Teora de la Firma. Teoría de la Firma. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Teora de la Firma 1 / 92

Transcripción

1 Teora de la Firma Teora de la Firma 1 / 92

2 Teoría de la Firma Una firma es una institución donde se toman decisiones de producción El empresario, propietario del capital, demanda trabajo para maximizar el retorno su capital Cada firma tiene una función de producción o tecnología que depende del capital y del trabajo. Para distintos niveles de capital y trabajo devuelve un producto (output) q La tecnología podría ser de uso común de tal forma que todos tengan acceso a esta (ejemplo: tecnología de estampado de remeras) o de uso privado (un nuevo microcomponente o un desarollo de software - algún avance que permite reducir costos respecto de la competencia). La tecnología se representa como F (L, K) Teora de la Firma 2 / 92

3 Teoría de la Firma A lo largo de la unidad, vamos a analizar el proceso de toma de decisiones de una firma. Los aspectos fundamentales a observar son: Cuánto capital y trabajo necesitan contratar Qué cantidad producir Los cambios de las variables endógenas en función de los cambios en las variables exógenas Teora de la Firma 3 / 92

4 Teoria de la Firma El análisis de la firma se realiza en 3 horizontes temporales diferentes: Corto plazo: Se considera que el capital de la firma está dado; sólo toma decisiones respecto al factor trabajo. Largo plazo: Las firmas pueden variar capital y trabajo y pueden tener beneficios extraordinarios Muy largo plazo: Las firmas pueden variar capital y trabajo, y únicamente obtienen beneficios normales. Teora de la Firma 4 / 92

5 Corto Plazo A corto plazo, si las condiciones del mercado son adversas al no poder deshacerse del capital, tendrá que deshacerse de trabajo. Por el contrario, si las condiciones son favorables, podrían contratar más trabajo. q = F (L, K) = F (L) L: Cantidad de trabajo, que puede estar medido en horas trabajo o en cantidad de trabajadores K: Capital: Propiedad del empresario q: Cantidad que se producirá con los valores de L y K dados. Teora de la Firma 5 / 92

6 Dos conceptos fundamentales Producto marginal - F L: Como varía la producción si se contrata una unidad infinitesimal más de trabajo Producto medio del trabajo = F (L, K) : L Es la cantidad de productos fabricados, en promedio, por cada trabajador empleado. Teora de la Firma 6 / 92

7 La función de producción de una empresa genérica Teora de la Firma 7 / 92

8 Función de producción de una firma cóncava Teora de la Firma 8 / 92

9 Para cada función de producción podemos hallar gráficamente la productividad marginal y el producto medio La productividad marginal consiste en la derivada de la función en cada punto. El producto medio consiste en graficar el ángulo de la recta secante en cada punto Teora de la Firma 9 / 92

10 Producto Marginal Observamos que el producto marginal es positivo hasta L3. Desde 0 hasta L1 la productividad marginal crece crecientemente. O sea F L > 0 y F LL > 0. Llamaremos a este tramo el tramo 1. Desde L1 hasta L3 la productividad marginal crece decrecientemente. Osea F L > 0 y F LL < 0. Este fenómeno se conoce como la Ley de Rendimientos Marginales Decrecientes. Llamaremos a este segmento el tramo 2 En L3 el producto marginal es cero. O sea F L = 0 Después de L3 la productividad marginal cae. O sea F L < 0. Llamaremos a este tramo tres. Teora de la Firma 10 / 92

11 Producto Medio El producto medio es siempre positivo El producto medio crece hasta L2, donde obtendremos el producto medio maximo. A partir de L2, el producto medio decrece. Teora de la Firma 11 / 92

12 Graficamente Teora de la Firma 12 / 92

13 Producto Medio y Proucto Marginal El punto de corte es siempre L2. En ese punto, la recta tangente tiene la misma pendiente que la recta secante. El producto medio crece cuando está por debajo del producto marginal, en tanto decrece cuando está por encima. Teora de la Firma 13 / 92

14 Elasticidad del producto Definimos la elasticidad análogamente a la extraída en la Teoría del Consumidor. F (K, L) L ε q,l =. L F (K, L) Reescribiendo: ε q,l = PmgL PmeL Si ε q,l > 1 PmgL > PmeL Si ε q,l 1 PmgL PmeL Teora de la Firma 14 / 92

