ESTUDIO DE LA VIABILIDAD DE UN PERFIL AERODINÁMICO PARA LA EXCITACIÓN DEL RÉGIMEN CAÓTICO EN LÁMINAS BIESTABLES DANIEL ESTEBAN OLAYA CORTES

Transcripción

1 ESTUDIO DE LA VIABILIDAD DE UN PERFIL AERODINÁMICO PARA LA EXCITACIÓN DEL RÉGIMEN CAÓTICO EN LÁMINAS BIESTABLES DANIEL ESTEBAN OLAYA CORTES Proyecto de Grado presentado a la Universidad de los Andes para obtener el título de Ingeniero Mecánico Tesis dirigida por: JONATHAN CAMARGO LEYVA, M. Sc. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA BOGOTÁ, D.C. COLOMBIA JUNIO DE 2015 I

2 Tabla de contenido 1. INTRODUCCIÓN Motivación Objetivos MARCO TEÓRICO Dinámica de la lámina biestable Lámina biestable como dispositivo recolector de energía Lámina biestable en cargas aerodinámicas Modelamiento teórico del sistema lámina biestable piezoeléctrico y de una perturbación en el sistema Selección de un perfil aerodinámico SIMULACIÓN ESTÁTICA Obtención de la primera geometría estable Creación del entorno y el material Geometría inicial y laminado Mallado Condiciones iniciales Deformación del primer estado estable Obtención de la segunda geometría estable Nuevo entorno en ANSYS Geometría inicial y laminado Mallado Condiciones iniciales Deformación del segundo estado estable Resultados y discusión Conclusiones SIMULACIÓN DE FUERZAS AERODINÁMICA Selección de una velocidad de diseño Simulación 2D de la fuerza sobre la lámina Volumen de control y geometría de la lámina Mallado y descripción del sistema II

3 Selección del modelo aerodinámico Condiciones de frontera y de borde Fuerza y punto de aplicación Resultados y discusión Conclusiones SELECCIÓN DE UN PERFIL AERODINÁMICO Y DISEÑO DEL ACOPLE CON LA LÁMINA BIESTABLE Resumen de las simulaciones Selección perfil Parámetros de diseño del acople entre el perfil y la lámina Nuevo coeficiente de sustentación EXPERIMENTACIÓN EN EL TÚNEL DE VIENTO Metodología experimental Montaje experimental Procesamiento del video usando Tracker Importar video y especificar propiedades Realizar la calibración y escoger el origen del sistema de coordenadas Crear una trayectoria automática Mostrar resultados Resultados y discusión Conclusiones CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO Conclusiones Trabajo futuro Bibliografía Anexos III

4 Lista de figuras Figura 1. Geometría de las dos formas estables de la lámina. Tomado de: Arrieta (2010)... 3 Figura 2. Lámina biestable caracterizada en este documento... 4 Figura 3. Respuesta dinámica de las láminas en un barrido de frecuencias. Tomado de: Arrieta (2010)... 5 Figura 4. Velocidad del viento cuando ocurre el snap-through. Tomado de: Parra (2014)... 7 Figura 5. Diagrama del modelo físico de la lámina biestable. Tomado de: Monsalve (2014)... 7 Figura 6. Gráficas del potencial de doble pozo para distintos k 1, k 2 y k 3. Tomado de: Monsalve (2014)... 8 Figura 7. Puntos de equilibrio de un sistema no lineal en el plano Δτ. Tomado de: Strogatz (1994)... 9 Figura 8. Espacio de fases que muestra nodos (A, B, C), orbitas (D) y espirales. Tomado de: Strogatz (1994) Figura 9. Grafica del potencial de doble pozo con una perturbación lineal. Tomado de: Strogatz (1994) Figura 10. Características de un perfil aerodinámico. Tomado de Abbott (1959) Figura 11. Geometría y apilado de la lámina de la Figura 2. Tomado de: Alfonso (2014).. 15 Figura 12. Apilamiento en ANSYS de la lámina de la Figura Figura 13. Aplicación de una fuerza en el primer estado estable de la lámina Figura 14. Geometría del primer estado estable Figura 15. Geometría del segundo estado estable Figura 16. Número de nodos vs. Máxima deformación para la simulación del primer estado estable IV

5 Figura 17. Configuración final del modelo aerodinámico Figura 18. Contorno de velocidad del aire sobre la lámina cuando esta de frente Figura 19. Contorno de velocidad del aire sobre la lámina cuando esta de costado Figura 20. Coeficiente de sustentación C L para distintos ángulos de ataque α para Re = y Re = Tomado de: Selig (1995) Figura 21. Perfil NACA 4418 acoplado a la lámina biestable Figura 22. Recubrimiento con papel del perfil aerodinámico acoplado a la lámina biestables Figura 23. Determinación de la nueva fuerza de snap-through a partir de ANSYS Figura 24. Deformación debida a la fuerza de snap-through de la figura Figura 25. Base para el dispositivo en la sección de pruebas del túnel de viento Figura 26. Selección del corte del video a analizar Figura 27. Selección del modo de calibración y del origen del sistema coordenado Figura 28. Configuración de la opción Trayectoria Automática en Tracker Figura 29. Espectro de frecuencias del sistema en función de la velocidad del viento Figura 30. Diagrama de bifurcación del parámetro de velocidad del viento Figura 31. Medición del ángulo de ataque de la fuerza de snap-through para un flujo de 12.2 m/s Figura 32. Número de Strouhal en función del número de Reynolds para tubos cilíndricos. Tomado de: Blevins (1990) Lista de tablas Tabla 1. Dimensiones y propiedades de la lámina biestable de la Figura Tabla 2. Dimensiones de la sección transversal y del área de control para la simulación en Fluent V

6 Tabla 3. Fuerza en la dirección vertical de un flujo de aire sobre la lámina en distintas configuraciones Tabla 4. Resumen de los parámetros concernientes con el diseño del sistema perfil aerodinámico lámina biestable Tabla 5. Determinación del ángulo de ataque del perfil diseñado en dos dispositivos Tabla 6. Diagrama de fases y posición y velocidad angular del dispositivo 1 en función de la velocidad del viento Tabla 7. Frecuencia de resonancia del sistema en el régimen lineal y ancho de frecuencias del sistema en el régimen caótico Tabla 8. Error experimental de la fuerza de snap-through con relación a la simulación Tabla 9. Comparación entre sistemas excitados por vórtices de von Karman. La frecuencia de resonancia de la lámina corresponde a la máxima frecuencia de snap-through (Tabla 1) Lista de anexos Anexo 1. Planos del perfil y la unión del dispositivo 1 y Anexo 2. Espacio de fases de las ventanas en tiempo para distintas velocidades del viento 48 VI

