Teorema de Pitágoras en n-dimensiones

Transcripción

1 Teorema de Pitágoras en n-dimensiones Fredy Alonso Medina Vanegas UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS MATEMÁTICAS BOGOTÁ 2016

2 Teorema de Pitágoras en n-dimensiones Fredy Alonso Medina Vanegas Dirigido por: Milton del Castillo Lesmes Acosta Magister en Matemática UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS MATEMÁTICAS BOGOTÁ 2016

3 Índice general 0.1. Introducción Preliminares Puntos en posición general K-simplex k-simplex recto Ejemplos Particulares Teorema de Pitágoras en dimensiones 2-3 y Determinante de Caley-Menger 22 3

4 0.1. Introducción El teorema de Pitágoras afirma que: " el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los lados", en general se han realizados estudios por medio de métodos matemáticos para su estudio y demostración, el propósito de la siguiente monogafía es reconstruir los argumentos matemáticos necesarios para comprender el teorema de Pitágoras n-dimensional propuesto por el artículo : Shwu Yeng, T. Lin You-Feng Lin (1990) The n-dimensional pythagorean theorem, Linear and Multilinear,Department of Mathematics, University of South Florida, Tampa, 02 Abril 2008; haciendo uso de los simplejos y así de esta manera facilitar al lector el tema abordado.

5 Capítulo 1 Preliminares El clásico teorema de Pitágoras establece que : En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. en esta nota se generaliza el teorema de pitágoras para cualquier dimensión finita n 2. Sea R la recta real y sea R n = {(X 1,X 2,...,X n \X 1,X 2,...,X n R)} el espacio euclidiano n-dimensional, tambien consideraremos R n como un espacio vectorial real y las letras mayúsculas en negrita, con o sin subindices por puntos o vectores enr n Puntos en posición general Definición. Un conjunto de puntos {X 1,X 2,...,X n } en R n es llamado en posición general si el conjunto de vectores {X 1 X 0,X 2 X 0,...,X k X 0 } es linealmente independiente. Por lo tanto, los puntos X 0,X 1,...,X k están en posición general si y sólo si, k i=0 α ix i = 0 y k i=0 α i = 0 implica α i = 0 para todo i = 0,1,2,..,k. [1] De esto tenemos que si un conjunto A R n está en posición general, entonces: 1. el conjunto A contiene a lo más n+1 puntos. 2. cada subconjunto deaestá tambien en posición general. Los tres puntos están en posición general si y sólo si son los vértices de un triángulo. Cuatro puntos que están en posición normal son los vértices de un tetraedro, que tambien será denominado como un 3 simplex, un 2 simplex es un triángulo y un 1 simplex es un segmento de linea. 5

6 K-simplex Definición. Para un conjunto de puntos{a 0,A 1,...,A k } R n en posición general, el conjunto { (A 0,A 1,...,A k ) X \X = k i=0 α ia i, } k i=1 α i = 1 y α i 0 i = 0,1,...,k es llamado elk simplex expandido por el conjunto{a 0,A 1,...,A k }. Los puntosa 0,A 1,...,A k son los vértices y k es la dimensión del simplex. Para cualquier dos A i y A j, el 1 simplex (A i,a j ) es un borde del simplex (A 0,A 1,...,A k ). [1] Por simplicidad, nosotros debemos escribir A i,a j, para el borde (A i,a j ). Observe que el borde A i,a j es un intervalo de recta cerrado uniendo los vértices A i y A j. Por tanto, a travez de cada vertice de un k simplex tenemos exactamente k bordes, y tenemos en total k(k+1) 2 cada k simplex k-simplex recto Definición. (OA 0,A 1,...,A n ) es un simplejo recto n-dimensional si OA i y OA j son ortogonales i j.tiene una hipotenusa ( A 0,A 1,...,Āi,...,A n ) donde la barra significa que ese vértice no esta en el lado.[1] Por ejemplo, un triángulo derecho es un2 simplex derecho. En la figura 1, el3 simplex, (A,B,C) R 3, donde O = (0,0,0),A = (A,0,0),B = (0,B,0) y C = (0,0,C) es un 3 simplex con vértice derechoo. En este ejemplo, llamaremos el2 simplex (A,B,C) (opuesto por el vrtice la hipotenusa y los otros 2 simplex los lados del 3 simplex (,A,B,C). (,A,B), (,B,C), y (,A,C) En el caso de un 3 simplejo derecho, el contenido de la hipotenusa y los lados son medidos por sus áreas. Teorema 1. En un simplejo 3 dimensional, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de sus lados. Las palabras y lados, significan respectivamente área de la hipotenusa y área de los lados.