15 Función de Costos La función de costos viene dado por: CT (L, K) = wl + rk Donde w es el precio del trabajo. Si se mide L en horas de trabajo, entonces w es salario por hora, mientras que si L representa cantidad de trabajadores, entonces w es el sueldo por trabajador. r es la tasa de interés o del rendimiento del capital. Es también el costo de oportunidad: En otras palabras, es el rendimiento de la mejor actividad alternativa (para simplificar podríamos considerar el plazo fijo). Teora de la Firma 15 / 92

16 Función de Costos a Corto Plazo CT (L, K) = wl + r K CT (L, K) = CV + CF CT (L, K) = Costo Variable + Costo Fijo Teora de la Firma 16 / 92

17 Supuestos de Competencia Perfecta relevante Agentes tomadores de Precios Agentes atomísticos Bienes homogéneos Información perfecta Homogeneidad en los factores Libre movilidad de los factores Teora de la Firma 17 / 92

18 Acerca de las variables exógenas Las variables exógenas en la teoría de la firma son p (precio del bien), w (precio del trabajo) y r (precio del capital) Si la empresa decide fijar un precio mayor al del mercado, bajo competencia perfecta, no logrará vender ninguna unidad. Si ofrece su bien a un precio menor que p, logra vender todo. Empero, obtendrá menos ingresos que si lo fijara en p, al que también logrará colocar toda su producción. Ocurre lo mismo con las otras variables. Si la firma paga menos que w, entonces no obtendrá ningún trabajador, pues saben que van a conseguir otras ofertas laborales que pagan al menos w. Por el otro lado,si ofrecen un salario mayor a w, consiguen empleo infinito. Por lo tanto, la firma debe tomar estos valores como dados. Teora de la Firma 18 / 92

19 Los problemas de la firma La firma debe elegir qué cantidad de L y K contratar y, como resultado de esa decisión, qué cantidad producir. Para resolver este problema puede recurrir a dos procesos de optimización posibles. El proceso de maximización: dada la función de producción, encontrar cuál es la L y K que me otorga el beneficio más alto. El proceso de minimización de costo: determinar cuál es el nivel de L y K que me permite producir q unidades de producto de la forma más barata posible. Por dualidad, vamos a ver que bajo ciertas condiciones ambas son dos caras de la misma moneda. Teora de la Firma 19 / 92

20 Dos formas de presentar a la firma Se puede estudiar en relación a los factores de producción o en función de q. Por dualidad, ambas formas de hacerlo es lo mismo. Por lo tanto, vamos a usarlas según como nos convenga para realizar nuestro análisis. Teora de la Firma 20 / 92

21 Función de Beneficio Definimos el beneficio de una firma como: π = IT CT Expresando la función de beneficio en función de L y K obtenemos que: π(l, K) = pf (L, K) wl rk En función de q: π(q) = pq c(q) Donde c(q) es una función de costos de producir q unidades (veremos más adelante que ésta es la función de costo mínimo). Observamos que π(0, 0) = 0 Teora de la Firma 21 / 92

22 Función de Beneficio a corto plazo π(l, K) = pf (L, K) wl r K A medida que se incrementa L, aumenta el nivel de producto. Por lo tanto aumentan los ingresos totales y también aumento los costos. Voy, entonces a contratar L hasta que la diferencia entre los ingresos y los costos sea la máxima. Teora de la Firma 22 / 92

23 Función de IT y CT en un solo gráfico Teora de la Firma 23 / 92

24 Beneficio Teora de la Firma 24 / 92

25 En el gráfico vemos la diferencia entre IT y CT. Observamos que hay dos puntos donde π L = 0. El de L representa el beneficio máximo mientras que el otro representa el beneficio mínimo. Observamos que el óptimo nunca estaría en el tramo 1. Recordemos que en este tramo el producto marginal es creciente. Entonces cuanto más contrato, más producto voy a obtener. Por lo tanto, si existe un máximo, éste tiene que estar en el tramo 2, o sea operando bajo la Ley de Rendimientos Marginales Decrecientes. Teora de la Firma 25 / 92

26 Función de IT y CT con un aumento en w Teora de la Firma 26 / 92

27 Función de IT y CT con un aumento en r Teora de la Firma 27 / 92

28 Condiciones de primer y de segundo orden de la maximización de beneficio Objetivo: Elegir un L tal que maximice π(l, K) = pf (L, K) wl r K (L) pf L(.) w = 0 La solución de este problema es L (p, w) por lo que la firma produce F (L (p, w), K) Condición de segundo orden: (LL) pf LL(.) < 0 Observamos que necesariamente debe estar en el segundo tramo. Mirando la filmina 23 observamos que el máximo beneficio se da cuando la pendiente de la función de costos es tangente a la función de ingreso total. Teora de la Firma 28 / 92