7 1. INTRODUCCIÓN 1.1. Motivación Parte primordial en el diseño de sistemas de conversión de energía comprende la investigación de nuevas formas de reducir o hacer uso de la energía que se disipa en el sistema. Tanto así que se ha investigado cómo aprovechar el ruido mecánico como energía de las vibraciones mediante materiales piezoeléctricos que las convierten en energía eléctrica. Es por esto que se quiere estudiar materiales que al ser estimulados con señales periódicas, logren entrar en estados caóticos en un amplio ancho de frecuencias en los cuales, la potencia generada pueda ser usada para alimentar elementos de baja potencia. A esta específica área de estudio se le da el nombre de harvesting. Efectivamente, se ha encontrado que las láminas biestables son un buen candidato para realizar harvesting. Estas láminas se caracterizan por tener dos geometrías estables generadas por los esfuerzos residuales producto del proceso de curado (Arrieta, 2013). Las láminas biestables son materiales compuestos que generalmente se conforman de una matriz epóxica y fibras de carbono que son direccionadas en un mismo sentido; además, requieren del proceso de curado para obtener una integridad estructural como material compuesto. De acuerdo al tipo de carga las láminas tienen dos respuestas de interés, snap-through y régimen caótico. Una carga estática puede generar el snap-through, que consiste en el paso de un estado estable a otro. Bajo estímulos armónicos que produzcan la resonancia de alguno de sus estados, la lámina puede realizar el snap-through; mientras que, en oscilaciones dentro de este rango de frecuencias, la lámina puede entrar en el régimen caótico, esto es, oscilar entre estados sin un periodo que se pueda determinar. En un dispositivo conversor de energía, las láminas están acopladas a un piezoeléctrico que convierte las deformaciones provocadas por las oscilaciones en corriente eléctrica. Es por esto que al lograr diseñar un sistema que genere oscilaciones cuya frecuencia entra en el régimen caótico de la lámina puede ser usado como un conversor de energía (Alfonso, 2014). 1

8 Estudios previos han caracterizado el comportamiento de los dos estados estables de la lámina no forzada y forzada usando el modelamiento dado por la ecuación de Duffing, al igual que el desarrollo de una simulación numérica con los parámetros hallados en el montaje experimental de ambas configuraciones (Monsalve, 2014). Adicionalmente, se logró sintonizar las frecuencias de resonancia de una lámina biestable producida en la Universidad de los Andes con las frecuencias del ruido mecánico de un esmeril bajo distintas operaciones (Alfonso, 2014). Por último se realizó una caracterización aerodinámica de las láminas biestables en el túnel de viento (Parra, 2014) Objetivos Estudiar la viabilidad de un perfil aerodinámico para estimular el régimen caótico en láminas biestables. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Generar en ANSYS las geometrías estables y hallar la fuerza de snap-through de la lámina biestable. Simular la fuerza producida por cargas aerodinámicas sobre la lámina en condiciones similares a las del túnel de viento. Diseñar un sistema acoplado entre la lámina biestable y el perfil aerodinámico que estimule el régimen caótico de las láminas y realizar la experimentación del sistema en el túnel de viento. 2

9 2. MARCO TEÓRICO 2.1. Dinámica de la lámina biestable Una lámina biestable consiste en un apilamiento de segmentos hechos de fibra de carbono unidireccional impregnado en una matriz epóxica. Los segmentos se apilan de tal forma que las fibras están entrecruzadas de forma perpendicular. Entonces la lámina sigue por un proceso de curado durante 2 horas en un horno a temperatura de 120 C y por un proceso de enfriamiento a temperatura ambiente durante 1 hora (Alfonso, 2014). Los esfuerzos residuales que se generan durante el enfriamiento se deben a la anisotropía del módulo de elasticidad del material compuesto, esto es, el módulo de elasticidad tiene distintos valores en las fibras de carbono para las tres direcciones ortogonales x, y, z. Esto origina la biestabilidad de la lámina representada por las dos geometrías estables. Figura 1. Geometría de las dos formas estables de la lámina. Tomado de: Arrieta (2010) 3

10 En la figura 2 y en la tabla 1 se muestran algunas dimensiones y propiedades de la lámina caracterizada en este trabajo. L H Figura 2. Lámina biestable caracterizada en este documento Propiedad Valor Longitud de la lámina, L 120 mm Ancho de la lámina, H 60 mm Espesor de la lámina, t 4 mm Módulo de Young, E xx 120 GPa Módulo de Young, E yy 12 GPa Módulo de Elasticidad cortante, G xy 4,8 GPa Módulo de Poison υ xy 0,3 Coeficiente de expansión térmica, α x /C Coeficiente de expansión térmica, α y /C Frecuencia de Snap-through, ω Hz Frecuencia de Snap-through, ω Hz Tabla 1. Dimensiones y propiedades de la lámina biestable de la Figura 2. Existen tres respuestas distintas de las láminas de acuerdo a la naturaleza de la fuerza externa: snap-through, oscilaciones sub-armónicas y oscilaciones caóticas. El snap-through corresponde al cambio de estado entre las geometrías de la lámina. Puede levarse a cabo 4

11 mediante alguno de estos mecanismos: producir el cambio por medio de cargas estáticas y desplazamientos constantes o por medio de vibraciones que logren alcanzar la frecuencia de resonancia de alguno de los estados estables del material. Se pueden usar metodologías experimentales (Arrieta, 2011) o simulaciones en herramientas computacionales, para determinar la fuerza requerida para producir el snap-through. De acuerdo a Arrieta las láminas biestables, presentan un comportamiento dinámico que incluye snap-through, oscilaciones sub-armónicas y oscilaciones entre un estado a otro de forma caótica, al estar perturbadas por un movimiento armónico. Figura 3. Respuesta dinámica de las láminas en un barrido de frecuencias. Tomado de: Arrieta (2010) 2.2. Lámina biestable como dispositivo recolector de energía Cuando la lámina biestable está soportada como una viga en voladizo y se le acopla un piezoeléctrico, las deformaciones de la lámina se convierten en energía eléctrica. En un sensor piezoeléctrico, las deformaciones mecánicas hacen que se acumule carga eléctrica en el sensor. Al igual, una caída de voltaje en el piezoeléctrico puede producir una fuerza sobre la viga (Monsalve, 2014). Es de notar en la figura 3 que las oscilaciones de mayor amplitud ocurren en la región del régimen caótico para un amplio rango de frecuencias. Sí se acopla este dispositivo a 5

