Geometría Proyectiva del Plano

Transcripción

1 Capítulo Geometría Proyectiva del Plano. El plano proyectivo 2D Un punto en el plano se puede representar por el par de coordenadas (x, y) en IR 2. Así, es común identificar el plano con IR 2. Considerando a IR 2 como un espacio vectorial, el par de coordenadas (x, y) es un vector un punto es identificado como un vector. En esta sección se introducirá la notación de coordenadas homogéneas para puntos y líneas sobre un plano. Vectores filas y Columnas En secciones posteriores consideraremos los mapeos lineales entre espacios vectoriales, y representaremos tales mapeos como matrices. Se sabe que el producto de una matriz por un vector es otro vector, la imagen bajo el mapeo. Esto hace la distinción entre vectores filas y vectores columna, ya que una matriz puede ser multiplicada a la derecha por un vector columna y a la izquierda por un vector fila. Las entidades geométricas serán representadas por vectores columna. Un símbolo en negrita como por ejemplo x, siempre representará un vector columna, y su traspuesta un vector fila, x. De acuerdo con esta convención, un punto en el plano será representado por el vector columna (x, y), en lugar de su traspuesto, el vector fila (x, y). Si se escribe x = (x, y), ambos lados de esta ecuación representan vectores fila... Puntos y Líneas Representación homogénea de líneas Una línea en el plano se representa por la ecuación ax + by + c = 0, valores diferentes de a, b y c dan diferentes líneas. Así, una línea puede representarse por el vector columna (a, b, c). La correspondencia entre líneas y vectores (a, b, c) no es uno a uno, pues las líneas ax + by + c = 0 y (ka)x + (kb)y + (kc) = 0 son las mismas para toda constante k 0. En efecto, dos vectores relacionados entre sí por un factor de escala son considerados equivalentes. Una clase de equivalencia

2 2 CAPÍTULO. GEOMETRÍA PROYECTIVA DEL PLANO de vectores bajo esta relación de equivalencia se conoce como vector homogéneo. El conjunto de clases de equivalencia de vectores en IR 3 (0, 0, 0) forman el Espacio Proyectivo IP 2. La notación (0, 0, 0) indica que el vector 0, el cual no corresponde a una línea está excluido. Representación homogénea de puntos Un punto x = (x, y) pertenece a la línea l = (a, b, c) si y solo si ax + by + c = 0. Esta ecuación se puede escribir utilizando el producto interno (producto escalar) de vectores como (x, y, )(a, b, c) = (x, y, )l = 0; el vector (x, y, ) es el punto (x, y) en IR 2 representado como un vector de 3 componentes. Note que para cualquier constante k 0 y línea l la ecuación (kx, ky, k)l = 0 si y solo si (x, y, )l = 0. Es natural, por lo tanto, considerar el conjunto de vectores (kx, ky, k) para distintos valores de k como que representan el mismo punto (x, y) en IR 2. De esta manera, al igual que con las líneas, los puntos se representan por vectores homogéneos. Un vector homogéneo arbitrario, representativo de un punto tiene la forma x = (x, x 2, x 3 ), que representa el punto (x /x 3, x 2 /x 3 ) en IR 2. Los puntos considerados como vectores homogéneos son también elementos de IP 2. Resultado.. Un punto x pertenece a la línea l si y solo si x l = 0. (.) Note que la expresión x l es el producto escalar de los vectores x y l respectivamente. El producto escalar x l = l x =< x, l >. En general la expresión l x será la preferida. Se debe distinguir entre las coordenadas homogéneas x = (x, x 2, x 3 ) de un punto, el cual es un vector de 3 coordenadas y la representación en coordenadas inhomogeneas (x, y) del mismo punto, el cual es un vector de 2 coordenadas. Grados de libertad (dof) Es claro que para especificar un punto se necesitan dos valores, llamados la coordenada x y la coordenada y. De manera análoga una línea queda determinada por dos parámetros (las dos relaciones independientes {a : b : c}) y así posee dos grados de libertad. Intersección de líneas Dadas dos líneas l = (a, b, c) y l = (a, b, c ) se desea encontrar el punto de intersección. Del álgebra vectorial se sabe que el producto cruz de dos vectores produce un vector que es perpendicular a ellos. También se sabe que el producto punto entre dos vectores perpendiculares es igual a cero. Por lo tanto se puede afirmar que l (l l ) = l (l l ) = 0. Si se define el punto x como l l obtenemos la representación homogénea que satisface las ecuaciones l x = 0 y l x = 0, lo que quiere decir que el punto x es la intersección de las rectas ya que pertenece a ellas. Entonces,

3 .. EL PLANO PROYECTIVO 2D 3 Resultado..2 La intersección de dos líneas l y l es el punto x = l l. (.2) Ejemplo..3 Considere el problema de determinar la intersección de las líneas x = e y =. La línea x = es equivalente a x + = 0, y tiene una representación homogénea dada por l = (, 0, ). La línea y = es equivalente a y + = 0, y tiene una representación homogénea dada por l = (0,, ). De lo expresado anteriormente el punto de intersección es, x = l l = el cual es el punto inhomogeneo (, ). i j k 0 0 = Línea que pasa por dos puntos Se puede obtener una expresión para la línea que pasa por dos puntos utilizando un razonamiento similar al utilizado en el párrafo anterior. Definiendo una línea l como l = x x, (.3) se puede verificar que ambos puntos pertenecen a la línea l así definida...2 Puntos Ideales y la Línea en el infinito Intersección de líneas paralelas Considere dos líneas paralelas ax+by+c = 0 y ax+by+c = 0. Estas dos líneas están representadas por los vectores homogéneos l = (a, b, c) y l = (a, b, c ). Calculando la intersección de estas dos líneas según el razonamiento aplicado anteriormente (resultado..2) se obtiene l l = (c c)(b, a, 0), ignorando el factor de escala (c c), obtenemos el punto (b, a, 0). Ahora, si se intenta obtener la representación inhomogenea de este punto, se consigue (b/0, a/0), lo cual no tiene sentido, excepto sugerir que el punto de intersección posee coordenadas infinitamente grandes. En general, los puntos con coordenadas homogéneas (x, y, 0) no corresponden a algún punto finito de IR 2. Esta observación está de acuerdo con la idea usual que líneas paralelas se encuentran en el infinito. Ejemplo..4 Considere las dos líneas x = y x = 2. Aquí, las dos líneas son paralelas, y por lo tanto se intersectan en el infinito. En notación homgénea las líneas son l = (, 0, ), l = (, 0, 2), y del resultado..2 su punto de interseccin es,

