Modelización Tareas Clases Evaluación Reflexión. Modelización

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1 Tareas Evaluación Reflexión

2 Tareas Evaluación Reflexión Qué es la modelización? 2

3 Sesión 1 3

4 Objetivos Trabajar en distintas tareas basadas en la realidad. Reflexionar sobre las características de estas tareas. Pensar en criterios para identificar tareas de modelización desde otras tareas basadas en la realidad. 4

5 Resultados Criterios para identificar tareas de modelización Visión general del proceso de modelización 5

6 Estructura de la sesión Actividad 1: Actividad 2: Actividad 3: Actividad 4: Trabajar sobre las situaciones dadas Reflexionar sobre las características de las situaciones dadas Compartir las reflexiones [Grupos pequeños] [Grupos pequeños] [Todo el grupo] Desarrollar criterios [Todo el grupo] 6

7 Actividad 1: Resolver algunas tareas. 7

8 Tarea 1: «Firmar contra una nueva ley» Hace poco, el 25 de abril de 2006, el partido español en la oposición presentó en el Congreso firmas contra una nueva ley promulgada por el gobierno. Todos los periódicos españoles publicaron fotos de las grandes cajas y las 10 furgonetas que se habían necesitado para transportar las hojas de papel al Congreso. Crees que esta puesta en escena tenía una intención política o que todas estas cajas y furgonetas eran realmente necesarias para transportar los cuatro millones de firmas? 8

9 Tarea 2: «Frecuencia cardiaca» Por motivos de salud las personas tienen que limitar sus esfuerzos, por ejemplo al practicar deporte, para no exceder una cierta frecuencia cardiaca. Durante años la relación entre la frecuencia cardiaca máxima recomendada de una persona y la edad de dicha persona se describía según la siguiente fórmula: frecuencia cardiaca máxima recomendada = edad Investigaciones recientes muestran que esta fórmula debería modificarse ligeramente. La nueva fórmula es como sigue: frecuencia cardiaca máxima recomendada = (0,7 x edad) Un artículo periodístico declaraba: «El resultado de utilizar la nueva fórmula en vez de la antigua es que el número de latidos máximo recomendado por minuto para personas jóvenes baja ligeramente, y para personas mayores aumenta ligeramente». De qué edad en adelante aumenta la frecuencia cardiaca máxima recomendada como resultado de la introducción de la nueva fórmula? Muestra tu trabajo. Obtenido de 9

10 Qué es la modelización? Tarea 3: Festival de música El Festival de Artes Escénicas Contemporáneas de Glastonbury es el mayor festival al aire libre de música y artes escénicas del mundo. En 2005, el área vallada del festival tenía más de 3,6 km² (900 acres), y hubo más de 385 actuaciones en directo. Muchos de los asistentes al festival llevan sus propias tiendas de campaña y duermen dentro de la zona del festival. Gracias a Logan1138. Publicada en Wikimedia Commons Los organizadores necesitan limitar el número de entradas a la venta y el número de tiendas que pueden instalarse para poder garantizar la seguridad. Qué les aconsejarías? 10

11 Tarea 4: Gas natural Gracias a Stan Shebs. Publicada en Wikimedia Commons 11

12 Tarea 5: Huevos de pascua 12

13 Tarea 6: Vecinos En tu opinión, cuánta gente vive en este bloque de pisos? Timbres de la entrada: 13

14 Actividad 2: Comparad vuestras soluciones por grupos: Cuáles son las diferencias? Y las similitudes? 14

15 Directrices para la reflexión 15

16 Actividad 3: Debate Qué diferencias y similitudes puedes establecer entre estas tareas? Contexto Conocimiento matemático Soluciones esperadas Actividad de quien resuelve la tarea 16

17 Algunas conclusiones Respecto al contexto de la tarea Respecto al conocimiento matemático implicado Respecto a las soluciones esperadas Respecto a la actividad de quien resuelve el problema 17