29 Interpretación gráfica de las condiciones de primer orden Teora de la Firma 29 / 92

30 Interpretación de las condiciones de primer orden Interpretación anaĺıtica: Voy a contratar hasta que la productividad del ultimo trabajador sea igual al precio del trabajo. Contratar L1 me da una productividad marginal de 15 y me cuesta 10. Por cada hora que este trabajador opere, me va a otorgar un excedente de 5 Contratar L2 me da un productividad marginal de 12 y me cuesta 10. Por lo tanto, por cada hora que opera me va a otorgar un excedente de 2 Contratar L3 me da un productividad marginal de y me cuesta 10. Por lo tanto lo contrato y por cada hora que trabaja me va a dar una excedente de 0.01 Teora de la Firma 30 / 92

31 Entonces voy a contratar hasta L, porque aunque este trabajador no me genere exedente (por cada hora que opera me ingresa 10 y me cuesta 10), me permite capturar de los demás trabajadores. Todos los trabajadores son homogéneos, por lo que la productividad marginal depende del uso de la capacidad instalada de capital. Teora de la Firma 31 / 92

32 Estatica comparada con respecto a w Supongamos que dado un nivel w se contrata L (p, w). Esto significa que la productividad marginal del ultimo individuo L es igual a w Supongamos que ahora hay un cambio en w, tal que el nuevo w es menor a w. Como la productividad marginal del último trabajador es mayor, entonces puedo contratar más trabajadores. Por otro lado, si aumenta el precio de trabajo, entonces L es menor que w y debo despedir trabajadores. Por lo tanto, existe una relación que se cumple siempre entre el trabajo y el salario. L (p, w) < 0 w Teora de la Firma 32 / 92

33 Teora de la Firma 33 / 92

34 Beneficio y excedente El beneficio indirecto entonces es: π(l, K) = pf (L (p, w), K) wl (p, w) r K r K es el costo de oportunidad del capital. El excedente del productor es el equivalente de excedente bruto de expropiación en las Cuentas Nacionales. Es el dinero en mano que recibe el empresario una vez concretada las ventas y pagado a los trabajadores. Lo definimos como: pf (L (p, w), K) wl (p, w) El beneficio es la diferencia entre el excedente del productor y el costo de oportunidad. En otras palabras, es lo que debe pagar para volver a poner en funcionamiento otro período. Teora de la Firma 34 / 92

35 Beneficio Entonces: π = EP CO Si π > 0 EP > CO (beneficio extraordinario) Si π = 0 EP = CO (beneficio normal) Si π < 0 EP < CO (beneficio negativo) El caso de beneficio normal, no significa que el productor no obtuvo ganancias contables, sino que sus ganancias coinciden con el rendimiento en la mejor alternativa posible. Si la firma obtiene un beneficio extraordinario, entonces el rendimiento de la empresa supera el del mercado. En el corto plazo, una firma puede tener beneficios negativos En el largo plazo, una firma puede tener beneficios normales o extraordinarios En el muy largo plazo, todas las firmas tienen beneficios normales Teora de la Firma 35 / 92

36 Gráficamente El excedente del productor se calcula como L (PF L w)dl 0 Teora de la Firma 36 / 92

37 Largo Plazo En el largo plazo, la firma puede variar el nivel de capital y trabajo que desea. Por lo tanto, puede responder ante shocks externos con mayores recursos al poder modificar dos variables endógenas. En el largo plazo, se agrega un nivel de caracterización a la función de producción. A continuación, definimos el concepto de Rendimientos a Escala. Teora de la Firma 37 / 92

38 Rendimientos a Escala Sea F(L,K) una función de producción homogénea de grado n Si multiplicamos todos los factores por un mismo número, obtenemos: F (tl, tk) = t n F (L, K) Si n > 1 entonces la función posee rendimientos crecientes a escala si n = 1 entonces la función posee rendimientos constantes a escala si n < 1 entonces la función posee rendimientos decrecientes a escala Teora de la Firma 38 / 92

39 Rendimientos a Escala En otras palabras: Si duplico los factores y la función es creciente a escala, el producto más que se duplica Si duplico los factores y la función es constante a escala, el producto se duplica Si duplico los factores y la función es decreciente a escala, el producto aumento pero menos que el 100 % No todas las funciones son homogéneas, pero mientras exhiba el mismo comportamiento se lo puede considerar con rendimientos a escala La función F (L, K) = lnlk no es homogénea. Sin embargo cuando duplicamos los factores menos que duplican, por lo que en términos prácticos podemos considerarlo como decreciente a escala. Teora de la Firma 39 / 92

