TEORÍA DE LA OFERTA CONTENIDO

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1 TEORÍA DE LA OFERTA Notas docentes elaboradas por: Ianina Rossi Máximo Rossi CONTENIDO (1 La función de producción. Producto total, medio marginal. Relación entre producto medio marginal. (2 Isocuantas. Las isocuantas la sustituibilidad entre factores: la tasa marginal de sustitución tecnológica. Estática comparativa: introducción de un cambio tecnológico. (3 Restricción de costos. Estática comparativa: cambios en la restricción. (4 Las funciones de costos. Costo total, medio marginal. Relación entre costo medio marginal. (5 Problema primal: maximización del producto sujeto a los costos. El punto de equilibrio del productor la tasa marginal de sustitución tecnológica. (6 El teorema de la Envolvente. (7 Problema dual: minimización de costos dado un nivel de producto. Propiedades. Estática comparativa. (8 Maximización de beneficios. Propiedades. Estática comparativa. La maximización de beneficios vista gráficamente los beneficios normales. (9 La curva de oferta. Curva de oferta con externalidades. (1 Producción conjunta. PRODUCCIÓN La empresa combina insumos factores de producción, con una tecnología dada, para obtener un producto. Se puede resumir esa actividad en una función: fÿ, M2,..., Mn fÿ, M2 Función de producción o producto total Función de producto total considerando sólo dos factores Esta función de producción representa la actividad de una empresa, pero también podría representar la actividad de una comunidad, de un país, etc.. PRODUCTO MEDIO Y PRODUCTO MARGINAL PMe 1 PMe 2 fÿm 1, M2 fÿm 1, M2 M2 Producto medio del factor 1 Producto medio del factor 2 Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 1

2 PMa 1 PMa 2 fÿm 1, M2 fÿm 1, M2 M2 Producto marginal del factor 1 Producto marginal del factor 2 Cuál es la relación entre producto medio marginal? PMa 1 max PMe 1 fÿ, M2 fÿ, M2 "fÿ, M2 M PMa 1 " fÿ, M2 M 1 2 M 1 2 PMa 1 " fÿ, M2 PMa 1 fÿ, M2 PMa 1 PMa 1 max PMe 1 El producto marginal corta al producto medio en su máximo fÿm 1, M2 Gráficamente: Se considera M2 fijo fÿ, M2 GRÁFICA 1 Generalmente se observa que, a medida que aumenta la empresa va generando producto a tasas bajas, luego a tasas maores que el factor que emplea luego vuelve a bajar. Por lo tanto, para ciertas cantidades de se produce con rendimientos crecientes a escala en determinado momento comienzan a operar rendimientos decrecientes a escala. GRÁFICA 2 Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 2

3 Como a se vio, la curva de producto marginal cortará a la curva de producto medio en su máximo. El máximo del producto medio se da en el punto tangente a la curva. El máximo del producto marginal se da cuando cambia el signo de la derivada segunda, o sea cuando cambia la concavidad (punto de inflexión. ISOCUANTAS Una isocuanta representa el lugar geométrico de los puntos del plano que con diferentes combinaciones de M2 se obtiene un mismo nivel de producto. Por lo tanto, cada isocuanta determina un nivel de producto, dada la función de producción: fÿ, M2 GRÁFICA 3 Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 3

4 Para los distintos valores de, se tiene una familia de isocuantas, cada una de las cuales representa un nivel de producción diferente, el cual es más alto cuánto más lejos del origen se encuentre: GRÁFICA 4 Ha distintos tipos de isocuantas: GRÁFICA 5 Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 4

5 SUSTITUIBILIDAD DE FACTORES Las isocuantas reflejan el grado de sustituibilidad de los factores de producción. GRÁFICA 6 Si se quiere seguir produciendo utilizando menos de, entonces necesariamente ha que utilizar más dem2. En este caso concreto se tendría que aumentar M2 de M 2 1 a M 2 2 para poder disminuir desde M 1 1 a M 1 2. De esta forma, la sustituibilidad de factores está dada por la tangente a la isocuanta en el punto. Analíticamente: Cómo varía la producción total cuando varían los factores? Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 5

