta cada respuesta 1. En una bolsa negra se han colocado 10 canicas, de las cuales 5 son de color rojo y están numeradas del 1 al 5; 3 son de color verde y están numeradas del 6 al 8, y 2 canicas son azules y están numeradas con el 9 y 10. Si se selecciona una canica al azar de la bolsa, determine la probabilidad de que: a) salga una canica azul o un número par? b) salga azul o roja? 2. Consideren el experimento de lanzar un dado. Cuál es la probabilidad de que salga un número par o menor que tres? 24

25 3. Luisa tiene en una cajita varios carretes de hilo del mismo tamaño, entre los cuales hay 8 rojos, 5 verdes y 7 azules. Si ella saca un carrete sin ver, cuál es la probabilidad de que éste sea rojo o azul? 4. En una caja se introducen 10 bolas del mismo tamaño, 1 roja, 2 verdes, 3 blancas y 4 azules Se extrae una bola al azar y se ve el color de la bola. Cuál es el evento que tiene la misma probabilidad de no sacar una bola blanca? a) Que salga roja o verde b) Que salga blanca o azul c) Que no salga azul d) Que no salga roja, verde o azul 5. Se tira una moneda 6 veces consecutivas. Calcular la probabilidad de que aparezca cara: a) por lo menos una vez b) no menos de dos veces c) de 3 a 5 veces 25

26 APARTADO VIII simulación Aprendizaje esperado: Resuelvan problemas de probabilidad que impliquen utilizar la simulación Actividad No.11 Contesta lo que se te pide 1. Un jugador de béisbol tiene un promedio de bateo en una temporada de Es decir, el 30% de las veces que se coloca en la caja de bateo pega un hit. Se desea hacer una simulación de la situación anterior con canicas rojas y azules colocadas en una urna, de tal forma que canica azul representa pegar hit y canica roja representa no pegar hit. Selecciona la composición de la urna y las condiciones que representan la situación anterior. a) Una urna con 3 canicas azules y 7 rojas. La selección se realiza sin reemplazo b) Una urna con 3 canicas azules y 7 rojas. La selección se realiza con reemplazo. c) Una urna con 3 canicas rojas y 7 azules. La selección se realiza con reemplazo. Resuelve utilizando la simulación, para ello se te entrega material de apoyo. 2. Resuelvan la siguiente situación. Supongan que 1 de cada 5 refrescos tiene una corcholata Premiada, y que al reunir 4 de ellas se pueden canjear por un cuaderno. Cuántos refrescos es necesario comprar para obtener las 3 corcholatas premiadas? 26

27 3. Simulen el problema de encontrar la posibilidad de acertar 3 de 5 preguntas del tipo verdadero o falso. a) Cuántas canicas o papeles se deben agregar en la urna para simular la situación planteada? Cuántos tipos de canicas o papeles se utilizarían? b) Entre una extracción y otra, es necesario regresar la canica o el papel a la urna. Por qué? c) Elaboren y registren en su cuaderno una tabla de los resultados del experimento y calculen la probabilidad. 4. Un agente comercial sabe que cada vez que visita un cliente tiene 20% de probabilidad de hacer dos ventas, 50% de probabilidad de hacer sólo una y 30% de no vender nada. Un día tiene cita con cinco clientes. Cuánto puede esperar ganar ese día si por cada venta que realiza gana $20.00? 27