40 Maximización de beneficio La firma deberá elegir que cantidad de trabajo (L) y capital (K) contratar para producir q unidades La firma puede elegir o bien maximizar los beneficios o bien minimizar el gasto. Por dualidad (que mostraremos en un par de filminas y tomaremos por cierto) los dos procesos son analógos. La firma deberá elegir L y K tal que Max π(l, K) = pf (L, K) wl rk Teora de la Firma 40 / 92

41 Maximización de Beficio Max π(l, K) = pf (L, K) wl rk (L) pf L w = 0 (K) pf K r = 0 La solución al problema son las demandas óptimas: L (p, w, r),k (p, w, r) Teora de la Firma 41 / 92

42 Condiciones de Segundo Orden [ ] pf LL pf LK Hessiano = < 0 pf LK pf KK Teora de la Firma 42 / 92

43 Interpretación de las condiciones de primer orden Las interpretaciones son las mismas que en el corto plazo Voy a contratar trabajadores hasta que la productividad marginal del trabajo del último trabajador sea igual al salario w Voy a contratar capital hasta que la productividad marginal del capital sea igual a su costo de oportunidad. Teora de la Firma 43 / 92

44 Segundo enfoque de la maximización de beneficio Si pensamos el problema de la firma en función de q, osea el producto terminado, y no en L y en K, tendremos otro enfoque de análisis. Definamos π(q) = IT (q) CT (q) π(q) = pq c(q) Donde c(q) es el costo de producir q unidades. Veremos que éste surge del problema de la minimización del costo. Maxπ(q) = pq c(q) (q) p c (q) = 0 Por lo tanto la firma elige una cantidad tal que el precio sea igual al costo marginal de producir esa unidad. q(p) resuelve el problema de maximización La firma va a maximizar el beneficio en el punto donde el precio es igual al costo marginal. Teora de la Firma 44 / 92

45 Ejemplo Sea una firma cuyo función de costo es c(q) = q 2 Objetivo: Max π(q) = pq c(q) Max π(q) = pq q 2 (q) p 2q = 0 q(p) = p 2 Teora de la Firma 45 / 92

46 No se pueden maximizar todas las funciones De los tres tipos de Rendimientos a Escalas 1 Nunca podremos maximizar las funciones con rendimientos crecientes a escala 2 Siempre podremos maximizar las funciones con rendimientos decrecientes a escalas 3 A veces podremos maximizar funciones con rendimientos constantes a escalas Teora de la Firma 46 / 92

47 Nunca se pueden maximizar el beneficio de las funcines de producción crecientes a escala Demostración Supongamos que existe un L y un K de tal forma que hace máxima la diferencia entre IT y CT Entonces π(l, K ) = IT CT π(l, K ) = pf (L, K ) wl rk Observamos que la función de IT es homogénea de grado n en L y K Observamos que la función de CT es homogénea de grado 1 en L y K Como existe un L y un K de tal forma que hace máxima el beneficio, entonces cualquier otra combinación debe dar un beneficio menor Supongamos que duplicamos la cantidad de capital y trabajo en el óptimo. Teora de la Firma 47 / 92

48 Nunca se pueden maximizar el beneficio de las funciones de producción crecientes a escala Demostración π(2l, 2K ) = pf (2L, 2K ) w2l r2k Sacando factor común π(2l, 2K ) = 2 [n>1] pf (L, K ) 2(wL rk ) > π(z, K ) En otras palabras, si duplico los insumos, mi ingreso total se multiplica por más que dos, mientras que mi costos sólo se duplican. Por lo tanto, obtenemos más beneficio que con L y K. Ergo, estos estos no eran óptimos. Duplicando los insumos siempre la firma obtiene mayor beneficio. Conclusión: Las firmas que poseen funciones de producción creciente a escala no maximizan el beneficio. Contratan infinita cantidades de capital y trabajo e inundan el mercado, obteniendo beneficio Teora de la Firma 48 / 92

49 Siempre se pueden maximizar el beneficio de las funciones de producción decrecientes a escala Demostración Sea π(l, K) = IT CT Sea π(0, 0) = 0 Recordemos que IT tiene grado de homogeneidad n < 1 en L y en K y el costo total tiene grado de homogeneidad 1 en L y en K Como los costos crecen más rápido que los ingresos, entonces siempre va a existir un valor de L y K tal que la diferencia sea máxima. Teora de la Firma 49 / 92

