Usando variables para expresar relaciones

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1 Bitácora del Estudiante Usando variables para expresar relaciones Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. Cuál es el peso en décimas de los cajones en el espacio del barco de carga? 2. Cuál es el peso en décimas de la draga, de las dos excavadoras y los dos camiones? Explica tu respuesta. 3. Cuáles son los símbolos para el peso de un camión, el peso de una excavadora y el peso de una draga? 4. En el problema, qué símbolos representan las cantidades que no se conocen con la información provista? 5. Qué expresión representa el peso de un camión en relación al peso de una excavadora? Palabras claves: variable expresión Objetivos de aprendizaje: Seleccionar variables para representar cada una de las cantidades conocidas en un problema. Usar las cantidades para representar relaciones entre variables. Sustituir una variable por otra y escribir una ecuación que contiene un término con una variable. 6. Qué expresión representa el peso de una excavadora? 7. Cuál es la expresión que se saca al sustituir la expresión del peso de una excavadora por la variable b en la expresión del peso de un camión? 8. Cuál de las siguientes expresiones es igual al peso de dos camiones 2t? a [1/2(2.5t -- 1)-- 2] c. 2 x [1/2(2.5t -- 1)-- 2] b. 2 + [1/2(2.5t -- 1)-- 2] d. 2 x [(2.5t-1) -- 2] 9. Las variables se pueden utilizar para expresar cantidades. 21

2 Es tu Turno Usando variables para expresar relaciones Dígito está planificando un viaje en automóvil a través de los Estados Unidos. El viaje comenzará en la ciudad de Nueva York y terminará en Los Ángeles, con una parada en Chicago y Omaha. Para planificar bien este viaje, Dígito necesita saber las distancias entre estas ciudades. 1. Imagina que a es igual a la distancia entre la ciudad de Nueva York y Chicago, b es igual a la distancia entre Chicago y Omaha, y c es igual a la distancia entre Omaha y Los Ángeles. a. Utiliza a, b y c para escribir una expresión de la distancia total del viaje. b. La distancia total real es 2,856 millas. Escribe una ecuación en términos de a, b y c que represente la distancia total del viaje. 2. La distancia entre Chicago y Omaha es igual a la mitad de la distancia entre la ciudad de Nueva York y Chicago, más 58 millas. Escribe una ecuación en términos de a y b que represente esta relación. Utiliza las mismas variables que en la pregunta La distancia entre Omaha y Los Ángeles es igual a cuatro veces la distancia entre Chicago y Omaha, menos 241 millas. Escribe una ecuación en términos de b y c que represente esta relación. Utiliza las mismas variables que en la pregunta Usa tus respuestas de las preguntas 1,2 y 3; y escribe una ecuación para la distancia total del viaje en términos solamente de la variable a. 22

3 Bitácora del Estudiante Simplificando expresiones algebraicas Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. a. Dígito escribe 2.5 como la fracción. b. Cuando esta fracción se sustituye por 2.5 en la ecuación (2.5t 1) + 2 [1 2 (2.5t 1) 2] = 102, el resultado es. 2. A qué se refiere el lado izquierdo de la ecuación en la pregunta 1b? 3. a. Simplifica la expresión 2 ( 5 / 2 t 1). b. Qué representa esta expresión? 4. a. Simplifica la expresión 2 [1 2 ( 5 / 2 t 1) 2]. b. Qué representa esta expresión? 5. a. Utiliza las expresiones simplificadas que acabas de escribir, en la parte izquierda del espacio de carga reescribe la expresión para el peso de todos los vehículos. Palabras claves: simplificar orden de operaciones términos semejantes ecuación constante Objetivos de aprendizaje: Simplificar un lado de una ecuación usando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y seguir el orden de las operaciones. Combinar términos semejantes. Investigar los elementos de una expresión algebraica. b. Cuál es el valor numérico de esta expresión? c. Reescribe la expresión sustituyendo 5 / 2 por el decimal apropiado. d. Simplifica la expresión. e. Utiliza esta expresión simplificada, a ambos lados del espacio de carga escribe la ecuación que describe el peso. f. Traduce la expresión a palabras. 23

