GMC. Ecuaciones constitutivas (I) Juan Carlos García Orden, José M. Goicolea. Depto. Mecánica Medios Continuos y Teoría Estructuras

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1 GMC Slide 1 Ecuaciones constitutivas (I) Juan Carlos García Orden, José M. Goicolea Depto. Mecánica Medios Continuos y Teoría Estructuras E.T.S. Ingenieros de Caminos, UPM Ecuaciones constitutivas Slide 1 Ecuaciones constitutivas mecánicas: Leyes tensión deformación, respuesta del material (tensiones σ) frente a la historia del movimiento (deformación) experimentado, φ (t) (X), hasta el instante t: σ(x, t) = F ( ) φ (t) (X) Materiales con o sin memoria. Elasticidad: memoria perfecta de la configuración sin deformar; Fluido Newtoniano: sólo recuerda estado inmediato anterior. J.C.García Orden, J.M. Goicolea 1 Curso de doctorado. MEF no lineal.

2 Ecuaciones constitutivas (cont.) Slide 2 El material fuera de un cierto entorno de X no influye: la dependencia se puede establecer en función del gradiente F = x/ X: σ(x, t) = G (F (t)) Los movimientos rígidos no producen tensiones (objetividad): la tensión depende sólo de la deformación ( σ(x, t) = H E (t)) = I (e (t)) Elasticidad Lineal con Pequeñas Deformaciones Caso uniaxial Slide 3 P l P a tensión σ = P l a ; deformación ε = l 0 Ley elástica: σ = Eε (E: módulo de Young) J.C.García Orden, J.M. Goicolea 2 Curso de doctorado. MEF no lineal.

3 Tensor de deformaciones lineal Caso general 3D ε def = 1 2 ( u + T u) = s u Slide 4 ε ij def = 1 2 (u i,j + u j,i ) Tensor de módulos elásticos (4 o orden) C C ijkl. Ley elástica lineal σ = C:ε ; σ ij = C ijkl ε kl Elasticidad lineal (cont.) Observaciones Slide 5 Se cumplen las simetrías menores (C ijkl = C jikl, C ijkl = C ijlk ) y mayor (C ijkl = C klij ), por lo que C posee un máximo de 21 parámetros independientes. Si existe simetría ortótropa, C posee un máximo de 9 parámetros independientes. J.C.García Orden, J.M. Goicolea 3 Curso de doctorado. MEF no lineal.

4 Elasticidad lineal (cont.) Si existe isotropía, C posee sólo 2 parámetros independientes: λ y µ (constantes de Lamé ). Slide 6 C = λ(1 1) + 2µI ; C ijkl = λδ ij δ kl + 2µδ ik δ jl σ = λ(tr ε)1 + 2µε ; σ ij = C ijkl ε kl = λε kk δ ij + 2µε ij Otros parámetros elásticos E módulo de Young, ν módulo de Poisson; G = µ módulo de corte, κ módulo volumétrico Elasticidad lineal (cont.) Descomposición volumétrica desviadora. Teniendo en cuenta que V/V = tr(ε), las componentes volumétricas y desviadoras de tensión y deformación resultan: Slide 7 p def = 1 def tr(σ) ; s = σ + p1 3 ε v def = tr(ε) ; e def = ε 1 3 ε v1 donde tr(e) = tr(s) = 0. Resultan las leyes s = 2Ge p = κε v siendo κ el módulo de deformación volumétrica. J.C.García Orden, J.M. Goicolea 4 Curso de doctorado. MEF no lineal.

5 Relaciones útiles f(λ, µ) f(κ, G) f(e, ν) λ λ κ 2 3 G Eν (1+ν)(1 2ν) Slide 8 µ µ G E 2(1+ν) κ λ µ κ E 3(1 2ν) G µ G E E µ(3λ+2µ) λ+µ 9κG 3κ+G 2(1+ν) E ν λ 2(λ+µ) 3κ 2G 2(3κ+G) ν Elasticidad lineal (cont.) Energía Elástica de deformación Tasa de la densidad de energía elástica de deformación por unidad de volumen: Ẇ = σ : ε ; Ẇ = σ ij ε ij Slide 9 integrando, W = 1 2 ε : C : ε ; W = 1 2 ε ijc ijkl ε kl Las tensiones se obtienen como gradiente de W respecto a las deformaciones: σ = W ε = C : ε ; σ ij = W ε ij J.C.García Orden, J.M. Goicolea 5 Curso de doctorado. MEF no lineal.

