TRIÁNGULOS CONGRUENTES

Transcripción

1 IÁNGULO ONGUN os triángulos son congruentes cuando existe una secuencia de transformaciones rígidas (reflexiones, rotaciones, y traslaciones) que hace que uno coincida con el otro. n estas lecciones, los alumnos encontrarán atajos que les permiten demostrar la congruencia de los triángulos con la menor cantidad de pasos posible, desarrollando cinco condiciones de congruencia de triángulos. Las condiciones de congruencia de triángulos son LLL, L, L, LL, y H, y se ejemplifican a continuación. Nota: L significa lado y significa ángulo. H solo se utiliza con triángulos rectángulos. La H significa hipotenusa y la significa cateto. l patrón parece ser LL pero este arreglo NO es una de las conjeturas, dado que solo es verdadero para los triángulos rectángulos. LLL L L LL H onsulta los recuadros de puntes de matemáticas de las Lecciones y ara más ejemplos y ejercicios de práctica, consulta el material del unto de comprobación M ducational rogram. ll rights reserved. ore onnections en español, Matemática Integrada I

2 apítulo 7 jemplo 1 Utiliza las condiciones de congruencia de triángulos para decidir si cada par de triángulos debe ser congruente. oma cada decisión según las marcas, y no las apariencias. Justifica cada respuesta. a. b. c. d. e. f. espuestas: a. Los triángulos son congruentes por LL. b. Los triángulos son congruentes por LLL. c. Los triángulos son congruentes por L. d. Los triángulos no son necesariamente congruentes. l primer triángulo muestra un arreglo L, mientras que el segundo muestra un arreglo L. Los triángulos podrían ser congruentes de todos modos, pero no podemos concluir con certeza que sean congruentes en función de las marcas. e. Los triángulos son triángulos rectángulos congruentes por H. f. Los triángulos son congruentes por L. Guía para padres con práctica adicional 2015 M ducational rogram. ll rights reserved.

3 jemplo 2 Utilizando la información de los siguientes diagramas, decide si alguno de estos triángulos es congruente. i consideras que los triángulos son congruentes, crea un diagrama de flujo que justifique tu respuesta. a. b. X Z V W Y n el punto (a), por la conjetura LL. Nota: si solo ves L, observa que es congruente con sí mismo. ado = m = m ado = LL l segmento es congruente con sí mismo n el punto (b), los triángulos no son necesariamente congruentes; podrían ser congruentes, pero como solo tenemos información acerca de los ángulos, no podemos arribar a ninguna otra conclusión. Nota: son semejantes por ~. roblemas xplica brevemente si cada uno de los siguientes pares de triángulos son congruentes o no. i lo son, indica en qué condición de congruencia de triángulos se basa tu conclusión. F G J 3. K H V Y I L W M N O U X F 2015 M ducational rogram. ll rights reserved. ore onnections en español, Matemática Integrada I

4 apítulo 7 Guía para padres con práctica adicional 2015 M ducational rogram. ll rights reserved V W X Y Z K L O N V I L U N H K I K M L N O U X W V X Y W Z G J H I H G I J K L 39º 112º 112º 39º 8 F

5 n cada uno de los siguientes diagramas, hay triángulos congruentes? i es así, demuéstralo F ompleta una demostración para cada uno de los siguientes problemas. 32. ado: y MN se bisecan una con otra. 33. ado: biseca a ; 1 2. emostración: N M emostración: N M ado:,, 35. ado: G G, emostración: F emostración: G G F G 36. ado: O M, O biseca a MO 37. ado:, emostración: MO O emostración: M O 2015 M ducational rogram. ll rights reserved. ore onnections en español, Matemática Integrada I

6 apítulo ado: biseca a, 39. ado:, emostración: emostración: 40. ado:, biseca a 41. ado: U GY, KY HU, K G, emostración: HG G. emostración: K H K Y U G H 42. ado: M WL, M WL emostración: ML W W M L onsidera el diagrama de la derecha. 43.? emuéstralo! 44.? emuéstralo! 45.? emuéstralo! Guía para padres con práctica adicional 2015 M ducational rogram. ll rights reserved.