4 4 CAPÍTULO. GEOMETRÍA PROYECTIVA DEL PLANO x = l l = i j k el cual es el punto en el infinito en la dirección del eje y. = Los vectores homogéneos x = (x, x 2, x 3 ) tales que x 3 0 corresponden a puntos finitos en IR 2. Podemos aumentar este espacio vectorial agregando los puntos cuya última coordenada x 3 = 0. El espacio resultante es el conjunto de todos los vectores homogéneos de 3 coordenadas, llamado el espacio proyectivo IP 2. Los puntos con la última coordenada x 3 = 0 se conocen como puntos ideales, o puntos en el infinito. El conjunto de todos los puntos ideales se puede escribir en forma genérica como (x, x 2, 0), con un punto particular especificado por la relación x : x 2. Note que este conjunto yace sobre una única línea, la línea en el infinito, denotada por el vector homogéneo l = (0, 0, ). Utilizando el resultado anterior se puede encontrar que la línea l = (a, b, c) intersecta a l en el punto ideal (b, a, 0). Una línea l = (a, b, c ) paralela a l intersecta a l en el mismo punto ideal, independientemente del valor de c. En coordenadas inhomogeneas (b, a) es el vector tangente a la línea, y ortogonal a la línea normal (a, b), y así representa la dirección de la línea. Si la dirección de la línea cambia, también cambia el punto ideal sobre la línea l. Por esta razón, la línea en el infinito se puede considerar como el conjunto de las direcciones de las líneas del plano. Note como el concepto de puntos en el infinito sirve para simplificar las propiedades de intersección de puntos y líneas. En el plano proyectivo IP 2, se puede decir que 2 líneas se intersectan en un punto y que dos puntos distintos pertenecen a una única línea. Esto no es cierto en la geometría Euclídea estándar de IR 2, en la cual las líneas paralelas forman un caso especial. El estudio de la geomtría de IP 2 se conoce como geometría proyectiva. En un estudio puramente geométrico libre de coordenadas de la geometría proyectiva, no se hacen distinciones entre puntos del infinito y puntos ordinarios. 0 0 Un modelo para el plano proyectivo Una forma útil de pensar a IP 2 es como un conjunto de rayos en IR 3. El conjunto de todos los vectores k(x, x 2, x 3 ), conforme k varía forma un rayo a través del origen. Este rayo se puede pensar como que representa un único punto en IP 2. En este modelo, las líneas en IP 2 son planos que pasan por el origen. Se puede verificar que dos rayos no idénticos yacen exactamente sobre un plano, y que cualesquiera de dos planos se intersectan en un rayo. Esto es análogo a dos puntos distintos definen unívocamente a una línea, y dos líneas siempre se intersectan en un punto. Los puntos y las líneas se pueden obtener intersectando este conjunto de rayos y planos con el plano x 3 =. Como se ilustra en la figura., los rayos representando puntos ideales y el plano representando a l son paralelos al plano x 3 =. Dualidad El rol de puntos y líneas puede intercambiarse en lo que concierne a las propiedades de los mismos. En particular, la ecuación de incidencia básica l x = 0 para puntos y líneas es simétrica, debido

5 .. EL PLANO PROYECTIVO 2D 5 x 2 ideal point l O x π x 3 x Figura.: Un modelo del plano proyectivo. Los puntos y las líneas de IP 2 son representados por rayos y planos, a través del origen de IR 3. Las líneas que yacen en el plano x x 2 representan puntos ideales, y el plano x x 2 representa l. a que l x = 0 implica que x l = 0. Es decir, para una línea fija l, los distintos vectores x que satisfagan la ecuación anterior son todos los puntos que pertenecen a la misma, del mismo modo para un punto fijo x, los distintos vectores l son el conjunto de líneas que se interectan en x. Similarmente, las ecuaciones.2 y.3 representan la intersección de dos líneas y la línea que intersecta dos puntos. Resultado..5 Principio de Dualidad. Para cualquier teorema de la geometría proyectiva bidimensional corresponde un teorema dual, el cual puede obtenerse intercambiando los roles de los puntos y de las líneas en el teorema original. Note que una vez que un teorema sea probado, su dual no necesita probarse. La prueba del teorema dual será dual a la prueba del teorema original...3 Cónicas y Cónicas Duales Una cónica es una curva descrita por una ecuación de segundo grado en el plano. En la geometría Euclídea las cónicas son de tres tipos: hipérbolas, elipses y parábolas (además existen las cónicas degeneradas de las cuales nos ocuparemos posteriormente). Clásicamente, estos tres tipos de cónicas surgen como secciones cónicas generadas por planos de diferente orientación intersectando un cono (las cónicas degeneradas surgen de planos que contienen el vértice del cono). La ecuación de una cónica en coordenadas inhomogeneas es

6 6 CAPÍTULO. GEOMETRÍA PROYECTIVA DEL PLANO ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 (.4) es decir un polinomio de grado 2. Sustituyendo en la ecuación.4, x x /x 3, y x 2 /x 3 se obtiene la ecuación de la cónica en coordenadas homogéneas, es decir, o en forma matricial ax 2 + bx x 2 + cx dx x 3 + ex 2 x 3 + fx 2 3 = 0 (.5) donde la matriz de coeficientes de la cónica (C) está dada por, x Cx = 0 (.6) a b/2 d/2 b//2 c e/2 d/2 e/2 f. (.7) Note que la matriz de coeficientes de la cónica es simétrica. Como en el caso de la representación de puntos y líneas en coordenadas homogéneas, solo las relaciones de los elementos de la matriz son importantes, debido a que multiplicar C por un escalar distinto de cero no afecta las ecuaciones anteriores. Así, C es una representación homogénea de una cónica. La cónica tiene 5 grados de libertad dados por las relaciones {a : b : c : d : e : f} o en forma equivalente por los seis elementos de la matriz simétrica menos uno que se puede utilizar como factor de escala. Cinco puntos definen una cónica Suponga que se desea calcular la cónica que pasa a través de un conjunto x i de puntos. La pregunta que debemos realizar es, cuantos puntos podemos especificar libremente para que la cónica quede determinada unívocamente? De la ecuación.5 cada punto x i coloca una restricción sobre los coeficientes de la cónica, ya que si la cónica pasa a través del punto (x i, y i ) entonces, Se puede escribir esta restricción como, ax 2 i + bx i y i + cy 2 i + dx i + ey i + f = 0. ( x 2 i x i y i y 2 i x i y i ) c = 0 donde c = (a, b, c, d, e, f) es la cónica C representada como un vector de 6 coordenadas. Agrupando las restricciones para 5 puntos se obtiene,

