INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA. Fundamentos de Regulación y Automática. Análisis de Sistemas

Transcripción

1 INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTIA Fudao d Rgulació y Auoáica Aálii d Sia

2 FUNDAMENTOS DE REGULAIÓN AUTOMÁTIA Aálii d Sia Jua Lui Roja Ojda Igiría d Sia y Auoáica Uivridad d ádiz Spibr 00

3 ANEXO B : Traforada d Laplac A.. ONEPTO E l udio d ia ha ido fudaal l uo d driada hrraia aáica qu proporcioa u éodo cillo y ficaz para l aálii y la íi a lo qu gral aplica igiría. La raforada d Laplac d ua fució rapora ua fució l doiio d la variabl ral ipo, a oro d variabl coplja dod driada propidad o pri oprar co fucio d fora á cilla. Ua vz ralizada la opracio caria, la raforada ivra o dvolvrá al doiio poral dod rcobra igificació la rlacio á abraca ralizada l doiio copljo. A.. DEFINIIÓN La fució f l doiio dl ipo apa al doiio qu, gral, u copljo σ jω, dia la raforació: L [ f ] F 0 f d A. E la Figura A- hac ua rpració cocpual d a raforació. Figura A- Traforació d Laplac E ocaio doa por f F al par raforado y por L - [F] f A. a la raforació ivra qu porior dfiirá. Ejplo a.. La raforada d δ rá: δ d 0 para obr rulado prcio aplicar la propidad d δ: δ f d f 0

4 Ejplo a.. Traforada dl caló uiario u: L[u] 0 u d 0 d Ejplo a.. La raforada d ua fució xpocial coo a L [ ] a a d 0 0 d a a rá A. A.4 La raforada d ucha fucio coocida cura la Tabla y la bibliografía rñada capíulo. Tabla. Traforada d Laplac d algua fucio ipora F F δ u Ecaló uiario rapa uiaria 4,,,...!,,,...! 6 a a 7 ω ω ω 8 oω ω 9 a ω ω a ω a 0 co ω a a hω ω ω cohω ω ω ω

5 A.. PROPIEDADES La propidad qu a coiuació dcrib, o ólo rpra ua cualidad aáica io qu guarda igificado rpco d la ñal y ia fíico obr lo qu apliqu. E, pu, ipora raar d drla cuao a a dobl vri, aáica y fíica. Lialidad Si L[f ] F y L[f ] F, cupl qu: L[a f b f ] af b F A. Ejplo a.4: Sa f 4 la raforada rá F 4 7 Tralació l ipo Si L[f] F, oc L[ f 0 u 0 ] 0 F 0 0 A.6 E la Figura A- rpra ua fució acoada por l orig y raladada l ipo. Figura A-. Fució fu raladada Ejplo a.: Sa f u la raforada rá F abio d cala l ipo L[ f a ] F a a co a > 0 A.7 Exprió quival a : L f αf α α 4

6 Ejplo a.6 Obr la raforada d f 0. abido qu ; L [ ] Solució: f / ;a / ; Tralació la frcucia F 0. L[ α f ] F α A.8 Ejrcicio propuo: Obr la raforada d L[ co ω ] abido qu L[ co ω ] ω. oparar co l obido aplicado la dfiició d la raforada. α Solució: α ω α Tora d la drivada difrciació ral L[ f ' ] F f 0 A.9 dod ha plado la oació f' para la drivada d la fució rpco dl ipo y f0 para l valor d la fució cuado 0 dd valor poiivo. Ejplo a.7: Obr la raforada d Laplac d la fució g 0 para < 0 co ω para 0 abido qu la raforada d f 0 para < 0 ω para 0 ω ω ω Solució: Tido cua l ora arior d ω F f 0 d ω L [coω ] L [ ] ω La gralizació dl ora d la drivada o proporcioa

7 L[ f ] F f 0 f ' 0 f 0 f 0 A.0 d f dod ha plado la oació f y lo ério co igo d gaivo dl ibro drcho d la cuació A.6 coi lo valor d la drivada d ord ucivo l orig. Drivada l doiio raforado difrciació coplja S dura vr rfrcia y qu La gralizació d A.7 o coduc a la xprió: f F A. L[ f ] F A. Ejplo a.8: Obr la raforada ivra d / Téga cua qu la raforada ivra d / l caló uiario Tido cua qu d d, d dbrá r L - u r d rapa uiaria Gralizado l jrcicio arior i: d d! y coidrado A.6:! L[ ] A. Ejplo a.9: Si f oc F oidrado l ora d la ralació coplja y aplicado a lo arior dduc qu 6

8 a! A.4 a Ejplo a.0: Si F f 4, oc 4 Tora d la igral dod f 0 rfrcia []. F f 0 A. L [ f d] f d Tora dl valor fial valuada 0. Para ayor dall coul la E ipora ora l udio d la rpua d ia rlacioa l valor acioario d la fució f co l d u raforada ipr qu xia l priro y ipr qu f y u drivada ga raforada d Laplac, oc: li f li F A.6 0 y para cuya doració o riio a la rfrcia ya ciada. Ejplo a.: Obr li Téga cua qu la raforada ivra d / l caló uiario y qu d d, dbrá r d L - u r d rapa uiaria Tora dl valor iicial Rpra l dual dl arior, y ucia coo igu: f 0 li F A.7 El valor dl líi oado por la drcha, dcir, para poiivo y uy próxio a cro. 7

9 Igral d covolució S dfi la igral d covolució d do fucio f y f coo: 0 f τ f τ dτ A.8 y doa a opració coo f * f. Sa L [f ] F y L[f ] F, cupl qu: L[ f * f ] F F A.9 lo cual igifica qu la covolució d do fucio l doiio poral ralada coo produco algbraico d la fucio corrpodi l doiio raforado. Exi ua propidad dual d la arior para l doiio raforado, dcir, L [ f f ] F *F A.0 E la Tabla iiza la propidad arior. 8