12 elementos mecánicos cuya frecuencia de vibración se encuentra en este rango, podemos recolectar la máxima energía residual de tales vibraciones. Sin embargo, se ha encontrado en previas caracterizaciones del sistema lámina biestable piezoeléctrico que la amplitud de las oscilaciones requeridas para entrar al régimen caótico es mayor que las amplitudes que brindan las vibraciones de los elementos mecánicos en operación. Monsalve (2014) encontró que la potencia óptima producida por su sistema es de 67 µw bajo oscilaciones cuya aceleración es de 10 g. Mientras que en la caracterización de Alfonso (2014), las vibraciones de un esmeril en operación no superan una aceleración de 0.3 g en el rango de frecuencias donde la potencia generada por el esmeril es máxima. Además existen múltiples parámetros en el proceso de manufactura de las láminas que dificultan la sintonización de sus frecuencias de resonancia con la frecuencia del movimiento oscilatorio de un esmeril en operación. Es por esto que en este documento, se presenta una forma de perturbar el sistema lámina biestable piezoeléctrico tal que las cargas aerodinámicas en un túnel de viento lo lleven a su régimen caótico. Para este fin se le acopla un perfil aerodinámico, en donde su fuerza de sustentación brinde la fuerza requerida para el snap-through de la lámina del estado más estable al menos estable. Como se observa en la figura 3, si la lámina inicialmente está en su estado más estable, el régimen caótico tiene frecuencias menores a la frecuencia de snapthrough, así que al diseñar el perfil aerodinámico para que la fuerza de sustentación genere el snap-through se debe pasar primero por el régimen caótico de la lámina Lámina biestable en cargas aerodinámicas Previamente Parra (2014) encontró experimentalmente la velocidad del viento y el ángulo de ataque de la lámina requeridos para realizar el snap-through iniciando de las dos geometrías estables para dos distintas configuraciones: cuando la lámina ataca al viento de frente y cuando lo hace de costado. 6

13 Figura 4. Velocidad del viento cuando ocurre el snap-through. Tomado de: Parra (2014) De esta figura se nota que la menor velocidad que genera el cambio de la lámina es 22 m/s para un ángulo de ataque de 15 cuando está atacando al flujo de frente. En el trabajo conducido por Parra (2014) ninguna velocidad del viento logró generar el régimen caótico de las láminas biestables Modelamiento teórico del sistema lámina biestable piezoeléctrico y de una perturbación en el sistema Además de la caracterización experimental, Monsalve modeló el sistema a partir de un balance de fuerzas en donde la fuerza debido a la deflexión de la viga en voladizo se explica a partir de la ecuación del resorte de Duffing (ecuación 1), que consiste en un sistema no lineal de masa-resorte F(z) = m eq z + c eq z + k 1 z + k 2 z 2 + k 3 z 3 = m eq y (Ecuación 1) Figura 5. Diagrama del modelo físico de la lámina biestable. Tomado de: Monsalve (2014) Con la ayuda de la figura 5 podemos entender esta ecuación. La variable que designa la aceleración de la base es y y la variable que designa la deflexión de la viga es z. Adicional al término lineal debido al resorte existen dos términos adicionales. El término cúbico de la 7

14 ecuación 1, origina un potencial de doble pozo en el sistema de viga en voladizo (Figura 6). Evidencia experimental ha mostrado que existe un comportamiento asimétrico de la lámina biestable, en donde uno de los estados es más estable que el otro. Es por esto que se incluye un término cuadrático a la ecuación. Las constantes m eq, c eq, k 1, k 2 y k 3 dan cuenta de las propiedades de inercia, disipación de la energía y restauración de la energía del sistema biestable. Para caracterizar los puntos de equilibrio o nodos del sistema debemos expresar la ecuación 1 en forma matricial [ x 1 ] = f ([ x 1 x 2 x ]) = [ 2 y c eq x 2 k 1 x 1 k 2 x 2 1 k 3 x3] (Ecuación 2) 1 La definición de un punto de equilibrio corresponde al valor del vector columna de la matriz cuando f(x ) = 0. Entonces los puntos de equilibrio son las raíces del polinomio que resulta de la segunda componente de la matriz cuando la velocidad del sistema y la aceleración de la base son nulos, esto es x 2 x 1 equilibrio = k 2 1 k 2 { 2k 3 2k 2 4k 1 k k 2 2k k 3 k 2 2 4k 1 k 3 (Ecuación 3) Este resultado se ilustra en la figura 6. Podemos notar que existen tres raíces para la solución de una ecuación de Duffing que varían de acuerdo a los parámetros k 1, k 2 y k 3. Figura 6. Gráficas del potencial de doble pozo para distintos k 1, k 2 y k 3. Tomado de: Monsalve (2014). 8

15 Dos de estas raíces son puntos estables y el tercer punto es un punto inestable, es por esta razón que las láminas se clasifican como sistemas biestables. El punto estable que este más alejado al eje x, requiere mayor energía para salir del potencial que lo atrapa, por lo cual tiene mayor estabilidad. Para que el sistema salga de un punto de equilibrio se tiene que brindar la suficiente energía para superar la energía del potencial en el que está atrapado. Además, para que ocurran oscilaciones caóticas, se debe brindar la suficiente energía para superar la energía de ambos potenciales. Sin embargo para observar este resultado, se debe conocer la forma de la ecuación 1 y sus parámetros, por ello debemos recurrir a otro tipo de gráfico que nos permite determinar el tipo de punto de equilibrio del sistema y su estabilidad a partir de resultados experimentales: el espacio de fases. Usamos el siguiente gráfico para describir los tipos de puntos de equilibrio. Figura 7. Puntos de equilibrio de un sistema no lineal en el plano Δτ. Tomado de: Strogatz (1994). Este gráfico es resultado de describir el sistema no lineal en un sistema bidimensional cuya matriz 2x2 se puede escribir de la forma A = ( a b ) (Ecuación 4) c d El polinomio característico del sistema se encuentra de calcular det(a λi) = 0, donde I es la matriz identidad. 9

16 Las raíces resultantes de este polinomio son: λ 1 = τ + τ2 4Δ 2, λ 2 = τ τ2 4Δ 2 (Ecuación 5) Sí las raíces del polinomio son reales, los puntos de equilibrio del sistema son llamados nodos, que pueden ser puntos silla, puntos estables o puntos inestables. Sí las raíces del polinomio son complejas, los puntos de equilibrio del sistema son llamados centros o espirales. Los centros son neutralmente estables, mientras que las espirales pueden ser estables o inestables. Adicionalmente, podemos observar el tipo de punto de equilibrio al graficar en el espacio de fases la variable de estado y su derivada. Figura 8. Espacio de fases que muestra nodos (A, B, C), orbitas (D) y espirales. Tomado de: Strogatz (1994). Las orbitas son características de sistemas que tienen soluciones periódicas, como lo son los osciladores armónicos simples que oscilan con cierta frecuencia. Mientras que las espirales representan osciladores no lineales que al tener amortiguamiento pueden tener oscilaciones que decaen o aumentan exponencialmente. Estas corresponden a espirales estables e inestables, respectivamente. Estos tipos de puntos de equilibrio son observables experimentalmente en sistemas modelados por la ecuación de Duffing. 10