50 A veces se puede maximizar el beneficio de las funciones de producción constantes a escala Demostración Sea π(l, K) = IT CT Recordemos que IT tiene grado de homogeneidad n = 1 en L y en K y el Costo total tiene grado de homogeneidad 1 en L y en K Supongamos que existe un L y un K de tal forma que hace máxima la diferencia entre IT y CT π(l, K ) = pf (L, K ) wl rk Existen 3 casos en L y K 1 En L y K que IT > CT 2 En L y K que IT < CT 3 En L y K que IT = CT Teora de la Firma 50 / 92

51 A veces se puede maximizar el beneficio de las funciones de producción constantes a escala Como existe un L y un K de tal forma que maximiza el beneficio y encima obtiene IT CT > 0, entonces cualquier otra combinación debe dar un beneficio menor. Supongamos que duplicamos la cantidad de capital y trabajo en el óptimo. Sea el beneficio en el óptimo: π(l, K ) = pf (L, K ) wl rk π(2l, 2K ) = pf (2L, 2K ) w2l r2k π(2l, 2K ) = 2pF (L, K ) wl rk = 2π(L, K ) Por lo tanto duplicando los insumos se obtiene el doble de beneficio. Ergo, L y K no eran óptimos. En este caso, la firma contrata una cantidad infinita de trabajo y capital, inunda el mercado y obtiene beneficio Teora de la Firma 51 / 92

52 A veces se puede maximizar el beneficio de las funciones de producción constantes a escala Como existe un L y un K de tal forma maximiza el beneficio y encima obtiene IT CT < 0, entonces cualquier otra combinación debe dar un beneficio menor Esto es inmediatamente una contradicción pues observamos que existe otra combinación que da mayor mayor beneficio. Contratando L=0, K=0, el beneficio es 0, por lo tanto no se obtienen beneficios negativos. Así, observamos que la firma maximiza el beneficio y por ello obtiene beneficio cero. Teora de la Firma 52 / 92

53 Como existe un L y un K de tal forma que maximiza el beneficio y obtiene IT CT = 0, entonces cualquier otra combinación debe dar un beneficio menor Supongamos que duplicamos la cantidad de capital y trabajo en el óptimo. Sea el beneficio en el óptimo: π(l, K ) = pf (L, K ) wl rk = 0 π(2l, 2K ) = pf (2L, 2K ) w2l r2k π(2l, 2K ) = 2pF (L, K ) wl rk = 2π(L, K ) = 0 Por lo tanto duplicando los insumos se obtiene el doble de beneficio, que sigue siendo cero. En consecuencia, L y K eran óptimos. La firma demanda cualquier múltiplo de L y cualquier múltiplo de K, por lo que puede producir desde 0 a unidades, obteniendo un beneficio nulo. Teora de la Firma 53 / 92

54 El otro enfoque del problema de maximización de la forma constante a escala Las firmas constantes a escalas poseen funciones de costos de la forma c(q) = cq. Donde c es un parámetro. El problema de maximización es entonces. Max π(q) = pq cq = (p c)q Observamos que hay 3 casos: 1 Si p > c q = π = 2 Si p = c q = [0; ) π = 0 3 Si p < c q = 0 π = 0 Teora de la Firma 54 / 92

55 Propiedades de las demandas óptimas 1 Homogéneas de grado 0 en p,w,r 2 Continuas 3 Estáticas definidas Teora de la Firma 55 / 92

56 Demostraciones Demostración 1: Observamos las dos condiciones de primer orden. (L) pf L w = 0 (K) pf K r = 0 Si p, w, r se duplican, las educaciones quedan iguales. Demostración 2: Composición de funciones continuas La función de producción es continua, por lo que la función de ingresos totales es continua. Por otra parte, la función de costos es continua, por lo cual la resta de las dos funciones continuas también lo es. Teora de la Firma 56 / 92

57 Efectos estáticos comparados Siguiendo el mismo razonamiento que a corto plazo, cada demanda tiene una relación inversa con respecto a su precio. L (p, w, r) < 0 w K (p, w, r) < 0 r La relación de la demanda con respecto al otro precio depende del efecto cruzado F LK Teora de la Firma 57 / 92

58 Si F LK > 0 hay una complementariedad entre ambos. Si contrato más trabajo (L) potencia más el producto marginal del capital. Por lo que vemos que K (p, w, r) < 0 w Si aumenta w, por la primera estática, bajo L, y como hay complementariedad entre L y K, entonces debo contratar menos de K. Análogamente si F LK < 0 y hay una sustitución entre capital y trabajo, los efectos cruzados son positivos, Si no hay ni complementariedad ni sustitución F LK = 0 entonces no hay relación entre las demandas y los precios del otro bien. Teora de la Firma 58 / 92