7 espuestas 1. F por L. 2. GIH LJK por LL. 3. NM NO por LLL. 4., entonces por H. 5. Los triángulos no son necesariamente congruentes. 6. F por L o L. 7. GI GI, entonces GHI IJG por LLL. 8. Ángulos alternos internos = se utiliza dos veces, entonces KLN NMK por L. 9. Los triángulos no son necesariamente congruentes. 10. Los ángulos opuestos por el vértice y/o ángulos alternos internos =, entonces UX VWX por L. 11. No, la longitud de cada hipotenusa es diferente. 12. eorema de itágoras, entonces GH IHG por LLL. 13. La suma de los ángulos de un triángulo = 180º, pero como los ángulos iguales no se corresponden, los triángulos no son congruentes. 14. F + F = F +, entonces F por LLL. 15. XZ XZ, entonces WXZ YXZ por L. 16. por L 17. por L, con (el segmento es congruente con sí mismo). 18. VXW ZXY por L, con VXW ZXY porque los ángulos opuestos por el vértice son. 19. Los triángulos no son necesariamente congruentes. 20. KL L por H, con L L (el segmento es congruente con sí mismo). 21. Ángulos opuestos por el vértice en O, así que O O por LL. 22. Los triángulos no son necesariamente congruentes. 23. por LLL, con (el segmento es congruente con sí mismo). 24. Los triángulos no son necesariamente congruentes. 25. K I por H M ducational rogram. ll rights reserved. ore onnections en español, Matemática Integrada I

8 apítulo ado ongruente con sí mismo rectos son Δ Δ 27. L ado ado opuestos por el vértice son 28. ado ongruente con sí mismo rectos son Δ Δ L Δ Δ 29. LL ado ongruente con sí mismo ado 30. No necesariamente. ontraejemplo: Δ Δ LLL 31. ado ado Δ ΔF H 32. N M y por definición de la bisectriz. N M porque los ángulos opuestos por el vértice son iguales. ntonces, N M por LL. 33. por definición de la bisectriz. (segmento congruente con sí mismo), de modo que por L. 34. dado que los ángulos alternos internos de las rectas paralelas son congruentes, de modo que F por L. 35. G G (segmento congruente con sí mismo) de modo que G G por LLL. Guía para padres con práctica adicional 2015 M ducational rogram. ll rights reserved.

9 36. MO O porque las rectas perpendiculares forman ángulos rectos. MO O por la bisectriz yo O (segmento congruente con sí mismo). ntonces, MO O por L. 37. y porque las rectas paralelas conforman ángulos alternos internos congruentes. (segmento congruente con sí mismo) de modo que por L. 38. por definición de la bisectriz. porque los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. ntonces, por L. 39. porque las rectas perpendiculares forman ángulos rectos congruentes. (segmento congruente con sí mismo), de modo que por L. 40. por la bisectriz del ángulo y (segmento congruente con sí mismo), de modo que por L. 41. KY HUG porque las rectas paralelas conforman ángulos exteriores alternos congruentes. Y + YU = YU + GU entonces Y GU por sustracción. G porque las rectas paralelas conforman ángulos rectos congruentes. ntonces, KY HGU por L. ntonces, K H porque los triángulos tienen partes congruentes. 42. ML WL porque las rectas paralelas conforman ángulos alternos internos congruentes. L L (segmento congruente con sí mismo), entonces ML WL por LL entonces WL ML porque los triángulos congruentes tienen partes congruentes. ntonces, ML W porque los ángulos alternos internos congruentes están formados por rectas paralelas. 43. ongruente con sí mismo ectas alt. int. son Δ Δ LL 44. Los triángulos no son necesariamente congruentes. 45. Los triángulos no son necesariamente congruentes M ducational rogram. ll rights reserved. ore onnections en español, Matemática Integrada I

10 apítulo 7 GOMÍ N OON hora que los alumnos conocen muchas de las propiedades de diversos triángulos, cuadriláteros y cuadriláteros especiales, pueden aplicar sus habilidades y conocimientos algebraicos sobre cuadrículas de coordenadas para estudiar geometría en coordenadas. n esta sección, los polígonos son diagramados sobre ejes coordenados. Los alumnos pueden usar ideas familiares, como el eorema de itágoras y las pendientes para demostrar si los cuadriláteros tienen o no propiedades especiales. onsulta los recuadros de puntes de matemáticas de las Lecciones y jemplo 1 iagrama los puntos ( 3, 1), (1, 4), (5, 1), y (1, 2) en un par de ejes coordenados y conéctalos en el orden dado. l cuadrilátero es un rombo? Justifica tu respuesta. ara demostrar que este cuadrilátero es un rombo, debemos demostrar que sus cuatro lados miden lo mismo (definición de rombo). uando queremos determinar la longitud de un segmento en un gráfico coordenado, debemos usar el eorema de itágoras. ara comenzar, diagrama los puntos en un gráfico. i bien la forma parece ser un paralelogramo y posiblemente un rombo, no podemos basar nuestra decisión en las apariencias. ara usar el eorema de itágoras, diagramamos un triángulo de pendiente, creando un triángulo rectángulo con como hipotenusa. Los catetos de este triángulo rectángulo miden 3 y 4 unidades. Usando el eorema de itágoras, y x = () = () = () 2 = 5 4 ambién podemos dibujar triángulos de pendientes para los otros tres lados del cuadrilátero y usar nuevamente el eorema de itágoras. n todos los casos la longitud resultante es 5 unidades. Ya que todos los lados miden lo mismo, el polígono es un rombo. Guía para padres con práctica adicional 2015 M ducational rogram. ll rights reserved.

