[ 1] Transformada de Laplace Definición de la Transformada de Laplace
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- José Antonio Caballero Pereyra
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1 Trormd d Lplc. 8 Diició d l Trormd d Lplc S u ució cul, dcir diid pr, y pr odo <. S di l Trormd d Lplc [ ] d F Dod: l úclo d l rormció rcorr l domiio d igrció dd u prámro compljo σ jω llmd rcuci complj L rormd d Lplc d l ució i cudo F d lgu rgió dl plo. Ejmplo : d E ruldo vlido pr cudo. [ ] covrg Ejmplo : [ ] d d E ruldo vlido pr cudo. Si rl: [ ] i Fució d Ord Epocil U ució cul, d ord pocil γ R, i i u co rl M> l qu γ < M. γ M MSc. Lur Oliv-Dr. Lor Corr- Bioig. Adriá Gubri
2 Trormd d Lplc. 8 MSc. Lur Oliv-Dr. Lor Corr- Bioig. Adriá Gubri Eici d l Trormd d Lplc Torm: Si l ució coiu por pr u irvlo iio y d ord pocil γ oc i l rormd d Lplc F i γ > R l. Propidd d l rormd d Lplc Lilidd [ ] F F L Trormd d Lplc l dpdr d u igrl cumpl co l propidd d lilidd. [ ] [ ] [ ] F F Ejmplo: [ ] [ ] [ ] j j j j j j j j j j j j j Cmbio d cl: Si [ ] F oc [ ] F Ejmplo: Sbido qu [ ] clculmo [ ] uilizdo l propidd d cmbio d cl [ ] / / Fució Ecló Uirio L ució u l ució cló uirio o Fució d Hviid. S di como: > < u i á rldd: > < u
3 Trormd d Lplc. 8 u u- E ució muy uilizd corol porqu proporcio u hrrmi pr coruir u ñl como umori d ucio cló. Prmi cdr u ñl u i d impo. Trormd d Lplc d l ució Ecló Uirio [ u ] [ u ] u d d Or Propidd d l Trormd d Lplc Trlció l impo: Si [ ] F oc [ u ] F Trlció : Si [ ] F Ejmplo: oc [ ] F [ ] [ co ] Muliplicció por : Si [ ] F oc [ ] F Ejmplo. Drmimo l rormd d Lplc d l ució rmp ñl uiliz pr im d rpu l MSc. Lur Oliv-Dr. Lor Corr- Bioig. Adriá Gubri
4 Trormd d Lplc. 8 [ µ ]!. Ejrcicio. Aplicdo l prió rior, dmur qu [ ] Trormd d l Drivd -éim d Si [ ] F oc [ ] F '... Trormd d l ució Igrl: Si [ ] F oc u du F Torm dl vlor iicil S u ució coiu por pr, drivbl y d ord pocil γ, i [ ] F oc Lím Lím F Torm dl vlor il S u ució coiu por pr, drivbl y d ord pocil γ: Lím Lím F ido [ ] F El orm dl vlor il muy uilizdo pr l álii y diño d im d corol. 4 MSc. Lur Oliv-Dr. Lor Corr- Bioig. Adriá Gubri
5 Trormd d Lplc. 8 Fució Impulo o Fució Dl d Dirc Qué u impulo? U impulo u mgiud muy grd qu pud r u urz qu cú u irvlo d impo muy pquño. Co cocpo, diimo l ució impulo: δ δ S pud pr qu l ució impulo δ, l ució lími d u cuci d pulo ρ ε. Y u vz cd pulo ρ ε l drivd d u ució rmp γ ε ; gráicm pud vr qu: Lím ρ ε ε δ uqu lími o i mmáicm hbldo 5 MSc. Lur Oliv-Dr. Lor Corr- Bioig. Adriá Gubri
6 Trormd d Lplc. 8 Lím γ u ε ε Drivo Drivo Lím ρ ε ε δ Tmbié pud pr l ució impulo uirio u, dcir: δ u ' δ como l drivd d l ució cló Admá i qu l ár dl rcágulo d l rcr igur, bjo ρ, : b. h ε ár qu pud obr co l igrl ε ρ ε d Simpr qu l irvlo d igrció icluy l b dl rcágulo, l vlor d igrl rá culquir l vlor d ε, oc: i, ρ δ δ d ε ε ε 6 MSc. Lur Oliv-Dr. Lor Corr- Bioig. Adriá Gubri
7 Trormd d Lplc. 8 qu como di l Fució Impulo o Fució Dl d Dirc δ. Eo rpr qu l impulo uirio u ñl cuy cidd d rgí uo. Much vc cormo diid l ució δ por l ímbolo E dod δ d ó δ φ d φ φ llm ució igo o ució d prub. E ució d prub culquir ució coiu qu ul ur d u irvlo culquir qu coi l orig o l puo, l co igui. Si u impulo oc di como igu: δ d ó δ φ d φ Pr l drivd -éim d δ y δ- mo: δ φ d φ ó δ φ d φ Tod l igrl rior o válid pr culquir irvlo d igrció qu cog l orig o l puo, gú l co. Trormd d Lplc d l Fució Impulo [ δ ] [ δ ] d δ 7 MSc. Lur Oliv-Dr. Lor Corr- Bioig. Adriá Gubri