28 BIBLIOGRAFÍA Barrón, H ( 2008) matemáticas 3 secundaria. Por publicar Batanero, C. Godino, J. y Roa, R. (2004). Training teachers to teach probability. Journal of Statistics Education, 12(1). Godino, J., Batanero, C. y Cañizares, J. M. (1987): Azar y probabilidad. Síntesis: Madrid Guzmán, M. (2009) Comprensión que muestran profesores de secundaria acerca de los conceptos de probabilidad y sus dificultades para enfrentarse a los retos del nuevo programa de matemáticas. Tesis de Maestría no publicada Universidad Autónoma de Sinaloa, México Inzunsa, S. (2001). Una propuesta didáctica para la enseñanza de la probabilidad en el bachillerato, basada en el enfoque frecuencial y simulación computacional. Tesis de Maestría no publicada. Departamento de Matemática Educativa. Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional. México Inzunsa, S. y Juárez, J. A. (2007). Evaluación de Cultura y Razonamiento Estadístico: Un estudio con profesores de preparatoria. XII Conferencia Interamericana de Educación Matemática. Querétaro México Sánchez, E. (2000). Investigaciones didácticas sobre el concepto de eventos independientes en probabilidad. Recherches en Didactique des Mathematiques, 20(3) Sánchez, E. y Hérnandez, R. (2003). Variables de tarea en problemas asociados a la regla del producto en probabilidad. Matemática Educativa: Aspectos de la investigación actual. E. Filloy (Ed.). ( ). Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN y Fondo de Cultura Económica. Sánchez. E. (2002). Teachers beliefs about usefulness of simulations with the educational software Fathom for developing probability concepts in statistics classroom. En B. Phillips (Ed.) Proceedings of the Sixth International Conference on the Teaching Statistics. International Statistics Institute SEP (1996). Libro del Maestro de Matemáticas de Secundaria. Secretaría de Educación Pública. México SEP (2006). Educación Secundaria. Matemáticas. Programas de Estudio. Secretaría de Educación Pública. México. Evaluaciones enlace 2006, 2007, 2008 y 2009 Planes de clases propuestos por la SEP. 28

29 Revisión teórica de algunos conceptos importantes para el estudio de la probabilidad La probabilidad y sus diferentes enfoques de conceptualización Se analizará la probabilidad y sus diferentes concepciones que subyacen en la solución de problemas cotidianos de probabilidad a) Enfoque clásico En 1814, Laplace acuño la definición que actualmente se conoce como la teoría Laplaciana o clásica de probabilidad. Así la probabilidad de un evento se define como el cociente entre el número de casos favorables al evento y el número de casos posibles n( E) p( E) N Donde: E es el evento de interés p (E) es la probabilidad de ocurrencia del evento de interés n(e) es el total de casos favorables al evento E N es el total de eventos posibles La probabilidad es un número (valor) que varía entre 0 y 1. Cuando el evento es imposible se dice que su probabilidad es 0, si el evento es cierto y siempre tiene que ocurrir su probabilidad es 1 La aplicación de este enfoque al cálculo de probabilidades siempre que se cumplan las siguientes condiciones: Todos los casos posibles de un experimento aleatorio son igualmente probables El total de casos posibles debe de ser finito. Según Godino, Batanero y Cañizares (1987) esta definición se encontró inadecuada, incluso en la época de Laplace, ya que además de ser circular y restrictiva, no da respuesta a la pregunta de qué es realmente la probabilidad, únicamente proporciona un método práctico de cálculo de cálculo de probabilidades de algunos sucesos sencillos. Ya que, es suficiente para calcular la probabilidad en juegos de azar basados en dados, monedas, cartas. Extracción de bolas de una urna, sorteos o lotería nacional. 29

30 Sin embargo, bajo este enfoque no es posible considerar problemas cómo: en un proceso de fabricación de piezas puede haber algunas defectuosas y si queremos determinar la probabilidad de que una pieza sea defectuosa no podemos utilizar la definición clásica pues necesitaríamos conocer previamente el resultado del proceso de fabricación. Tampoco podemos calcular Cuál es la probabilidad que una persona sea morena?, cuál es la probabilidad que una persona pertenezca un partido político? A esta definición clásica de probabilidad también se le conoce con el nombre de probabilidad a priori pues, para calcularla, es necesario conocer, antes de realizar el experimento aleatorio, el espacio muestral y el número de resultados o sucesos elementales que entran a formar parte del suceso. b) Enfoque frecuencial Cuando queremos aplicar la idea de probabilidad a situaciones del mundo físico o natural como a la medicina, a la industria, el resultado de elecciones, accidentes, meteorología, etc. Nos encontramos con que no podemos aplicar el principio de equiprobabilidad. Para resolver estos casos, se hace una extensión de la definición de probabilidad, de manera que se pueda aplicar con menos restricciones, llegando así al enfoque frecuencial de probabilidad. El libro del maestro (SEP, 1996) presenta la siguiente fórmula frecuencial o empírica de la probabilidad. Esta fórmula proporciona una estimación de la probabilidad que puede cambiar, dependiendo del número de observaciones realizadas. 30