59 Beneficio indirecto La solución del problema de la maximización nos indica la cantidad de capital y trabajo óptimo contratar para todos los niveles de p, w y r. Conociendo L (p, w, r) y K (p, w, r) podemos obtener: Cantidad a producir: F (L (p, w, r), K (p, w, r)) Ingreso total indirecto: pf (L (p, w, r), K (p, w, r)) Costo total indirecto: wl (p, w, r) + rk (p, w, r) Beneficio indirecto: π(p, w, r) = pf (L (p, w, r), K (p, w, r)) wl (p, w, r) rk (p, w, r) Teora de la Firma 59 / 92

60 Propiedades del beneficio indirecto 1 Homogénea grado 1 en p,w,r 2 Beneficio decreciente en w,r 3 Beneficio creciente en p Teora de la Firma 60 / 92

61 Homogenea de grado 1 en p,w,r π(p, w, r) = pf (L (p, w, r), K (p, w, r)) wl (p, w, r) rk (p, w, r) Supongamos que se multiplican todos los precios por t: π(tp, tw, tr) = (tp)f (L (tp, tw, tr), K (tp, tw, tr)) (tw)l (tp, tw, tr) (tr)k (tp, tw, tr) Como las demandas óptimas son homogéneas de grado 0, entonces L (tp, tw, tr) = L (p, w, r) y K (tp, tw, tr) = K (p, w, r) Por lo tanto π(tp, tw, tr) = (tp)f (L (p, w, r), K (p, w, r)) (tw)l (p, w, r) (tr)k (p, w, r) Teora de la Firma 61 / 92

62 Sacamos factor común t π(tp, tw, tr) = t[pf (L (p, w, r), K (p, w, r)) wl (p, w, r) rk (p, w, r)] = tπ(p, w, r) Por lo tanto, la función de beneficio indirecto es homogenea de grado 1. Si los precios p,w y r se duplican, entonces demando lo mismo, pero ingresa el doble en ventas y cuesta el doble, por lo que el beneficio indirecto se duplica. Teora de la Firma 62 / 92

63 Lema de Hotelling Vamos a demostrar que: π (p, w, r) = L (p, w, r) w π (p, w, r) = K (p, w, r) r π (p, w, r) = F (L (p, w, r), K (p, w, r) p Teora de la Firma 63 / 92

64 Beneficio decreciente en w π (p, w, r) = p[f L L (p, w, r) w w L (p, w, r) w L (p, w, r) w Saco factor común π (p, w, r) = w [pf L w] L (p, w, r) w + F K K (p, w, r) ] w r K (p, w, r) w + [pf K r] K (p, w, r) w L (p, w, r) Teora de la Firma 64 / 92

65 Beneficio decreciente en w Como estamos en el óptimo, entonces se están cumpliendo las condiciones de primer orden: pf L w = 0 y pf K r = 0 Reemplazando obtenemos: π (p, w, r) = L (p, w, r) w Un aumento en el precio del trabajo, aún después de reoptimizar, implica una pérdida de beneficio igual a la cantidad de trabajadores. Si antes yo tenía 10 trabajadores a los cuales les pago 10 pesos la hora y ahora les debo pagar 11 pesos la hora, se esperaría que la pérdida en el beneficio sea igual a =10 que es la cantidad de trabajadores empleados. Teora de la Firma 65 / 92

66 Beneficio creciente en precios π (p, w, r) p p[f L L (p, w, r) p p L (p, w, r) p Saco factor común π (p, w, r) p r] K (p, w, r) = F (L (p, w, r), K (p, w, r)) + + F K K (p, w, r) ] L (p, w, r) p r K (p, w, r) p = [pf L w] L (p, w, r) p + F (L (p, w, r) + [pf K p Análogamente como estamos en el óptimo obtenemos el resultado deseado: π (p, w, r) p = F (L (p, w, r) Teora de la Firma 66 / 92

67 Función de Costos Medios Dentro del análisis microeconómico, la función de costo medio refleja información relevante para el proceso de toma de decisiones. La función de Costo Medio se puede analizar desde los dos enfoques (L,K) y (q). Por dualidad, veremos que son lo mismo. Teora de la Firma 67 / 92

