Geometría como sistema matemático

Transcripción

1 AP Í TULO 13 Geometría como sistema matemático Resumen del contenido Habiendo experimentado todos los conceptos de un curso estándar de geometría, los estudiantes están listos para examinar el marco de trabajo del conocimiento geométrico que han aprendido. Los estudiantes ahora repasan y profundizan su comprensión de aquellos conceptos, demostrando algunas de las conjeturas más importantes en el contexto de un sistema lógico, comenzando con las premisas de la geometría. Premisas y teoremas Un sistema deductivo completo debe comenzar con algunas suposiciones que estén claramente enunciadas e, idealmente, sean tan obvias que no necesiten ser defendidas. El apítulo 13 comienza exponiendo sus suposiciones: propiedades de la aritmética e igualdad, postulados de la geometría y una definición de congruencia para ángulos y segmentos de recta. Estas suposiciones básicas se denominan premisas. Todo lo demás se basa en estas premisas. Luego, los estudiantes desarrollan demostraciones de sus conjeturas relativas a triángulos, cuadriláteros, círculos, semejanza y geometría de coordenadas. Una vez que se ha probado una conjetura, se denomina teorema. ada paso de una prueba debe ser respaldada por una premisa o un teorema previamente probado. esarrollo de una prueba El desarrollo de una prueba es más arte que ciencia. Los matemáticos no se sientan y escriben de una vez una prueba de principio a fin, de modo que dígale a su estudiante que no espere hacerlo. Las pruebas requieren de pensamiento y creatividad. Generalmente, el estudiante comenzará escribiendo lo que está dado y lo que se pretende demostrar el principio y el final de la prueba. Luego, quizá utilizando diagramas, el estudiante volverá a expresar la primera y última afirmación de varias maneras, buscando una idea de cómo llegar de uno al otro lógicamente. Puede recordarle sobre las estrategias de razonamiento que pueden ayudar a planificar una prueba: ibuje un diagrama rotulado y marque lo que sabe Represente una situación algebraicamente Aplique conjeturas y definiciones previas ivida al problema en partes Agregue una recta auxiliar Piense de atrás para adelante Preguntas que puede hacer a su estudiante: Qué puedes concluir con las afirmaciones dadas? y Qué hace falta para probar la última afirmación? Viendo las conexiones, el estudiante puede desarrollar un plan, quizás expresado mediante organigramas. Hay varias maneras de expresar el plan, y su estudiante podrá utilizar más de una. Luego puede escribir la prueba, teniendo cuidado de revisar el razonamiento. Una buena manera de cuidar los detalles es escribir una prueba de dos columnas, con afirmaciones en la primera columna y los motivos en la segunda. Su estudiante podría encontrar lagunas en su razonamiento y tener que volver a la etapa de planificación. Si no parece haber ninguna manera de probar la afirmación, puede sugerir el razonamiento indirecto, en el cual el estudiante demuestra que la negación del teorema es falsa. e allí se deduce que el teorema debe ser verdadero. (continúa) 2008 Key urriculum Press iscovering Geometry: Una guía para los padres 53

