Práctica 3 - Aritmética del Computador

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1 Práctica 3 - ritmética del Computador Organización del Computador 1 Verano 2014 Ejercicio 1 a (8) 0522 (8) b (8) 1654 (8) i) Cuánto es +, si representan enteros sin signo de 12-bits en base 8? Expresar el resultado en base 8. ii) Cuánto es +, si representan enteros con signo de 12-bits en base 8 almacenados en formato signo-magnitud? Expresar el resultado en base 8. iii) Convertir a a base decimal, asumiendo que es un entero sin signo. Hacer lo mismo asumiendo que se encuentra almacenado en formato signo-magnitud. a (8) 0444 (8) b (8) 3412 (8) i) Cuánto es -, si representan enteros sin signo de 12-bits en base 8? Expresar el resultado en base 8. ii) Cuánto es -, si representan enteros con signo de 12-bits en base 8 almacenados en formato signo-magnitud? Expresar el resultado en base 8. iii) Convertir a a base 2. Qué es lo que hace que sea tan atractivo utilizar el sistema de numeración en base 8 (octal) para representar números en la computadora? Ejercicio 2 a (16) 672F (16) b (16) 4935 (16) i) Cuánto es +, si representan enteros sin signo de 16-bits en base hexadecimal? Expresar el resultado en base hexadecimal. ii) Cuánto es +, si representan enteros con signo de 16-bits en base hexadecimal almacenados en formato signo-magnitud? Expresar el resultado en base hexadecimal. iii) Convertir a a base decimal, asumiendo que es un entero sin signo. Hacer lo mismo asumiendo que se encuentra almacenado en formato signo-magnitud. 1

2 a. C352 (16) 36E (16) b. 5ED4 (16) 074 (16) i) Cuánto es -, si representan enteros sin signo de 16-bits en base hexadecimal? Expresar el resultado en base hexadecimal. ii) Cuánto es -, si representan enteros con signo de 16-bits en base hexadecimal almacenados en formato signo-magnitud? Expresar el resultado en base hexadecimal. iii) Convertir a a base 2. Qué es lo que hace que sea tan atractivo el sistema de numeración en base hexadecimal para representar números en la computadora? Ejercicio 3 a. 210 (10) 255 (10) b. 185 (10) 122 (10) i) sumiendo que y son enteros sin signo decimales de 8-bits, calcular -. Da overf low? ii) sumiendo que y son enteros con signo decimales de 8-bits almacenados en formato signo-magnitud, calcular +. Da overf low? iii) sumiendo que y son enteros con signo decimales de 8-bits almacenados en formato signo-magnitud, calcular -. Da overf low? a. 15 (10) 139 (10) b. 151 (10) 214 (10) i) sumiendo que y son enteros con signo decimales de 8-bits almacenados en formato complemento a 2, calcular + utilizando aritmética de saturación. Expresar el resultado en base 10. ii) sumiendo que y son enteros con signo decimales de 8-bits almacenados con el formato complemento a 2, calcular - utilizando aritmética de saturación. Expresar el resultado en base 10. iii) sumiendo que y son enteros sin signo decimales de 8-bits, calcular + utilizando aritmética de saturación. Expresar el resultado en base 10. Ejercicio 4 a b

3 i) Calcular el producto de los enteros octales sin signo de 6-bits y, utilizando una tabla similar a la que se muestra en la Figura 4 y al hardware descripto en la Figura 1. mbas figuras se encuentran al final de la presente guía. ii) Calcular el producto de los enteros hexadecimales sin signo de 8-bits y, utilizando una tabla similar a la que se muestra en la Figura 4 y el hardware descripto en la Figura 3. iii) Escribir un programa en assembler MIPS que calcule el producto de los enteros sin signo y, utilizando el enfoque de la Figura 1. a. 41 (8) 33 (8) b. 60 (8) 26 (8) i) l multiplicar números con signo, una manera de hacerlo es convertirlos (multiplicador y multiplicando) a números positivos, realizar la operación y luego ajustar el signo del resultado de acuerdo a los signos que tenían los números originalmente. Utilizando una tabla similar a la que se muestra en la Figura 4 y el hardware de la Figura 1, calcular el producto de por. Incluir el estado necesario para producir el signo correspondiente al resultado. sumir y almacenados en formato signo-magnitud de 6-bits. ii) Escribir un programa en assembler MIPS que calcule el producto de los enteros con signo y, utilizando el enfoque de la Figura 1. Ejercicio 5 (cantidad de bits) (unidades de tiempo necesarias para realizar una operación) a. 8-bits 4 ut b. 64-bits 8 ut i) Calcular el tiempo necesario para realizar una multiplicación utilizando el enfoque dado en las Figuras 1 y 2, si un entero se compone de bits y cada paso de la operación toma unidades de tiempo. sumir que en el paso 1a siempre se ejecuta una suma o bien se sumará el multiplicando o bien cero. También asumir que los registros ya han sido inicializados (sólo se debe contabilizar el tiempo que se tarda en hacer el ciclo de multiplicación en sí). En el caso de resolverse mediante hardware, los desplazamientos del multiplicando y el multiplicador se pueden realizar al mismo tiempo. En caso de resolverse mediante software, tendrán que hacerse uno después de otro. Presentar una resolución para cada caso. ii) Calcular el tiempo necesario para realizar una multiplicación usando el enfoque de 31 sumadores apilados verticalmente, en el caso de enteros compuestos de bits y que la suma tome unidades de tiempo en realizarse. iii) Calcular el tiempo necesario para realizar una multiplicación usando el enfoque dado en la Figura 5 en el caso de enteros compuestos de bits y que la suma tome unidades de tiempo en realizarse. 3