31 En este enfoque se define la probabilidad como una frecuencia relativa, la cual descansa en la idea de que un experimento A se efectúa y se repite muchas veces, y prácticamente bajo las mismas condiciones Bernoulli sugirió que podíamos asignar probabilidades a los sucesos aleatorios a partir de la frecuencia relativa observada en una serie de grandes ensayos del experimento, su demostración de la primera ley de los grandes números fue aceptada en su época como un apoyo al carácter objetivo de la probabilidad. Dicho teorema indica que la probabilidad de que la frecuencia relativa de un experimento repetido en las mismas condiciones se acerque tanto como queramos a la probabilidad teórica del suceso puede aproximarse suficientemente a uno, sin más que aumentar el número de pruebas Entonces la noción intuitiva de probabilidad de este enfoque se basa en la suposición de que si en n ensayos idénticos de un experimento aleatorio el evento A ocurre f veces, y si el valor n es f muy grande, entonces la frecuencia relativa se aproxima a la probabilidad p del evento A. n La formalización de lo anterior, está dada por la ley de los grandes números: Si repetimos n veces el experimento en las mismas condiciones (ensayos Bernoulli), la frecuencia relativa del suceso A será: Cuando el número n de repeticiones se hace muy grande la frecuencia relativa converge hacia un valor que llamaremos probabilidad del suceso A. A esta definición también se le llama probabilidad a posteriori ya que sólo podemos dar la probabilidad de un suceso después de repetir y observar un gran número de veces el experimento aleatorio correspondiente La aplicación de este enfoque en el cálculo de probabilidades requiere de: Que el experimento se repita en condiciones idénticas Que las repeticiones sean independientes una de otras 31

32 Que el número de repeticiones sea lo suficientemente grande como para lograr la estabilización de las frecuencias. Este enfoque es muy útil cuando disponemos de datos estadísticos sobre un gran número de caos, aunque, tenemos un problema práctico es que nunca obtenemos el valor exacto de la probabilidad, sino sólo una estimación ya que, es difícil saber cuál es el número de experimentos necesarios que debemos realizar para aceptar la estimación de la probabilidad como aceptable, asimismo a veces también es imposible realizar los experimentos en las mismas condiciones. Ciertos sucesos aunque sean aleatorios son irrepetibles en las mismas condiciones como por ejemplo en el campo de la historia y la economía c) Enfoque subjetivo Tanto la definición clásica como la frecuencial se basan en las repeticiones del experimento aleatorio; pero existen muchos experimentos que no se pueden repetir bajo las mismas condiciones y por tanto no puede aplicarse la interpretación objetiva de la probabilidad. En esos casos es necesario acudir a un punto de vista alternativo, que no dependa de las repeticiones, sino que considere la probabilidad como un concepto subjetivo que exprese el grado de creencia o confianza individual sobre la posibilidad de que el suceso ocurra. Se trata por tanto de un juicio personal o individual y es posible por tanto que, diferentes observadores tengan distintos grados de creencia sobre los posibles resultados, igualmente válidos. Keyness, Ramsey y De Finetti describen las probabilidades como grados de creencia personal basados en conocimiento y experiencia de la persona, quien los asigna sobre el suceso dado, Por lo cual, la probabilidad puede ser diferente para cada persona. Una dificultad inicial del enfoque subjetivo es hallar una regla para asignar valores numéricos a las probabilidades, de forma que expresen la creencia personal. En 1974 De Finetti postula la condición de coherencia, a partir de un sistema de apuestas e inferir los valores de las probabilidades subjetivas: se supone que ni deseas hacer apuestas que con seguridad te guiará a la pérdida. Aunque sigue la controversia sobre el estatuto científico de las probabilidades subjetivas. 32

33 IDEAS ESTOCÁSTICAS FUNDAMENTALES. Además de los enfoques de probabilidad, es necesario revisar otras ideas estocásticas que se encuentran presente en el programa 2006 de matemáticas de secundaria como son: Espacio muestral Equiprobabilidad y juego justo La probabilidad y sus diferentes enfoques de conceptualización Eventos independientes Eventos mutuamente excluyentes(regla de la suma) Simulación: urnas de Bernoulli Espacio muestral Espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados de un experimento o fenómeno aleatorio. La determinación del espacio muestral en una situación de azar se relaciona estrechamente con los problemas de conteo. La dificultad que enfrentan los alumnos para enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria influye poderosamente en el cálculo de la probabilidad de un evento. (SEP, 2006) Equiprobabilidad y juego justo Cuando todos los sucesos de un experimento tienen la misma probabilidad de ocurrir se dice que son equiprobables Se dice que dos sucesos posibles de un experimento son equiprobables cuando la probabilidad de ocurrencia de ambos sucesos es la misma. Matemáticamente: P(A) = P(B) Siendo A y B resultados posibles de un mismo experimento. 33