4 Es tu Turno Simplificando expresiones algebraicas La distancia, en millas, entre la ciudad de Nueva York y Los Ángeles puede expresarse por la siguiente ecuación donde a representa la distancia entre Nueva York y Los Ángeles: a + [(1 2 x a) + 58] + {4[(1 2 x a) + 58] 241} = 2, Reescribe la expresión (1 2 x a) + 58 sin usar paréntesis. 2. Usa la propiedad distributiva y simplifica la expresión 4[(1 2 x a) + 58]. 3. Usa la respuesta (2) y simplifica la expresión 4[(1 2 x a) + 58] Utiliza las expresiones simplificadas 1 y 3 para reescribir la ecuación en términos de a. 5. Simplifica el lado izquierdo de la ecuación en la pregunta 4 combinando términos semejantes. 6. Usa la expresión del ejercicio 5 para reescribir la ecuación que representa la distancia total entre Nueva York y Los Angeles. 24

5 Bitácora del Estudiante Resolviendo las ecuaciones simples Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. La expresión original del peso de los vehículos del espacio de carga es 1d+2b+2t, donde (d) representa el peso en una draga, (b) representa el peso de los niveladores y (t) representa el peso de los camiones. a. Cómo sería la expresión si se coloca un camión adicional en el espacio de carga izquierdo? b. La ecuación que representa el peso original en toneladas en el espacio de carga es 1d + 2b + 2t = 102. Qué hay que hacer al lado derecho de la ecuación si sumamos un camión más al lado izquierdo en el espacio de carga? 2. La variable (t) representa el peso en toneladas de un camión. La ecuación simplificada para los pesos de los camiones originales de los lados izquierdo y derecho del espacio de carga es 7.5 t + 27 = 102. a. Cuál es el primer paso que Dígito puede usar para despejar 7.5 t en la ecuación? Palabras claves: ecuación constante coeficiente operación inversa sustituir orden de operaciones Objetivos de aprendizaje: Balancear una ecuación. Despejar una variable, sumando o restando una constante en ambos lados de una ecuación. Multiplicar o dividir, ambos lados de una ecuación, por el coeficiente de una variable para resolver una ecuación. Cotejar la solución de una ecuación al sustituir los valores de la variable. Resolver una ecuación en dos pasos usando operaciones inversas. b. Qué puede hacer Dígito para eliminar el punto decimal del lado izquierdo mientras mantiene la ecuación balanceada? c. Qué puede hacer Dígito después para encontrar el valor de t? d. Cuál es el valor en décimas de t? 3. a. Cómo puede Dígito verificar el valor de t en la pregunta 2d? b. Sutituye el valor de t en el lado izquierdo de la ecuación y muestra que está correcto. 25

6 Es tu Turno Resolviendo ecuaciones simples La distancia en millas de la ciudad de Nueva York a Los Ángeles está representada por la ecuación: 7 ª/ = 2,856, donde a es igual a la distancia entre la ciudad de Nueva York y Chicago. 1. Cuál es el primer paso para despejar la 7 ª/ 2 en esta ecuación? 2. Cómo queda la ecuación ahora? 3. Qué debe hacerse a la ecuación 2 para eliminar el denominador del coeficiente de a? 4. Cómo queda la ecuación? 5. En la ecuación 7a = 5,614, qué debe hacerse para despejar la variable manteniendo la ecuación balanceada? 6. La variable a representa la distancia entre Nueva York y Chicago. La variable b representa la distancia entre Chicago y Omaha. Si a = 802, utiliza la ecuación 1 b = 2 a + 58 para encontrar el valor de b. 7. La variable c representa la distancia entre Omaha y Los Ángeles. Utiliza el valor de b de la pregunta 6 y la ecuación c = 4b 241 para encontrar el valor de c. 26