4 Ejercicio 6 a. 33 (16) 55 (16) b. 8a (16) 6d (16) i) Una posible mejora al rendimiento, al momento de ejecutar una multiplicación, es realizar desplazamientos y sumas en vez de una multiplicación real. Dado que 9 x 6, por ejemplo, puede ser rescrito como (2 x 2 x 2 + 1) x 6, se puede calcular 9 x 6 desplazando 3 veces a la izquierda el 6 y luego sumando 6 al resultado. Mostrar la mejor manera de calcular x usando desplazamientos y sumas/restas. sumir que y son enteros de 8-bits sin signo. ii) Mostrar la mejor manera de calcular x usando desplazamientos y sumas, si y son enteros de 8-bits con signo almacenados en formato signo-magnitud. iii) Escribir un programa en assembler MIPS que calcule el producto de enteros con signo, utilizando desplazamientos y sumas, con el enfoque visto en el ejercicio anterior. a. F6 (16) 7F (16) b. 08 (16) 55 (16) i) El algoritmo de ooth es otra manera de reducir la cantidad de operaciones aritméticas necesarias para ejecutar una multiplicación. Este algoritmo consiste en identificar series de unos y ceros, y ejecutar solamente desplazamientos en vez de desplazamientos y sumas. uscar en la web una descripción del algoritmo y explicar en detalle cómo funciona. ii) Mostrar paso a paso el resultado de multiplicar y usando el algoritmo de ooth. sumir que y son enteros de 8-bits en formato complemento a 2, almacenados en base hexadecimal. iii) Escribir un programa en assembler MIPS que calcule el producto de los enteros con signo y, utilizando el algoritmo de ooth. Figuras 4

5 Figura 1: Primera versión del hardware de multiplicación. El registro Multiplicand (multiplicando), LU y el registro Product (producto) son todos de 64-bits. Sólamente el registro Multiplier (multiplicador) es de 32-bits. El multiplicando de 32-bits comienza en la mitad derecha del registro Multiplicand y es desplazado 1-bit a izquierda en cada paso. El multiplicador es desplazado en la dirección opuesta en cada paso. El algoritmo comienza con el producto inicializado en 0. Control decide cuándo desplazar los registros Multiplicand y Multiplier y el momento de escribir nuevos valores en el registro Product. La presente figura ha sido tomada de la Figura 3.4 del libro Computer Organization and Design, 4ta Edición, Patterson-Hennessy Figura 2: Primer algoritmo de multiplicación utilizando el hardware que se muestra en la Figura 1. Si el bit menos significativo del multiplicador es 1, se suma el multiplicando al producto y se lo ubicar en el registro Product (producto). En caso contrario, se sigue con el siguiente paso. En los dos pasos siguientes se desplaza 1-bit a izquierda al registro Multiplicand (multiplicando) y 1-bit a derecha al registro Multiplier (multiplicador). Estos tres pasos se repiten 32 veces. La presente figura ha sido tomada de la Figura 3.5 del libro Computer Organization and Design, 4ta Edición, Patterson-Hennessy 5

6 Figura 3: Versión refinada del hardware de multiplicación. Comparar con la primer versión de la Figura 1. El registro Multiplicand (multiplicando), LU y el registro Multiplier (multiplicador) son todos de 32-bits. Sólamente el registro Product (producto) es de 64-bits. hora el producto es desplazado a derecha. El registro Multiplier desaparece. El multiplicador se sitúa en la mitad derecha del registro Product. Estos cambios han sido resaltados en color. En realidad el registro Product debe ser de 65-bits para mantener la salida del acarreo del sumador, pero aquí es representado como 64-bits para remarcar la evolución desde la Figura 1. La presente figura ha sido tomada de la Figura 3.6 del libro Computer Organization and Design, 4ta Edición, Patterson-Hennessy Figura 4: Ejemplo de Multiplicación utilizando el algritmo de la Figura 2. El bit que es examinado para determinar el próximo paso se encuentra redondeado con un círculo de color. continuación la traducción de los siguientes términos: iteration = iteración, step = paso, multiplier = multiplicador, multiplicand = multiplicando, product = producto, initial values = valores iniciales, shift left = desplazamiento a izquierda, shift right = desplazamiento a derecha. La presente figura ha sido tomada de la Figura 3.7 del libro Computer Organization and Design, 4ta Edición, Patterson- Hennessy Figura 5: Hardware para multiplicación rápida En lugar de utilizar un solo sumador de 32-bits 31 veces, este hardware desenrolla el bucle para utilizar 31 sumadores y luego los organiza para minimizar las demoras. La presente figura ha sido tomada de la Figura 3.8 del libro Computer Organization and Design, 4ta Edición, Patterson-Hennessy 6