7 Capítulo 2 Ejemplos Particulares Teorema de Pitágoras en dimensiones 2-3 y 4 Sea el 2 simplejo definido por los puntos (0,x 1 ) y(0,x 2 ) entonces, (0,x 2 ) j (x 1,0) i Sabemos que el teorema de Pitágoras afirma que el cuadrado de hipotenusa de un triágulo rectágulo es igual a la suma del cuadrado de sus otros dos lados. En este caso sabemos que los lados del triángulo están formados por los siguientes vectores: (x 1,0)(0,x 2 ) con hipotenusa (0,x 2 ) (x 1,0) = ( x 1 x 2 ) 7

8 en donde estos se encuentran en posición general y con esto el 2 simplejo. Diremos en otras palabras que el cuadrado del contenido de los 1 simplejos es igual al contenido de la hipotenusa al cuadrado. X 1 = det i j x 1 0 = (0, x 1 ) = jx 1 = (0, x 1 ) X 2 = det i j 0 x 2 = (x 2,0) = ix 2 = (0, x 1 ) H = det i j 0 x 2 = ix 1 +jx 2 = x 2,x 2 x 2 = X 1 X 1 = (0, x 1 ) (0, x 1 ) = ( ) 0,x 2 1 = jx 2 1 H 2 = H H = (x 1,x 2 ) (x ( 1,x 2 ) = x 2 1,x2) 2 = ix 2 1 +jx 2 2 Ejemplo 1. Para el caso particular en dos dimensiones, sean los vectores(1,0),(0,1) los cuales se encuentran en posición general.

9 (0,1) X 1 j (1,0) i X 2 X 1 = det i j 1 0 = (0,1) = 1 X 2 = det i j 1 0 = (0,1) = i X 3 = (0,1) (0,1) = ( 1,0) X 2 1 = (0,1) (0,1) = (0,1) = j 2 X 2 2 = (1,0) (1,0) = (1,0) = i 2

10 X 2 3 = ( 1,1) ( 1,1) = (1, 1) = i 2 +j 2 Para hablar del teorema de Pitágoras en el 3 simplejo definido por los vectores (x 1,0,0) = X 1 (0,x 2,0) = X 2 (0,0,x 3 ) = X 3 z (0,0,x 3 ) i k (0,x 2,0) j y x (x 1,0,0) cada cara del 3 simplejo estará definido por el 2 simplejo de la forma

11 (0,0,0) X 1 X 2 C 1 (x 1,0,0) X 1 X 2 (0,x 2,0) (0,0,0) X 1 X 3 C 2 (x 1,0,0) X 1 X 3 (0,0,x 3 ) (0,0,0) X 2 X 3 C 3 (0,x 2,0) X 3 X 2 (0,0,x 3 ) y llamaremos "hipotenusa" a la cara oblicua.

12 z (0,0,x 3 ) H 1 H (0,x 2,0) y x (x 1,0,0) H 2 H 1 = (x 1,0,0) (0,0,x 3 ) = (x 1,0, x 3 ) H 2 = (x 1,0,0) (0,x 2,0) = (x 1, x 1,0) H = det i j k x 1 0 x 3 x 1 x 2 0 = i 0 x 3 x 2 0 j x 1 x 3 x 1 0 = x 3 x 2 x 1 x 3 j x 1 x 2 k = x 2 x 3 i+x 1 x 3 j +x 1 x 2 k +k x 1 0 x 1 x 2 Ahora sabemos que para obtener el área de la superficie H consideramos la mitad del paralelogramo formado por los vectores H 1 yh 2