6 fÿ, M2 fÿ, M2 f 1 f 2 fÿ, M2 M2 M2 porque se está sobre la misma isocuanta f 1 f 2 M2 f 1 producción marginal del factor 1 f 2 producción marginal del factor 2 f 1 "f 2 M2 f 1 f 2 " M 2 PMa 1 PMa 2 TASA MARGINAL DE SUSTITUCIÓN TÉCNICA La pendiente de la isocuanta es igual al cociente entre las productividades marginales de M2 (igual a la tasa marginal de sustitución tecnológica. Por lo tanto, la pendiente de las isocuantas va a estar dada por estas productividades marginales: PMa 1 PMa 2.Dándole distintos valores a las mismas, se obtienen los distintos niveles de sustituibilidad de factores las diferentes formas de las isocuantas. ESTÁTICA COMPARATIVA: Introducción de un cambio tecnológico Tipos de cambio tecnológico: 1 Neutral: se debe al empleo total de factores de producción. 2 Sesgado al empleo de capital. 3 Sesgado al empleo de trabajo. El cambio técnico se puede ver de dos formas: 1 Se produce más que antes usando la misma combinación de factores: GRÁFICA 7 AU se obtiene, luego del cambio tecnológico, con la misma combinación de factores. Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 6

7 O sea que con la misma dotación M 1 1 M 2 1 se obtiene Se produce lo mismo que antes utilizando menos cantidad de factores GRÁFICA 8 En este caso, 1 se traslada hacia abajo, obteniéndose el mismo nivel de producción 1 utilizando menos factores. RESTRICCIÓN DE COSTOS C M2 GRÁFICA 9 La restricción de costos tiene como pendiente: m " En el punto p C 2 todo el gasto se realiza en la contratación dem2. Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 7

8 En el punto C todo el gasto se realiza en la contratación de ESTÁTICA COMPARATIVA: Cambios en la restricción Aumento del precio de GRÁFICA 1 Aumento del precio de M2 GRÁFICA 11 FUNCIONES DE COSTOS Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 8

9 Se supone una empresa que vende un producto a un precio p dado (competencia perfecta. iÿ p Función de ingreso fÿ, M2 Tecnología dada en el corto plazo CTŸ CŸ CF Función de costos =Ÿ iÿ " CTŸ p " CŸ " CF Función de beneficios imeÿ iÿ p imaÿ iÿ p p Ingreso medio Ingreso marginal p GRÁFICA 12 Costo medio: CTMe CTŸ CVMe CŸ CF CFME CTMe " CVMe CFMe decreciente Costo marginal: CMa CTŸ CMa CŸ CF Relación entre costo marginal costo medio: CTMe CTŸ Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 9

10 1 CTŸ " CTŸ U U minctme ŸCTMe ŸCTMe 2 CTŸ " CTŸ CTŸ min CTŸ CMa mincme La curva de costo marginal corta a las curvas de costo medio (variable total en sus mínimos. GRÁFICA 13 El mínimo del costo marginal se da cuando cambia de signo la derivada segunda del costo total, o sea, cuando cambia la concavidad (punto de inflexión A. El mínimo del costo medio se alcanza en el punto B, tangente a la curva de costo total. El mínimo del CMa se alcanza más cerca del origen que el mínimo del CMe. Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 1

11 La curva de CMa corta en sus mínimos al CMe CVMe (como a se había visto analíticamente. PROBLEMA PRIMAL: MAXIMIZACIÓN DEL PRODUCTO SUJETO A LOS COSTOS max fÿ, M2 s.a. C M2 maxc fÿ, M2 5ŸC " " M2 c c M2 c 5 f 1 " 5 f f 1 (1 f 2 " 5 f f 2 (2 C " " M2 (1 (2 f 1 f 2 CONDICIÓN NECESARIA El máximo se da cuando el cociente entre las productividades marginales es igual a la relación de precios. OBSERVACIÓN 5 es la productividad marginal del factor por peso gastado en la contratación de ese factor (1 5 f 1 (2 5 f 2 f 1 Qué pasa si p f 2 1? Los 5 no serían iguales, a que la productividad del factor 1 por peso gastado en el misma sería maor que la del 2. Entonces, se invertirá más en el factor 1 que es más productivo menos en el factor 2. Al hacer esto, va disminuendo la productividad por peso gastado del factor que se está incentivando va aumentando la del factor que se está usando menos. Esto continúa ocurriendo hasta que las productividades por peso gastado se igualan así se está en presencia de 5. EL PUNTO DE EQUILIBRIO DEL PRODUCTOR Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 11