7 .. EL PLANO PROYECTIVO 2D 7 Figura.2: (a) Puntos x satisfaciendo x Cx = 0 pertenecen a una cónica de puntos. (b) Las líneas l satisfaciendo l C l = 0 son tangentes a la cónica de puntos C. La cónica C es la envolvente de las líneas l. x 2 x y y 2 x y x 2 2 x 2 y 2 y 2 2 x 2 y 2 x 2 3 x 3 y 3 y 2 3 x 3 y 3 x 2 4 x 4 y 4 y 2 4 x 4 y 4 x 2 5 x 5 y 5 y 2 5 x 5 y 5 c = 0 (.8) y la cónica es el vector nulo de esta matriz de 5x6 elementos. Líneas tangentes a cónicas La línea l tangente a una cónica en el punto x tiene una forma particularmente simple en coordenadas homogéneas: Resultado..6 La línea l tangente a C en el punto x está dado por la ecuación l = Cx. (.9) Prueba: la línea l = Cx pasa a través de x, debido a que l x = x Cx = 0. Si l posee un punto de contacto con la cónica, entonces es una tangente. De otro modo, suponga que l intersecta a la cónica en otro punto y. Entonces, x Cy = l y = 0. Del razonamiento anterior sigue que (x + αy) C(x + αy) = 0 para todo α, lo cual significa que la línea completa que pasa por x y por y pertenece a la cónica C, lo que constituye una cónica degenerada.

8 8 CAPÍTULO. GEOMETRÍA PROYECTIVA DEL PLANO Cónicas Duales La cónica C definida en los párrafos anteriores se debería llamar en forma apropiada cónica de puntos. Dado el principio de dualidad de IP 2 no es sorprendente que exista también una cónica definida por una ecuación de líneas. Esta cónica dual, también se representa por una matriz de 3x3 elementos, y denotaremos como C. Una línea l tangente a la cónica C satisface la ecuación l C l = 0 (.0) donde la matriz C es la matriz adjunta de C. Para una matriz simétrica no singular C = C. La ecuación para la cónica dual se puede derivar directamente para el caso de que C sea de rango completo. En este caso, en un punto x sobre la cónica C la tangente es l = Cx. Invirtiendo, se encuentra el punto x en el cual la línea l es tangente a la cónica C, es decir x = C l. Debido a que el punto x pertenece a la cónica, satisface x Cx = 0, reemplazando se obtiene, (C l) C(C l) = l C l = 0. Estas cónicas duales son conocidas también como cónicas envolventes, la razón es ilustrada en la figura.2. Una cónica dual posee 5 grados de libertad. De manera similar a que 5 puntos definen una cónica, 5 líneas en posición general definen una cónica dual. Cónicas degeneradas Si la matriz C no es de rango completo, entonces la cónica se llama degenerada. Las cónicas de puntos degeneradas incluyen dos líneas (rango 2) y una línea repetida (rango ). Ejemplo..7 La cónica C = lm + ml está compuesta de dos líneas l y m. Los puntos sobre l satisfacen l x = 0, y están sobre la cónica pues x Cx = (x l)(m x) + (x m)(l x) = 0. Similarmente, los puntos que satisfacen m x = 0 también satisfacen x Cx = 0. La matriz C es simétrica y tiene rango 2. El vector nulo es x = l m el cual es el punto de intersección de l y m. Las cónicas de líneas degeneradas incluyen dos puntos (rango 2) y un punto repetido (rango ). Por ejemplo, la cónica de líneas C = xy + yx tiene rango 2 y consiste de líneas pasando a través de alguno de los puntos x e y. Note que para matrices que no son invertibles (C ) C..2 Transformaciones Proyectivas Según Felix Klein [?] la geometría es el estudio de las propiedades invariantes bajo grupos de transformaciones. Desde este punto de vista, la geometría proyectiva 2D es el estudio de las propiedades del plano proyectivo IP 2 que son invariantes bajo un grupo de transformaciones conocidas como proyectividades. Una proyectividad es un mapeo invertible de puntos en IP 2 a puntos en IP 2 que mapean líneas en líneas. Es decir,

9 .2. TRANSFORMACIONES PROYECTIVAS 9 x x / O y / x / π / y x π Figura.3: La proyección central mapea puntos de un plano a puntos de otro plano. La proyección también mapea líneas a líneas como puede verse considerando un plano a través del centro de pryección el cual se intersecta con los dos planos π y π. Debido a que las líneas son mapeadas a líneas, la proyección central es una proyectividad y se puede representar por un mapeo lineal de coordenadas homogéneas x = Hx. Definicion.2. Una proyectividad es un mapeo invertible h desde IP 2 a si mismo tal que 3 puntos x, x 2 y x 3 pertenecen a la misma línea si y solo si h(x ), h(x 2 ) y h(x 3 ) también pertenecen a la misma línea. Las proyectividades forman un grupo, debido a que la inversa de una proyectividad es también una proyectividad, y también lo es una composición de proyectividades. Una proyectividad es llamada también una colineación, una transformación proyectiva o una homografía. Todos estos términos son sinónimos. En la definición.2., se define una proyectividad en términos de un concepto geométrico libre de coordenadas de incidencias puntos líneas. Es posible una definición algebraica equivalente de una proyectividad basada en el siguiente teorema, Teorema.2. Un mapeo h : IP 2 IP 2 es una proyectividad si y solo si existe una matriz de 3 3 no singular H tal que para cualquier punto en IP 2 representado por un vector x es cierto que h(x) = Hx. Para interpretar este teorema, cualquier punto en IP 2 se representa como un vector homogéneo de 3 coordenadas, x, y Hx es un mapeo lineal de coordenadas homogéneas. El teorema afirma que cualquier proyectividad surge como una transformación lineal en coordenadas homogéneas, e inversamente que cualquier de tal mapeo es una proyectividad. El teorema no será probado, solo se mostrará que cualquier transformación lineal invertible de coordenadas homogéneas es una proyectividad. Prueba: Sean x, x 2 y x 3 3 puntos que pertenecen a una línea l. Así, l x i = 0 para i =,, 3. Sea H una matriz de 3 3 elementos no singular. Se verifica que l H Hx i = 0. De esta manera,