10 Propidad Tabla. Ru d la propidad ipora d la Traforada d Laplac odicio: L[f ] F, L [f ] F ; a R α R Lialidad L[a f b f ] af b F Tralació l ipo L [ f 0 u 0 ] 0 F 0 0 abio d cala l L [ f a ] F, ipo a a a > 0 Tralació la frcucia L [ f F α Tora d la drivada ral L [ f ' ] F f 0 Gralizació L [ f ] F f 0 f ' 0 f 0 f Drivada l doiio raforado coplja df L [ f ] d L [ f ] F o Gralizació L [ f ] F Tora d la igral F f 0 L[ f d] Tora dl valor fial li f li F 0 f 0 Tora dl valor iicial li F Igral d covolució L[ f * f ] F F 0 9

11 A.4. TRANSFORMADA INVERSA La obció d la fució ral parido d la coplja pud ralizar por diio éodo. Méodo d la igral coplja S aplica la igral coplja c j f L - [F] πj c j F d > 0 A. dod c doia abcia d covrgcia qu db r lgida para icluir odo lo puo igular d F. Dcopoició fraccio No ipr a igral fácil d hallar por lo qu a uro propóio abordaro l éodo á cillo d rcurrir a la abla d raforada d Laplac cuado la fució puda r dcopua fucio cilla d la fora F F F F E cao la olució rá: f f f f uado la fució ha raladar al doiio dl ipo ua fució racioal N d la fora: F, la qu l grado dl polioio dl urador D igual o ifrior al polioio dl doiador fracció propia, rcurr a dcoporla ua fraccio parcial á ipl F N c c D p p A. dod p i, o la raíc dl polioio doiador doiada polo y c i o lo riduo d la fució valuado u corrpodi polo, o a: c [ pi F ] pi A. i E éodo y gú a la raíc pud dar lo igui cao: Raíc ral ipl 0

12 E cao aplica la raforada ivra a cada uo d lo ério dl ibro d la drcha d A.. Ejplo a.: Sa F La raíc dl polioio doiador o 0, - y - y lo riduo corrpodi ; r ; r ; r por lo qu 6 4 F y, rcurrido a la abla obi f 6 4 Raíc ral úlipl uado D po raíc úlipl, dcir, facor d la fora p i dbrá dcopor la fracció d la fora: i i i p p p A.4 Su raforada ivra fució d la propidad d la raforada ría i!! A. Lo cofici pud calcular aplicado la fórula: [ ] i i r r r p F d d r! A.6

13 Ejplo a.: Sa c c r F Fució qu i u polo ipl - y uo dobl -. Podo obr lo riduo 0 d d c c r y d aquí f 0 E ocaio poibl obr lo cofici d la fraccio d igual fora qu la raíc ipl. Ejplo a.4: Sa F la fracció pud dcopor d la fora B A F y d la arior i para lo urador: B A igualado cofici y d aquí: 0 B A B B A

14 por ao: F para obr la raforada ivra dl prir uado coidér la propidad d la drivada la frcucia, dcir: df d - L [ ] a d d a a f - L [ ] por idéico arguo: d d a a a L [ ] Aí pu: f L - u éga cua qu uliplicar por u quival a la rricció 0 Raíc coplja E lo jplo arior odo lo polo ra ral. E l cao d qu xia polo copljo f codrá ério co xpocial coplja qu rá par cojugado, lo cual coducirá a iuoid co cofici xpocial, coo ura l igui jplo. Ejplo a.: Sa F 4 cuyo polo o: 0 y lo copljo - j y - -j. D acurdo co lo arior j j 4 j j El rulado d la raforació ivra o proporcioa f j j j j

15 Si oprao coidrado la fórula d Eulr, podo obr la igui fució ral: f co Tério cuadráico U éodo alraivo al arior qu liia la aipulació d úro copljo coi l plo d ério cuadráico. Ejplo a.6: E cao podo dcopor la fució dl jplo arior d la igui ara: 4 A B 4 A 4 B 4 Por idificació d lo cofici d lo polioio dl urador i: d dod A, B - y Suiuido la fució A B 0 4A A 4 4 S bucará ahora xprar la arior lo ério qu figura la fila 9 y 0 d la abla d raforada, por lo qu la arior xprió qudaría 4 9 lo cual o proporcioaría gú la abla f co ω ω Fraccio ipropia Si l urador d grado uprior al doiador rduc hacido la diviió haa obr ua par ra a ua fracció propia. 4

16 Ejplo a.7: Sa F 4 Dividido y obido la fraccio ipl lo cual aplicado la abla d raforada o da: f δ 4 A.. SOLUIÓN DE EUAIONES DIFERENIALES POR LAPLAE La raforada d Laplac pla a udo para rolvr cuacio difrcial. Para llo igu lo igui pao: - S aplica la raforada a la cuació difrcial - S dpja algbraica la fució - S obi la raforada ivra Ejplo a.8: Rolvr la cuació difrcial Aplicado la TDL X X dx x d x 0 0 x 0 X X x A B A B Obo lo valor A y B -, por lo qu: x

17 Ejplo a.9: Rolvr la cuació difrcial Aplicado la TDL X x' dado valor y dpjado d x dx x d d x 0 x' x 0 [ X x 0 ] X X El ro coo lo raado la olució d raíc coplja haa llgar a la olució x co Ejplo a.0 : Hallar la olució d Aplicado la raforada ido Y Suiuydo y dpjado X x 4 x x y y para y 4 X Y y oado la raforada ivra x 0. co