68 Definimos costo medio(l, K) = CT wl + rk = F (L, K) F (L, K) Cual es el grado de Homogeneidad del Costo Medio? CT = wl + rk tiene grado 1 de homogeneidad en L y K F (L, K) tiene grado n de homogeneidad Para un L 0 y K 0 dado entonces Costo Medio(L 0, K 0 ) = t(wl 0 + rk 0 ) t n F (L 0, K 0 ) = wl t1 n 0 + rk 0 F (L 0, K 0 ) La función de Costo Medio tiene grado de homogeneidad 1-n Teora de la Firma 68 / 92

69 Costo medio función creciente a escala Teora de la Firma 69 / 92

70 Teora de la Firma 70 / 92

71 Teora de la Firma 71 / 92

72 Una firma genérica tendria el siguiente perfil de costos en el corto plazo. Teora de la Firma 72 / 92

73 Ejercicio de examen pasao Supongamos que una empresa posee dos plantas con la función de costos del gráfico de arriba. Supongamos que la firma debe producir 10 unidades, le conviene producir en una sola o dividir la producción? Le conviene producir en una planta, pues produciendo hasta 10 unidades está en el primer tramo, donde los costos medios son decrecientes. Supongamos que la firma debe producir 20 unidades, le conviene producirlo en una sola planta o subdividir la producción? Le conviene subdividir, produciendo entre 10 hasta 20 unidades. La firma está en el segundo tramo donde la función de costo medio es creciente, subdividiendo la producción puede aprovechar el menor costo medio. Teora de la Firma 73 / 92

74 El problema de minimización de costo La firma en vez de maximizar el beneficio podría resolver otro problema de optimización que es el de la minimización del costo Objetivo: dado F(L,K), determinar cuál es la combinación óptima de L y K tal que el nivel de producción q 0 se produzca al menor costo posible, donde la función de costos es CT = wl + rk Es análogo al problema del consumidor de la minimización del gasto. Teora de la Firma 74 / 92

75 Problema de Minimización de Gasto:Condiciones de Primer Orden L(L, K, λ) = wl + rk + λ(q 0 F (L, K)) (1) (X )w λf L(L, K) = 0 (2) (Y )r λf K(L, K) = 0 (3) (λ)q 0 F (L, K) = 0 (4) Teora de la Firma 75 / 92

76 Interpretacion de las CPO De (1), (2), despejamos λ λ = w F L(L, K) r λ = F K(L, K) Reordenando F L(L, K) F K(L, K) = w r Observamos que la tasa de sustitución técnica tiene que ser igual a los precios relativos. Dado un nivel de precios, nuestro objetivo es encontrar la curva de isocosto tangente al nivel de utilidad que queremos alcanzar. Teora de la Firma 76 / 92

77 Demandas mínimas La solución del problema de minimización de costo son las demandas mínimas que dependen de las variables exógenas: L Min (w, r, q o ) K Min (w, r, q o ) λ Min (w, r, q o ) Teora de la Firma 77 / 92

78 Propiedades de demandas minimas 1 L Min (w, r, q 0 ), K Min (w, r, q 0 ) es homogénea de grado 0 en precios (w,r) 2 Cumplimiento de no exceso de producción: F (L Min (w, r, U o ), K Min (w, r, U o )) = q o 3 Demandas mínimas continuas 4 Efectos estáticos comparados definidos. Teora de la Firma 78 / 92

79 Función de Costo Mínimo Una vez halladas nuestras demandas mínimas, podemos para un determinado nivel de producción, cuál es el nivel de costo más bajo que podemos obtener: C min (w, r, U o ) = wl Min (w, r, q 0 ) + rk Min (w, r, q 0 ) Teora de la Firma 79 / 92

80 Propiedades de la Función de Costo Mínimo 1 Homogénea de grado 1 en w, r 2 Continua en precios 3 Estrictamente creciente en precios 4 Estrictamente creciente en U o 5 Estrictamente cóncava Teora de la Firma 80 / 92

81 Homogénea de grado 1 en Precios Misma demostración que en la Teoría del Consumidor Teora de la Firma 81 / 92

82 Lema de Sheppard El Lema de Sheppard análogo al del consumidor. c(w, r, q o ) = L Min (w, r, q 0 ) w c(w, r, q o ) = K Min (w, r, q 0 ) r c(w, r, q o ) =Costo Marginal= λ H (w, r, q 0 ) q 0 Teora de la Firma 82 / 92

83 Función de Costo Minimo La función de costo para un dado w y r se puede escribir de la siguiente manera: c(w, r, q o ) = c(w, r)f (q) En otras palabras, una constante multiplicada por una función que depende de la cantidad q: Ejemplos: c q, cq, cq 2 Teora de la Firma 83 / 92