12 Y LA TASA MARGINAL DE SUSTITUCIÓN TECNOLÓGICA TMST f 1 f 2 " M 2 TASA MARGINAL DE SUSTITUCIÓN TECNOLÓGICA Para que haa un máximo en el problema primal es condición necesaria, no suficiente, que las productividades marginales se igualen con la relación de precios; pero también deben igualarse a la pendiente de la isocuanta. Gráficamente: GRÁFICA 14 E es el punto de equilibrio de la empresa, donde maximiza su producción sujeto a sus costos. p En el punto E, la pendiente de la restricción 1 es igual a la pendiente de la isocuanta más alejada del origen que se puede alcanzar " M 2. INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE 5 max fÿ, M2 s.a. C M2 maxc fÿ, M2 5ŸC " " M2 f 1 f2 " M 2 En equilibrio de maximización de la producción sujeta a una restricción de costos (C dado, dados los precios de los factores de producción, la condición de equilibrio es que el cociente de las productividades marginales de los factores f 1 sea igual a la relación de f 2 Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 12

13 p precios de los factores 1,, además, sea igual a la pendiente de la isocuanta más alejada del origen posible " M 2. maxc fÿ, M2 5ŸC " " M2 c c M2 c 5 f 1 " 5 f 1 5 (1 f 2 " 5 f 2 5 (2 C " " M2 f 1 f 2 M2 (3 C M2 (1 f1 C 5 1 C 5 (2 f2 C 5 5 C 5 1 CMa M2 C 1 5 f 1 f 2 M2 C 1 5 (3 COSTOMARGINAL (variación del costo total por unidad de cambio en el producto TEOREMA DE LA ENVOLVENTE max fÿ, M2,...,Mn, s.a. gÿ, M2,..., Mn, maxc fÿ, M2,...,Mn, 5gŸ, M2,...,Mn, c Mi c 5 Mi M i 'Ÿ 5 5 'Ÿ fÿm 1, M2,...,Mn, Mi gÿ, M2,..., Mn, 5 gÿm 1, M2,...,Mn, Mi Si se sustitue M i ' 5 ' en la función objetivo, se obtiene la solución óptima. CŸ f M 1 'Ÿ, M 2 'Ÿ,...,Mn 'Ÿ, Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 13

14 C! fÿm 1, M2,...,Mn, Mi M i ' fÿm 1, M2,...,Mn, C Cambio en la función óptima cuando cambia el parámetro Si se sustitue M i ' 5 ' en la restricción, da cero. g M 1 'Ÿ, M 2 'Ÿ,...,Mn 'Ÿ,! gÿm 1, M2,...,Mn, Mi M i ' gÿm 1, M2,...,Mn,! 5 gÿm 1, M2,...,Mn, Mi M i ' 5 gÿm 1, M2,...,Mn, Sumo: C g No cambia el resultado C C! f Mi! f Mi M i ' c Mi f 5 g Mi! 5 g Mi M i ' f M i ' 5 g 5 g C f 5 g Derivada del lagrangiano con respecto a C c Por lo tanto, se puede hallar la variación del valor óptimo cuando cambia el parámetro directamente derivando el lagrangiano respecto a dicho parámetro. PROBLEMA DUAL: MINIMIZACIÓN DE COSTOS DADO UN NIVEL DE PRODUCTO minc M2 s.a. fÿ, M2 minc M2 6 " fÿ, M2 c " 6f 1 6 f 1 (1 Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 14

