1 Problemas T. Cauchy

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1 Probleas T. Cauchy Exercise. Coprueba que las funciones f(x) =x 3 + y g(x) =x +3 verifican las hipótesis y la tesis del Teorea de Cauchy en el intervalo [0, ] Abas funciones son continuas y derivables en < al ser polinóicas. Así pues, son continuas en [0, ] y derivables en ]0, [, siendo sus derivadas respectivaente f 0 (x) =3x y g 0 (x) =x Ninguna de sus derivadas se anulan a la vez en ]0, [ yadeásg(0) = 3 no coincide con g() = 7 Por todo esto; abas funciones verifican las hipótesis del teorea de Cauchy en [0, ] y consecuenteente podeos afirar que: c ]0, [ / f() f(0) g() g(0) = f 0 (c) g 0 (c) c ]0, [ / 8 4 = 3c c = 3c Dicho valor es c = x.5.5 Exercise. Coprueba que las funciones f(x) =x + y g(x) = +x verifican las hipótesis y la conclusión del Teorea de Cauchy en el intervalo [0, ]

2 Abas funciones son continuas y derivables en <; en particular son continuas en [0, ] y derivables en ]0, [,, siendo sus derivadas respectivaente f 0 (x) =x y g 0 (x) = x ( + x ) Ninguna de sus derivadas se anulan a la vez en ]0, [ yadeásg(0) = no coincide con g() = 5 Por todo esto; abas funciones verifican las hipótesis del teorea de Cauchy en [0, ] y consecuenteente podeos afirar que: c ]0, [ / c ]0, [ / f() f(0) g() g(0) = f 0 (c) g 0 (c) 4 c = 5 c ( + c ) c ]0, [ / 5= ³ +c Resolviendo la ecuación 5=(+c ) +c = ± 5 Lasúnicassolucionesrealesson: c = Dicho valor es c = q + 5 ' ]0, [ q + 5 ' / ]0, [ q + 5 Exercise.3 Aplicar si es posible el teorea de Cauchy a las funciones f(x) =3x 4 x 3 x + y g(x) =4x 3 3x x en [0, ] Por ser polinóicas abas funciones son derivables y continuas en < En particular, f y g son continuas en [0, ] yderivablesen]0, [; siendo sus derivadas respectivaente f 0 (x) =x 3 6x x y g 0 (x) = x 6x g() = ; g(0) = 0 Veaos ahora si sus derivadas se anulan a la vez en ]0, [

3 x 3 6x x =0 x =0/ ]0, [ x = ]0, [ x = 4 33 / ]0, [ ( x = x 6x = ]0, [ x = 4 33 / ]0, [ Coo sus derivadas se anulan a la vez en ]0, [( enconcretopara ); estas funciones no verifican las hipótesis del teorea de Cauchy y por lo tanto no podeos aplicarlo Exercise.4 Aplicar si es posible el teorea de Cauchy a las funciones f(x) = x3 x y g(x) =x x + en [0, 3] 3 Y en el intervalo [, 3] Exercise.5 Coprobar que al aplicar el teorea de Cauchy a la funciones seno y coseno en [ π 6, π ] el punto de la tesis es el punto edio del intervalo 3 [ π 6, π 3 ] Ayuda: Ã! Ã! b a b + a sin b sin a =sin cos Ã! Ã a + b b a cos b cos a = sin sin! Exercise.6 Deuestra que para todo x ]0, π [ siepre existe al enos un y ]0, π [ con y<xtal que se verifica la ecuación cot x csc x +tany =0 Consideraos las funciones f(x) = cosx y g(x) = sinx en [0,x] con x< π Abas funciones verifican las hipótesis del T. de Cauchy ya que: Son continuas en [0,x] Son derivables en ]0,x[ siendo sus derivadas f 0 (x) = sin x, g 0 (x) = cos x 3

4 Sus derivadas no se anulan a la vez en ]0,x[ g(0) 6= g(x) ya que g(x) =sinx es est. creciente en en [0, π ] Por todo ello; podeos aplicar el T. de Cauchy a estas funciones y por lo tanto y ]0,x[ / y ]0,x[ / cos x sin x f(x) f(0) g(x) g(0) = f 0 (y) g 0 (y) = sin y cos y Coo cos x = sin y cot x csc x = tan y sin x cos y Conloquequedadeostradoquedadocualquierx ]0, π [ siepre existe al enos un y ]0, π [ con y<xtal que se verifica la ecuación cot x csc x +tany =0 Exercise.7 Dadas las funciones f(x) =x y g(x) =e x. Se puede aplicar el teorea de Cauchy en el interalo [0, ]? En caso afirativo, deterina el punto de la tesis con dos cifras deciales exactas haciendo uso del Teorea de Bolzano Abas funciones son continuas y derivables en <. Por lo tanto son continuas en [0, ] yderivablesen]0, [ Sus derivadas f 0 (x) =x y g 0 (x) =e x Sus derivadas no se anulan siultaneaente en ]0, [ g() = e y g(0) = Al verificar f y g las hipótesis del T. de Cauchy en ]0, [; entonces podeos afirar que c ]0, [ / f() f(0) g() g(0) = f 0 (c) g 0 (c) 4

5 c ]0, [ / e = c e c c ]0, [ /e c +c ec =0 Ya sabeos que la ecuación e x ex+x =0, tiene al enos una solución denoinada c en ]0, [. Para deterinarla con dos cifras deciales exactas utilizareos el teorea de Bolzano Considerareos la función F (x) =e x ex +x, que es continua en < y dividireos el intervalo ]0, [ en diez partes iguales y calculareos sus iágenes en cada uno de estos valores: F (0.) = e 0. 0.e + 0. = F (0.) = e 0. 0.e + 0. = F (0.3) = e e = F (0.4) = e e = F (0.5) = e e = F (0.6) = e e = F (0.7) = e e = F (0.8) = e e = F (0.9) = e e = Por el Teorea de Bolzano sabeos que la solución de la ecuación se encuentra en el intervalo ]0.4, 0.5[ Si ahora dividieseos este intervalo a su vez en diez partes iguales y calculaseos sus iágenes;entonces podríaos ser ás precisos a la hora de deterinar la solución. F (0.4) = e e = F (0.4) = e e = F (0.43) = e e = F (0.44) = e e = F (0.45) = e e = F (0.46) = e e = F (0.47) = e e = F (0.48) = e e = F (0.49) = e e = En virtud del Teorea de Bolzano sabeos que la solución de la ecuación propuesta se encuentra en el intervalo ]0.46, 0.47[ 5

6 Coo nos piden dicha solución con dos cifras deciales exactas; bastará con deterinar si ésta se encuentra en el intervalo ]0.46, 0.465[ (en cuyo caso c ' 0.46) o en el intervalo ]0.465, 0.47[(en cuyo caso c ' 0.47) Calculeos pues F (0.46),F(0.465),F(0.47) F (0.46) = e e = F (0.465) = e e = F (0.47) = e e = Por Bolzano sabeos que la solución se encuentra en ]0.46, 0.465[. Por lo tanto podeos afirar que: c '