13 H 1 H H 2 Por tanto esta área al cuadrado resultará como la mitad al cuadrado de esta e igual al anterior usamos el producto punto ( ) 1 H 2 = 2 H 1 2 (H) H 2 = (x 2 x 3 i) 2 +(x 1 x 3 j) 2 + ( x 1 x 2 k) 2 siendo esta la cara oblicua ó "hipotenusa", miremos ahora para los2 simplejos restantes, C 1 = X 1 X 2 = (x 1,0,0) (0,x 2 ) = (x 1, x 2,0)

14 (x 1,0,0) X 1 C 1 X 2 (0,x 2,0) i j k C 1 = det x x 2 0 = i 0 0 x 2 0 +j x = 0i+0j +x 1 x 2 k +k x x 2 C 2 1 = 1 2 (0,0,x 1x 2 ) 1 2 (0,0,x 1x 2 ) = 1 4 (0,0,x 1x 2 ) 2 = 1 4 (x 1x 2 ) 2 k C 2 = X 1 X 3 = (0,0,x 3 ) (x 1,0,0) = ( x 1,0,x 3,0)

15 (0,0,x 3 ) X 3 C 2 X 1 (x 1,0,0) C 2 = det i j k 0 0 x 3 x = i 0 x j 0 x 3 x 1 0 = 0i+x 1 x 3 j +0k +k 0 0 x 1 0 C2 2 = 1 2 (0,x 1x 3,0) 1 2 (0,x 1x 3,0) = 1 ( ) 0,(x 1 x 2 ) 2,0 4 = 1 4 (x 1x 3 ) 2 j C 3 = X 3 X 2 = (0,0,x 3 ) (0,x 2,0) = (0, x 2,x 3 )

16 (0,0,x 3 ) X 3 C 1 X 1 (0,x 2,0) i j k C 3 = det 0 0 x 3 0 x 2 0 = i 0 x 3 x 2 0 j 0 x = x 2 x 3 i+0j +0k +k x 2 C3 2 = 1 2 (x 2x 3,0,0) 1 2 (x 2x 3,0,0) = 1 ( ) (x 2 x 3 ) 2,0,0 4 = 1 4 (x 2x 3 ) 2 i y con esto que H 2 = C 2 1 +C 2 2 +C 2 3 Ejemplo 2. Para caso particular. Sea el simplejo definido por los puntos (1,0,0); (0,1,0) y (0,0,1).

17 z (0,0,1) (0,1,0) y x (1,0,0) Interpretemos que para el caso del 3 simplejo el teorema de Pitágoras muestra que el contenido al cuadrado de la hipotenusa será igual a la suma del cuadrado del contenido de cada uno de sus otros 2 simplejo así:

18 (0,0,0) C 1 (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) C 1 (0,0,0) (1,0,0)

19 (0,0,1) C 1 (0,1,0) (0,0,0) (0,0,1) H (1,0,0) (0,1,0) H 1 = (1,0,0) (0,0,1) = (1,0, 1) H 2 = (1,0,0) (0,1,0) = (1, 1,0)

20 H = det i j k = i j k = x 2 x 3 i+0j +0k i j k i+j +k C 1 = (1,0,0) (0,1,0) = (1, 1,0) C 1 = det i j k = i j k = 0i 0j +1k C1 2 = 1 2 (0,0,1) 1 2 (0,0,1) = 1 ( ) (x 2 x 3 ) 2,0,0 4 = k = 1 4 C 2 = (0,0,1) (1,0,0) = ( 1,0,1) C 2 = det i j k

21 = i j = 0i+1j +0k +k C 2 2 = 1 2 (0,1,0) 1 2 (0,1,0) = 1 4 (0,1,0) = 1 4 j C 3 = (0,0,1) (0,1,0) = (0, 1,1) C 3 = det i j k = i j = i+0j +0k +k

22 Capítulo 3 Determinante de Caley-Menger La generalización del teorema de Pitágoras corresponde exactamente a los siguientes pasos en el caso del 3 simplex rectangular de vértices (0, 0, 0),(x, 0, 0),(0, y, 0),(0, 0, z). z (0,0,z) H 1 H (0,y,0) y x (x,0,0) H 2 Para el área del triángulo sombreado, procedemos a determinarla en términos de las longitu- 22