10 0 CAPÍTULO. GEOMETRÍA PROYECTIVA DEL PLANO los puntos Hx i pertenecen a la recta H l, y se preserva la colinealidad por la transformación. Lo inverso es considerablemente más difícil de probar, es decir que cualquier proyectividad se alcanza de esta manera. Como un resultado de este teorema, se pueden obtener definiciones alternativas de una transformación proyectiva. Definicion.2.2 Transformación Proyectiva. Una transformación proyectiva planar es una transformación lineal de vectores homogéneos de 3 coordenadas representada por una matrix no singular de 3 3 elementos: o más brevemente x = Hx. x h h 2 h 3 x x 2 = h 2 h 22 h 23 x 2, (.) x 3 h 3 h 32 h 33 x 3 Note que la matriz H de la ecuación anterior puede modificarse multiplicándola por un factor de escala distinto de cero, sin alterar la transformación proyectiva. Consecuentemente, se dice que H es una matriz homogénea, ya que como en la representación homogénea de un punto, solo la relación de los elementos de la matriz es significativo. Hay 8 relaciones independientes de los 9 elementos de la matriz y por lo tanto una transformación proyectiva posee 8 grados de libertad. Una transformación proyectiva proyecta una figura en una figura proyectivamente equivalente, dejando todas sus propiedades proyectivas invariantes. En el modelo de rayos de la figura. una transformación proyectiva es simplemente una transformación lineal de IR 3. Mapeo entre planos Como un ejemplo de aplicación del teorema.2., considérese la figura.3. La proyección a lo largo de rayos a través de un punto común (el centro de la proyección) define un mapeo de un plano a otro. Es evidente que este mapeo punto a punto preserva líneas, es decir que líneas en un plano son mapeadas a líneas en el otro. Si se define un sistema de coordenadas en cada plano y se expresan los puntos en coordenadas homogéneas, luego el mapeo de la proyección central se puede expresar por la ecuación x = Hx donde H es una matriz de 3 3 elementos no singular. Realmente, si los dos sistemas de coordenadas definidos en los dos planos son Euclídeos (rectilíneos) entonces el mapeo definido por la proyección central es más restrictivo que una transformación proyectiva arbitraria. Esta es llamada una perspectividad y no una proyectividad completa, y se puede representar por una transformación con 6 grados de libertad. Ejemplo.2.2 Eliminando la distorsión proyectiva de una imagen en perspectiva de un plano. La forma se distorsiona bajo perspectiva de imágenes. Por ejemplo, en la figura.4a las imágenes de las ventanas no son rectangulares, aunque las originales si lo son. En general, líneas paralelas en un plano de una escena no son paralelas en la imagen sino que convergen a un punto finito. En párrafos

11 .2. TRANSFORMACIONES PROYECTIVAS anteriores se ha visto que la imagen de una proyección central de un plano (o sección de un plano), está relacionado al plano original a través de una transformación proyectiva, y así la imagen es una distorsión proyectiva de la original. Es posible deshacer está transformación proyectiva calculando la transformación inversa y aplicarla a la imagen. El resultado será una nueva imagen sintetizada en la cual los objetos en el plano serán mostrados con su forma geométrica correcta. Esto será ilustrado para el frente del edificio de la figura.4a. Note que debido a que el piso y el frente del edificio no están en el mismo plano, la transformación proyectiva que se debe aplicar para rectificar el frente no es la misma que la que se debe utilizar para rectificar el piso. Un método para calcular la transformación se basa en seleccionar una sección de la imagen correspondiente a una sección plana de la escena original. Los sistemas de coordenadas de la imagen 2D y de la escena original se eligen de acuerdo a la figura.3. Sean las coordenadas inhomogeneas de un par de puntos correspondientes x y x en la escena original y el plano de la imagen (x, y) y (x, y ) respectivamente. Se utilizan coordenadas inhomogeneas debido a que estas son medidas directamente de la imagen y en la escena original. Se puede escribir la transformación proyectiva de la ecuación. en la forma inhomogenea como, x = h x+h 2 y+h 3 h 3 x+h 32 y+h 33 y = h 2x+h 22 y+h 23 h 3 x+h 32 y+h 33. Cada correspondencia de puntos genera 2 ecuaciones para lo elementos de H, los cuales luego de multiplicarlos se obtiene, x (h 3 x + h 32 y + h 33 ) = h x + h 2 y + h 3 y (h 3 x + h 32 y + h 33 ) = h 2 x + h 22 y + h 23 Estas ecuaciones son lineales en los elementos de H. Con cuatro correspondencias de puntos se obtienen 8 ecuaciones las cuales son suficientes para resolver H a menos de un factor de escala. La única restricción es que los cuatro puntos deben estar en posición general, lo cual significa que no pueden haber 3 puntos colineales. Se calcula la transformación H inversa y se aplica a la imagen completa para deshacer los efectos de la distorsión proyectiva sobre el plano seleccionado. Los resultados se muestran en la figura.4b. Con respecto a este ejemplo se pueden realizar tres observaciones: El cálculo de la transformación H de esta manera no requiere conocimiento acerca de algunos de los parámetros de la cámara o de su ubicación en el plano. 2 No siempre es necesario conocer las coordenadas de 4 puntos en la escena original para remover la distorsión proyectiva, aproximaciones alternativas requieren menos y diferente tipo de información como se verá en la sección??. 3 Otros métodos mejores serán tratados en el capítulo siguiente. Las transformaciones proyectivas son importantes mapeos representando mas situaciones que las imágenes de perspectiva de un plano de una escena. En la figura.5 se ilustran algunos ejemplos de estas transformaciones. Cada una de estas situaciones se cubrirán posteriormente en estos apuntes.

12 2 CAPÍTULO. GEOMETRÍA PROYECTIVA DEL PLANO Figura.4: Removiendo la distorsión de perspectiva. (a) La imagen original con distorsión de perspectiva las líneas de la ventana claramente convergen a un punto finito. (b) Vista ortogonal frontal sintetizada de la pared del frente. La imagen (a) de la pared está relacionada por medio de una transformación proyectiva a la verdadera geometría de la pared. La transformación inversa se calcula mapeando las 4 esquinas proyectadas de la ventana a las esquinas de un rectángulo de tamaño apropiado. Las cuatro correspondencias de puntos determinan la transformación. La transformación es luego aplicada a la imagen completa. Note que las secciones de la imagen correspondientes al piso están sujetas a distorsiones proyectivas diferentes. Esto también se puede remover por una transformación proyectiva. x image R,t X x planar surface image 2 image x x X image 2 x / x Figura.5: Ejemplos de una transformación proyectiva, x = Hx en imágenes en perspectiva. (a) La transformación proyectiva entre dos imágenes inducida por un plano del mundo real (la concatenación de las dos transformaciones proyectivas es una transformación proyectiva); (b) La transfomación proyectiva entre dos imágenes con el mismo centro de la cámara (por ejemplo, una cámara rotando alrededor de su centro o una cámara variando su distancia focal); (c) La transformación proyectiva entre la imagen de un plano (la parte de atrás del edificio) y la imagen de su sombra sobre otro plano (el plano de tierra).