6 Expresiones alternativas: Elasticidad lineal (cont.) W = 1 2 κε2 v + Ge : e ; W = 1 2 κε2 v + Ge ij e ij Slide 10 W = 1 2 λε2 v + Gε : ε ; W = 1 2 λε2 v + Gε ij ε ij Al ser W 0 (definida positiva), necesariamente: κ > 0, G > 0 E > 0, 1 < ν < 1 2 Termoelasticidad Lineal En un sólido sujeto a un campo de temperatura θ(x, t) las ecuaciones de la elasticidad se modifican para incluir un término debido a las tensiones de origen térmico: σ = λε v 1 + 2µε 3ακ(θ θ 0 )1 Slide 11 σ ij = λε kk δ ij + 2µε ij 3ακ(θ θ 0 )δ ij donde α es el coeficiente lineal de expansión térmica del material. En un caso general, puede depender de la temperatura, originando un problema no lineal acoplado. El cambio de temperatura (θ θ 0 ) produciría una variación de volumen unitaria 3α(θ θ 0 ) en el caso en que el medio fuera libre para expandirse (en situación isostática). J.C.García Orden, J.M. Goicolea 6 Curso de doctorado. MEF no lineal.

7 Fluidos Baja resistencia a las tensiones de corte. Dada una tensión cortante (τ) aplicada en una lámina de fluido, la deformación de corte γ prosigue mientras esté aplicada τ: τ = µ γ = µ dv dy Slide 12 donde µ es el coeficiente de viscosidad (dinámico). En un caso general (3D, isótropo), las ecuaciones constitutivas son: Ecuación de estado que determina la presión termodinámica en función de la densidad (caso puramente mecánico) y la temperatura (θ) p = p(ρ, θ) Por ejemplo, ley de los gases ideales p = ρrθ. Fluidos (cont.) En función del tensor velocidad de deformación d = s v. Fluido newtoniano: σ = p1 + C : d = p1 + λ tr(d)1 + 2µd (1) Slide 13 (similitud con elasticidad lineal de sólidos, σ = C : ε). Relación entre la presión media (p = tr(σ)/3) y la presión termodinámica (p); tomando la traza en (1) y empleando la ecuación de continuidad (dρ/dt + ρdiv(v) = 0): p = p + κ tr(d) = p + κdiv(v) = p κ 1 dρ ρ dt Caso particular: fluido incompresible, p = p J.C.García Orden, J.M. Goicolea 7 Curso de doctorado. MEF no lineal.

8 Viscoelasticidad Slide 14 Función de relajación G(t) Función de fluencia J(t) Viscoelasticidad Una tensión de corte constante T = σ 12 produce una deformación de cortante γ = 2ε 12 : arctan γ γ T (c) J g A A (b) Slide 15 F = T A a) (a) J g t 0 t 1 b) t Figura 1: Ensayo de corte. a) Esquema de realización del ensayo; b) Función de fluencia J(t) = γ/t frente al tiempo de tres tipos de materiales J.C.García Orden, J.M. Goicolea 8 Curso de doctorado. MEF no lineal.

9 Modelo de Kelvin-Voigt 2G s s 2η Slide 16 s = αe + ηė = α(e + τė) ; (α = 2G) siendo τ = η/α el tiempo de relajación. Escalón unitario de tensión s 0 = 1: Sin deformación instantánea. Equilibrio asintótico (t ). Escalón unitario de deformación e 0 = 1: J(t) = 1 α ( 1 e t/τ ) G(t) = ηδ(t) + α Modelo de Maxwell s 2G 2η s Slide 17 ė = 1 αṡ + 1 η s αė = ṡ + 1 τ s Escalón unitario de tensión s 0 = 1: J(t) = 1 α + 1 η t Escalón unitario de deformación e 0 = 1: G(t) = αe t/τ J.C.García Orden, J.M. Goicolea 9 Curso de doctorado. MEF no lineal.