34 Ejemplo: Cuando se lanza una moneda que no está cargada, la probabilidad de que salga sol es la misma que salga águila. Probabilidad de sacar una pelota azul es la misma que la probabilidad de sacar una pelota amarilla El juego y la probabilidad Para diseñar un juego que verdaderamente acepte y disfrute mucha gente se consideran varios aspectos, y uno de los más importantes es que sea justo. Se puede considerar que un juego es justo si cada jugador tiene la misma probabilidad de ganar, y es injusto cuando un jugador tiene más probabilidades de ganar que otro Ejemplo: Carmen y Daniel juegan a lanzar dos dados. Las reglas son las siguientes: En cada lanzamiento se calcula la diferencia entre los puntos de ambos dados, si es 0, 1 o 2, Carmen gana una ficha. Si resulta 3, 4 o 5, Daniel gana una ficha. El juego se inicia con un total de 20 fichas, de las que se toma una cada vez que gana un jugador. El juego termina cuando no quedan más fichas. Si tuvieran que jugar, qué jugador preferirían ser? Por qué? (SEP, 2006, Pág.60) este No es un juego injusto Eventos independientes. La realidad presenta sucesos compuestos, por lo cual es importante revisar la idea de independencia, para utilizar adecuadamente el producto cartesiano, el diagrama de árbol y el diagrama de Venn que nos ayude a construir el espacio muestral de los experimentos compuestos. 34

35 Dos sucesos son independientes si el resultado de uno no influye en el resultado del otro. Se dice que dos eventos A y B son independientes cuando la ausencia o presencia de A es independiente de la presencia o ausencia de B Ejemplos tomados del programa de matemáticas (SEP, 2006, Pág. 95) Se lanzan cinco volados consecutivos y en todos ellos ha caído sol. Cuál es la probabilidad de que en el sexto volado también caiga sol? A menos que la moneda o las condiciones del lanzamiento sean truncadas, la probabilidad de obtener sol en una serie de volados siempre es 1 Los resultados de un lanzamiento y otro son 2 eventos independientes, es decir, la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro. Se lanzan simultáneamente un dado y una moneda. Cuál es la probabilidad de que caiga sol y el número 5? La probabilidad de obtener un cinco al arrojar un dado es en un volado es: 1 2 Entonces la 1 y la probabilidad de que salga sol 6 probabilidad de obtener un cinco y un sol al lanzar simultáneamente un dado y una moneda es 1 de 1, esto es, igual a 1 x 1 = El razonamiento utilizado es conocido como la regla del producto. Y surge cuando se desea encontrar la probabilidad conjunta de dos o más eventos, conociendo la probabilidad de cada uno de dichos eventos y la relación de independencia entre ellos. 35

36 Se formaliza en el teorema de multiplicación de probabilidades también conocido como regla del producto de probabilidades: Si la probabilidad de que ocurra el evento A es P(A) y la probabilidad de que ocurra el evento B es P (B), entonces la probabilidad que ocurran conjuntamente los eventos A y B es P(A) x P (B) siempre cuando los eventos sean independientes. La probabilidad de que ocurran dos eventos a la vez debe ser menor que la probabilidad de que ocurra cualquiera de ellos. La regla del producto fue aplicada por los pioneros de la probabilidad aunque no fue explícitamente enunciada en su relación con la dependencia o independencia de eventos, siendo De Moivre quien enuncia la independencia pero poco después Laplace la expresa: uno se los aspectos más importantes de la teoría de las probabilidades, y el que a más ilusiones se presta, en la forma en que las probabilidades aumentan o disminuyen merced a combinaciones mutuas. Si los eventos son independientes unos de otros la probabilidad de la existencia de su conjunto es el producto de sus probabilidades particulares (citado por Sánchez, E) 36