13 .3. UNA JERARQUÍA DE TRASFORMACIONES 3.2. Transformaciones de líneas y cónicas Transformación de líneas Se mostró en la prueba del teorema.2. que si los puntos x i pertenecen a la línea l, entonces los puntos transformados x i = Hx i bajo una transformación proyectiva pertenecen a la línea l = H l. De esta manera, se preserva la incidencia de puntos sobre líneas, ya que l x i = l H Hx i = 0. Esto enuncia la regla de transformación para líneas: Bajo la transformación de puntos x = Hx, una línea se transforma como l = H l. (.2) Se puede escribir alternativamente l = l H. Notar la manera fundamentalmente diferente en el cual las líneas y puntos son transformados. Los puntos se transforman de acuerdo a H, mientras que las líneas (como filas) se transforman de acuerdo a H. Esto puede explicarse en términos de comportamiento covariante y contravariante. Se dice que los puntos se transforman covariantemente y que las líneas lo hacen contravariantemente. Transformación de Cónicas Bajo una transformación de puntos x = Hx, la ecuación.6 se convierte en, x Cx = x [ H ] CH x = x H CH x la cual es una forma cuadrática x C x con C = H CH. Esta ecuación enuncia la regla de transformación para una cónica: Resultado.2.3 : Bajo una transformación de puntos x = Hx, una cónica C se transforma en C = H CH. La presencia de H en esta última ecuación puede expresarse diciendo que una cónica se transforma covariantemente. La regla de transformación para una cónica dual se obtiene de manera similar, que conduce al siguiente resultado. Resultado.2.4 : Bajo una transformación de puntos x = Hx, una cónica dual C se transforma en C = HC H..3 Una Jerarquía de Trasformaciones En esta sección se describen las especializaciones importantes de una transformación proyectiva y sus propiedades geométricas. Se mostró en la sección.2 que las transformaciones proyectivas

14 4 CAPÍTULO. GEOMETRÍA PROYECTIVA DEL PLANO Figura.6: Distorsiones que surgen bajo proyección central. Imágenes de un piso de mosaico. (a) Semejanza: El patrón circular es proyectado como un círculo. Un mosaico cuadrado es proyectado como un cuadrado. Las líneas que son paralelas u ortogonales tienen la misma orientación relativa en la imagen. (b) Afín: El círculo es proyectado como una elipse. Las líneas ortogonales del mundo real no son proyectadas como líneas ortogonales. Sin embargo, los lados del mosaico cuadrado, los cuales son paralelos en el mundo real son paralelos en la imagen. (c) Proyectiva: Líneas paralelas del mundo real son proyectadas como líneas convergentes. Mosaicos mas cercanos a la cámara tienen una imagen mas grande que aquellos que se encuentran mas lejos. forman un grupo. Este grupo se denomina el Grupo Lineal Proyectivo, y veremos que estas especializaciones son subgrupos de este grupo. El grupo de las matrices invertibles de n n con elementos reales es el Grupo General Lineal (real) de n dimensiones, o GL(n). Para obtener el grupo lineal proyectivo se identifican las matrices relacionadas por un multiplicador escalar, dando el grupo PL(n) (este es un grupo cociente de GL(n)). En el caso de transformaciones proyectivas del plano n = 3. Los subgrupos importantes de PL(3) incluyen el grupo afín, el cual es el subgrupo de PL(3) que consiste de matrices para las cuales la última fila es (0, 0, ), y el grupo Euclídeo, el cual es un subgrupo del grupo afín para el cual además la matriz de 2 2 superior izquierda es ortogonal. Se podría también identificar el grupo Euclídeo orientado en el cual la matriz de 2 2 superior izquierda posee determinante. Se introducirán estas transformaciones comenzando por las más especializadas, las isometrías, y progresivamente generalizandolas hasta que se alcancen las transformaciones proyectivas. Esto define una Jerarquía de Transformaciones. Los efectos de distorsión de varias transformaciones en la jerarquía se muestra en la figura.6. Algunas transformaciones de mucho interés no son grupo, por ejemplo, las perspectividades (debido a que la composición de 2 perspectividades es una proyectividad, no una perspectividad). Invariantes Una alternativa para describir las transformaciones algebraicamente, es decir como una matriz actuando sobre coordenadas de puntos o curvas, es describir la transformación en términos de aquellos elementos o cantidades que son preservados o invariantes. Un invariante (escalar) de una configuración geométrica es una función de la configuración cuyos valores no cambian por una transformación particular. Por ejemplo, la separación de dos puntos no cambia por una transformación Euclídea (traslación y rotación), pero no permanece invariante para una semejanza (traslación,

15 .3. UNA JERARQUÍA DE TRASFORMACIONES 5 rotación y escalado isotrópico). La distancia es un invariante Euclídeo, pero no de semejanza. Los ángulos entre dos líneas son invariantes Euclídeos y de semejanza..3. Clase I: Isometrías Las isometrías son transformaciones del plano IR 2 que preservan la distancia Euclídea (de iso=mismo, metría=medida). Una isometría está representada por, x ɛ cos θ sin θ t x x y = ɛ sin θ cos θ t y y, 0 0 donde ɛ = ±. Si ɛ = la isometría preserva la orientación y es una transformación Euclídea (una composición de traslaciones y rotaciones). Si ɛ = la isometría invierte la orientación. Un ejemplo es la composición de una reflexión, representada por la matriz diag(,, ), con una transformación Euclídea. Las transformaciones Euclídeas modelan el movimiento de un cuerpo rígido. Estas son las isometrías más importantes desde el punto de vista práctico. Sin embargo, las isometrías que invierten la orientación frecuentemente dan lugar a ambigüedades en recuperación de estructura. Se puede escribir una transformación Euclídea planar mas concisa en forma de bloque como, x = H E x = ( ) R t 0 x (.3) donde R es una matriz de rotación de 2 2 (una matriz ortogonal tal que R R = RR = I), t un vector de traslación de dos dimensiones, y 0 un vector nulo de dimensión 2. Los casos especiales son una rotación pura (cuando t = 0) y una traslación pura (cuando R = I). Una transformación Euclídea también se conoce como un desplazamiento. Una transformación Euclídea planar posee tres grados de libertad, uno para la rotación y dos para la traslación. Por lo tanto se deben especificar tres parámetros para definir la transformación. Esta transformación se puede calcular desde la correspondencia de dos puntos (4 coordenadas). Invariantes Los invariantes son muy útiles, por ejemplo, longitudes (la distancia entre dos puntos), ángulos (el ángulo entre dos líneas), y el área. Grupos y orientación Una isometría preserva la orientación si la matriz superior izquierda 2 2 tiene determinante. Las isometrías que preservan la orientación forman un grupo, en cambio las que no preservan la

