MODELO PARA EL TALLER DE REGRESION

Transcripción

1 MODELO PARA EL TALLER DE REGRESION PROBLEMA. Los datos siguientes muestran la matricula estudiantil en los primeros 5 anos de nuestra Universidad. Años (desde el 2000 al 2004) x Matricula (miles de alumnos) y Se pide: a)construya un diagrama de dispersión b) Haga los cálculos para la estimación de un del modelo exponencial c) Determine el grado de ajuste e interprételo d)elabore un breve reporte del modelo exponencial e)haga los cálculos para la estimación de un del modelo potencial f)determine el grado de ajuste e interprételo g)elabore un breve reporte del modelo potencial h) Haga los cálculos para la estimación de un del modelo cuadrático i)determine el grado de ajuste e interprételo j) Elabore un breve reporte del modelo cuadrático.k) De los tres modelos hallados cual es el mejor? l) Haga la curva de cada modelo (con diferente color c/u) y añádala al diagrama de dispersión. Solucion: a)diagrama de dispersión Como puede observarse de la gráfica, los datos no muestran una tendencia lineal. Por lo tanto se intentara analizar los datos con otros modelos exponencial, potencial y cuadrático. Comando en R plot(x,y,xlab='anos',ylab='matricula estudiantil',main='diagrama DE DISPE RSION', col="black", pch=20)

2 b) el modelo exponencial Cálculos: x y yp=log(y) x*yp x^ Totales El modelo lineal transformado se linealiza en: yp=ap+b*x, donde yp=log(y) y ap=log(a) Cálculos de a y b b =( n xiyi ( xi) ( yi ))/ ( n x^2 ( xi)2 ) = (5 x (15) (8.75))/( 5 x 55 (15)^2 )= 0.87 a = y' bx yp = yip /n = /5 = x = xi = 15/5 = 3 ap = (3 x 0.87) = a=exp( )=0.42 Fórmula para calcular R^2

3 C) Calculo del grado de ajuste Interpretación: R^2 = 1-[ (ei)^2 / (yi mean(y i))^2 =1-(1.47/ 9.04) = El porcentaje de variabilidad explicado por el modelo resulto 83% lo que indica que el modelo exponencial es bueno para explicar la matricula estu diantil en función de los anos Verificacion con el el lenguaje R reg<-lm(yp~x); summary(reg); coef=reg$coefficients; a=coef[1]; b=coef[2] lm(formula = yp ~ x) Residuals: Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) x * --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 3 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 3 DF, p-value: (Intercept) x Regresión estimada: lny= a +bx modelo exponencial y=exp(a +bx) d) Reporte sobre el modelo exponencial En esta parte del trabajo se trató de ajustar el modelo y=a*exp(b*x) a lo s datos experimentales. Las constantes a y b determinadas por el método d e los mínimos cuadrados resultaron a=0.42 y b=0.86. La inerpretación de a en este caso es log(a) es el intercepto en el origen de log(y) como en fu nción lineal de x y b =0.86 es el incremento de log(y) por cada ano. La bondad del ajuste es de 83% indicando que el modelo explica muy bien la variabilidad de los datos lo que se puede observar en la grafica 2 GRAFICA DEL AJUSTE EXPONENCIAL Comando curve(0.42*exp(.86*x),add=t,col="orange")

4 MODELO POTENCIAL e) CALCULOS x y xp=log(x) yp=log(x) xp*yp xp^ , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , El modelo lineal transformado se linealiza en: yp=ap+b*xp, donde yp=log(y), ap=log(a) y xp=log(x) Cálculos de a y b b =( n xipyip ( xip) ( yip))/ ( n xip^2 ( xip)2 ) = ap = mean(yp) b*mean(xp)= f) a=exp( )=0.42 Fórmula para calcular R^2

5 f) Calculo del grado de ajuste Interpretación: R^2 = 1-[ (ei)^2 / (yi mean(y i))^2 =1-( / 9.04) = 0.76 El porcentaje de variabilidad explicado por el modelo resulto 76% lo que indica que el modelo exponencial es bueno para explicar la matricula estudiantil en función de los anos, pero no tan bueno como el modelo exponencial Verificación con el lenguaje R reg2=lm(yp~xp; summary(reg2);coef2=reg2$coefficients ap=coef2[1]; b=coef2[2] curve(exp(coef2[1]+coef2[2]*x),add=t,col="blue") Residuals: Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) xp Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 3 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 3 DF, p-value: g) Reporte sobre el modelo Potencial En esta parte del trabajo se trató de ajustar el modelo y=a* (x b ) a los d atos experimentales. Las constantes a y b determinadas por el método de los mínimos cuadrados resultaron a=exp(-0.232)= 0.79 y b = 2.06.Por lo ta nto la función estimada es: y=(0.79)*x^(2.06) La interpretación de a en est e caso es es el intercepto en el origen de log(y) como en función lineal de x y b =2.06 es el incremento de log(y) por cada ano. La bondad del ajuste es de 76% indicando que el modelo explica bien la vari abilidad de los datos lo que se puede observar en la grafica siguiente

6 H) MODELO CUADRATICO CALCULOS x y xiyi x^2y x^2 x^3 x^ xi yi xiyi x^2y x^2 x^3 x^4 La ecuaciones normales son: na+ b xi+c xi^2 = yi a xi+b xi^2+c xi^3= xiyi a xi^2+b xi^3+c xi^4= x^2y La matriz aumentada es:

7 Aplicando el método de Cramer obtenemos: Determinante del sistema D= 700. Da=20440, Db = y Dc=5000 De donde a=da/d =20440/700 = 29.2; b=db/d =-21600/700= y c=dc/d =5000/700 =7.14 Verificación con lenguaje R reg3=lm(y~x+i(x^2)) summary(reg3) Call: lm(formula = y ~ x + I(x^2)) Residuals: Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) x I(x^2) Residual standard error: on 2 degrees of freedom Multiple R-squared: Reporte sobre el modelo Cuadrático En esta parte del trabajo se trató de ajustar el modelo y=a+bx+cx^2 a los datos experimentales. Las constantes a b y c determinadas por el método de los mínimos cuadrados resultaron a=29.2, b= y c = 7.14.Por lo tanto la función estimada es: y= x+7.14x^2 La interpretación de a en este caso 29.2 es el intercepto en el origen de y como en función cu adratica de x y b = (coeficiente de x) es el decrecimiento en mat ricula en un ano si x^2 tiene un valor constante y 7.14 es (coeficiente d e x^2) el incremento de y por cada ano, manteniendo constante x. La bondad del ajuste es de 85% indicando que el modelo explica bien la vari abilidad de los datos lo que se puede observar en la grafica siguiente curve( *x+7.14*x^2, col="green", add=t)

8 Comparacion de los modelos MODELO R^2 EXPONENCIAL 83% POTENCIAL 76% CUADRATICO 85% De los tres modelos resulta major para este problema el cuadratico ya que se btuvo una bondad de ajuste R^2 mayor en comparación con los otros dos, lo cual se puede observar en la gráfica conjunta de los tres modelos

9 Conclusión: Una vez evaluado las tres regresiones, calculado sus coeficientes y coeficientes de bondad de ajuste se puede notar que los tres modelos son eficientes ya que presentan todos presentan un R^2 > Sin embargo el a el modelo CUADRATICO en este caso es más eficiente por presentar mayor R 2