17 Cuando se acopla el perfil aerodinámico al sistema se introduce una perturbación. De acuerdo a Strogatz (1994), un sistema de doble potencial al que se le introduce una perturbación lineal de la forma rz cambia su respuesta de la siguiente manera Figura 9. Grafica del potencial de doble pozo con una perturbación lineal. Tomado de: Strogatz (1994). Sí el valor de la constante r es igual o menor a cero el sistema de doble pozo deja de existir, entonces solo existe un punto estable en el sistema. Al contrario cuando su valor sea positivo, el sistema de doble pozo sigue teniendo la misma dinámica de un sistema biestable. Entonces reducir el valor de la constante r positiva, disminuye la estabilidad de los puntos estables, pues nos acercamos a la condición de potencial con un solo punto estable. 2.5 Selección de un perfil aerodinámico Los perfiles aerodinámicos o airfoils son diseñados para generar fuerzas de sustentación en condiciones de bajo arrastre (Abbott, 1959). Estos perfiles tienen distintas curvaturas en sus superficies superior e inferior tal que el flujo induce una diferencia de presión que genera altas fuerzas de sustentación y bajas fuerzas de arrastre. Figura 10. Características de un perfil aerodinámico. Tomado de Abbott (1959). 11

18 La cuerda de un perfil aerodinámico se define como la línea que conecta el borde de ataque (leading edge) con el borde de salida (trailing edge). La combadura del perfil (camber) se define como la máxima distancia entre la cuerda y alguna de las superficies. Y el ángulo de ataque α se define como el ángulo entre la cuerda y la dirección del flujo. La distribución de presión sobre la superficie del perfil, que varía con respecto al ángulo de ataque α, genera las fuerzas aerodinámicas. Una forma de conocerlas es integrar la distribución de presión en toda el área del perfil para conocer las fuerzas netas. La fuerza de sustentación se encuentra con la distribución de presión en dirección vertical y (Ecuación 6), mientras que la fuerza de arrastre se encuentra con la distribución de presión en dirección horizontal x (Ecuación 7). L = F y = P(cos(α + φ))da (Ecuación 6) D = F x = P(sin(α + φ))da (Ecuación 7) Es útil representar la magnitud de las fuerzas aerodinámicas para distintas condiciones de flujo, es por esto que se hace uso de los coeficientes de sustentación C L (Ecuación 8) y arrastre C D (Ecuación 9) L C L = 1 2 ρ airu 2 S D C D = 1 2 ρ airu 2 S (Ecuación 8) (Ecuación 9) donde S representa el área del perfil alar, es decir, el producto entre la longitud de la cuerda del perfil aerodinámico y el ancho del ala. En un principio, el diseño de perfiles aerodinámicos era una práctica arbitraria basada en experiencias previas con geometrías conocidas y experimentación de cambios a esas geometrías. Esto cambio en la década de 1930, con la publicación de reportes que mostraban características aerodinámicas de secciones similares hecho por la National Advisory Committee for Aeronautics (NACA), donde se notó que la combadura y el ancho 12

19 de las superficies eran variables primordiales en la variación de tales características. Así las series NACA de 4 y 5 dígitos nacieron a partir de ecuaciones analíticas que describen la curvatura de la línea media de la sección y la distribución del ancho en función de la longitud de la cuerda. Para un perfil NACA de la serie de cuatro dígitos las ecuaciones paramétricas que describen las superficies superior (x U, y U ) e inferior (x L, y L ) son x U = x y t sin θ, y U = y C + y t cos θ, x L = x + y t sin θ, y L = y C y t cos θ (Ec. 10) para y t = t 0.2 ( x x x x x 4 ) (Ec. 11a) y C = θ = arctan dy C dx (Ec. 11b) y C = m p 2 (2px x2 ) para 0 x p (Ec. 11c) m (1 p) 2 [(1 2p) + 2px x2 ] para p x c (Ec. 11d) donde x, y C, y t, c, t, m y p son las coordenadas a lo largo de la longitud del perfil, las coordenadas verticales de la línea de combadura, las coordenadas verticales de la línea del espesor, la longitud de la cuerda, el espesor máximo del perfil en decimas de la cuerda, la combadura máxima en decimas de la cuerda y la posición de la combadura máxima a lo largo de la cuerda en decimas de la cuerda, respectivamente. En una aplicación donde conocemos el número de Reynolds y el coeficiente de sustentación, se debe seleccionar un perfil aerodinámico, por ejemplo un perfil NACA, en catálogos como Abbott (1959) o Selig (1995) con un ángulo de ataque que brinde el coeficiente de sustentación de diseño. 13

20 3. SIMULACIÓN ESTÁTICA Para realizar la selección del perfil se debe conocer el coeficiente de sustentación y el número de Reynolds de operación. La fuerza de sustentación que brinda el perfil aerodinámico seleccionado será igual a la fuerza de snap-through de la lámina. En esta sección se quiere encontrar la fuerza de snap-through a partir de simulaciones estáticas en el software ANSYS Workbench versión académica. Para tal fin, se halla la primera geometría estable con una simulación del proceso térmico de la lámina durante su manufactura y luego a partir de la iteración de la simulación de una carga estática aplicada a la primera geometría estable, se encuentra la fuerza requerida para pasar de un estado estable a otro. 3.1 Obtención de la primera geometría estable Como fue mencionado previamente, las curvaturas de la lámina son producto del proceso de enfriado y curado durante su manufactura. La primera geometría estable se encuentra simulando estas etapas del proceso de manufactura. A continuación se describe la metodología seguida en ANSYS Creación del entorno y el material Para comenzar se elige el tipo de entorno de la simulación. Se escoge un modelo estático, pues incluye las ecuaciones que describen los procesos térmicos que ocurren durante la manufactura de la lámina. Una vez se ha elegido el entorno, se crea el material. Las propiedades mecánicas y térmicas de la fibra de carbono unidireccional impregnada en una matriz epóxica se encuentran en la tabla 1. 14

21 3.1.2 Geometría inicial y laminado En la manufactura de estas láminas se realiza un apilado en dos regiones, uno entrecruzado y otro en la misma dirección de las fibras de carbono de la siguiente manera Figura 11. Geometría y apilado de la lámina de la Figura 2. Tomado de: Alfonso (2014). En ANSYS se genera la geometría inicial de la figura 11 con el correspondiente apilado de los segmentos de fibra de carbono unidireccional de 0.2 mm de espesor, como se observa en la figura 12. Se hace uso de la herramienta Design Modeler para realizar la geometría inicial. Como el resultado de la geometría generada es usada en la segunda simulación, se debe colocar un punto intermedio en la zona libre donde estará ubicada la fuerza de tal simulación. Figura 12. Apilamiento en ANSYS de la lámina de la Figura 2. 15