18 Actividad 4: Desarrollar criterios Qué características debería tener una tarea para que se la considerase de modelización? Relacionadas con: 18

19 Sesión 2 19

20 Objetivos Reflexionar sobre los procesos de resolución de problemas que utilizasteis en la Sesión 1. Resumir estos procesos en un esquema común. Debatir un posible esquema que podríais utilizar para describir el proceso de modelización. Aprender sobre el proceso de modelización. 20

21 Resultados Descripción del proceso de modelización. 21

22 Estructura de la sesión Actividad 1: Reflexión sobre tus procesos de resolución de problemas. Actividad 2: Compartir las reflexiones. [Grupos pequeños] [Todo el grupo] 22

23 Actividad 1: Trabajo en grupos: Volved sobre las tareas que se han resuelto hasta ahora. Cómo procedisteis para encontrar una solución? Reflexionad sobre vuestros procesos de resolución de problemas a un nivel general. Esbozad un único diagrama sintetizando estos procesos. [ Tarea 1 Tarea 2 Tarea 3 Tarea 4 Tarea 5 Tarea 6 ] 23

24 Actividad 2: Compartir las reflexiones Compartid diagramas Qué diferencias y similitudes podéis establecer entre ellos? 24

25 Introducción de una descripción del proceso de modelización El ciclo de modelización (estudio PISA, 2003) Problema del mundo real Problema matemático 5 4 Solución real 5 Solución matemática «Mundo real» «Mundo matemático» 25

26 Problema del mundo real Problema matemático El ciclo de modelización (del estudio PISA, 2003) Solución real 5 Solución matemática Empezar con un problema de la realidad. «Mundo real» «Mundo matemático» 2. 2 Organizarlo de acuerdo a conceptos matemáticos e identificar las matemáticas relevantes Recortar gradualmente la realidad a través de procesos como hacer suposiciones, generalizar y formalizar, que promueven las características matemáticas de la situación y transforman el problema del mundo real en un problema matemático que representa la situación Resolver el problema matemático Explicar la solución matemática en términos de la situación real. 26

27 Problema del mundo real Problema matemático 5 4 Notas importantes Solución real «Mundo real» 5 Solución matemática «Mundo matemático» El ciclo de modelización no es un algoritmo. En muchas ocasiones hay que adelantarse al paso siguiente e ir hacia atrás al paso anterior. Puedes necesitar dar varias vueltas al ciclo para llegar a una solución. Hay más de una solución posible. Muchas veces la solución depende de la persona que trabaja en las tareas. 27

28 Diapositivas extra 28

29 Respecto al contexto de la tarea Real y auténtica? Interesante para los alumnos? Relevante para los alumnos Tarea 1 Sí Podría ser Sí Tarea 2 No estoy seguro Podría ser Podría ser Tarea 3 Sí Podría ser Podría ser Tarea 4 Sí Podría ser Sí Tarea 5 No Probablemente no Seguro que no Tarea 6 Sí Podría ser Podría ser Volver a las conclusiones 29

30 Respecto al conocimiento matemático implicado Tarea 1 Único y completamente determinado por adelantado? No Promueve el uso de distintas partes del conocimiento matemático? Estimación, cálculos aritméticos, medidas, geometría Tarea 2 Sí Funciones lineales Tarea 3 Tarea 4 No No Estimación, cálculos aritméticos, medidas, geometría Estimación, cálculos aritméticos, medidas, álgebra, funciones Tarea 5 Sí Aritmética Tarea 6 No Estimación, cálculos aritméticos Volver a las conclusiones 30

31 Respecto a las soluciones esperadas Una o varias? Naturaleza de la solución esperada? Relación entre la solución y el contexto inicial? Tarea 1 Varias Un número, un intervalo, una afirmación Relevante Tarea 2 Una Un número Relevante Tarea 3 Varias Medidas, intervalos Relevante Tarea 4 Varias Números, intervalos, afirmaciones, funciones, patrones Relevante Tarea 5 Una Un número Totalmente irrelevante Tarea 6 Varias Números, intervalos Relevante Volver a las conclusiones 31