16 6 orientación no forman grupo. afinidades. CAPÍTULO. GEOMETRÍA PROYECTIVA DEL PLANO Esta distinción es aplicable también al caso de las semejanzas y.3.2 Clase II: Transformaciones de Semejanza Una transformación de semejanza o mas simplemente una similitud es una isometría compuesta con un escalado isotrópico. En el caso de una transformación Euclídea compuesta con un escalado (sin reflexión), la representación matricial de la semejanza es, x s cos θ s sin θ t x x y = s sin θ s cos θ t y y. (.4) 0 0 Esto se puede escribir mas concisamente en forma de bloque como, x = H S x = ( ) sr t 0 x (.5) donde el escalar s representa el escalado isotrópico. Una transformación de semejanza también se la conoce como una transformación de igual-forma, debido a que preserva la forma. Una transformación de semejanza planar posee cuatro grados de libertad, los tres grados de libertad de la transformación Euclídea y el escalado. Al igual que una transformación Euclídea, la transformación de semejanza se puede especificar a partir de la correspondencia de dos puntos (4 coordenadas). Invariantes Los invariantes se pueden obtener a partir de los invariantes Euclídeos teniendo en cuenta el grado de libertad adicional dado por el escalado isotrópico. Los ángulos entre líneas no son afectados por la rotación, la traslación y el escalado, por o tanto forman un invariante de la semejanza. En particular, las líneas paralelas son mapeadas como líneas paralelas. La longitud entre dos puntos no es un invariante de la semejanza, pero la relación entre dos longitudes si lo es, debido a que el escalado se cancela. En forma similar una relación de áreas es un invariante de la semejanza. Estructura métrica Un término que se usa frecuentemente en la discusión sobre reconstrucción es métrica. La descripción estructura métrica implica que la estructura está definida a menos de una semejanza..3.3 Clase III: Transformaciones Afín Una transformación afín o una afinidad es una transformación lineal no singular seguida por una traslación. Esta transformación posee una representación matricial de la forma,

17 .3. UNA JERARQUÍA DE TRASFORMACIONES 7 o en forma de bloque, x a a 2 t x x y = a 2 a 22 t y y. (.6) 0 0 x = H A x = ( ) A t 0 x (.7) donde A es una matriz no singular de 2 2. Una transformación afín planar posee seis grados de libertad correspondientes a los seis elementos de la matriz. Esta transformación puede especificarse a partir de la correspondencia de tres puntos (6 coordenadas). Una forma útil para comprender los efectos geométricos de la componente lineal A de una transformación afín es como la composición de dos transformaciones fundamentales, normalmente rotaciones y escalado no isotrópico. La matriz afín A siempre se puede descomponer como, A = R(θ)R( φ)dr(φ) (.8) donde R(θ) y R(φ) son rotaciones por θ y φ respectivamente, y D es una matriz diagonal de la forma, ( λ 0 D = 0 λ 2 ) Esta descomposición se obtiene directamente del método SVD (descomposición en valor singular), escribiendo, A = UDV = (UV )(VDV ) = R(θ)R( φ)dr(φ) debido a que U y V son matrices ortogonales. De aquí que la matriz afín A se puede entender como la concatenación de una rotación (por φ), un escalado por λ y λ 2 respectivamente en las direcciones rotadas x e y, una rotación hacia atrás (por φ) y finalmente otra rotación (por θ). Lo único nuevo comparado a una semejanza es el escalado no isotrópico. Esto está acompañado por los dos grados de libertad extras que posee la afinidad con respecto a la semejanza. Estos son, el ángulo φ especificando la dirección del escalado, y la relación de los parámetros de escalado λ : λ 2. La esencia de una afinidad es el escalado en direcciones ortogonales, orientadas en un ángulo particular. Ejemplo esquemáticos se pueden ver en la figura.7. Invariantes Debido a que una transformación afín incluye un escalado no isotrópico, los invariantes de las transformaciones de semejanza, relación de longitudes y ángulos entre líneas no son preservados bajo una afinidad. Tres importantes invariantes son:

18 8 CAPÍTULO. GEOMETRÍA PROYECTIVA DEL PLANO rotation θ φ deformation Figura.7: Distorsiones que surgen de una transformación planar afín. (a) Rotación por R(θ). (b) Una deformación R( φ)dr(φ). Note que las direcciones de escalado en la deformación son ortogonales.. Líneas paralelas. Considere dos líneas paralelas. Estas se intersectan en un punto (x, x 2, 0) en el infinito. Bajo una transformación afín este punto es mapeado a otro punto en el infinito. Consecuentemente, las líneas paralelas son mapeadas a líneas las cuales aún se intersectan en el infinito, y así son paralelas después de la transformación. 2. Relación de longitudes de segmentos de líneas paralelas. El escalado de la longitud de un segmento de línea depende solo del ángulo entre las líneas y las direcciones de escalado. Suponga que la línea forma el ángulo α con el eje x de la dirección de escalado horizontal, entonces la magnitud del escalado es λ 2 cos2 α + λ 2 2 sin2 α. Este escalado es común a todas las líneas con la misma dirección, y así se cancela en una relación de longitudes de segmentos paralelos. 3. Relación de áreas. Este invariante se puede deducir directamente de la descomposición.8. Las rotaciones y traslaciones no afectan el área, así solo el escalado por λ y λ 2 tiene importancia aquí. El efecto es que el área es escalada por λ λ 2 que es igual al det(a). Por lo tanto el área de cualquier objeto es escalado por este determinante, y por lo tanto se cancela en una relación de áreas. Una afinidad preserva la orientación o la invierte dependiendo de si el det(a) es positivo o negativo respectivamente. Entonces como det(a) = λ λ 2 la propiedad depende solo de los signos de los factores de escala..3.4 Clase IV: Transformaciones Proyectivas Una transformación proyectiva fue definida en la ecuación.. Esta es en general una transformación lineal no singular de coordenadas homogéneas. Esta transformación generaliza una transformación afín, la cual es la composición de una transformación lineal no singular general de coordenadas inhomogeneas y una traslación. En la sección.2 observamos la acción de una transformación proyectiva. Ahora investigaremos su forma de bloque,

