LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
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- Felipe Redondo Tebar
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1 TRNSFORMD DE PCE CROS S. CHINE TRNSFORMD DE PCE E l má coocid y uilizd d l rformd igrl. S h mordo d u gr uilidd l hor d rolvr muliud problm d l cici y cologí, plicádo d mr fciv l udio d m fudml como ori d vibrcio, circuio lcróico, búqud d olucio d cucio drivd prcil, udio d l coducividd dl clor, cució d od, olucio d problm d vlor d fror, c.. Iroducció: id báic dl llmdo Cálculo Oprivo coi blcr u corrpodci fuciol o rformció d modo qu i u fució f dd l corrpod u cojuo [f] d oprcio, o u cojuo d cucio [f], l fució rformd corrpodi F l corrpodrá l cojuo d oprcio [F] o bi u cojuo d cucio [F]. uilidd d corrpodci fuciol mifi cudo l cojuo d oprcio, [F], o d cucio rformd [F] d má cill rolució qu l oprcio corrpodi [f], o cucio corrpodi [f] l fució origil f. Pud r idd, obvim, múlipl rgl d rformció. E priculr h ruldo fciv l llmd rformd igrl, por l qu dfi l fució rformd F como u igrl d l fució origil f muliplicd por lgu fució rbirri d l vribl y qu domi grl Núclo d l rformció: b F K,. f. d E od l rformd igrl l úclo d l rformció, K,, y, lgú co, lo lími d igrció, y b, lo qu dfi l ipo d rformd igrl. So jmplo d rformd igrl l igui:. Trformd d Fourir por o: F. f. d MRCHEN SEVI, SEPTIEMBRE 5
2 TRNSFORMD DE PCE CROS S. CHINE b. Trformd d Fourir por coo: F co. f. d c. Trformd d Fourir complj: d. Trformd d plc: i F. f. d. Trformd d Hkl: F. f. d F f.. J. d J l fució d Bl d órd f. Trformd d Mlli: F f.. d MRCHEN SEVI, SEPTIEMBRE 5
3 TRNSFORMD DE PCE CROS S. CHINE. rformd igrl d plc: Dfiició.: S f u fució rl dfiid l irvlo -, l qu f i <. S llm Trformd d plc d f l fució F. f. d qu mbié podmo digr por f, o por f. vribl u úmro compljo, i.b, y l rformd F á dfiid pr qullo vlor d l plo compljo pr lo cul covrg l igrl. Propoició.: Si llmmo φ. f, oc l rformd d plc d f coicid co l rformd d Fourir complj d φ. E fco: bi. ib ib. f. d f. d.. f. d. φ. d Propoició.: Pr qu i l rformd d plc d u fució f codició ufici qu: f R, odo irvlo fiio. b f d ord pocil, o, qu i co poiiv M,, o l qu f M., E fco: Dcompogmo l igrl qu dfi l rformció: o f. d f. d f. d primr d mb igrl i, puo qu f R odo irvlo fiio. E cuo l gud igrl, i qu pr >: f. f. M M.,, por o: MRCHEN SEVI, SEPTIEMBRE 5 3
4 TRNSFORMD DE PCE CROS S. CHINE f. d M. E dfiiiv,. F M. d f. d. f. d f. d f. d M. covrg bolum pr >... d Propoició.3: Si l igrl i. y. f. d covrg, oc, i pr culquir qu l úmro rl poiivo k dfiimo l cor k co véric o como l cojuo y y k iy / > o, < k rul qu l igrl covrg uiformm k.. f. d E fco: El orm qudrí probdo dmormo qu pr odo k, i lgú l qu i oc MRCHEN SEVI, SEPTIEMBRE 5 4
5 TRNSFORMD DE PCE CROS S. CHINE MRCHEN SEVI, SEPTIEMBRE 5 5,. > < d f Empcmo dfiido d f d f.. β, i, por lo qu d f d. β, y por o: d d f.. β, ido iguldd válid pr odo úmro compljo iy qu g. Obvim, i β, o, pr vlor d uficim grd, fució pud hcr pquñ como quir. Por lo o, ddo >, impr podmo lgir u l qu pr ' β <, ido culquir úmro poiivo, por muy pquño qu, priculr, podmo lgir rbirrim ' k Vmo probr hor, por coigui, qu,.. > < β d d f, pr odo k pr llo rolvmo por pr l gud igrl: [ ] d d d β β β β β β y ido cu qu cudo k >, i qu: [ ].. i y y por lo cul, uilizdo diguldd, pud cribir qu [ ] ' ' ' ' '. ' '. '.. ' ' '.... k y y y y d d < < < < β y, film, i uiuimo ' k :