10 Sólido Lineal Estándar 2G 2 s 2G 1 2η s Slide 18 ṡ + α 1 + α 2 η Escalón unitario de tensión s 0 : s = α 1 ė + α 1α 2 η e J(t) = 1 α α 2 ( 1 e t/τ ) siendo τ = η/α 2. Incluye una respuesta instantánea J g = 1 α 1 otra diferida. y Comparación de modelos: fluencia Slide 19 J.C.García Orden, J.M. Goicolea 10 Curso de doctorado. MEF no lineal.

11 Comparación de modelos: relajación Slide 20 Material viscoelástico general Slide 21 Tensión relacionada con deformación a través de la expresión: (Integral de convolución) s(x, t) = t G(x, t τ) e (x, τ) dτ τ siendo G(x, t) la función tensorial de relajación. J.C.García Orden, J.M. Goicolea 11 Curso de doctorado. MEF no lineal.

12 Slide 22 Plasticidad Ensayo de tracción uniaxial a 0, a P l 0, l P σ e = P a 0 ; ε e = l l0 l 0 Ensayo uniaxial (cont.) Respuesta experimental de metales: Slide 23 J.C.García Orden, J.M. Goicolea 12 Curso de doctorado. MEF no lineal.

13 Ensayo uniaxial (cont.) Respuesta experimental de metales: Slide 24 Elastoplasticidad Ideal σ H σ Y σ = P a Slide 25 E ε = ln l l 0 ε p ε e ε σ Y : ĺımite elástico o tensión de fluencia H: módulo de endurecimiento elastoplástico. J.C.García Orden, J.M. Goicolea 13 Curso de doctorado. MEF no lineal.

14 Elastoplasticidad Ideal (cont.) Se produce una deformación plástica o remanente Slide 26 ε p = ε ε e = ε σ E En la práctica suele ser difícil medir precisamente σ Y. Se emplea en su lugar la tensión offset, que deja una deformación remanente prefijada (0.2 %). Modelos de Endurecimiento Plástico σ H σ Y E Slide 27 ε Endurecimiento lineal Eε, ε σ Y σ = E σ Y + H ( ε σ ) Y E, ε > σ YE J.C.García Orden, J.M. Goicolea 14 Curso de doctorado. MEF no lineal.

15 Modelos de Endurecimiento Plástico (cont.) σ H σ Y E Slide 28 ε Ramberg-Osgood elástica: Eε, ε σ Y σ = E Cε n, ε > σ Y E curva σ = Cε n, modelizada con una fase siendo C = E n /σ (n 1) Y. Ecuaciones Constitutivas: Principios Generales σ(x, t) = F ( ) φ (t) (X) Slide Principio de determinismo: la respuesta depende exclusivamente de las configuraciones previas al instante t. 2. Principio de acción local: la respuesta depende únicamente del movimiento en un cierto entorno de X. Los materiales simples son los que se definen mediante únicamente la primera derivada de la deformación (gradiente de deformación F = x X. J.C.García Orden, J.M. Goicolea 15 Curso de doctorado. MEF no lineal.

16 Principios Generales (cont.) Slide Principio de objetividad: La respuesta no depende de cambios en el sistema de referencia (traslaciones en el espacio o en el tiempo o rotaciones rígidas). 4. Principio de invariancia material: La respuesta no varía para transformaciones correspondientes a las simetrías propias del material. Modelo hipoelástico Slide 31 Se trata de una elasticidad incremental, referida en todo instante a la configuración deformada, empleando la velocidad de deformación: σ = C: ε ó σ ij = C ijkl ε kl Es útil para describir la plasticidad, pero vulnera el principio de objetividad: una rotación rígida hace variar las tensiones! J.C.García Orden, J.M. Goicolea 16 Curso de doctorado. MEF no lineal.

17 σ [Q] = σ σ Slide 32 σ [σ] = 0 0 [σ] = σ 0 0 σ 0 0 Modelo hipoelástico (cont.) Slide 33 Durante esta rotación rígida se verifica ε = 0, y sin embargo σ 0, inconsistente con la ley hipoelástica. Las posibles soluciones son: Emplear una tasa (derivada temporal) objetiva en la ley hipoelástica Emplear una ley constitutiva no incremental, basada en magnitudes objetivas (p.ej., en la configuración de referencia). J.C.García Orden, J.M. Goicolea 17 Curso de doctorado. MEF no lineal.