22 3.1.3 Mallado En un software de simulación por elementos finitos es necesario realizar un mallado de toda la geometría para que las ecuaciones del modelo seleccionado sean calculadas en cada uno de los nodos de la malla. En ANSYS versión académica se puede seleccionar el tamaño del elemento más pequeño de la malla. Para esta simulación se realizó un breve análisis de convergencia para encontrar el mejor tamaño de elemento para las simulaciones. Se elige el tamaño de elemento cuyos resultados en la simulación no varíen más del 1% con respecto al resultado de la simulación de un tamaño de elemento mayor Condiciones iniciales El proceso térmico brinda la biestabilidad al sistema. Es por esto que en ANSYS se realiza la simulación de este proceso en un modelo estático que tenga dos pasos. En el primer paso, la lámina se encuentra a una temperatura inicial de 120 C y en el segundo paso, la lámina ha pasado por un proceso de enfriamiento hasta una temperatura de 0 C. Respecto a las condiciones estáticas, la región donde las láminas tienen sus fibras direccionadas en un mismo sentido esta prensada Deformación del primer estado estable Como paso final para observar la geometría del primer estado estable se debe seleccionar que los resultados de la simulación se presenten como una gráfica de la deformación total de la lámina. 3.2 Obtención de la segunda geometría estable Para obtener la segunda geometría estable se aplica una carga estática a la primera geometría estable. A continuación se describe la metodología seguida en ANSYS Nuevo entorno en ANSYS Una de las ventajas de ANSYS corresponde a la opción de compartir las geometrías, el mallado e inclusive el modelo entre distintos entornos. Entonces para iniciar esta simulación creamos un nuevo entorno basado en un modelo estático, que inicialmente 16

23 tendrá el mismo mallado, la misma geometría y las mismas condiciones estáticas y térmicas de la simulación anterior Geometría inicial y laminado En contraste con la simulación anterior, se debe cambiar la geometría previa al proceso de curado por la geometría obtenida de la primera simulación. Para ello se hace uso de la herramienta Update geometry from results file. Ahora la nueva geometría tiene el laminado realizado en la primera simulación Mallado Para este paso, basta con actualizar la malla que se encontró en el análisis de convergencia de la simulación anterior Condiciones iniciales Para comenzar se eliminan las condiciones de temperatura del proceso térmico de la lámina. Entonces se elige una fuerza que estará aplicada en el punto medio de la zona libre, como se ilustra en la figura 13. Para iniciar la iteración se elige una fuerza de 0.09 N y de acuerdo a la deformación observada se aumenta la fuerza hasta obtener una geometría similar al caso real. Figura 13. Aplicación de una fuerza en el primer estado estable de la lámina Deformación del segundo estado estable Nuevamente se selecciona que el resultado de la simulación sea presentado en una gráfica de la deformación total de la lámina. 17

24 3.3 Resultados y discusión A continuación se muestran los resultados de las simulaciones para ambos estados estables Figura 14. Geometría del primer estado estable Figura 15. Geometría del segundo estado estable En ambas figuras se puede observar el cambio de curvatura propio del sistema de lámina biestable. La fuerza requerida para generar el cambio de estado fue de 0.5 N. Durante la iteración de la fuerza aplicada en la simulación, se generan altas deformaciones con fuerzas de snap-through muy pequeñas. Adicionalmente se llevó a cabo un breve análisis de convergencia, en donde se seleccionó el tamaño de elemento óptimo para el mallado. 18

25 Máxima Deformación (mm) Deformación máxima 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 Tamaño del elemento: 0.95 Tamaño del elemento: Número de nodos Figura 16. Número de nodos vs. Máxima deformación para la simulación del primer estado estable Primero que todo, a medida que se aumenta el tamaño del elemento, el número de nodos se reduce. Por ejemplo, para un tamaño del elemento de 0.9, el mallado realizado en ANSYS tiene nodos y el resultado de la deformación es de mm, mientras que para un tamaño de elemento de 0.95, el número de nodos es 9748 y el resultado de la deformación es de Es claro que para nodos, la variación de la deformación máxima con el resultado anterior es menor al 1%. Por lo cual se elige un tamaño de elemento de 0.95 para las simulaciones de ambos estados estables Conclusiones De estos resultados, se concluye que las geometrías obtenidas tienen una buena aproximación con la realidad, pues la deformación del primer estado estable tiene el mismo orden de magnitud que la deformación en las láminas producidas por Alfonso. Sin embargo, se recomienda explorar métodos distintos para importar la primera geometría estable en la segunda simulación, pues como se observa en la figura 11., la herramienta Update Geometry from results file genera una geometría con una deformación cuya escala no es 1 a 1. La fuerza de sustentación que debe brindar el perfil debe ser mayor o igual a 0.5 N. 19

26 4. SIMULACIÓN DE FUERZAS AERODINÁMICAS Para realizar la selección del perfil, además de conocer el coeficiente de sustentación, se debe conocer el número de Reynolds de operación. En esta sección se quiere encontrar una velocidad objetivo en donde las fuerzas de sustentación originadas sobre el perfil, inicien el paso del primer estado estable al segundo estado estable. Esta es una condición requerida para estimular el régimen caótico de la lámina. Para ello se escoge una velocidad del viento de tal manera que las fuerzas generadas sobre la lámina no superen la fuerza de snapthrough, haciendo que sea necesario el perfil aerodinámico. Para conocer tales fuerzas se hace uso de una simulación 2D en el entorno CFD de ANSYS: Fluent Selección de una velocidad de diseño Experimentalmente la mínima velocidad requerida para hacer el cambio de estado de las láminas biestables fue de 22 m/s cuando la lámina esta de frente al flujo a un ángulo de ataque de 15. Mientras que para un ángulo de ataque cercano a 0, la velocidad requerida fue de 33 m/s. Entonces para velocidades menores a 22 m/s, la lámina no cambia de estado sin importar el ángulo de ataque de la lámina. Por lo cual, se elige una velocidad de 20 m/s y un ángulo de ataque igual a cero para determinar a partir de Fluent las fuerzas generadas en un túnel de viento sobre la lámina Simulación 2D de la fuerza sobre la lámina Se realizó la simulación 2D de la sección transversal de la lámina cuando el viento la está atacando de frente y de costado. A continuación se muestran en detalle los pasos de la simulación Volumen de control y geometría de la lámina Para iniciar en la herramienta Design Modeler se debe encerrar la lámina por un volumen de control lo suficientemente grande para que las paredes del volumen no cambien las fuerzas debido al flujo. Para el caso 2D, en el manual en línea de Fluent se recomienda que las dimensiones lineales del área de control sean diez veces las dimensiones lineales del cuerpo. En este caso el área de control debe encerrar la sección transversal de la lámina, así que en la tabla 2 se muestran las dimensiones del área de control y de la lámina cuando esta de frente y de costado al flujo. 20

27 Configuración de la lámina Dimensiones de la sección de la lámina (L mm x H mm) Dimensiones del volumen de control (L mm x H mm) De frente al flujo 120 x 0, x 4 De costado al flujo 60 x 0,4 600 x 4 Tabla 2. Dimensiones de la sección transversal y del área de control para la simulación en Fluent Mallado y descripción del sistema En CFD 2D se calculan las ecuaciones del modelo aerodinámico elegido en pequeños elementos de área, es por esto que debemos realizar un mallado a la geometría obtenida. Además de realizar el mallado, se deben asignar las condiciones de borde y de frontera a los lados del área de control, es por esto que se realiza una descripción de cada lado. En la figura 17 se muestra la descripción de la lámina, la pared, la entrada y salida del flujo en el área de control. Figura 17. Configuración final del modelo aerodinámico Selección del modelo aerodinámico Una lámina que está de frente a un flujo de viento de 20 m/s tiene un número adimensional de Reynolds de , es decir se encuentra en el límite entre el régimen laminar y el régimen turbulento. Mientras que cuando está de costado, se encuentra en régimen laminar pues su Reynolds es de Además el número de Mach para ambos casos es cercano a 0, por lo cual se puede modelar al aire como un gas ideal, pues es un flujo incompresible. Es por esto que se elige un modelo laminar para proseguir con la simulación. 21

