51 BAC CNyS FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS

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1 5 BAC CNyS FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS. FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 4. EJERCICIOS Y PROBLEMAS Web sobre ondas Fórmulas y funciones trigonométricas 5.

2 . FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Las razones trigonométricas aparecen en numerosos problemas físicos y matemáticos.. Geometría: Movimientos que implican ángulos (giros, rotaciones). Medidas de longitudes, áreas, superficies.. Trigonometría, astronomía, navegación: Mediciones de terrenos, cálculos topográficos, cálculos astronómicos, cálculos de navegación.. Ingeniería: Engranajes, pistones, todo lo que implica movimientos periódicos. 4. Física teórica: ondas mecánicas, sonoras, electromagnéticas, RAZONES ELEMENTALES Poner la tabla en grados y radianes RAZONES TRIGONOMÉTRICA DE LA SUMA DE ÁNGULOS Y DIFERENCIA Apoyarse en el dibujo que tienen los alumnos en su material. Hacer la demostración en el caso de la suma utilizando una secuencia de dibujos: Ángulo Ángulo Construcción de un triángulo rectángulo de hipotenusa. Hallar el valor de sus catetos. B O P Q C A Hallar el valor de los catetos de los otros dos triángulos. Es fácil después de lo anterior deducir el valor del sen ( + ) = PB = QA + AC sen () = sen cos + cos sen También es fácil deducir el cos() = OP = OQ PQ = OQ BC cos () = cos cos sen sen La tangente se obtiene dividiendo las dos y operando un poco; dividiendo el numerador y el denominador entre cos cos El resto son deducibles de la fórmula anterior: sen( ) sen( ( )) Ejercicios cos( ) sen ( )... Hallar razones de 75º y 5º. Fórmulas y funciones trigonométricas 5.

3 RAZONES DEL ÁNGULO DOBLE Ejercicios Se deducen fácilmente. Hallar las razones de º a partir de 6º. RAZONES DEL ÁNGULO MITAD R S T Se obtienen simplificando adecuadamente en el siguiente sistema de ecuaciones: R S T sin cos tan Ejercicio Ejercicios: F cos cos H G I K J cos sin Llegándose a: cos cos cos cos cos sin La ambigüedad del signo +/ se produce porque puede haber cambio de cuadrante. Por ejemplo, cos cos 6º. 4 cos 4 cosº. 4 Hallar las razones de 5º a partir de º. Demostrar: a) cos cos cos b) cos cos( ) sen sen( ) cos cos( ) tg tg c ) cos( ) tg tg Eplicar en qué consiste una identidad a diferencia de una ecuación. Por ejemplo, las fórmulas del cuadrado de un binomio. CONVERSIÓN DE SUMA DE RAZONES EN PRODUCTO También es posible transformar sumas de senos y cosenos en productos y viceversa utilizando este sistema de ecuaciones y similares: sen ( ) = sen cos + cos sen cos ( ) = cos cos - sen sen sen ( ) = sen cos - cos sen cos ( ) = cos cos + sen sen Se deducen fácilmente las siguientes fórmulas sustituyendo los valores + = A y = B. Fórmulas y funciones trigonométricas 5.

4 R S T A B A B sin A sinb sin cos A B A B sin A sinb cos sen A B A B cos A cos B cos cos cos A cos B sen A B sen A B. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Aquéllas en que la incógnita está afectada por razones trigonométricas. El método a seguir normalmente es:. Conseguir que todos los argumentos o ángulos de las diferentes funciones trigonométricas sean iguales.. Que tengamos una sola razón trigonométrica en la ecuación a resolver. Ejercicios cos = ½ tg cos + sen = cos + sen = sen + cos = Respecto del último tipo recordar que: nos puede servir para hallar los puntos de corte de funciones trigonométricas. Por ejemplo entre y = sen e y = sen Podíamos empezar con: sen =. Salen dos soluciones una para = y otra para = sen =. Lo mismo. sen sen = Fórmulas y funciones trigonométricas 5. 4

5 FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Lados de un triángulo rectángulo en función de la hipotenusa y el ángulo sen h h sen cos h cos Deducción básica Fórmulas Fórmulas y funciones trigonométricas 5. 5

6 . FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Está también en el tema de funciones. EL RADIÁN Es una unidad de medida de ángulos del sistema métrico decimal. Fue definido en la XI Conferencia General de Pesas y Medidas de 96. Eiste una correspondencia biyectiva entre ángulos centrales y arcos sobre una circunferencia. A ángulos iguales le corresponden arcos iguales y viceversa. El ángulo es la separación que eiste entre dos semirrectas con origen común y el arco es la longitud que determina sobre la circunferencia Radianes = Arco Radio Ángulo Radio Arco Ya vemos por esta última epresión que los radianes no tienen dimensión. Fijarse que dividimos una longitud entre otra longitud; es decir, es un mero número que establece una mera proporción. Además por ser una proporción no depende de la circunferencia que tomemos. Es pues una medida asociada al ángulo. Si tomásemos una circunferencia de radio el arco sería la medida del ángulo. Ya que la longitud total de la circunferencia es r ; es decir en este caso, la proporción es evidente. rad< > 6 O lo que es más fácil Así podemos establecer: rad < > 8 Ejemplo Grados 8 son radianes y Radianes 8 son grados. Cambiar mentalmente por 8º cuando se haga la conversión. Cuántos radianes representan 6? Cuántos grados son π radianes? Cuántos grados representa radián? Fórmulas y funciones trigonométricas 5. 6