15 c M2 c 6 " 6f 2 6 f 2 (2 " fÿ, M2 (1 (2 f 1 f 2 CONDICIÓN NECESARIA La condición de maximización es la misma que en el problema primal: la pendiente de la restricción de costos tiene que ser igual a la pendiente de la isocuanta. GRÁFICA 15 (1 f 1 6 (2 f 2 6 (3 C M2 INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE 6 f 1 f 2 M2 (1 (2 p1 p2 6 M 1 6 C CMa 6 M M2 1 6 (3 C De las condiciones iniciales obtengo: M i C M i C Ÿ,, 5 5Ÿ,, Si se sustitue M i C en la función objetivo, se obtiene el costo mínimo, dados los precios, para obtener un determinado nivel de producto. Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 15

16 CŸ,, M 1 C Ÿ,, M 2 C Ÿ,, PROPIEDADES (1 M i C M i C Ÿ,, son homogéneas de grado cero en precios M i C Ÿt, t, M i C Ÿ,, Demostración: minc t t M2 s.a. fÿ, M2 c t t M2 6 " fÿ, M2 c c M2 c 5 t " 5 fÿm 1, M2 t " 5 fÿm 1, M2 M2 " fÿ, M2 (1(2 t t 5f 1 5f 2 f 1 f 2 t 6f 1 (1 t 6f 2 (1 (2 CŸ,, es homogénea de grado uno. CŸt, t,t tcÿ,, (3 CŸ,, es cóncava GRÁFICA 16 Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 16

17 ', ', ' ' C M 1 ' ' M 2 ' Cómo varía el costo cuando cambia uno de los precios? C ' M 1 ' ' M 2 ' RECTA DE COSTOS PASIVA ' (A u tal que En este caso, la empresa se ubicaría en un punto como A, pero ese no es un punto óptimo. ' (B w tal que En este caso, la empresa se ubicaría en un punto como B, pero ese no es un punto óptimo. (4 Lema de Shephard: Relaciona la función de costos de la empresa con las funciones de demanda condicional de los factores: C p i M i C Ÿ,, ESTÁTICA COMPARATIVA MATRIZ DE DERIVADAS SEGUNDAS negativo. Shephard M C 1 M C 1 M C 2 M C 2 2 C 2 2 C M 1 C 2 C 2 C 2 M 2 C Los elementos de la diagonal tienen signo Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 17

18 Euler p1 M 1 C M 1 C p2 M 1 C Euler M 2 C p1 p2 M 2 C M 2 C Si se tienen más de dos factores, se tendrán bien definidos todos los elementos de la diagonal principal, pero no se podrá saber el signo de los demás elementos. EJEMPLO: p1 M 1 C M 1 C p2 M 1 C p3 p 3 Alguna casilla de las que no pertenecen a la diagonal principal va a ser positiva, pero no se sabe cuál. MAXIMIZACIÓN DE BENEFICIOS (i fÿ, M2 Empresa que produce un único bien (ii Competencia perfecta: precios dados que no varían por las decisiones de demanda de los consumidores ni la oferta de las empresas. GRÁFICA 17 max beneficios ingresos costos variables = p " " M2 s.a. fÿ, M2 Se sustitue la restricción en la función objetivo: Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 18

19 max = pfÿ, M2 " " M2 = = M2 p fÿm 1, M2 p fÿm 1, M2 M2 pf 1 pf 2 f 1 f 2 f 1 f 2 " pf 1 f 1 valor del producto marginal del factor 1 " pf 2 f 2 valor del producto marginal del factor 2 pendiente en el punto de la isocuanta = = M2 p fÿm 1, M2 p fÿm 1, M2 M2 " " Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas M 1 'Ÿp,, Demanda de la empresa por insumos en el óptimo M2 M 2 'Ÿp,, Si se sustitue M 1 ' M 2 ' en se obtiene la producción de la empresa en el óptimo, o sea, la oferta de la empresa. fÿ, M2 ' f M 1 'Ÿp,,, M 2 'Ÿp,, 'Ÿp,, Valor del producto óptimo Si se sustituen los óptimos de,m2 en la función objetivo, se obtiene: =Ÿp,, p 'Ÿp,, " M 1 'Ÿp,, " M 2 'Ÿp,, Ÿp,, Ÿ ', M 1 ', M 2 ' Los costos fijos no afectan el plan de decisión óptimo. Si cambian los costos fijos, la solución óptima no cambia, lo que sí cambia son los beneficios que obtiene la empresa. En última instancia, son los costos fijos los que determinan si la empresa sigue operando o sale del mercado, a que si los costos fijos son de una magnitud tal que hacen que los beneficios sean negativos, la empresa saldrá del mercado. Cabe recordar que en economía dentro de los costos se incluen los costos de oportunidad, que constituen lo que se deja de percibir por invertir en una determinada actividad no en otra. Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 19