37 Eventos mutuamente excluyentes Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si no pueden presentarse simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento. Ejemplo: Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga águila o sol pero no los dos a la vez, esto quiere decir que estos eventos son excluyentes. La regla de Laplace no la podemos aplicar a problemas más complejos como la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par o un número menor que 2. Entonces la regla de adición nos permite obtener este tipo de probabilidades, la cual consiste en calcular la probabilidad de un suceso compuesto calculando por separado la probabilidad de cada evento más simple que lo componen y luego sumar sus probabilidades con la condición que los eventos sean mutuamente excluyentes. Formalizando la Regla de la suma: si A y B son eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad total de que ocurra uno u otro se obtiene sumando la probabilidad de cada evento P(A o B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente. Aplicando esta fórmula al problema anterior del lanzamiento del dado obtenemos: La probabilidad de que salga un número par es La probabilidad de que sea menor que 2 es P (par o menor 2) = (son el 2, 4,6) 6 1 (el 1) entonces la respuesta al problema es: 6 En el programa de matemáticas de secundaria no se propone explícitamente trabajar con eventos que no son mutuamente excluyentes, sin embargo en los planes de clase y en las sugerencias didácticas algunos problemas que involucran la regla de la suma, no se trata de eventos mutuamente excluyentes. La regla de la suma para eventos no excluyentes es: P(A o B) = P(A) + P (B) P(A y B) si A y B son no excluyentes Donde: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A 37

38 P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B Ejemplo: Consideren el experimento de lanzar un dado Cuál es la probabilidad de que salga un número par y menor que tres? Pareciera que es igual que el anterior pero: Números pares: 2, 4, 6 Números menores que 3: 1, 2 Si sumamos las probabilidades estaríamos repitiendo el número dos, por lo cual es necesario identificar que no son dos eventos mutuamente excluyentes, para aplicar la regla correspondiente: Simulación: urnas de Bernoulli En el análisis de problemas de probabilidad la simulación es muy útil para comprenderlos. La simulación consiste en poner en correspondencia dos experimentos aleatorios diferentes. La condición elemental es que a cada suceso elemental del primer experimento le corresponda un suceso elemental del segundo y sólo uno, de forma que los sucesos puestos en correspondencia en ambos experimentos sean equiprobables. (Batanero,) Es decir, se trata de explorar el comportamiento de una experiencia aleatoria observando otra experiencia equivalente, pero más fácil de realizar. Para simular un problema se utiliza preferentemente material manipulable (urnas, dados, monedas, ruletas, etc.) o el uso de software (simuladores) en las computadoras. Un ejemplo de simulación sería el experimento aleatorio consistente en observar el sexo de un recién nacido por el experimento aleatorio del lanzamiento de una moneda. Un modelo muy común para simulación es el de Urnas, el cual consiste en extraer al azar una o más canicas(o papelitos) de una caja (urna) donde hay de diversos colores(o marcados con números diferentes) Un ejemplo del uso del modelo de urnas en la simulación de un problema es el siguiente, el cual fue tomado de los planes de clase.( 38

39 En un lago se encuentran nadando tranquilamente 6 hermosos patos, pero se ha terminado la veda y rodeando al lago se encuentran 6 estupendos cazadores dispuestos a cazarlos. En un momento determinado disparan todos los cazadores a la vez y, como son tan buenos, todos los tiros dan a algún pato. Pero, como no se habían puesto de acuerdo a qué pato disparar, hay algunos que se salvan (y sin perder ni un solo segundo salen volando) y otros que reciben más de un tiro. Cuántos patos se pudieron haber salvado? Una estrategia de simulación consiste en colocar en una caja 6 papelitos numerados del 1 al 6, las cuales representan a cada uno de los patos, después extraer al azar un papel para conocer el pato que recibe el disparo del primer cazador, devolver el papel a la caja; repetir 5 extracciones semejantes, que simulan los disparos de los cazadores faltantes y que permiten conocer los patos que reciben sus correspondientes tiros. Aleatoriedad La concepción de suceso aleatorio ha sido un elemento clave a lo largo de la historia del conocimiento probabilístico. Aleatorio es aquello que sucede cuyas causas son desconocidas y el azar personifica los fenómenos aleatorios. Esta interpretación corresponde a la primera fase histórica en el desarrollo de la idea de aleatoriedad que finaliza en la edad media Basado en fenómenos deterministas, se dice que todo sucede por una causa y que el azar es debido a nuestra ignorancia. Batanero reconoce que una primera acepción de lo aleatorio se recoge en el diccionario de M. Moliner( 1983): incierto se dice que depende de la suerte o del azar, siendo el azar la supuesta causa de los sucesos no debidos a una necesidad natural, ni a una intervención humana, ni divina. Batanero considera que los fenómenos aleatorios son aquellos a los que se les puede aplicar el cálculo de probabilidades, que seguirá siendo válido mientras no se encuentre sus propias reglas. En la actualidad se considera que los fenómenos o experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser observado en la realización del experimento. 39