7 Es la unidad que se utiliza en análisis, mientras que en geometría se suele utilizar los grados. Es importante comprobar las unidades en la calculadora cuando se está operando. En un mismo gráfico: FUNCIONES PERIÓDICAS Una función y=f() es periódica de periodo T si se cumple que es el menor valor tal que: f()=f(+t) para todo D. Las funciones periódicas por ecelencia son las funciones trigonométricas. Éstas asocian a cada ángulo la razón trigonométrica correspondiente. Rigen los fenómenos cíclicos o periódicos. Por ejemplo, sen y cos tienen de periodo. Así sen=sen(+6)= En el eje X poner los valores /,, Aunque se observe que, para que lo asocien a un número. El cangilón de una noria en su giro repite en cada vuelta todas sus posiciones. 4 tiempo y altura y = sen y = sen A l t u r a Tiempo (segundos) Función que a cada ángulo le hace corresponder su seno. Tiene de periodo (6 ). Para construir su gráfica dividimos el periodo en 4 partes. Por tanto la tabla quedaría / / y cálculo: y = sen = - Y gráfica: X / / El seno es una función periódica, impar, acotada, que oscila entre y. Empieza valiendo. Fórmulas y funciones trigonométricas 5. 7

8 y = cos Función que a cada ángulo le hace corresponder su coseno. Tiene de periodo (6 ). Para construir su gráfica dividimos el periodo en 4 partes. Completa la tabla y la gráfica. Señala los puntos que corresponden a los valores de la tabla. Marca también un ciclo completo. y cálculo: gráfica: / / y = cos = El coseno es una función periódica, par, acotada, que oscila entre y. Empieza valiendo. y = tg Función que a cada ángulo le hace corresponder su tangente. Tiene de periodo (8 ). Para construir su gráfica dividimos el periodo en 4 partes. Lo hacemos con la visión geométrica de la tangente. Completa la tabla y la gráfica. Señala los puntos que corresponden a los valores de la tabla. Marca también un ciclo completo. Fórmulas y funciones trigonométricas 5. 8

9 / /4 /4 / y no cálculo: y = tg / gráfica: 4 Y - - X š - -4 š La tangente es una función periódica, impar, no acotada, que oscila entre y +. Tiene asíntotas verticales en 9 (/) y 7 (/) y sus equivalentes. Dibuja las asíntotas en la gráfica de la derecha y gradúa el eje X Un conteto interesante para trabajar aquí es encontrar los puntos de corte de dos funciones trigonométricas en un determinado intervalo. Por ejemplo, hallar los puntos de corte de las siguientes funciones y representarlas: a) y cos ; y sen 6 en el intervalo [,] b) y sen ; y tg en el intervalo [,] Y así otros ejercicios de ecuaciones. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PURAS Asocian a cada ángulo su sen, cos o tg. Representación gráfica Poner una circunferencia unidad con los ángulos elementales y sus asociados y llevarlos sobre los ejes de coordenadas. Mirar libro de Guzmán cómo hacerlo y actividad posible. Representación según tabla de valores Tomaremos solamente:, /,, /,. Salvo para la tangente que tomaremos intervalos de /4. Hacer las representaciones correspondientes. Periodo. Ejemplo Representar hallando los puntos de corte con los ejes: Fórmulas y funciones trigonométricas 5. 9