32 Respecto a la actividad de quien resuelve el problema Llevar a cabo un procedimiento «óptimo y único»? Explorar, plantear hipótesis, buscar distintas maneras de trabajar, interpretar y validar sus soluciones...? Tarea 1 No Sí Tarea 2 Sí No Tarea 3 No Sí Tarea 4 No Sí Tarea 5 Sí No Tarea 6 No Sí Volver a las conclusiones 32

33 Diapositivas extra Sesión 2: Describir el proceso de modelización 33

34 El ciclo de modelización (PISA, 2003) Del «problema del mundo real» al «problema matemático» (1, 2, 3) (matematización horizontal, De Lange, 1987) " identificar las matemáticas relevantes respecto a un problema situado en la realidad; " representar el problema de manera distinta, lo que incluye organizarlo según conceptos matemáticos y haciendo suposiciones apropiadas; " comprender las relaciones entre el lenguaje del problema y el lenguaje simbólico y formal que es necesario para entenderlo matemáticamente; " encontrar regularidades, relaciones y patrones; " reconocer aspectos que sean isomorfos a problemas conocidos; " traducir el problema a las matemáticas: por ejemplo, a un modelo matemático. 34

35 El ciclo de modelización (PISA, 2003) Trabajar en el «mundo matemático» (4) (matematización vertical, De Lange, 1987) " utilizar y cambiar entre distintas representaciones; " utilizar lenguaje y operaciones simbólicos, formales y técnicos; " refinar y ajustar modelos matemáticos; " combinar e interpretar modelos; " argumentar; " generalizar. 35

36 El ciclo de modelización (PISA, 2003) Volver a la situación del mundo real (5) (interpretar y validar tanto la solución como el modelo) " comprender la extensión y límites de los conceptos matemáticos; " reflexionar sobre argumentos matemáticos, y explicar y justificar resultados; " expresar el proceso y la solución; " criticar el modelo y sus límites. Vuelta a la presentación 36

37 Ejemplos Tarea 1: Firmar contra una nueva ley Tarea 2: Frecuencia cardiaca 37

38 Ejemplo 1: Firmar contra... Reunir Reunir firmas firmas Llevarlas al Congreso Real - mundo De verdad se problema necesitan 11 furgonetas? 5 Comparar volúmenes n ((n hojas de papel de papel vs. Real 11 vs. furgonetas) solución 11 furgonetas) Debatir sobre la la situación Cuántas hojas hojas de de papel? Cuánto Cuánto Matemático volumen volumen ocupan? ocupan? por por n hojas n Problema hojas de de papel? papel? 4 Cálculos Matemático aritméticos Calcular solución un volumen «Mundo real» «Mundo matemático» Tarea tipo 1: Tarea de modelización (todo el ciclo y los pasos tienen que tenerse en cuenta) Texto de la tarea Vuelta a la presentación 38

39 Ejemplo 2: Frecuencia cardiaca Se proporcionan Dos modelos 2 matemáticos modelos matemáticos (lineales) y (lineales) y una afirmación cualitativa. De qué edad Real en adelante - mundo el nuevo modelo aumenta la frecuencia recomendada por el antiguo? problema por el antiguo? Comparación de dos funciones: x / x < 208-0,7x? 5 4 Interpretar esta desigualdad en Real solución términos términos de edad de y frecuencia edad y cardíaca máxima recomendada. 5 Resolver una desigualdad lineal: x > 40 «Mundo real» «Mundo matemático» Tarea tipo 2: Tarea de aplicación (los pasos 2 y 3 no hay que tenerlos en cuenta: se proporciona el modelo matemático) Texto de la tarea Vuelta a la presentación 39