28 4.2.4 Condiciones de frontera y de borde Es claro que la velocidad de entrada en al área de control es 20 m/s y a la salida el flujo ya está desarrollado. Por lo cual, para la salida se elige la condición Outflow que simula un flujo ya desarrollado. En relación a la pared y la lámina se describen como superficies donde el fluido no se desliza Fuerza y punto de aplicación En FLUENT además de graficar el perfil de velocidades dentro del área de control, se puede encontrar la fuerza en una dirección sobre la lámina y el punto de aplicación al fijar alguna coordenada. Se elige que el vector dirección sea el vector d = (0 1) T como indicador de la fuerzas a calcular. Además, se escoge que el punto de aplicación sea sobre la lámina, es decir en un punto x sobre la línea y = Resultados y discusión A continuación se muestran los resultados de las dos simulaciones de la lámina cuando el viento la está atacando de frente y de costado Figura 18. Contorno de velocidad del aire sobre la lámina cuando esta de frente. 22

29 Figura 19. Contorno de velocidad del aire sobre la lámina cuando esta de costado. En las figuras 18 y 19, podemos notar que la velocidad del viento disminuye al contacto con las láminas y no se producen vórtices, es decir la simulación realizada para cada lámina describe el fenómeno de una placa plana en un flujo. Configuración de la lámina Fuerza de presión en la dirección vertical (N) Fuerza de viscosidad en la dirección vertical (N) Fuerza total en la dirección vertical (N) Centro de presión (L mm x H mm) De frente (31 x 30) De costado (60 x 12) Tabla 3. Fuerza en la dirección vertical de un flujo de aire sobre la lámina en distintas configuraciones. La tabla 3 resume los resultados de ambas simulaciones. La contribución de la viscosidad en la fuerza vertical que el flujo hace sobre la lámina es despreciable. Notamos que la fuerza sobre la lámina cuando esta de costado es la mitad de la fuerza cuando esta de frente, 23

30 esto debido a que el área transversal de la lámina de costado es la mitad que el área transversal de la lámina de frente. 4.4 Conclusiones Las fuerzas que realiza un flujo de viento de 20 m/s sobre la lámina no superan la fuerza de snap-through que requiere la lámina. Es necesario el uso del perfil aerodinámico para generar el snap-through inicial para entrar al régimen caótico. Respecto a la configuración de la lámina, cuando la lámina esta de frente al flujo, las fuerzas generadas son mayores a cuando esta de costado. Por tanto se elige esta configuración para realizar el diseño del acople con el perfil aerodinámico. Por último, el número de Reynolds de operación del perfil seleccionado es

31 5. SELECCIÓN DE UN PERFIL AERODINAMICO Y DISEÑO DEL ACOPLE CON LA LAMINA BIESTABLE En esta sección se elige un perfil aerodinámico a partir de los resultados de las secciones 3 y 4. Además se describen los parámetros que debe tener el sistema de acople del perfil con la lámina, para que la lámina no pierda su biestabilidad y su flexibilidad. Y por último se describe el sistema diseñado. 5.1 Resumen de las simulaciones Haciendo uso de los resultados de la secciones previas se resume la información concerniente con el diseño del perfil aerodinámico y su acople con la lámina en la tabla 4. A partir de la fuerza de snap-through que será igual a la fuerza de sustentación podemos calcular el coeficiente de sustentación requerido por el perfil usando la ecuación 8. Longitud de la lámina (mm) 120 Características de la lámina Ancho de la lámina (mm) 60 Área libre lámina (m^2) 0,0036 Características del flujo Resultado de la simulación del flujo sobre la lámina Resultado de la simulación de una fuerza estática que cambia el estado Velocidad del viento (m/s) 20 Reynolds de Diseño Fuerza sobre lámina (N) 0,104 Fuerza de Snap-through (N) 0,5 Coeficiente de sustentación para Parámetro de diseño del perfil alar 0,59 que la lámina cambie de estado Tabla 4. Resumen de los parámetros concernientes con el diseño del sistema perfil aerodinámico lámina biestable 25

32 5.2 Selección perfil Usando el catálogo de Selig para perfiles a bajas velocidades se encontró el perfil NACA 4418, cuyo coeficiente de sustentación para distintos ángulos de ataque se muestra en la siguiente figura. Figura 20. Coeficiente de sustentación C L para distintos ángulos de ataque α para Re = y Re = Tomado de: Selig (1995). Aquí podemos notar que en un ángulo de ataque de 1 grado, el coeficiente de sustentación del perfil es igual a 0.59, para ambos números de Reynolds Parámetros de diseño del acople entre el perfil y la lámina El dispositivo recolector de energía diseñado por Monsalve consiste en una lámina biestable en voladizo. La base que sostiene la lámina se mueve de forma armónica lo que constituye la fuente de las oscilaciones requeridas para que la lámina entre en su régimen caótico. Al contrario en el túnel de viento la base será usada como prensa y estará inmóvil. Y en este caso, la fuente de las vibraciones será el flujo de viento sobre el sistema en voladizo. Debido a las oscilaciones libres del sistema, el ángulo de ataque cambia continuamente y a su vez la fuerza de sustentación cambia. Sin embargo es suficiente que en un instante de tiempo el perfil aplique una fuerza mayor o igual al snap-through necesario para que las oscilaciones caóticas inicien. 26

33 El fenómeno de snap-through y las oscilaciones caóticas son consecuencia de las vibraciones en un sistema biestable, es por esto que el acople entre el perfil y la lámina no puede cambiar la biestabilidad del sistema. Si las uniones usadas son demasiado rígidas y ocupan un área grande, la lámina dejará de ser flexible y no podrá pasar de un estado a otro. Además hay que tener en cuenta que el peso añadido al sistema en voladizo, puede generar momentos que eviten el paso entre un estado estable y otro. Por último, la forma del perfil aerodinámico debe ser precisa pues la distribución de presión sobre las superficies genera la fuerza de sustentación. Es por esto que se deben elegir procesos de manufactura que sean precisos. En resumen el sistema debe ser liviano, las uniones no pueden ocupar una gran área de la lámina y el proceso de manufactura debe ser preciso. Los materiales elegidos para el perfil y las uniones se verán condicionados por estos tres criterios. Es por esto que se elige cartón corrugado para el material del perfil y pequeño bloques de madera para las uniones. Ambos materiales son livianos y pueden ser cortados en una maquina láser. El corte por láser es un proceso de alto estándar que brinda la precisión requerida en el sistema. El diseño final del sistema se muestra en la figura 21. Figura 21. Perfil NACA 4418 acoplado a la lámina biestable La unión fija de madera fue pegada a la lámina y al perfil, con el nuevo ángulo de ataque determinado en la sección 5.4, como se muestra en la figura 21 usando un adhesivo que soporte las cargas aerodinámicas en el túnel de viento. El adhesivo usado es Hysol EA 934NA que está conformado por dos componentes tixotrópicos y tiene una temperatura de 27