19 .3. UNA JERARQUÍA DE TRASFORMACIONES 9 ( ) x A t = H P x = v v (.9) donde el vector v = (v, v 2 ). La matriz posee 9 elementos donde solo sus relaciones son significativas, así la transformación se puede especificar por medio de 8 parámetros. Note que no siempre es posible escalar la matriz de tal manera que v sea la unidad ya que este podría ser 0. Puede calcularse una transformación proyectiva entre dos planos desde la correspondencia de cuatro puntos (8 coordenadas), en donde tres puntos no pueden ser colineales en algún plano (ver figura.4). Distinto al caso de las afinidades, no es posible distinguir entre proyectividades que preservan la orientación o aquellas que la invierten en IP 2. Invariantes El invariante proyectivo mas importante es la relación cruz de cuatro puntos colineales: una relación de longitudes sobre una línea es invariante bajo afinidad, pero no bajo una proyectividad. Sin embargo, una relación de relaciones o relación cruz de longitudes sobre una línea es un invariante proyectivo..3.5 Resumen y Comparación Las afinidades (6 grados de libertad) ocupan el punto medio entre las semejanzas (4 grados de libertad) y las proyectividades (8 grados de libertad). Ellas generalizan las semejanzas debido a que los ángulos no se preservan bajo una afinidad, así las formas son sesgadas bajo la transformación. Por otro lado, su acción es homogénea sobre el plano: para una afinidad dada el det(a) escala el área de un objeto (por ejemplo un cuadrado) de la misma manera en cualquier lugar sobre el plano; y la orientación de una línea transformada depende solo de su orientación inicial y no de su posición en el plano. En contraste, para una transformación proyectiva dada, el escalado de áreas varía con la posición (por ejemplo, bajo perspectiva un cuadrado mas distante sobre le plano posee una imagen mas pequeña que otra que está mas cerca, como en la figura.6; y la orientación de una línea transformada depende de la orientación y la posición de la línea fuente (sin embargo, se verá mas adelante que el punto de fuga depende solo de la orientación de la línea y no de su posición). La diferencia clave entre una transformación proyectiva y una afín es que el vector v no es nulo para una proyectividad. Este es responsable de los efectos no lineales de la proyectividad. Compare el mapeo de un punto ideal (x, x 2, 0) bajo una afinidad y bajo una proyectividad: Primero la transformación afín, ( A t 0 Segundo, la transformación proyectiva, ) ( ) x x 2 = A x x 2. (.20) 0 0

20 20 CAPÍTULO. GEOMETRÍA PROYECTIVA DEL PLANO ( ) ( ) A t x v x v 2 = A x x 2 0 v x + v 2 x 2. (.2) En el primer caso el punto ideal permanece ideal (es decir en el infinito). En el segundo caso, el punto ideal es mapeado a un punto finito. Es esta habilidad la cual le permite a una transformación proyectiva modelar puntos de fuga..3.6 Descomposición de una transformación proyectiva Una transformación proyectiva puede descomponerse en una cadena de transformaciones, donde cada matriz en la cadena representa un transformación mas alta en la jerarquía que la anterior H = H S H A H P = ( sr t 0 ) ( K 0 0 ) ( ) ( ) I 0 A tv v = v v v (.22) donde A es una matriz no singular dada por A = srk + tv, y K una matriz triangular superior normalizada cuyo det(k) =. Esta descomposición es válida siempre y cuando v 0, y es única si s se elige positivo. Cada una de las matrices H S, H A, H P es la esencia de una transformación de este tipo (como lo indican los subscriptos S, A y P). Considere el proceso de rectificar la imagen en perspectiva de un plano como la del ejemplo.2.2: H P (2 grados de libertad) mueve la línea del infinito, H A (2 grados de libertad) afecta las propiedades afines, pero no mueve la línea del infinito; y finalmente, H S es una transformación de semejanza general (4 grados de libertad) la cual no afecta las propiedades afines y proyectivas. La transformación H P es una elación (elation), descrita en p587. Ejemplo.3. La transformación proyectiva se puede descomponer en H = cos 45 2 sin H = 2 sin 45 2 cos Esta descomposición se puede emplear cuando el objetivo es determinar solo parcialmente la transformación. Por ejemplo, si se desean medir relaciones de longitud de la imagen en perspectiva de un plano, luego solo es necesario determinar (rectificar) la transformación hasta una semejanza. Tomando la inversa de H en.22 se obtiene H = H P H A H S. Debido a que H P, H A y H S

21 .3. UNA JERARQUÍA DE TRASFORMACIONES 2 son transformaciones proyectivas, afín y de semejanza, una transformación proyectiva general se puede también descomponer en la forma de ( I 0 H = H P H A H S = v v ) ( K 0 0 ) ( sr ) t 0 (.23) Note que los valores reales de R, K, t y v serán diferentes de los obtenidos por.22. Grupo Matriz Distorsión Propiedades Invariantes h h 2 h 3 Proyectivo (8 dof) h 2 h 22 h 23 Concurrencia, colinealidad orden de h 3 h 32 h 33 contacto: intersección ( punto); tangencia (2 puntos); inflecciones (3 puntos de contacto con líneas); discontinuidades tangentes y cusps. Relación cruz. Afín (6 dof) Semejanza (4 dof) Euclídea (2 dof) a a 2 t x a 2 a 22 t y 0 0 Paralelismo, relación de áreas, relación de longitudes sobre líneas paralelas o colineales (por ejemplo punto medio), combinaciones lineales de vectores (por ejemplo centroides). La línea en el infinito. sr sr 2 t x sr 2 sr 22 t y Relación de longitudes, ángulos. Los 0 0 puntos circulares. r r 2 t x r 2 r 22 t y Longitudes, áreas 0 0 Tabla.: Propiedades geométricas invariantes a transformaciones planares comunes. La matiz A = [a ij ] es una matriz de 2 2 invertible, R = [r ij ] es una matriz de rotación 2D, y (t x, t y ) un vector de traslación 2D. La columna de distorsión muestra los efectos típicos de la transformación de un cuadrado. Las transformaciones mas altas en la tabla pueden producir todas las acciones de los de abajo. Esto va desde Euclídea, donde solo ocurren traslaciones y rotaciones, a proyectivas donde el cuadrado se puede transformar a cualquier cuadrilátero arbitrario, cuando 3 puntos no son colineales..3.7 El numero de invariantes La pregunta que naturalmente surge es cuantos invariantes hay para una configuración geométrica dada bajo una transformación particular?. Primero, el término numero necesita precisarse, porque si una cantidad es invariante, tal como una longitud bajo una transformación Euclídea, luego