20 PROPIEDADES (1 ', M 1 ', M 2 ' son homogéneas de grado cero en precios M 1 'Ÿtp,t,t M 1 'Ÿp,, Al multiplicarse todos los factores por el mismo parámetro t, el resultado no cambia. Demostración: max = tp " t " t M2 fÿ, M2 = tpfÿ, M2 " t " t M2 = = M2 tpf 1 " t tpf 2 " t tpf 1 t tpf 2 t f 1 f 2 Se llega al mismo resultado (2 = es homogénea de grado uno en precios =Ÿtp,t,t t=ÿp,, Demostración: =Ÿtp,t,t tp ' " t M 1 ' " t M 2 ' tÿp ' " M 1 ' " M 2 ' Por ser ', M 1 ', M 2 ' constantes homogéneas de grado cero en precios =Ÿtp,t,t t=ÿp,, (3 = es convexa en precios. Demostración: Ÿp ', ', ' Ÿ ', M 1 ', M 2 ' = p ' " ' M 1 ' " ' M 2 ' GRÁFICA 18 Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 2

21 = p ' " ' M 1 ' " ' M 2 ' Recta de beneficios pasiva: la empresa se ajusta a los precios Si aumenta p permaneciendo ' ' incambiados, la empresa se mantiene en la recta de beneficios pasiva no estaría maximizando beneficios con el plan de producción original. Si disminue p permaneciendo ' ' constantes, la empresa se mantiene en la recta de beneficios pasiva no estaría maximizando beneficios con el plan de producción original. Se puede realizar el mismo razonamiento con ' ',laúnica diferencia es que su recta de beneficios pasiva tiene pendiente negativa. (4 Lema de Hotelling: Relaciona la función de beneficios de la empresa con la función de oferta de producto la función de demanda de factores. (i =Ÿ... p 'Ÿp,, Por teorema de la envolvente (ii =Ÿ... p i "M i 'Ÿp,, c p ' " " M2 ESTÁTICA COMPARATIVA = es convexa en precios el hessiano es positivo. Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 21

22 UU = UU = 1 UU = 2 UU = 1 UU = 11 UU = 12 Matriz definida positiva con todos los elementos de la diagonal principal positivos. UU = 2 UU = 21 UU = 22 Por Lema de Hotelling: p " M 1 p " M 2 p " M 1 " M 1 " M 2 " M 2 esta matriz también es positiva con los elementos de la diagonal positivos. La función de oferta tiene pendiente positiva: u p u p M i p i La demanda de factores tiene pendiente negativa: u p i w Mi Se supone ahora que la empresa utiliza un único factor: fÿ p " M 1 p " Si una función es homogénea de grado cero, se puede aplicar el Teorema de Euler: (1 ' Ÿp, homogénea de grado cero p p p 1 Euler (a Los precios son siempre positivos: p, (b p Por parte anterior p p p 1 «Si u w (2 M 1 ' Ÿp, homogénea de grado cero p M 1 p M 1 Euler Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 22

23 (a Los precios son siempre positivos: p, (b M 1 Por parte anterior p M p M 1 «M p Si u p u M Si aumenta el precio del producto, aumentará la demanda de factores para poder aumentar la producción. Se supone ahora que la empresa utiliza dos factores: fÿ, M2 ' Ÿp,, p p homogénea de grado cero p1 p2 Euler Algunos de los elementos de la matriz en cada línea, que no pertenecen a la diagonal principal, van a ser negativos, pero no se sabe cuáles. Lo que ocurre es que no se sabe cómo se da la sustituibilidad de factores cuando varían sus precios. LA MAXIMIZACIÓN DE BENEFICIOS VISTA GRÁFICAMENTE =Ÿ iÿ " CTŸ p " CŸ " CF = p " CŸ 2 = 2 " 2 CŸ 2 CŸ 2 CŸ 2 p CMaŸ p Se maximiza beneficios en el tramo creciente de la curva de CMa GRÁFICA 19 Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 23