34 curado de 93 C durante una hora. Una vez se ha realizado este proceso, el sistema se recubre con una piel de papel que se pega al contorno de los perfiles laterales. Figura 22. Recubrimiento con papel del perfil aerodinámico acoplado a la lámina biestable 5.4. Nuevo coeficiente de sustentación El peso del sistema que se agrega a la lámina es una fuerza adicional que debe superar la fuerza de sustentación que brinda el perfil aerodinámico. Para conocer esta nueva fuerza de sustentación se puede realizar el proceso de simulación descrito en la sección 3.1 y 3.2, al incluir en la geometría inicial una masa cuyo peso sea igual al peso del sistema. Figura 23. Determinación de la nueva fuerza de snap-through a partir de ANSYS. 28

35 Figura 24. Deformación debida a la fuerza de snap-through de la figura 23. En la figura 23, se nota que la nueva fuerza de snap-through es de 0.8N. Con esta nueva fuerza se debe calcular un nuevo coeficiente de sustentación objetivo a partir de los parámetros de la tabla 4. Al examinar la ecuación 8, se nota que el coeficiente de sustentación es función del área del perfil, por lo cual se realizan dos montajes con diversas áreas, pero de igual longitud. Esto con el fin de caracterizar dos distintas láminas con diferentes frecuencias de resonancia, pues el montaje de la figura 20 es permanente una vez se usa el adhesivo. El cambio de coeficiente y las dimensiones reales de los perfiles diseñados se muestran en la siguiente tabla. Dispositivo 1 2 Lámina (mm x mm) 120x55 120x60 Longitud cuerda (mm) 129,4 129,4 Ancho perfil (mm) ,7 Área (m^2) 0,0131 0,0154 Fuerza objetivo (N) 0,8 0,8 Coeficiente objetivo para snap-through de la lámina a 20 m/s 1,04 1,04 Velocidad del viento (m/s) 11,8 11,2 Angulo de ataque ( ) 5 5 Coeficiente de sustentación del perfil 1,04 1,04 Tabla 5. Determinación del ángulo de ataque del perfil diseñado en dos dispositivos. 29

36 Se puede notar que para esta nueva fuerza, el ángulo de ataque aumento a 5 grados. Además, el perfil ha sido diseñado para que a una velocidad menor a la velocidad de 22 m/s donde ocurre el snap-through experimentalmente, se estimule el régimen caótico. Esto ocurre cuando el perfil brinde la fuerza necesaria para el primer cambio de estado, y una vez ocurra esto la dinámica de la lámina haga que entre en régimen caótico. 30

37 6. EXPERIMENTACIÓN EN EL TÚNEL DE VIENTO En esta sección se detalla la metodología de experimentación llevada a cabo y se muestra el montaje usado para caracterizar el funcionamiento del dispositivo diseñado con distintos anchos de perfil. Luego se muestran los resultados como una breve caracterización de las condiciones del sistema para que entre en caos Metodología experimental El objetivo de este experimento es comprobar si el sistema perfil aerodinámico lámina entra en caos. Así que el experimento consistió en realizar un barrido de velocidades hasta llegar a la velocidad en que el dispositivo entre en caos. Para ello se inicia con una velocidad del ventilador de 150 rpm y se realizan saltos de 20 rpm hasta llegar a la velocidad requerida para excitar el régimen caótico. Una vez se ha llegado a esta velocidad se captura un video a 1000 cuadros por segundo con la cámara de alta velocidad. Entonces, se aumenta la velocidad del ventilador para obtener otras tres mediciones. Adicionalmente se captura el movimiento del dispositivo a una velocidad menor a la que ocurre el snapthrough. Este experimento se realiza para ambos dispositivos de la tabla Montaje experimental Como fue descrito previamente, el dispositivo prensado debe mantenerse inmóvil. Es por esto que se usa una base de aluminio que se sostiene mediante pernos y tornillos al piso de la sección de pruebas del túnel de viento cerrado de la Universidad de los Andes. Figura 25. Base para el dispositivo en la sección de pruebas del túnel de viento. 31

38 Se coloca un marcador sobre el perfil para luego obtener su trayectoria usando Tracker. Los instrumentos usados en este experimento son: Cámara de alta velocidad FASTEC TS 3. Cuadros por segundo: hasta Anemómetro digital portátil. Resolución: 0.1 m/s 6.3 Procesamiento del video usando Tracker Se realiza el procesamiento del video capturado en el experimento usando el software libre Tracker versión A continuación se muestra en detalle los pasos de la simulación Importar video y especificar propiedades Primero se debe abrir en Tracker el video que se ha tomado durante el experimento. Entonces se especifican las propiedades del video y se eligen los cuadros a estudiar, como se muestra en la figura 26. Figura 26. Selección del corte del video a analizar. Para trayectorias que muestren el régimen lineal de la lámina biestable se escoge un corte del video donde se noten oscilaciones lineales. Para trayectorias que muestren el comportamiento en el régimen caótico de la lámina se elige un corte qué capture el paso entre ambos estados estables Realizar la calibración y escoger el origen del sistema de coordenadas Para calibrar las dimensiones de las trayectorias que se encuentran con el software se debe escoger una dimensión conocida en el video y establecer su valor en el sistema de unidades internacional. En este caso se elige el ancho de una lámina de aluminio que equivale a 5 32

39 mm. Además, se escoge un punto como origen del sistema de coordenadas, a partir del cual Tracker mide distancias, ángulos y velocidades. Figura 27. Selección del modo de calibración y del origen del sistema coordenado. En Tracker este tipo de calibración corresponde a vara de calibración Crear una trayectoria automática Primero se debe crear una nueva trayectoria tipo masa puntual a la que llamaremos Perfil. Este tipo de trayectoria sigue un punto del dispositivo. Ahora en las opciones de Perfil se selecciona Trayectoria automática. En esta ventana debemos realizar las configuraciones para el seguimiento del marcador puesto sobre el perfil como se muestra en la figura 27. Figura 28. Configuración de la opción Trayectoria Automática en Tracker. El template que debe buscar Tracker corresponde al marcador puesto sobre el perfil. La velocidad de cambio o evolution rate no puede ser muy alta, pues existe la posibilidad que el template cambie y Tracker deje de seguir al marcador, por ello se elige 10%. Por último, no se hace uso de la opción Look Ahead, que por cada marco que busca centra el match haciendo que el tiempo computacional sea mayor que sin usar esta opción. Una vez se ha realizado esta configuración, se procede a buscar en cada marco elegido en la primera sección el template elegido. 33