18 Objetividad Rotación rígida superpuesta Q, (Q Q T = 1) Vector en la configuración final: x = Q x Gradiente de deformación Slide 34 F = x X F = (Q x) = Q F X (es objetivo porque tiene una pata sólo en la configuración deformada) Tensor espacial 2 o orden a: Tensor material 2 o orden A: a = Q a Q T A = A Objetividad (cont.) Tensor de Cauchy-Green (dcha.) C = F T F C = F T F = (F T Q T ) (Q F ) = F T F = C Slide 35 Tensor de Green-Lagrange E = 1 2 (C 1) E = E Tensor de Almansi-Euler e = 1 2 (1 b 1 ) e = Q e Q T J.C.García Orden, J.M. Goicolea 18 Curso de doctorado. MEF no lineal.

19 Objetividad (cont.) Tensor de tensiones 2 o de Piola-Kirchhoff S = S Slide 36 Tensor de tensiones de cauchy σ = Q σ Q T Tasa temporal del tensor de tensiones de Cauchy (no es objetiva) σ = Q σ Q T + Q σ Q T + Q σ Q T [ = Q σ + (Q T Q) σ + σ ( Q ] T Q) Q T Objetividad (cont.) Tasas objetivas de tensión. Slide 37 σ = σ ω σ + σ ω Jaumann σ = σ l σ σ l T + tr(l)σ Truesdell σ = σ + l T σ + σ l Cotter-Rivlin σ = σ Ω σ + σ Ω = R ˆσ R T Green-Naghdi siendo Ω = Ṙ RT ω. J.C.García Orden, J.M. Goicolea 19 Curso de doctorado. MEF no lineal.

20 Ley hipoelástica objetiva Empleando la tasa de Jaumann: Slide 38 Interpretación: σ= C: ε: variación de las tensiones debida a la respuesta del material. ω σ σ ω: variación geométrica de las tensiones, debida a la rotación Modelos Hiperelásticos Constituyen una clase de materiales elásticos. Postulan la existencia de una función de densidad de energía libre ψ (energía de deformación) tal que Slide 39 S = ψ(e) E ; ó σ = ψ e Modelo de Mooney-Rivlin ψ se formula en función de los invariantes de C, (I1 C, I2 C, I3 C ). Válido para cauchos incompresibles. ψ = a 1 (I1 C 3) 2 + b 1 (I2 C 3) 2 J.C.García Orden, J.M. Goicolea 20 Curso de doctorado. MEF no lineal.

21 Modelos Hiperelásticos (cont.) Modelo Neo-Hookeano extendido (Simo, 1986) ψ = λ ( ) λ 4 (J 2 1) 2 + µ ln(j) µ(ic 1 3) Conduce a la expresión de la tensión: Slide 40 S = λ 2 (J 2 1)C 1 + µ(1 C 1 ) Material de St. Venant ψ = λ + 2µ (I1 C 3) 2 + µ(i1 C 3) µ 8 2 (IC 2 3) Conduce a la expresión de la tensión: S = λ tr(e)1 + 2µE Expresión útil pero cuestionable matemáticamente dado que ψ no es policonvexa. Modelos Hiperelásticos (cont.) Slide 41 J.C.García Orden, J.M. Goicolea 21 Curso de doctorado. MEF no lineal.

22 Modelos Hiperelásticos (cont.) Slide 42 Modelos Hiperelásticos (cont.) Slide 43 J.C.García Orden, J.M. Goicolea 22 Curso de doctorado. MEF no lineal.

23 Plasticidad Ecuaciones de la plasticidad Hipótesis: pequeñas deformaciones a) Criterio de plastificación (superficie de fluencia): f(σ, q) 0 Slide 44 siendo q parámetros internos del material en cada punto, llamados variables de endurecimiento, que definen la evolución de la superficie de fluencia b) Descomposición aditiva: ε = ε e + ε p donde ε e son las deformaciones que se recuperan al desaparecer σ. Ecuaciones de la plasticidad (cont.) La tensión queda definida como una ley elástica de éstas: σ = C:ε e = C:(ε ε p ) c) Leyes de fluencia plástica y endurecimiento Slide 45 c.1) Caso general (no asociativo) ε p = γr(σ, q); q = γh(σ, q) c.2) Modelo asociativo ε p = γ f σ ; f q = γ q ; En este caso la deformación plástica es normal a la superficie de fluencia f. J.C.García Orden, J.M. Goicolea 23 Curso de doctorado. MEF no lineal.