6 TRNSFORMD DE PCE CROS S. CHINE f. d. dβ <, > por lo qu l igrl idicd covrg uiformm l cor k. Puo qu odo puo dl miplo > á iudo dro d lgú cor k co véric, pud ucir l igui corolrio. Corolrio.: Si l igrl. f. d covrg pr i.y mbié covrg pr cd i. y l miplo >, covrgci qu pud o o r uiform dicho miplo. E lo puo d l rc diio d l igrl pud o r covrg. Dfiició.: El ífimo dl cojuo d odo lo l qu. f. d covrg pr i.y llm bci d covrgci d l igrl y rpr por σ. E bci podrí r -, pro o, pu l fució f d ord pocil. El miplo > σ llm miplo d covrgci d l igrl. Propoició.4: S σ l bci d covrgci d l igrl F. f. d Pr cd i.y, co > σ i l drivd F y vi dd por F'.. f. d igrl qu covrg uiformm odo cor k irior l miplo > σ. MRCHEN SEVI, SEPTIEMBRE 5 6
7 TRNSFORMD DE PCE CROS S. CHINE plicció rird d orm o dic qu F i drivd d culquir ord y qu vi dd por l fórmul F.. f. d i prc l miplo d covrgci. E fco: Vrmo l dmorció do pr. E l primr probrmo l covrgci d l igrl.. f. d l miplo d covrgci > σ, y l gud pr probrmo l ici d l drivd F y u prió mdi l igrl rior. Covrgci d.. f. d : Coidrmo l fució α f. d f. d, álog l fució β dfiid l dmorció d l propoició.3. S i oc qu d α f. d, y por o:.. f. d.. d α, y rolvmo por pr l gud igrl:... dα. α. α α. α.. d [.. ].. α d d Puo qu α á cod, α M, i iy y >, impr pud lgir u h l qu < h<, y, pr α E dfiiiv, l igrdo d.. M.. M.. M.. h... d α á codo por M h.., qu i lími fiio pr dido ifiio, por lo cul, plicdo l cririo M d Wirr, rul r covrg pr > l igrl.. f. d y, film, puo qu olm á ujo l codició d qu >, dduc qu l igrl dich covrg pr odo dl miplo d covrgci > σ. plicdo l propoició.3. rior l igrl covrg dmá uiformm odo cor Sk d dicho miplo. σ MRCHEN SEVI, SEPTIEMBRE 5 7
8 TRNSFORMD DE PCE CROS S. CHINE b Eici d l drivd F : Coidrmo l dcompoició: F f. d dod llmmo: u iy co y. f. d i f. d co y i. y. f. d y. f. d u, y iv, y, y co y. f. d v, y y. f. d drivdo prcilm prio mo: u u y.. co y. f. d y. f. d v. v. y y. f. d co y. f. d [.4.] d lo qu dduc qu cumpl l cucio d Cuchy-Rim: u v y u v y por lo cul: d d d d F ' F F iy [ u, y iv, y ]. d d d d d y ido u v drá qu F' i, y, udo l d d d v u cucio d Cuchy-Rim, mbié F' i y y Por o, uiuydo l prio igrl [.4.]: F'. F'. co y. f. d i co y. f. d i.. y. f. d y. f. d. f. d por o, l drivd d l rformd d plc i y, prcim, l igrl cuy covrgci h probdo l prágrfo rior. MRCHEN SEVI, SEPTIEMBRE 5 8
9 TRNSFORMD DE PCE CROS S. CHINE. Propidd: Propoició. Propidd d lilidd: Si o c y c úmro rl y o f y f fucio rl l qu u rformd d plc o F y F, vrific qu l rformd d l combició lil d l fucio l combició lil d l rformd: c, c R [ f ] F [ f ] F c [ f c f ] c [ f ] c [ f ] c F c F E fco: [ ] [ ] f c f c f c f. d c f. d c f. d c [ f ] c [ f ] c F c F c Propoició. Primr propidd d rlció: oc mbié vrific qu [. ] f F. Si [ f ] F E fco: [. f ]. f. d f. d F Propoició.3. Sgud propidd d rlció: Si [ f ] F y f, g, > oc [ g ]. F < E fco: [ g ] g. d g. d g. d f. d por o: u [ g ] f u. du F u f u. du MRCHEN SEVI, SEPTIEMBRE 5 9