7 Repaso de la Unidad Usando variables para expresar relaciones 1. Juntos, los planetas Júpiter, Marte y Saturno tienen 36 lunas. Utiliza las variables j, m y s para representar el número de lunas alrededor de la Tierra y responder las preguntas a continuación. a. Escribe una ecuación para mostrar que Marte tiene dos menos un cuarto el número de lunas de Júpiter. b. Escribe una ecuación para mostrar que Saturno tiene dos más ocho veces el número de lunas de Marte. c. Usa las ecuaciones de a y b y escribe una ecuación para el número total de lunas alrededor de estos planetas en términos de j, el número de lunas alrededor de Júpiter. Simplificando expresiones algebraicas 2. La variable j representa el número de lunas alrededor de Júpiter. Una ecuación para las lunas alrededor de Júpiter, Marte y Saturno en términos de j: j + (1 4 j 2) + [8(1 4 j 2)] + 2 = 36 a. Usa la propiedad distributiva y simplifica la expresión. 8(1 4 j 2) b. Simplifica el lado izquierdo de la ecuación en términos de j. c. Soluciona la ecuación en b para encontrar el número de lunas alrededor de Júpiter. Resolviendo ecuaciones simples 3. a. Soluciona esta ecuación para c: 4(3c+ 7) 5c = c 44 b. Usa la sustitución y verifica tu respuesta. 27

8 13 4. La ecuación j = 52 representa el número de lunas j alrededor de 4 Júpiter. a. Soluciona esta ecuación para j. Demuestra tu trabajo. b. Si el número de lunas m alrededor de Marte es igual a j - 2, 4 encuentra el número de lunas marcianas. Demuestra tu trabajo. c. Si el número de lunas s alrededor de Saturno es igual a 8 m + 2, cuántas lunas tiene Saturno? Unamos todo lo aprendido Repaso de la Unidad 5. Cada una de estas ecuaciones tienen 3 términos en el lado izquierdo. Completa la tabla y resuelve la variable en cada ecuación. 1 Ecuación 2 do término simplificado 3 er término simplificado Ecuación simplificada Valor de la variable 6+3(a+6)+2/5(10a 7.5) 34-[1/2(6k 2)+8]+2(2k+12)=68 66+[7/3(f+54)] [4(1/3f-16]= a. Cada ecuación lineal, en una variable tiene solamente una solución. Resuelve cada variable, mostrando tu trabajo.,, b. Explica tus respuestas de 6a. 28

9 Avalúo de la Unidad 1. Cada elemento químico tiene un número atómico. El número atómico te indica cuántos protones hay en el núcleo de un átomo. El número atómico del hierro es dos veces más que tres veces el número atómico de oxígeno. a. Utiliza los símbolos químicos Fe para el hierro y O para oxígeno, escribe una ecuación que represente la relación entre los números atómicos de Fe y O. b. Cuál de los siguientes expresa el número atómico O en términos de Fe? (1) 3 x i + 2/3 (2) 3 i + 2/3 (3) i 3-2/3 (4) i + 3-2/3 2. El número atómico del calcio (Ca) es la mitad del hierro (Fe), más siete. a. Escribe una ecuación que represente el número atómico de Ca en términos de Fe. b. Cuál de los siguientes expresa el número atómico de Fe en términos de Ca? (1) 1/2 x (Ca - 7) (2) 2 x (Ca - 7) (3) 2 x (Ca - 3.5) (4) 7 x (Ca - 1/2) 3. La suma de números atómicos para el oxígeno, el hierro y el calcio es 54. Utiliza los símbolos O, Fe, y Ca y escribe una ecuación que represente la suma. 4. Utiliza tus respuestas en 1b, 2a, y 3. Escribe una ecuación para la suma de los números atómicos de estos elementos en términos de Fe. 5. Soluciona la ecuación en el ejercicio 4 para encontrar el número atómico de Fe. 29

10 Avalúo de la Unidad 6. Katy y Clara trabajan en el Parque Nacional Lobo Solitario. Cada día para llegar al trabajo, Katy tiene que conducir cinco millas más del doble de millas que conduce Clara. a. Imagina que la distancia entre la casa de Clara y el parque está representada por la variable d. Expresa la distancia que conduce Katy en relación a d. b. La suma de las distancias que conducen Katy y Clara hasta el trabajo es 47 millas. Escribe una ecuación en cuanto a d que represente esta suma. c. Cuán lejos del parque vive cada persona? 30