40 Diapositivas extra Tareas 40

41 Tarea 1: «Firmar contra una nueva ley» Hace poco, el 25 de abril de 2006, el partido español en la oposición presentó en el Congreso firmas contra una nueva ley promulgada por el gobierno. Todos los periódicos españoles publicaron fotos de las grandes cajas y las 10 furgonetas que se habían necesitado para transportar las hojas de papel al Congreso. Crees que esta puesta en escena tenía una intención política o que todas estas cajas y furgonetas eran realmente necesarias para transportar los cuatro millones de firmas? Vuelta a la presentación 41

42 Tarea 2: «Frecuencia cardiaca» Por motivos de salud las personas tienen que limitar sus esfuerzos, por ejemplo al practicar deporte, para no exceder una cierta frecuencia cardiaca. Durante años la relación entre la frecuencia cardiaca máxima recomendada de una persona y la edad de dicha persona se describía según la siguiente fórmula: frecuencia cardiaca máxima recomendada = edad Investigaciones recientes muestran que esta fórmula debería modificarse ligeramente. La nueva fórmula es como sigue: frecuencia cardiaca máxima recomendada = (0,7 x edad) Un artículo periodístico declaraba: «El resultado de utilizar la nueva fórmula en vez de la antigua es que el número de latidos máximo recomendado por minuto para personas jóvenes baja ligeramente, y para personas mayores aumenta ligeramente». De qué edad en adelante aumenta la frecuencia cardiaca máxima recomendada como resultado de la introducción de la nueva fórmula? Muestra tu trabajo. Vuelta a la presentación Obtenido de 42

43 Qué es la modelización? Tarea 3: Festival de música El Festival de Artes Escénicas Contemporáneas de Glastonbury es el mayor festival al aire libre de música y artes escénicas del mundo. En 2005, el área vallada del festival tenía más de 3,6 km² (900 acres), y hubo más de 385 actuaciones en directo. Muchos de los asistentes al festival llevan sus propias tiendas de campaña y duermen dentro de la zona del festival. Gracias a Logan1138. Publicada en Wikimedia Commons Los organizadores necesitan limitar el número de entradas a la venta y el número de tiendas que pueden instalarse para poder garantizar la seguridad. Qué les aconsejarías? Vuelta a la presentación 43

44 Tarea 4: Gas natural Gracias a Stan Shebs. Publicada en Wikimedia Commons Vuelta a la presentación 44

45 Tarea 6: Vecinos En tu opinión, cuánta gente vive en este bloque de pisos? Timbres de la entrada: Vuelta a la presentación 45

46 Tarea 1: «Firmar contra una nueva ley» Hace poco, el 25 de abril de 2006, el partido español en la oposición presentó en el Congreso firmas contra una nueva ley promulgada por el gobierno. Todos los periódicos españoles publicaron fotos de las grandes cajas y las 10 furgonetas que se habían necesitado para transportar las hojas de papel al Congreso. Crees que esta puesta en escena tenía una intención política o que todas estas cajas y furgonetas eran realmente necesarias para transportar los cuatro millones de firmas? Vuelta a la presentación 46

47 Por motivos de salud las personas tienen que limitar sus esfuerzos, por ejemplo al practicar deporte, para no exceder una cierta frecuencia cardiaca. Durante años la relación entre la frecuencia cardiaca máxima recomendada de una persona y la edad de dicha persona se describía según la siguiente fórmula: frecuencia cardiaca máxima recomendada = edad Investigaciones recientes muestran que esta fórmula debería modificarse ligeramente. La nueva fórmula es como sigue: frecuencia cardiaca máxima recomendada = (0,7 x edad) Un artículo periodístico declaraba: «El resultado de utilizar la nueva fórmula en vez de la antigua es que el número de latidos máximo recomendado por minuto para personas jóvenes baja ligeramente, y para personas mayores aumenta ligeramente». De qué edad en adelante aumenta la frecuencia cardiaca máxima recomendada como resultado de la introducción de la nueva fórmula? Muestra tu trabajo. Vuelta a la presentación Tarea 2: «Frecuencia cardiaca» Obtenido de 47

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