22 22 CAPÍTULO. GEOMETRÍA PROYECTIVA DEL PLANO cualquier función de esta cantidad es invariante. Consecuentemente, se busca un argumento de cuenta para el numero de invariantes funcionalmente independientes. Considerando el numero de parámetros de una transformación que deben eliminarse para formar un invariante se puede decir que, Resultado.3.2 El numero de invariantes funcionalmente independientes es igual a, o mas grande que, el numero de grados de libertad de la configuración menos el numero de grados de libertad de la transformación. Por ejemplo, una configuración de 4 puntos en posición general tiene 8 grados de libertad (2 para cada punto), y así 4 invariantes de semejanza, 2 de afinidad y ninguno proyectivo, debido a que estas transformaciones poseen 4, 6 y 8 grados de libertad respectivamente. La tabla. resume los grupos de transformaciones 2D y sus invariantes. Las transformaciones mas abajo en la tabla son especializaciones de las superiores. Una transformación en la parte inferior de la tabla hereda los invariantes de las transformaciones superiores..4 La Geometría Proyectiva de D El desarrollo de la geometría proyectiva de una línea, IP, se establece de la misma manera que la del plano. Un punto x sobre la línea se representa en coordenadas homogéneas por (x, x 2 ), y un punto para el cual x 2 = 0 es un punto ideal de la línea. Se utilizará la notación x para representar el vector de 2 dimensiones (x, x 2 ). Una transformación proyectiva de una línea está representada por una matriz homogénea de 2 2, x = H 2 2 x y posee 3 grados de libertad correspondientes a los 4 elementos de la matriz menos uno para escalado total. La transformación proyectiva de una línea se puede determinar de la correspondencia de 3 puntos (cada punto tiene una coordenada). La Relación Cruz La relación cruz es el invariante proyectivo básico de IP. Dados 4 puntos x i la relación cruz se define como donde Cruz( x, x 2, x 3, x 4 ) = x x 2 x 3 x 4 x x 3 x 2 x 4 ( xi x x i x j = det j x i2 x j2 ).

23 .4. LA GEOMETRÍA PROYECTIVA DE D 23 Figura.8: Transformaciones proyectivas entre líneas. Hay cuatro conjuntos de cuatro puntos colineales en esta figura. Cada conjunto está relacionado a los otros por una proyectividad de línea a línea. Debido a que la relación cruz es un invariante bajo una proyectividad, la relación cruz tiene el mismo valor para todos los conjuntos mostrados. Algunos comentarios acerca de la relación cruz: El valor de la relación cruz no depende de que sea usada una representación particular homogénea de un punto x i debido a que los factores de escala se cancelan entre numerador y denominador. Si cada punto x i es finito y la representación homogénea se elige tal que x 2 =, entonces x i x j representa la distancia con signo desde x i hasta x j. La definición de la relación cruz es también válida cuando uno de los puntos x i es un punto ideal. El valor de la relación cruz es un invariante bajo cualquier transformación proyectiva de una línea: si x = H 2 2 x entonces, Cruz( x, x 2, x 3, x 4) = Cruz( x, x 2, x 3, x 4 ) (.24) La prueba de esta afirmación se deja como ejercicio. En forma equivalente, la relación cruz es invariante al marco de coordenadas proyectivo elegido para la línea. La figura.8 ilustra algunos ejemplos de transformaciones proyectivas entre líneas con relaciones cruz equivalentes. Bajo una transfromación proyectiva del plano, una transformación proyectiva D es inducida por cualquier línea en el plano. Líneas Concurrentes Una configuración de líneas concurrentes es dual a puntos colineales sobre una línea. Esto significa que líneas concurrentes sobre un plano también tienen la geometría de IP. En particular 4 líneas concurrentes tienen una relación cruz como la ilustrada en la figura.9a.

24 24 CAPÍTULO. GEOMETRÍA PROYECTIVA DEL PLANO l x l l 2 l x x x 2 x 2 x 3 x 4 l 3 c x 2 x 3 x 4 x 3 l 4 x 4 Figura.9: Líneas Concurrentes. (a) Cuatro líneas concurrentes l i intersectan la línea l en los cuatro puntos x i. La relación cruz de estas líneas es un invariante a transformaciones proyectivas del plano. Su valor está dado por la relación cruz de los puntos, Cruz( x, x 2, x 3, x 4 ). (b) Puntos coplanares x i son proyectados sobre una línea l (también en el plano) por una proyección con centro c. La relación cruz de los puntos imagen x i es invariante a la posición de la línea imagen l. Note como la figura.9 puede pensarse como que representa la proyección de puntos en IP 2 en una imagen unidimensional. En particular, si c representa el centro de la cámara, y la línea l representa una línea imagen (análogo D del plano imagen), entonces los puntos x i son las proyecciones de los puntos x i en la imagen. La relación cruz de los puntos x i caracteriza la configuración proyectiva de los 4 puntos imagen. Note que la posición real de la línea imagen es irrelevante con respecto a lo que le concierne a la configuración proyectiva de los 4 puntos imagen; diferentes elecciones de la línea imagen dan configuraciones proyectivamente equivalentes de los puntos imagen. La geometría proyectiva de líneas concurrentes es importante para la comprensión de la geometría proyectiva de líneas epipolares..5 Recuperación de propiedades afines y métricas a partir de imágenes Regresando a la rectificación proyectiva del ejemplo.2.2 donde el objetivo buscado fue remover la distorsión proyectiva en la imagen en perspectiva de un plano para extenderlo a que propiedades de semejanza (ángulos, relación de longitudes) se podrían obtener midiendo sobre el plano original. En ese ejemplo, la distorsión proyectiva fue removida completamente especificando la posición de 4 puntos de referencia sobre el plano (un total de 8 grados de libertad), y explicitamente calculando la transformación mapeando los 4 puntos de referencia a sus imágenes. En efecto, esto sobre especifica la geometría, una transformación proyectiva tiene solo 4 grados de libertad mas que una semejanza, tal que es solo necesario especificar 4 grados de libertad (no 8) para determinar las propiedades métricas. En geometría proyectiva, estos 4 grados de libertad están asociados con la geometría de los objetos: la línea en el infinito l (2 grados de libertad), y los dos puntos circulares (2 grados de libertad) sobre l. Esta asociación es frecuentemente un camino mas intuitivo de razonar acerca