23 des de los lados, lo que conduce al determinante de Cayley-Menger. En el plano el área del triángulo con vértices en (0,0),(a,b),(c,d) está dada por: [ 1 a b 2 det c d en el caso del área del triángulo determinado por los vértices (x 1,x 2 ),(y 1,y 2 ),(z 1,z 2 ), está dada por: [ ] 1 2 det x1 z 1 x 2 z 2 y 1 z 1 y 2 z 2 Este determinante es exactamente igual al determinante x 1 1 x det y 1 y 2 1 z 1 z 2 1 Ya que por propiedades del determinante al multiplicar la tercera fila por 1 y sumarla a la primera fila y luego a la segunda fila resulta x 1 1 z 1 x 2 z det y 1 z 1 y 2 z 2 0 z 1 z 2 1 por que verifica la igualdad, por lo tanto: [] El área del triángulo determinado por los vértices (x 1,x 2 ),(y 1,y 2 ),(z 1,z 2 ), está dada 1 2 det ] x 1 x 2 1 y 1 y 2 1 z 1 z 2 1 Se consiguen dos determinantes que conducen a la misma área del triángulo determinado por los vértices considerados, esto con el objetivo de relacionarla con la longitud de los lados; estos dos determinantes son (nótese que son determinantes de matrices 4x4): 1 2 det x 1 x 2 x 1 x 1 +x 2 x 2 1 y 1 y 2 y 1 y 1 +y 2 y 2 1 z 1 z 2 z 1 z 1 +z 2 z det x 1 x 1 +x 2 x 2 2x 1 2x 2 1 y 1 y 1 +y 2 y 2 2y 1 2y 2 1 z 1 z 1 +z 2 z 2 2z 1 2z 2 1

24 Se produce la siguiente multiplicación x 1 x 2 x 1 x 1 +x 2 x 2 1 y 1 y 2 y 1 y 1 +y 2 y 2 1 z 1 z 2 z 1 z 1 +z 2 z 2 det x 1 x 1 +x 2 x 2 2x 1 2x 2 1 y 1 y 1 +y 2 y 2 2y 1 2y 2 1 z 1 z 1 +z 2 z 2 2z 1 2z (x 1 y 1 ) 2 +(x 2 y 2 ) 2 (x 1 z 1 ) 2 +(x 2 z 2 ) 2 1 (y 1 x 1 ) 2 +(y 2 x 2 ) 2 0 (y 1 z 1 ) 2 +(y 2 z 2 ) 2 1 (z 1 x 1 ) 2 +(z 2 x 2 ) 2 (z 1 y 1 ) 2 +(z 2 y 2 ) 2 0 resultado que se escribirá, d(x,y) d(x,z) 1 d(y, X) 0 d(y, Z) 1 d(z,x) d(z,y) 0 Aplicando esta fórmula del área de la denominada hipotenusa del 3 simplex rectangular de vértices (0,0,0),(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z) se tiene, x 2 +y 2 x 2 +z 2 1 y 2 +x 2 0 y 2 +z 2 1 z 2 +x 2 z 2 +y 2 0 Determinante que puede calcularse así, Multiplicando la primera columna por x 2 y sumándola a la segunda columna, la primera columna por y 2 y sumándola a la tercera columna, la primera columna por z 2 y sumándola a la cuarta columna, x 2 y 2 z x 2 x 2 x 2 1 y 2 y 2 y 2 1 z 2 z 2 z 2 Ahora factor común x 2 en la segunda fila, y 2 en la tercera fila y z 2 en la cuarta fila, x y z Primera fila por 1 y sumándola a la segunda, tercera y cuarta, x 2 y 2 z 2 x y z t =

25 Expandiendo por la primera columna, 16A 2 = 4y 2 z 2 4x 2 z 2 4x 2 y 2 A 2 = y2 z x2 z x2 y 2 4 A 2 = A 2 1 +A 2 2 +A 2 3

26 Bibliografía [1] The n-dimensional pythagorean theorem; Shwu Yeng ; T. Lin You-Feng Lin ;Department of Mathematics, University of South Florida, Tampa, FL, 33620,Published online: 02 Apr [2] An Introduction to the Geometry of n Dimensions; D. M. Y. Sommerville,, Dover Publications, Inc., New York, pp ,