24 ' es la producción que maximiza beneficios GRÁFICA 2 Beneficios normales «CTMeŸ ' p CURVA DE OFERTA Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 24

25 =Ÿ p " CŸ " CF C UŸ p C UUŸ GRÁFICA 21 Para el precio p, la empresa recupera todos sus costos (beneficios normales Para cualquier precio que enfrente la empresa por debajo de p U, la empresa pierde todos los costos fijos parte de sus costos variables la oferta de la empresa será cero porque cerrando pierde sólo los costos fijos. Entre p U p, por ejemplo: p UU, la empresa va a tener una pérdida, pero en el corto plazo le conviene seguir produciendo porque con UU cubre todos los costos variables parte de los fijos. Aunque si esta fuera una situación definitiva (no puede incorporar progreso técnico ni se pueden aumentar los precios, entonces sí le convendría cerrar lo más rápido posible. La oferta de la empresa será cero hasta el mínimo del costo variable medio, para precios maores a p U estará representada por la curva de costo marginal. CURVA DE OFERTA CON EXTERNALIDADES La curva de oferta global del mercado es la suma horizontal de cada curva de oferta individual a cada nivel de precios, siempre que no haa efectos externos. GRÁFICA 22 Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 25

26 EJEMPLO: Producción de software GRÁFICA 23 Aumenta el precio del software las empresas ofrecen más software ha una presión en el mercado de trabajo por demanda de programadores aumentan los salarios de los programadores la curva de costo marginal se traslada hacia arriba. El aumento de los salarios (su precio de los programadores es una externalidad pecuniaria que se da como consecuencia de que las empresas actúan todas al mismo tiempo. La curva de oferta agregada es más inelástica cuando ha externalidades. Lo que ocurre en este caso es que la curva de oferta se obtiene de la unión de todos los puntos de las sumatorias de curvas de oferta individuales para cada cambio en los precios. PRODUCCIÓN CONJUNTA Consideramos producción conjunta a los procesos de producción de los cuales se obtiene más de un producto. Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 26

27 Supongamos un proceso en el cual se usa un sólo insumo x para la producción de dos productos: 1, 2. La función de producción es: HŸ 1, 2,x Supongamos que puedo despejar x hÿ 1, 2 : el costo de producción entérminos de x es una función de las cantidades de los dos productos.. Curva de transformación de productos: es el lugar geométrico de las combinaciones de productos que pueden obtenerse con un insumo dado de x. GRÁFICA 24 La pendiente a una curva de transformación de producto: es la relación a la que debe reducirse 2 para obtener más 1 sin variar el insumo x. RTP " d 2 d 1 Diferenciando totalmente la función de producción: dx h 1.d 1 h 2.d 2 Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 27

28 Como dx RTP " d 2 d 1 h 1 h 2 La RTP en un punto es igual a la relación de los costos marginales de 1 de 2 en términos de x. La RTP puede expresarse en términos de las productividades marginales por la regla de la función inversa. 1 x 1 h 1 ; 2 x 1 h 2 RTP h 1 h 2 2 x 1 x La RTP es igual a la relación entre la PMa de x en la producción de 2 la PMa de x en la producción de 1. MAXIMIZACIÓN DE BENEFICIOS Supongamos que la empresa es tomadora de precios:, 1, 2 r x i 1 2 max = 1 2 " r.hÿ 1, 2 = p h 1 "r. 1 1 = p 1 "r. h 1 1 r h 1 h o r. 2 1 x. 2 x El valor del producto marginal de x en la producción de cada producto debe ser igual al precio de x. Oferta - Notas Docentes elaboradas por Ianina Rossi Máximo Rossi 28