8 Trormd d Lplc. 8 ANTITRANSFORMADA DE LAPLACE Diició Si l [ ] F oc llm rormd ivr o irormd d Lplc d F y pr por - [ F ]. Méodo pr Airormr por Lplc Ei divro méodo pr corr l irormd d u ució F, pu udirá lo igui: Dcompoició rccio impl. Produco d Covolució. Torm d lo Riduo. Dcompoició rccio impl Ci od l ucio F qu obi plicdo Trormd d Lplc o P ucio rciol d l orm F, dod P y Q o poliomio y l Q grdo d Q myor qu l grdo d P. P Culquir ució rciol F, pud rducir l um d or ucio Q rciol cuyo domidor rá poliomio prdo co l ríc d Q, dcir co lo polo d F. Sgú como l ríc d Q, drá lo igui co: Si Q i ríc rl y dii: P A A F A Eoc A lím [ F ] pr odo Si Q i ríc rl igul: P A A F... Eoc A lím D! [ F ] A pr odo 8 MSc. Lur Oliv-Dr. Lor Corr- Bioig. Adriá Gubri
9 Trormd d Lplc. 8 Si Q i do ríc complj cojugd, co F P A B impl F Q b c u rcció E r orm d prr u ució rciol d l orm mciod pud combir cudo Q g odo o ipo d ríc orm combid. Ejmplo Clculr l igui irormd: Ríc rl y dii: F. Ecordo l ríc d domidor obi: A A A A F A A i : A lugo i : A lugo F A A - [ F ] - - b Ríc rl múlipl: F B lím A lím F B A A lím lím D A A 9 MSc. Lur Oliv-Dr. Lor Corr- Bioig. Adriá Gubri
10 Trormd d Lplc. 8 MSc. Lur Oliv-Dr. Lor Corr- Bioig. Adriá Gubri! lím D lím D lím A F Airormdo obi u Produco d Covolució S di Produco d Covolució qu imboliz co l igo como. * d g g ϕ τ τ τ u igrl impropi cuy vribl d igrció τ, y l ruldo dpd d l vribl. Ejmplo: Clculr l produco d covolució ido l pulo rcgulr A u
11 Trormd d Lplc. 8 u-τ A τ τ τ Si, lugo Si, lugo Si, lugo A *u Produco d Covolució Trormd d Lplc Por lo o: Si y o ucio cul d ord pocil, di l produco d covolució pr : * g. g d Propidd dl Produco d Covolució Comuiv * g g * Aociiv *[ g * h ] [ * g ]* h Diribuiv *[ g h ] * g * h Elmo Nuro * δ MSc. Lur Oliv-Dr. Lor Corr- Bioig. Adriá Gubri
12 Trormd d Lplc. 8 Torm dl Produco d Covolució L Trormd d Lplc dl produco d covolució r do ucio igul l produco ordirio d l rormd d l ucio. [ * g ] F. G Ejmplo Clculr l irormd d l ució por l méodo d rccio impl. F clculd riorm Primro cur l ríc dl domidor: F S pud obrvr qu l produco ordirio d do ucio d vribl qu o ácil d irormr. Por l orm d covolució: Como F G. M Lugo g * m Dod: G y M Lugo g [ G ] m [ M ] *. d d o o Film Clculr l irormd d l ució F 4 Como F 4 Por Torm d Covolució - * - 4 * d d, igrl rolvrá por pr u du d MSc. Lur Oliv-Dr. Lor Corr- Bioig. Adriá Gubri
13 Trormd d Lplc dv d v o 4 d Airormd por l Torm d lo Riduo Si l úic igulridd d F o polo iudo odo llo, l izquird d u rc α pr lgu co rl α oc: - [ F ] R [ F ] polo d F L órmul rior domi órmul d Mlli-Fourir qu o dmorrmo curo. Ejmplo: Clculr l irormd d l ució F clculd riorm por lo méodo rior. F. Primro clcul lo riduo d F lo puo igulr ildo d F: R F Lim R F Lim R F Clculr l irormd d l ució por l méodo d covolució. F clculd riorm 4 R F lim d d lim MSc. Lur Oliv-Dr. Lor Corr- Bioig. Adriá Gubri
14 Trormd d Lplc. 8 R F lim 4 4 R F MSc. Lur Oliv-Dr. Lor Corr- Bioig. Adriá Gubri