10 TRNSFORMD DE PCE CROS S. CHINE Propoició.4 Propidd d cmbio d cl: f F Si [ f ] F, oc [ ] E fco: u du u [ f ] f. d f u f u. du F Propoició.5 Propidd d rformció d drivd: S f u fució coiu r, d ord pocil pr >r, y u f F, vrific qu drivd f l mo coiu rmo. Si [ ] [ f ' ]. F f E fco: [ ] f ' f '. d lím. f '. d lím f f. d lím f f f. d lím f f f. d f. F pu f, pr >r f. d Propoició.6 Propidd d rformció d drivd co dicoiuidd l orig: Si l fució f d l propidd rior o ifc l coiuidd, pro i lim f f uqu o igul f oc [ f ' ]. F f E fco: lím [ f ] ' f '. d. f '. d f f. d lím MRCHEN SEVI, SEPTIEMBRE 5
11 TRNSFORMD DE PCE CROS S. CHINE lím f f f f. d f. F f. d f f f. d Propoició.7 Propidd d rformció d drivd co dicoiuidd u puo culquir: Si l fució f d l do úlim propidd dj d r coiu > oc E fco: [ f ' ]. F f [ f f ] lím [ f ] ' f '. d. f '. d. f '. d f f d f lím.... f f f. d f f f. F f f. d. f. d Propoició.8 Propidd d rformció d l -im drivd: Si [ f ] F y o f, f,...,f - coiu pr N y d ord pocil pr >N, y imimo f l mo coiu rmo pr N, vrific qu [ f ] F f f '.... f f E fco: Podmo hcr l dmorció por iducció: MRCHEN SEVI, SEPTIEMBRE 5
12 TRNSFORMD DE PCE CROS S. CHINE Pr : [ f ]. F F Pr : [ f ' ]. [ f ] f por dfiició por propidd 5ª Supogmo l fórmul cir pr l vlor k- fi d probr qu, oc, rí mbié cir pr k: k k k k 3 k 3 k [ f ] F f f '.... f f Vmo qu h d r cir pr k. Por l propidd 5ª drá qu: k k k [ f ] [ f ] f, por lo qu l uiuir: k k k k 3 k 3 k k [ f ] [ F f f '.... f f ] f Por o: k k k k k k [ f ] F f f '.... f f Propoició.9 Propidd d rformció d igrl: oc f u. du F Si [ f ] F E fco: S g f u. du g' f g [ g' ]. [ g ] g [ g ] Eoc: [ g ] [ g' ] [ f ] F f u. du F Propoició. Propidd d rformció dl produco por u poci d l vribl: d Si [ f ] F oc [. f ]. F. F d E fco: curmo por iducció. fórmul cir pr : MRCHEN SEVI, SEPTIEMBRE 5
13 TRNSFORMD DE PCE CROS S. CHINE d d F d f. d. f. d d [. f ] Vmo qu i upomo l fórmul cir pr k- hmo d cocluir qu mbié h d r cir pr k: Pr k- l upomo cir: b Vmo pr k: k k k d [ f ]. F. k k k k k d k d k d d [ f ] [. f ] [ f ] k. F. F. k d d d d d k Propoició. Propidd d rformció l dividir por l vribl: f Si [ f ] F oc F u. du E fco: f Si llmmo g f. g [ f ] [. g ] [ g ] Por lo cul: [ g ] F. d [ g ] d F u. du f f f F u. du F u. du d d Propoició. Propidd dl vlor iicil: Si i lo lími qu idic, oc vrific qu E fco: lim f lim. F [ f ' ] f '. d. F f. Si f coiu rozo y d ord pocil, i qu lim f '. d. Por o: MRCHEN SEVI, SEPTIEMBRE 5 3
14 TRNSFORMD DE PCE CROS S. CHINE [ f ' ] lim. F f lim. F lim f lim o bi: lim f lim. F Propoició.3. Propidd dl vlor fil: Si i lo lími qu idic, oc vrific qu lim f lim. F E fco: [ f ' ] f '. d. F f lim f '. d lim. F f f '. d lim f ' u. du lim. F f lim f f lim. F f y dfiiiv: lim f lim. F MRCHEN SEVI, SEPTIEMBRE 5 4
15 TRNSFORMD DE PCE CROS S. CHINE 3. Covolució y rformd ivr: Dfiició 3.: S domi covolució d l fucio f y g y rpr por f*g, l prió f g f u. g u. du Propoició 3.: S vrific l propidd d comució f g g f E fco: f g f u. g u. du f v. g v. dv f v. g v. dv g f Dfiició 3.: Si [ f ] F pr por f [ F ] oc f llm rformd ivr d plc d F, y d plc. dod - llm oprdor rformd ivr Propoició 3. Torm d covolució: Si [ F ] f y [ G ] g E fco:, oc vrific qu [ F. G ] f u. g u. du f Probrmo, quivlm, qu [ f g] F. G : g [ f g] f u. g u. du. d f u. g u. du. d D Du v u v lim f u. g u. du. d lim D D f u. g v. du. dv MRCHEN SEVI, SEPTIEMBRE 5 5