2 apítulo 13 Geometría como sistema matemático (continuación) Problema resumen ibuje un diagrama que dé un árbol genealógico para todos los teoremas de triángulos que aparecen en los ejercicios de la Lección Incluya postulados y teoremas, pero no definiciones ni propiedades. Preguntas que puede hacerle en su rol de estudiante a su estudiante: Puedes ampliar árbol de la página 707? Qué representan las flechas en palabras? Ejemplos de respuestas Un árbol genealógico muestra cómo los teoremas se respaldan unos a otros. Un teorema puede depender de varios teoremas, cada uno de los cuales depende de otros teoremas y así sucesivamente, hasta llegar a los postulados de la geometría. La parte superior del árbol genealógico debería tener todos los postulados, y todas las flechas deberían fluir desde allí hacia abajo. Los diagramas pueden resultar bastante complejos. No se preocupe demasiado por la prolijidad o cuán completo esté; el objetivo es ver cómo se puede ampliar la estructura mientras se repasan los teoremas. Aquí está el árbol completo. SAS ASA de las paralelas A del par lineal de la suma de los ángulos SSS Teorema VA Teorema de las mediatrices Teorema AIA Teorema de la suma angular en triángulos Teorema del triángulo isósceles Teorema del tercer ángulo Teorema de congruencia SAA Recíproco del Teorema del triangulo isósceles Recíproco del Teorema de la bisectriz de ángulo Teorema de la bisectriz de ángulo Teorema de congruencia de la bisectriz de ángulo Teorema de bisectriz de ángulo de lados congruentes Teorema de altitud de lados congruentes Teorema de medianas de lados congruentes Teorema de coincidencia de mediatrices Recíproco del Teorema de la mediatriz 54 iscovering Geometry: Una guía para los padres 2008 Key urriculum Press

3 apítulo 13 Ejercicios de repaso Nombre Período Fecha 1. (Lección 13.1) Nombra la propiedad que respalda cada afirmación: a. Si A y EF, entonces A EF. b. Si A, entonces A. 2. (Lecciones 13.2, 13.3) En la Lección 13.2, Ejemplo, el Teorema de la suma angular en triángulos se prueba con una prueba de organigrama. Vuelve a escribir esta prueba usando una prueba de dos columnas. ado: 1, 2 y 3 son los tres ángulos de A emuestra: m 1 + m 2 + m (Lecciones 13.2, 13.4) Responde las siguientes preguntas para el enunciado, Las diagonales de un trapecio isósceles son congruentes. a. Tarea 1: Identifica lo dado y lo que debes demostrar. b. Tarea 2: ibuja y rotula un diagrama para ilustrar la información dada. c. Tarea 3: Vuelve a formular lo dado y lo que debes demostrar en términos de tu diagrama. 4. (Lección 13.6) Escribe una prueba para el Teorema de arcos congruentes con secantes paralelas: Las rectas paralelas cortan arcos congruentes sobre un círculo. 5. (Lección 13.7) Escribe una prueba para el Teorema de las altitudes correspondientes: Si dos triángulos son semejantes, entonces las altitudes correspondientes son proporcionales a los lados correspondientes Key urriculum Press iscovering Geometry: Una guía para los padres 55

4 SOLUIONES E LOS EJERIIOS E REPASO EL APÍTULO a. Propiedad transitiva b. 2. K A 1 3 1, 2 y 3 de A onstruye K A 1 4; 3 5 m 1 m 4; m 3 m 5 m 4 m 2 m K K and 5 son suplementarios m K m m 4 m 2 + m ado de paralelo Teorema de ángulos alternos internos de suma angular de par linear efinición de suplementario m 1 m 2 m a. ado: Trapecio isósceles emuestra: Las diagonales son congruentes b. A 4. c. ado: A ; A emuestra: A A ado: A emuestra: A A onstruye A A A m A m A 1 2 m A 1 2 m A ma 1 2 m A m 1 2 m A ma m A ado de rectas Teorema de ángulos alternos internos Propiedad de la multiplicación de igualdades Teorema de ángulos inscritos Teorema de ángulos inscritos 56 iscovering Geometry: Una guía para los padres 2008 Key urriculum Press

5 5. K J R L P ado: JKL; Altitudes P y JR emuestra: JR P JK JKL; Altitudes P y JR P ; JR KL P y JRK son ángulos rectos P JRK JKL P JKR P JR JK ado efinición de altitud efinición de perpendicular Teorema de ángulos rectos son congruentes Los ángulos correspondientes de triángulos semejantes son congruentes de semejanza AA Los lados correspondientes de triángulos semejantes son proporcionales 2008 Key urriculum Press iscovering Geometry: Una guía para los padres 57