40 6.3.4 Mostrar resultados En Tracker se observa el seguimiento de la posición angular del marcador con respecto al origen. Además, podemos guardar datos en tablas para luego obtener sus espectros de Fourier. 6.4 Resultados y discusión Durante el experimento ambos dispositivos tienen un régimen de oscilaciones lineales hasta que se llega a una velocidad donde las oscilaciones son caóticas. Al seguir aumentando la velocidad, el régimen caótico desaparece y se vuelve al régimen lineal. En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos de los videos capturados y su procesamiento en Tracker V=11.5 m/s. Nodos: - 11 V=12.2 m/s. Nodos: - 9 y

41 V = 13 m/s. Nodos: -8 y 0. V = 13.4 m/s. Nodos: - 10 y 1. V = 13.9 m/s. Nodos: - 10 y 2. Tabla 6. Diagrama de fases y posición y velocidad angular del dispositivo 1 en función de la velocidad del viento. De esta tabla se nota que antes de llegar a la velocidad que ocasiona el caos, el sistema tiene oscilaciones lineales alrededor del nodo más estable, a partir del cual se ha iniciado la experimentación del sistema en el túnel de viento. Una vez se ha llegado a la velocidad de 12.2 m/s, el sistema consiste en un oscilador débil no lineal que aumenta su amplitud oscilando alrededor de uno de los nodos hasta llegar a su ciclo limite. Sin embargo, el sistema en vez de quedarse en el ciclo limite hace un salto al segundo nodo del sistema y nuevamente inicia a oscilar débilmente hasta llegar a una amplitud que lo hace saltar nuevamente al primer nodo del sistema, donde el ciclo vuelve a iniciar. Esto quiere decir 35

42 que en el régimen lineal el sistema se comporta como un oscilador armónico lineal y sus puntos de equilibrio son centros, mientras que en el régimen caótico los puntos de equilibrio del sistema son espirales inestables, por lo cual el sistema oscila de manera no lineal. En cuanto al régimen caótico, las gráficas de posición y velocidad angular con respecto al tiempo, permiten notar que las oscilaciones tienen distintos periodos cada ciclo que está oscilando alrededor de cada punto de equilibrio. El hecho de no tener un periodo que se repita corresponde al régimen caótico del sistema en estas velocidades. Al seguir aumentando la velocidad, se vuelve a un régimen de oscilaciones lineales de la lámina alrededor del primer nodo. Esto ocurre a una velocidad mucho mayor de la velocidad requerida para iniciar las oscilaciones vistas en el régimen caótico. Entonces para esta velocidad, a pesar de que las oscilaciones tienen mayor amplitud, ya ha ocurrido el caos y por la alta estabilidad de uno de los estados, el sistema permanece en un solo estado. Se puede obtener información adicional del espacio de fases capturado para cada velocidad que permite caracterizar al sistema lamina biestable perfil aerodinámico. Para ello se seleccionan ventanas de tiempo en donde el sistema está en un punto de equilibrio definido y se realiza su espectro de potencias. Entonces se grafica en una escala logarítmica la potencia promedio de las ventanas elegidas en el anexo 2. Para el régimen lineal la frecuencia de interés es la frecuencia de resonancia del estado estable, que en el espectro de frecuencias se puede notar como un pico a cierta frecuencia seguido de sus armónicos. Mientras que el ancho de banda que nos interesa en el régimen caótico corresponde al ancho de frecuencias donde se concentra el 90% de la potencia total que puede brindar el sistema. La potencia total se ha calculado realizando la integral del espectro de potencias desde la frecuencia correspondiente al primer máximo de la señal hasta la frecuencia de Nyquist en las señales para el régimen caótico. 36

43 Figura 29. Espectro de frecuencias del sistema en función de la velocidad del viento. En la tabla a continuación se resumen las frecuencias de interés y el tipo de régimen para cada velocidad. Velocidad del viento (m/s) Tipo de régimen Frecuencias de interés (Hz) 11,5 Lineal 7,5 12,2 Caótico Caótico 5,9 35,3 37

44 13,4 Caótico ,9 Caótico 7,1 35,7 Tabla 7. Frecuencia de resonancia del sistema en el régimen lineal y ancho de frecuencias del sistema en el régimen caótico. En relación a la frecuencia de resonancia se puede notar que es mucho menor a la frecuencia de resonancia de la lámina sin el perfil aerodinámico (Tabla 1). Respecto al ancho de frecuencias de cada velocidad en el régimen caótico, se nota que tiene la frecuencia de resonancia del punto más estable. Aunque se observa que a medida que aumenta la velocidad este ancho se amplia, se recomienda realizar medidas para más velocidades tal que se pueda establecer una tendencia entre estas variables. Del espacio de fases de cada ventana de tiempo mostrado en el anexo 2, notamos que para una velocidad menor o igual a 11.5 m/s el sistema tiene una órbita que oscila alrededor de un centro. Para velocidades mayores el sistema consiste de espirales que oscilan alrededor de dos puntos de equilibrio. Esto lo podemos notar en un diagrama de bifurcación, que consiste en un esquema que muestra la creación o destrucción de puntos de equilibrio en función de un parámetro del sistema (Strogatz, 1994). En nuestro caso, nos interesa mostrar la dependencia de la velocidad del viento sobre los puntos de equilibrio. Figura 30. Diagrama de bifurcación del parámetro de velocidad del viento. 38

45 Este diagrama nos sirve para notar que para velocidades mayores a 11.5 m/s, el sistema puede oscilar alrededor de dos puntos de equilibrio sin importar las condiciones iniciales del sistema. Adicionalmente se encontró la fuerza necesaria para pasar de un estado a otro. Para encontrar la fuerza de snap-through experimental se realiza la medición del ángulo de ataque del perfil un instante previo al cambio de estado, como se muestra en la figura 31. Figura 31. Medición del ángulo de ataque de la fuerza de snap-through para un flujo de 12.2 m/s. Esta medición se realizó en la velocidad en donde inicia el régimen caótico con el fin de comparar la fuerza encontrada en la simulación de la sección 5 y estimar la cercanía entre el modelo simulado y los resultados experimentales. Velocidad del viento (m/s) Ángulo de ataque de diseño ( ) Ángulo de ataque ( ) Cl Fuerza de sustentación (N) Error experimental (%) 12,2 5 12,3 1,4 1,23 44,0 Tabla 8. Error experimental de la fuerza de snap-through con relación a la simulación. En la tabla 8, se nota que el ángulo de ataque requerido para hacer el snap-through es mayor que el doble del ángulo de ataque de diseño. Esto se puede explicar notando que la fuerza de sustentación del modelo aerodinámico es para un perfil sin modificaciones sobre su superficie, más no para el perfil del experimento que tiene acoplado una lámina biestable. Sin embargo, este perfil logra cumplir el objetivo de excitar la lámina biestable para entrar al régimen caótico. 39