15 Trormd d Lplc. 8 Sim Lil Cudo mo u im, hy u rlció r u rd, ímulo o cició dl proco y u lid, rpu o co. L cuió á vrigur qué rlció hy r l rd y l lid. Si l rd dl im u ució y l lid dl im : Erd Sim Slid [ ] R l: l rpu. Lo proco qu bordrá co rormd y irormd d Lplc rá qullo qu : Sim Lil Sim Ivri l impo Sim Cul Sim Lil Lo im má ácil d mjr o lo lil, lo cul grlm ul rducir lo oro ipo d im. U im lil cudo: Si R [ ] y R [ ] Eoc R [ ] Sim ivri l impo U jmplo d ipo d im rí u circuio, l cul compor impr d l mim orm i imporr l i qu comic l proco Si R [ ] Eoc R [ ] Sim Cul U im cul cudo l rpu o icip l ímulo. E ipo d im l vlor d l cició y l co cro pr u impo mor o igul cro. E dcir qu rd cul corrpod lid cul. R [. u ]. u E pricipio, lo proco íico o cul porqu lo co o pud icipr l cu, mbié o ivri porqu u mim cició obdrmo impr l mim rpu o lid, co idpdci dl impo. Cudo g como rd l ució impulo, llmrmo h l rpu dl im. R[ δ ] h, por lo qu por r ivri l impo [ ] h R δ. 5 MSc. Lur Oliv-Dr. Lor Corr- Bioig. Adriá Gubri
16 Trormd d Lplc. 8 6 MSc. Lur Oliv-Dr. Lor Corr- Bioig. Adriá Gubri Fórmul d Duhml Supogmo r u im lil, ivri l impo y cul, cuy rd i u rormd d Lplc, oc l lid dl im [ ] [ ] * δ R R Porqu δ l lmo uro pr l produco d covolució * h y por l orm d covolució. F X H H F X H l ució d rrci dl im qu l coci r l lid y l rd l vribl. E do úlim cucio o l do orm d l Fórmul d Duhml. Ejmplo 6 5 u E u im lil, ivri l impo y cul. Aplicmo rormd d Lplc [ ] 6 5 F X X X coidrdo l cució dircil iguld dl d Dirc, cuy rpu h. 6 5 H H H oc 6 5 H Airormdo: h Por Duhml: * h [ ] [ ] o o o d d d u u * Lugo [ ] u BIBLIOGRAFÍA.. Gly Jm. Mmáic Avzd pr Igirí. Pric Hll
17 Trormd d Lplc. 8 TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE Propidd LINEALIDAD F F Ejmplo co h coh CAMBIO DE F ESCALA Ejmplo co h coh TRASLACIÓN EN u F FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO TRASLACIÓN EN Ejmplo MULTIPLICA- CIÓN POR u > b F b b b b b co b F ' MULTIPLICA- CIÓN POR F : lo irpr como ord d drivció cudo lo plic F Ejmplo 7 MSc. Lur Oliv-Dr. Lor Corr- Bioig. Adriá Gubri
18 Trormd d Lplc. 8 DIVISIÓN POR! F udu DERIVADAS F F : lo irpr como ord d drivció cudo lo plic, y como po cudo lo plic F K TEOREMA DEL VALOR Lim Lim F rl INICIAL TEOREMA DEL Lim Lim F VALOR FINAL FUNCIÓN δ IMPULSO δ > CONVOLUCIÓN * g F. G No: φ u ució igo, o u ució culquir d prub. δ φ d φ, φ d φ δ δ φ d φ', δ φ d φ δ φ d φ, δ φ d φ 8 MSc. Lur Oliv-Dr. Lor Corr- Bioig. Adriá Gubri
19 Trormd d Lplc. 8 MATEMÁTICA APLICADA VARIABLE COMPLEJA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA FACULTAD DE INGENIERIA UNSJ-8 PRÁCTICO N Trormd d Lplc - Rulv l igui rormd d ucio cul. b c d g h -.- Epr lo igui pulo érmio d l ució cló uirio y clcul u rormd d Lplc. Figur Figur b Figur c Figur d - Rulv uilizdo propidd d l ució δ. b c d 4- Comprub l Torm dl vlor iicil y l Torm dl vlor il pr l ñl 9 MSc. Lur Oliv-Dr. Lor Corr- Bioig. Adriá Gubri
20 Trormd d Lplc. 8 MATEMÁTICA APLICADA VARIABLE COMPLEJA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA FACULTAD DE INGENIERIA UNSJ-8 - Clcul : PRÁCTICO N Airormd d Lplc h b c d i j l m g -.-U circuio ri RC, co y C F, coc u u d 5 volj co. A d crrr l irrupor l i l crg l cpcior cro. Drmi l corri l circuio pr u i, dpué d crrr l llv..- Apliqu l Torm dl Vlor Iicil. E coi l olució co l codició iicil dl problm? Por qué?.- U l Torm dl Vlor Fil pr vriicr l vlor obido pr coorm. MSc. Lur Oliv-Dr. Lor Corr- Bioig. Adriá Gubri
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