11 jemplo 2 iagrama los puntos ( 4, 1), (1, 3), (8, 1), y (4, 3) en un par de ejes coordenados y conéctalos en el orden dado. l cuadrilátero es un paralelogramo? Justifica tu respuesta. l diagramar los puntos, el cuadrilátero parece ser un paralelogramo, pero no podemos basar nuestra decisión en las apariencias. ara demostrar que es un paralelogramo, debemos mostrar que los lados opuestos son paralelos. n un gráfico, dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. odemos usar triángulos de pendiente para hallar la pendiente de cada lado. y Δx = 7 Δy = 4 x endiente de = 4 7 = 4 7 endiente de = 2 5 endiente de = 4 8 = 1 2 endiente de = 2 4 = 1 2 i bien las pendientes de los lados opuestos se aproximan, no son iguales. or lo tanto, este cuadrilátero no es un paralelogramo. jemplo 3 iagrama los puntos ( 1, 5), (6, 1), ( 3, 1) en un par de ejes coordenados. etermina los puntos medios de y. Luego, conéctalos para dibujar el segmento medio del triángulo. emuestra que el segmento medio es paralelo a y mide la mitad de. ara hallar los puntos medios de y, dibuja triángulos de pendiente. l punto medio de un segmento se halla sumando la mitad del cambio en x ( 1 2 Δx ) y la mitad del cambio en y ( 1 2 Δy ) a las coordenadas del extremo izquierdo. n, Δx = 2 y Δy = 6, así que 1 2 Δx = 1 y 1 2 Δy = 3. l punto ( 3, 1) es el extremo izquierdo, así que el punto medio de es ( Δx, Δy) o ( 3 + 1, 1 + 3) = ( 2, 2). y Δx = 2 Δx = 7 Δy = 6 Δy = 4 x epite este proceso para hallar el punto medio de : Δx = 7 y Δy = 4, así que 1 2 Δx = y 1 2 Δy = 2. l punto es el extremo izquierdo, así que el punto medio de es ( , 5 + ( 2)) = (2 1 2, 3). ara demostrar que el punto medio es paralelo a, debemos demostrar que tiene la misma pendiente. La pendiente del segmento medio es = 2 9. La pendiente de también es 2 9. Usa tus triángulos de pendiente y el eorema de itágoras para determinar la longitud del segmento medio y la longitud de. egmento medio: = c = c 2 c 4.61 : = c 2 85 = c 2 c es la mitad de M ducational rogram. ll rights reserved. ore onnections en español, Matemática Integrada I

12 apítulo 7 roblemas 1. i es un rectángulo, y (1, 2), (5, 2), y (5, 5), cuáles son las coordenadas de? 2. i (2, 1) y (6, 1) son los extremos de la base de un triángulo rectángulo isósceles, cuál es la coordenada x del tercer vértice? 3. Los tres puntos ( 1, 1), (1, 4), y M(2, 1) son vértices de un paralelogramo. uáles son las coordenadas de tres puntos posibles del cuarto vértice? 4. Grafica las rectas de abajo en el mismo par de ejes. stas rectas encierran una figura. uál es el nombre de esa figura? Justifica tu respuesta. y = 3 5 x + 7 y = 0.6x y = 10 6 x 1 y = 5 3 x i W( 4, 5), X(1, 0), Y( 1, 2), y Z( 6, 3), qué figura es WXYZ? Justifica tu respuesta. 6. i los extremos de son (2, 2) y (6, 4), cuál es la ecuación de la recta que contiene la mediatriz de? espuestas 1. (1, 5) 2. (4, 4) 3. (4, 4), (0, 6), o ( 2, 4) 4. Ya que las pendientes de los lados opuestos son iguales, este es un paralelogramo. demás, ya que las pendientes de las rectas que se intersecan son recíprocos negativos entre sí, las rectas son perpendiculares. sto significa que todos los ángulos son rectos, así que la figura es un rectángulo. 5. Las pendientes son: WX = 1, XY = 1, YZ = 1, y ZW = 1. sto muestra que WXYZ es un rectángulo. 6. y = 2x + 11 l punto medio de es (4, 3). La pendiente de es 1 2, así que la pendiente perpendicular es 2. omienza con 3 = 2(4) + b y calcula b. Guía para padres con práctica adicional 2015 M ducational rogram. ll rights reserved.