24 Ecuaciones de la plasticidad (cont.) d) Condiciones de Kuhn-Tucker y de consistencia: permiten calcular el valor del multiplicador γ. γ 0, f(σ, q) 0 y γf(σ, q) = 0 Slide 46 Condición de consistencia: (f = 0) γ f(σ, q) = 0 Situaciones posibles f < 0 f < 0 f = 0 f = 0, γ = 0 f = 0, γ > 0 γ = 0, respuesta elástica γ = 0, descarga elástica carga neutra carga plástica Formulación hipoelástica de la plasticidad Slide 47 Es posible extender el modelo clásico para pequeñas deformaciones empleando incrementos de deformación y de tensión, con la precaución de emplear tasas objetivas en el caso de grandes deformaciones. La descomposición aditiva se formula ahora para las velocidades de deformación d = ε: σ= C:( ε ε p ) σ = σ +ω σ σ ω donde se ha empleado la tasa de Jaumman, σ. J.C.García Orden, J.M. Goicolea 24 Curso de doctorado. MEF no lineal.

25 Formulación hipoelástica (cont.) Observaciones Slide 48 La teoría clásica de la plasticidad se formula en la configuración deformada, adaptándose bien a ella las medidas experimentales. Una formulación más rigurosa desde el punto de vista de la mecánica de medios continuos es la basada en la descomposición multiplicativa: F = F e F p Esta presupone en primer lugar la aplicación de F p, definiendo una configuración intermedia (ficticia). Matriz elastoplástica tangente Para resolver un modelo elastoplástico (no lineal por tanto) mediante elementos finitos, es preciso realizar dos tipos de tareas por parte del modelo constitutivo: Slide Integrar las ecuaciones de la plasticidad para evaluar las fuerzas internas y calcular el residuo. Esta es la tarea fundamental. 2. Obtener la matriz de módulos tangentes del material, en el caso (usual) en que el procedimiento de resolución se base en ella (p. ej. método de Newton). Esta tarea es subordinada a la anterior, puesto que con la matriz tangente nos aproximamos a la solución pero no la evaluamos. J.C.García Orden, J.M. Goicolea 25 Curso de doctorado. MEF no lineal.

26 Matriz elastoplástica tangente (cont.) Para obtener la matriz tangente se parte de la condición de consistencia: f = f σ : σ + f q = 0 (2) q Slide 50 empleando la regla de fluencia y la ley hipoelástica, σ= C: ε γc:r (3) sustituyendo en (2) y mediante la ley de endurecimiento, ( ) f :C: ε γ f f :C:r + γ σ σ q h = 0 (4) Matriz elastoplástica tangente (cont.) Slide 51 Eliminamos el multiplicador γ, definiendo el coeficiente escalar G: G def = f f :C:r σ q h > 0 (5) y eliminando en (3), σ= C: ε 1 [ ( )] f (C:r) G σ :C : ε (6) J.C.García Orden, J.M. Goicolea 26 Curso de doctorado. MEF no lineal.

27 Matriz elastoplástica tangente (cont.) En resumen: γ = 0 (descarga) γ > 0 (carga) σ= C: ε σ= C: ε 1 G [ ( )] (C:r) f σ :C : ε Slide 52 siendo la matriz elastoplástica tangente C ep = C 1 [ ( )] f (C:r) G σ :C Observación: Si la plasticidad no es asociativa, resulta una matriz no simétrica, lo que resulta poco conveniente para la resolución numérica. Configuración del espacio de tensiones principales σ 3 Slide 53 3τoct = 2J 2 I 1 = tr(σ) P θ(j 3 ) J 2 = 1s : s = 1 tr(s s) 2 2 J 3 = 1 tr(s s s) 3 Plano octaédrico 3σoct = I 1 / 3 σ 2 σ 1 J.C.García Orden, J.M. Goicolea 27 Curso de doctorado. MEF no lineal.