16 TRNSFORMD DE PCE CROS S. CHINE u v u f u. g v. du. dv f u. du v f v. dv F. G Propoició 3.3. Fórmul d ivrió: S c u úmro poiivo d modo qu pr cd bolum l igrl F. f. d i. y, ido >c, covrg Y u puo qu ifc lgu d l igui codicio locl: c f d vrició cod u oro d [ δ δ ],. d Ei lo do lími f y f- y l do igrl impropi δ f u u f. du o bolum covrg. δ f u u f. du Eoc, pr cd >c cumpl qu f T. f lim π T T iv T. F iv. dv igrl dl gudo mimbro pud prr como u igrl d cooro omd lo lrgo d u gmo rcilío qu u -it co it cuyo co cribimo f f lim πi T it T it. F. d i E ocio uiliz l ímbolo i como brvició d T lim it it Dmorció: Coidrmo l fució g Igrl d Fourir, i: f. plicdo l Torm d l < T g g iv u lim π T T g u. dv MRCHEN SEVI, SEPTIEMBRE 5 6
17 TRNSFORMD DE PCE CROS S. CHINE prdo rlció fució d f: f T T f iv. iv u iv lim π T T f u.. du dv lim π T T F iv. dv MRCHEN SEVI, SEPTIEMBRE 5 7
18 TRNSFORMD DE PCE CROS S. CHINE 4. Ejmplo: 4.. Ejmplo d rformd dirc: { } b! { },.,,3,... c { } d { } k { k} k f {co k} k g k { hk} k h {coh k} k 4.. lgu rformd ivr: - b -!,.,,3,... c - d - k k k - co k k f - k hk k - g coh k k MRCHEN SEVI, SEPTIEMBRE 5 8
19 TRNSFORMD DE PCE CROS S. CHINE 4.3. Trformd d or fucio: ogrimo url: b Ríz -im: [ l ] l γ [ ] Γ c Fució d Bl d primr pci: [ ] J d Fució modificd d Bl d primr pci: Fució rror: [ ] I [ ] rf 4 rfc / MRCHEN SEVI, SEPTIEMBRE 5 9
20 TRNSFORMD DE PCE CROS S. CHINE 5. pliccio: 5.. Eumrció d lgu d l much pliccio d l rformció:. Solució d cucio difrcil co cofici co.. Trmio d l Torí d Vibrcio. 3. Circuio lcróico. 4. Rici d mril. 5. Solució d im d cucio difrcil lil. 6. Solució d cucio igrl pcil. 7. Solució d cucio difrcil lil co cofici vribl. 8. Solució d cucio drivd prcil. 9. Solució d cucio difrci fii.. Solució d cucio igro-difrcil.. Solució d cucio difrcil difrci.. Coducividd dl clor. 3. Ecució d od. 4. í d rmiió. 5. Solució d problm dl ipo d vlor d fror. 5.. U jmplo cocro d plicció: Coidrmo l cució difrcil y y... y' f co u cojuo d codicio d fror: y, y',..., y Si plicmo l rformció d plc mbo mimbro d l cució difrcil, i: [ y ] [ y ] [ y] [ f ]... y ido [ y ] Y, [ f ] F, i, ido cu l codicio d fror y l rformció d l drivd d culquir ord propoició.8: dod G u poliomio. G. Y F MRCHEN SEVI, SEPTIEMBRE 5
21 TRNSFORMD DE PCE CROS S. CHINE Eoc, cribimo Y F, por lo qu, film, pr hllr l G olució d l cució difrcil dd brá hllr l rformd ivr d plc d Y: F y G MRCHEN SEVI, SEPTIEMBRE 5
22 TRNSFORMD DE PCE CROS S. CHINE 6. Bibliogrfí. SPIEGE, M.R. Trformd d plc. Mcgrw-Hill. E. BOYCE Y R. C. DI PRIM. Ecucio Difrcil y Problm co vlor l Fror, imu. Méico COURNT, R. y HIBERT, D., Mhod of Mhmicl Phyic, Vol. y ; imu Wily. SMITH, M. G., plc Trform Thory; V Nord SNEDDON, I. N., Fourir Trform; Mc-Grw-Hill MURRY, R. y SPIEGE, Trformd d plc; Mc-Grw-Hill Colcció Schum. Crlo S. CHINE cchi@lli. MRCHEN SEVI, SEPTIEMBRE 5
La transformada de Laplace
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