84 Ejemplo Cobb-Douglas Sea una función de producción Cobb-Douglas: F (L, K) = L α K β Resolviendo el problema de minimización de costos (Ejercicio de la guía práctica) obtenemos: c(w, r, q o ) = [( α β α+β ) + ( α α α+beta )][(w α α+β )(r β α+β )]q 1 α+β β β Que se puede escribir como: c(q) = (c)q 1 α+β Donde c = [( α β β α+beta ) + ( α α α+beta )][(w α α+β )(r β α+β )] β Teora de la Firma 84 / 92

85 Cme(q) = cq 1 α+β 1 Observamos que: Si α + β > 1 Función creciente a escala 1 cq α+β>1 Cme(q) es decreciente a escala Si α + β = 1 Función constante a escala cq 1 α+β=1 = cq = Cme(q) es constante a escala Si α + β < 1 Función decreciente a escala 1 cq α+β<1 Cme(q) es creciente a escala Observamos la misma relación que con los costos medios en función de L y K. Cualesquiera que sean los rendimientos a escala de la firma, se puede minimizar el costo. Teora de la Firma 85 / 92

86 Dualidad Del problema de la maximización de beneficio obtenemos las demandas óptimas:l (p, w, r) y K (p, w, r) podemos obtener: Cantidad a producir: F (L (p, w, r), K (p, w, r)) Ingreso total indirecto: pf (L (p, w, r), K (p, w, r)) Costo total indirecto: wl (p, w, r) + rk (p, w, r) Beneficio indirecto: π(p, w, r) = pf (L (p, w, r), K (p, w, r)) wl (p, w, r) rk (p, w, r) Del problema de la minimización de costo obtenemos las demandas mínimas:l Min (q 0, w, r) y K Min (q 0, w, r)yλ Min (q 0, w, r) podemos obtener: Costo total indirecto: C m in(w, r, q 0 ) = wl Min (q 0, w, r) + rk Min (q 0, w, r) Beneficio Indirecto: π(q 0, w, r) = pf (L Min (q 0, w, r), K Min (q 0, w, r)) wl Min (q 0, w, r) rk Min (q 0, w, r) = pq c(w, r, q 0 ) Teora de la Firma 86 / 92

87 Intuición de la dualidad Solo existirá la dualidad si existe la minimización de costo (que siempre existe) y la maximización de beneficio (que existe cuando la función presenta rendimientos decrecientes a escala) La intuicion de que esto es cierto se ve en las condiciones de primer orden. Teora de la Firma 87 / 92

88 Intuición de la dualidad De la minimización de costo: En el óptimo: TST = TOC F L F K = w r De la maximización de beneficio: En el óptimo: (L) pf L = w (K) pf K = r Dividiendo miembro a miembro estamos en presencia de la misma condición. Por lo tanto se mantiene la dualidad F L F K = w r Teora de la Firma 88 / 92

89 Dualidad Si q 0 = F (L (p, w, r), K (p, w, r)) Entonces: L Min (F (L (p, w, r), K (p, w, r)) 0, w, r) = L (p, w, r) K Min (F (L (p, w, r), K (p, w, r)) 0, w, r) = L (p, w, r) C Min (F (L (p, w, r), K (p, w, r)) 0, w, r) = CT (p, w, r) IT Min (F (L (p, w, r), K (p, w, r)) 0, w, r) = IT (p, w, r) π Min (F (L (p, w, r), K (p, w, r)) 0, w, r) = π (p, w, r) Teora de la Firma 89 / 92

90 Dualidad La dualidad facilita la resolución de ejercicios prácticos. Si queremos saber qué cantidad debe producir una empresa entonces se debe seguir los siguientes pasos 1 Minimizar el costo y obtener la función de costo mínimo c(q) 2 Maximizar el beneficio π(q) = pq c(q) utilizando la función de costo mínimo del punto 1. Con este método se obtiene la misma expresión que maximizando el beneficio en L,K y encontrando la cantidad a producir, pero utilizando menos álgebra. Teora de la Firma 90 / 92

91 Ejemplo 1: Función de producción F (L, K) = ln(lk) Maximización de beneficio L (p, w.r) = p w K (p, w.r) = p r π (p, w.r) = p[ln( p2 )] 2p wr F (p, w, r) = ln( p2 wr ) CT (p, w, r) = 2p Teora de la Firma 91 / 92

92 Función de producción F (L, K) = ln(lk) Minimización de costo L M in(w, r.q 0 ) = e r qo w K M in(w, r.q 0 ) = e w qo r c(w, r, q 0 ) = 2 e q0 wr Teora de la Firma 92 / 92