28 Aplicación: Modelo de Von Mises (J 2 ) σ 3 σ 1 Slide 54 σ 1 σ 2 2σ3 Superficie de fluencia: f(σ, α, q) = (s α):(s α) (2/3)(σ Y + q) Sin endurecimiento: f(σ) = 3J 2 σ Y, 3J 2 Tensión efectiva (uniax. equiv.) Normal a la superficie de fluencia (asociativa): n = (s α)/ (s α):(s α) Endurecimiento isótropo: siendo ε p = Von Mises (cont.) 2 3 εp : ε p = q = h q ε p, 2 3 γ (def. plástica efectiva) Slide 55 Endurecimiento cinemático: α = γ 2 3 h αn. Matriz elastoplástica tangente C ep = C 2µ n n 1 + h q+h α 3µ = κ µ [I 13 ] 1 1 2µ n n 1 + h q+h α 3µ J.C.García Orden, J.M. Goicolea 28 Curso de doctorado. MEF no lineal.

29 Integración de las Ecuaciones: Retorno Radial Tanto el criterio de fluencia como la deformación plástica se plantean en el plano octaédrico, en tensiones y deformaciones desviadoras. 1. Predictor (hipo)elástico: s tr n+1 = s n + ṡ n+1/2 t. Slide Corrección plástica: f(σ tr n+1, α, q) 0 f(σ tr n+1, α, q) > 0 siendo γ = 1 2µ f tr n hq+hα 3µ. s n+1 = s tr n+1 (elástico) s n+1 = s tr n+1 2µ γn n+1 (plástico) Retorno Radial (cont.) f n+1 = 0 σ 3 2µ γ s n+1 s tr n+1 n n+1 Slide 57 f n = 0 s n σ 1 σ 2 Retorno radial (backward Euler) para criterio de von Mises en plano octaédrico. s, e =: tensiones, def. desviadoras; µ = módulo de corte. J.C.García Orden, J.M. Goicolea 29 Curso de doctorado. MEF no lineal.

30 Matriz Tangente Elastoplástica Consistente Algorítmicamente Slide 58 La matriz elastoplástica tangente derivada antes se basa en un incremento infinitesimal de p, no mantiene la condición de consistencia plástica para el algoritmo discreto de integración. Esto ocasiona la pérdida de la convergencia cuadrática propia del método de Newton. Para mantener esta cualidad debe formularse la matriz tangente consistente con el algoritmo de integración (retorno radial mediante backward-euler). Matriz Tangente Elastoplástica Consistente Algorítmicamente (cont.) Llamamos Slide 59 β tr n+1 = β tr def n+1 = s tr n+1 α tr β tr n+1 : β tr n+1; n+1 n tr n+1 = βtr n+1 β tr n+1 El parámetro de consistencia (en n + 1), para el caso de endurecimiento lineal, se halla mediante: f tr n+1 = β tr n+1 (σ Y + h q ε p n+1 ); γ = 1 2µ f tr n h q+h α 3µ. J.C.García Orden, J.M. Goicolea 30 Curso de doctorado. MEF no lineal.

31 Matriz Tangente Elastoplástica Consistente Algorítmicamente (cont). La matriz elastoplástica tangente consistente es: C ep = κ µζ n+1 [ I ] 2µ ζ n+1 n n+1 n n+1 Slide 60 siendo ζ n+1 = 1 2µδγ β tr ζ n+1 = 1 n h q+h α 3µ (1 ζ n+1 ) Modelo de Drucker-Prager σ 1 σ 1 Slide 61 σ 2 σ 3 2σ3 φ = α(i 1 I 0 1 ) + J 2 κ = 0; I 1 = σ kk J.C.García Orden, J.M. Goicolea 31 Curso de doctorado. MEF no lineal.

32 Modelo de Mohr-Coulomb σ 3 σ 1 Slide 62 σ 1 σ 2 2σ3 φ = máx[ σ i σ j + (σ i + σ j ) sen ϕ] 2c cos ϕ = 0 J.C.García Orden, J.M. Goicolea 32 Curso de doctorado. MEF no lineal.