10 y cos 4 ; y 5sen ; y tg FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS GENERALES. OPTATIVO Vamos a considerar sólo las de la forma: y = a sen b. Por ejemplo, y = sen; y = sen ; y = sen 4 Una función se dice periódica si cumple que f(+t)=f() para todo ; donde T es el periodo. Sabemos que el periodo de sen y cos es. Mientras que el de tg es. Para calcular el periodo de una función trigonométrica podemos operar así: Sea la función: ( T ) f ( ) 5sen 5 f ( y) f ( T ) 5sen 5 f ( y ) Luego: T Y despejando el valor de T obtenemos: T T T Los valores para representarlas son los mismo dividiendo un ciclo completo en 4 partes. Aquí se puede hacer alguna alusión a los movimientos periódicos y su representación. Por ejemplo una masa oscilando en un muelle. Podemos representar la elongación en función del tiempo. También se puede hablar algo sobre las ondas. Éstas se forman precisamente por la vibración de una partícula en un medio que produce una perturbación del mismo. Por ejemplo, una gota de agua, una vibración en el aire, Aquí siempre se puede hablar de dos gráficas. Una que me recoge el movimiento de cada partícula en función del tiempo y que es del tipo del muelle anterior. Otra que corresponde a la transmisión de esa perturbación y que sería representar la elongación del punto pero ahora respecto a distancia al origen. Si la dirección de propagación de la perturbación coincide con la de la vibración se habla de ondas longitudinales. Por ejemplo, el sonido. Si la dirección es perpendicular ondas transversales. Por ejemplo, las olas. Según esto, se llama periodo al tiempo que tarda en producirse una oscilación o vibración completa y se representa por T. Se llama frecuencia al nº de oscilaciones por segundo. Por tanto, f = /T. La amplitud o intensidad es la máima distancia que alcanza la partícula respecto del punto de reposo. Todos los conceptos anteriores se refieren a la partícula. Darse cuenta que la forma de la función de la partícula y de la onda están muy relacionadas, puesto que, cuando la partícula haya tenido una oscilación completa la onda habrá avanzado una longitud proporcional a su periodo. Se llama longitud de onda a la distancia entre dos puntos que tienen igual elongación. Darse cuenta que ahora nos referimos a otra gráfica, a la de la onda. Según decíamos anteriormente es proporcional al periodo y se representa por.. Fórmulas y funciones trigonométricas 5.

11 La energía que suministra una onda está directamente relacionada con la amplitud de la misma y también con su frecuencia. Es lógico, puesto que habremos invertido más energía en mover la articula a mayor altura o hacerla oscilar con mayor rapidez. Tanto en el caso del agua como del sonido eiste una amortiguación de la perturbación debido al rozamiento o viscosidad del medio que hace que se detenga. Fórmulas y funciones trigonométricas 5.

12 4. EJERCICIOS Y PROBLEMAS. EQUIVALENCIAS ENTRE ÁNGULOS. EL RADIÁN. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS O CIRCULARES. FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS cos 45 cos 45 cos cos 45 cos 45 cos cos 45 sen sen 45 cos cos 45 sen sen 45. Demuestra que: SOL: cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen cos. Demuestra que: SOL: cos sen cos sen cos cos sen cos sen cos sen sen cos sen cos sen sen cos sen cos cos sen cos sen cos cos cos cos sen. Sabiendo que tg=. Calcula tg SOL: -4/ 4. Simplifica la siguiente epresión: SOL: cos (a b) 5. Demuestra que: cos( a b ) cos( a b ) tgb sen( a b) sen( a b) tg 6. Demuestra que sen tg 7. Demuestra la siguiente igualdad: cos cos Solución: cos cos a sen b sen( a) cos b cos cos cos cos cos Fórmulas y funciones trigonométricas 5.

13 8. Demuestra la siguiente igualdad: sen 5 cos cos sen Solución: sen sen cos cos cos 4cos cos 5cos cos cos sen sen 9. Demuestra que: cos 45 cos 45 cos Solución: cos 45 cos 45 cos cos 45 sen sen 45 cos cos 45 sen sen 45 cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen cos cos sen cos sen. Demuestra que: cos sen cos sen tg cos sen cos sen. Sabiendo que tg(+y)=4 y que tg=. Calcula tg y tgy Sol: 4/ y 6/7.. Demuestra que: cos( a b ) cos( a b ) tgb sen( a b) sen( a b) 4. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS. Resuelve: sen 45 sen SOL: 45 sen sen sen cos 45 cos sen 45 sen cos45 cos sen 45 sen cos 45 sen sen sen donde Z 4. Resuelve la siguiente ecuación: sen cos sen cos sen cos cos cos sen SOL: Fórmulas y funciones trigonométricas 5.

14 cos sen sen 6 6 donde Z 5. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica cos SOL: 4/ Resolver sen cos=6sen SOL: +6, +6, 5+6, 8+6, +6, Resuelve la ecuación trigonométrica: Solución: 9º, º y º cos + sen = 8. Resuelve la ecuación trigonométrica: cos cos Solución: cos cos cos cos sen cos cos cos sen cos cos cos cos cos 6 siendo cos 8 6 Z SOLUCIÓN: sen cos cos sen sen cos cos sen cos sen sen cos cos sen cos cos sen sen sen cos cos sen cos cos cos sen cos sen sen cos sen cos siendo Z 9. Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica: sen cos cos sen Fórmulas y funciones trigonométricas 5. 4

15 Fórmulas y funciones trigonométricas Resolver la siguiente ecuación trigonométrica cos Sol: 4/6+.. Resolver la ecuación cos sen= Sol: 7º+ 6. Resolver: SOLUCIÓN: cos sen cos sen sen cos cos sencos con sen sen cos Z Z con Resolver cos + cos = transformando en producto previamente.