40 PROPÓSITO DE LA ENSEÑANZA DE PROBILIDAD En el caso de la probabilidad los alumnos anticipan resultados, realizan actividades de simulación y exploración de fenómenos aleatorios y expresan propiedades, como la independencia, la equiprobabilidad, la complementariedad, etc. De este modo se intenta propiciar el desarrollo del pensamiento probabilístico (SEP, 2006, p. 9). Cuadro de apartados de probabilidad programa de matemáticas 2006 GRADO APARTADO CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES Enumerar los posibles resultados de una experiencia. Aleatoria Utilizar la escala de la probabilidad entre 0 y 1 y vincular las diferentes formas de expresarlas. Establecer cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir y justificar su repuesta 5.4 Reconocer las condiciones necesarias para que un juego sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son 5.4 mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia Utilizar la simulación para resolver situaciones probabilísticas. 40

41 ANEXOS 41

42 Descripción del cuestionario 1. Cuál de las siguientes sucesiones consideras que es más probable de aparecer al lanzar una moneda equilibrada al aire 5 veces? a) AAASS b) ASSAS c) ASASA c) SASSS e) Las cuatro sucesiones son igual de probables. Justifica tu respuesta Propósito del Ítem: Con este ítem nos proponemos conocer si los profesores tienen en cuenta ciertas propiedades de las secuencias aleatorias. Particularmente nos interesa ver si presentan una concepción equivocada conocida como heurística de representatividad y un sesgo que se deriva de ella conocido como insensibilidad al tamaño de muestra. El ítem ha sido utilizado en diversas investigaciones sobre razonamiento probabilístico, y tiene su origen en los trabajos de los psicólogos Kahneman, Slovic y Tversky (1982). 2. Se tienen dos urnas: la urna A tiene dos bolas, una marcada con la letra a y otra con la letra b. La urna B tiene tres bolas, una marcada con el número 1, otra con el número 2 y otra con el número 3. Se extrae al azar una bola de la urna A y otra bola de la urna B. Cuál es la probabilidad de sacar la bola con la letra a y la bola con el número 3? a) 5/6 b) 2/5 c) 1/6 d) Otra Justifica tu respuesta: Propósito del Ítem: Con este ítem nos proponemos conocer si los profesores identifican que el problema involucra dos eventos independientes y que para calcular la probabilidad indicada se requiere aplicar la regla del producto; es decir, se deben multiplicar las probabilidades de ambos eventos. El ítem fue tomado de una investigación realizada por Sánchez y Hernández (2003) con estudiantes de preparatoria. 42

43 3. El siguiente mensaje está impreso en un frasco de prescripción médica. Advertencia: En aplicaciones en área de la piel, existe un 15% de probabilidad de que se presente irritación. Si se presenta irritación, consulte a su médico. Cuál de los siguientes enunciados consideras que es la mejor interpretación de la advertencia? a) No usar el medicamento en la piel, pues existe buena posibilidad de que se presente irritación. b) Para aplicación en la piel, aplicar solamente el 15% de la dosis recomendada. c) Si se genera irritación, esto afectará probablemente solo el 15% de la piel. d) Aproximadamente 15 de cada 100 personas que usan este medicamento se les irrita la piel. e) Hay una mínima posibilidad de que se irrite la piel usando este medicamento. Justifica tu respuesta: Propósito del ítem: Con este ítem nos proponemos conocer si los profesores interpretan correctamente la probabilidad de un evento enunciada desde un punto de vista frecuencial. El ítem ha sido utilizado en otras investigaciones con profesores de preparatoria, como lo reportan Inzunsa y Juárez (2007). 4. Cuando se lanzan dos dados simultáneamente, Cuál de los siguientes eventos consideras que es más probable?: a) Obtener un 5 y un 6 b) Obtener 6 en los dos dados Justifica tu respuesta Propósito del Ítem: Con este ítem se busca conocer si los profesores muestran un buen razonamiento combinatorio. Para responderlo correctamente deben considerar que los eventos no son equiprobables ya que hay dos resultados posibles con 5 y 6, mientras que hay una sola posibilidad para 6 y 6. El ítem fue tomado de Green (1983). 5. Se tienen dos urnas: la urna A contiene dos bolas negras y una blanca. La urna B contiene una bola negra y cuatro blancas. Se extrae al azar una bola de la urna A y otra bola de la urna B. Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras? a) b) c) d) Otra 43

44 Propósito del Ítem: Con este ítem nos proponemos conocer si los profesores identifican que el problema involucra dos eventos independientes y que para calcular la probabilidad indicada se requiere aplicar la regla del producto; es decir, se deben multiplicar las probabilidades de ambos eventos. El ítem fue tomado de una investigación realizada por Sánchez y Hernández (2003). 6. Se tiene una urna con tres bolas: una negra y dos blancas. Se extrae una bola al azar, se ve su color y se devuelve a la urna. Se mezclan las bolas y se vuelve extraer una bola al azar y se ve su color. Cuál es la probabilidad de extraer una bola negra las dos veces? a) b) c) d) Otra Justifica tu respuesta Propósito del Ítem: Con este ítem nos proponemos conocer si los profesores identifican que el problema involucra dos eventos independientes y que para calcular la probabilidad indicada se requiere aplicar la regla del producto; es decir, se deben multiplicar las probabilidades de ambos eventos. Sin embargo, la diferencia con los ítems anteriores sobre este mismo concepto es que ahora se trata de una sola urna, por lo que se busca evaluar además que la opción del reemplazo conlleva a la independencia de los eventos y a la aplicación del producto de probabilidades. El ítem fue tomado de una investigación realizada por Sánchez y Hernández (2003) con estudiantes universitarios. 7. La siguiente gráfica representa las frecuencias relativas de águilas que se obtuvieron al lanzar una moneda al aire 30 veces seguidas. Con base en la gráfica contesta lo siguiente: a) La moneda era legal (equilibrada) b) La moneda estaba sesgada (desequilibrada) c) No se puede determinar si la moneda estaba sesgada o no con los datos de la gráfica Justifica tu respuesta. 44

45 Propósito del Ítem: Con este ítem nos proponemos investigar la comprensión que tienen los profesores del enfoque frecuencial de la probabilidad y de la ley de los grandes números. La respuesta correcta está dada por el inciso c, ya que si bien después de 30 lanzamientos de la moneda la frecuencia de águilas es 0.7, no es un número suficiente de lanzamientos para lograr que la frecuencia se estabilice y sea considerada como un valor cercano a la probabilidad teórica. El ítem fue diseñado por la autora para la presente investigación. 8. Un jugador de beisbol tiene un promedio de bateo en una temporada de Es decir, el 30% de las veces que se coloca en la caja de bateo pega un hit. Se desea hacer una simulación de la situación anterior con canicas rojas y azules colocadas en una urna, de tal forma que canica azul representa pegar hit y canica roja representa no pegar hit. Selecciona la composición de la urna y las condiciones que representan la situación anterior. a) Una urna con 3 canicas azules y 7 rojas. La selección se realiza sin reemplazo b) Una urna con 3 canicas azules y 7 rojas. La selección se realiza con reemplazo. c) Una urna con 3 canicas rojas y 7 azules. La selección se realiza con reemplazo. Justifica tu respuesta Propósito del Ítem: Con este ítem nos proponemos investigar si los profesores identifican las propiedades esenciales de un experimento aleatorio que puede ser modelado mediante una urna Bernoulli y deciden correctamente sobre los dos eventos posibles. Cabe señalar que el reemplazo y el no reemplazo juegan un rol muy importante para lograr que la probabilidad permanezca constante de una extracción a otra, aspecto que es central en los fenómenos tipo Bernoulli. El ítem fue diseñado por la autora para esta investigación. 45

46 9. Un dado equilibrado fue lanzando al aire 60 veces, Cuál de las siguientes gráficas te parece más apropiada para representar los resultados obtenidos? Justifica tu respuesta. Propósito del Ítem: Con este ítem nos proponemos investigar si los profesores tienen en cuenta la variabilidad en las frecuencias relativas cuando se observa un fenómeno aleatorio, sobre todo cuando se ha observado pocas veces. El ítem también evalúa una comprensión intuitiva de la ley de los grandes números en probabilidad, ya que las frecuencias relativas convergen a las probabilidades teóricas pero cuando el fenómeno ha sido observado una gran cantidad de veces. La respuesta correcta puede ser el inciso a o el inciso c. El ítem fue diseñado por la autora para esta investigación. 10. En una bolsa negra se han colocado 10 canicas, de las cuales 5 son de color rojo y están numeradas del 1 al 5; 3 son de color verde y están numeradas del 6 al 8, y 2 canicas son azules y están numeradas con el 9 y 10. Si se selecciona una canica al azar de la bolsa, determine la probabilidad de que: a) Salga una canica verde y un número impar? b) Salga una canica azul o un número par? c) No salga un número par? d) Salga azul o roja? Propósito del Ítem: Con este ítem nos proponemos investigar si los profesores distinguen dentro de un mismo problema preguntas que requieren la aplicación de la regla de la suma, el producto y la complementariedad de probabilidades. El ítem fue diseñado por la autora para esta investigación. 46

47 11. En un almacén 90% de las manzanas son rojas y 10% son verdes. Si se toman al azar dos manzanas, Cuál es la probabilidad de que ambas manzanas sean rojas? a) b) c) d) Otra Justifica tu respuesta Propósito del Ítem: Con este ítem nos proponemos investigar si los profesores identifican la situación como un problema que requiere la aplicación de la regla del producto pero a diferencia de los ítems anteriores que evalúan el mismo concepto, en este caso no es en contexto de urnas; además, la información está dada en porcentajes. El ítem fue tomado de Sánchez y Hernández (2003). 12. En una clase se pidió a los niños que lanzaran una moneda 40 veces. Algunos hicieron el experimento, pero otros hicieron trampa y solo colocaron el resultado como si realmente lo hubieran hecho. Utilizaron A para águilas y S para soles. A continuación se muestran los resultados de Juan y Pedro. Juan: A S A S S A A S A S A A S S A S S A A S S A S A A S S A S A S A S A S A S S A S Pedro: A S S S A S S A S A S S S A S S S S A A S S S A S S A S S A S S S S A S S S A S Consideras que tanto Juan como Pedro hicieron el experimento? ó Quién sí lo hizo y quién no? Justifica tu respuesta Propósito del Ítem: Con este ítem nos proponemos investigar si los profesores tienen en cuenta propiedades de las secuencias aleatorias. En particular nos interesa ver si toman en cuenta la frecuencia de cada resultado o la presencia de rachas alternadas de resultados o ambas en su idea de aleatoriedad. El ítem fue tomado de Godino, Batanero y Roa (2008). 47

48 13. Un juego de la feria consta de dos ruletas como las que se muestran en la figura. Un jugador gana un premio solo si ambas flechas caen en el área sombreada, cuando se hace girar una vez cada una de las flechas. Consideras que el juego anterior es equitativo? Justifica tu respuesta Propósito del Ítem: Este ítem tiene la característica que nos permite evaluar diferentes conocimientos que los profesores pueden poner en juego para resolverlo, pero en esencia trata de un juego equitativo. Pueden resolverlo aplicando la regla del producto, multiplicando ambas probabilidades de ganar y decidir si es equitativo. También se puede resolver enumerando los posibles resultados que se pueden obtener considerando ambas ruletas y aplicar la definición de probabilidad clásica. El ítem ha sido tomado de Shaughnessy (2003). 14. Consideren el experimento de lanzar un dado. Cuál es la probabilidad de que salga un número par o menor que tres? Propósito del Ítem: Con este ítem muy sencillo en el cual nos proponemos ver si los profesores identifican las situación para aplicar la regla de la adición de probabilidades. 15. Una urna contiene dos bolas blancas y dos bolas rojas. Seleccionamos dos bolas al azar, una después de la otra y sin reemplazo. Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja dado que la primera también fue roja? Propósito del Ítem: Con este ítem nos proponemos ver si los profesores identifican que la situación trata de dos eventos dependientes en donde se involucra el no reemplazo y que requiere de calcular la probabilidad condicional. El ítem ha sido tomado de Falk (1988). 48

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