SIGNIFICADO DADO A LOS FENÓMENOS ALEATORIOS EN EL CONTEXTO DE LA ENSEÑANZA MEDIA URUGUAYA

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1 SIGNIFICADO DADO A LOS FENÓMENOS ALEATORIOS EN EL CONTEXTO DE LA ENSEÑANZA MEDIA URUGUAYA Liliana Tauber - Luciana Olesker Facultad de Humanidades y Ciencias. Universidad Nacional del Litoral (Argentina) - Liceo I.A.V.A. (Uruguay) Educación Estadística - Nivel Medio (11 a 18 años) Investigación Resumen: Se presenta una investigación acerca del significado dado a la aleatoriedad y la probabilidad en el contexto de la enseñanza media en el Uruguay. Es también intención de este trabajo acercarse al significado de probabilidad vigente en la institución escolar del Uruguay y cuál es el tratamiento didáctico dado al tema. A través del análisis de libros de texto determinamos el Significado Institucional del azar y la probabilidad. Por otro lado, se investigó acerca de los significados que los estudiantes asignan a los fenómenos aleatorios, y cómo manejan éstos las ideas vinculadas a la probabilidad frecuencial. Existen ciertos conceptos vinculados al azar y a la probabilidad que son contraintuitivos, por lo que muchas veces, los significados que los estudiantes atribuyen a ellos no son matemáticamente correctos. Ello pudiera ser un obstáculo a la hora del aprendizaje de la probabilidad. Se elaboró un cuestionario y se aplicó en grupos de tercer y sexto año de Enseñanza Media en Montevideo. De esta manera determinamos el Significado Personal que los estudiantes dan al azar y a sus características. 1. Contextualización del Problema de estudio La enseñanza de la probabilidad La teoría de Probabilidad es, en la actualidad, una de las ramas más fecundas de las Matemáticas. Actualmente, existe una gran cantidad de información estocástica y una gran difusión de la misma a través de los medios de información. Este hecho y la importancia de esta información para la toma de decisiones en nuestra comunidad, hace que nos planteemos el desafío de dar a nuestros estudiantes una formación lo más sólida posible sobre los fenómenos estocásticos. Creemos que un razonamiento aleatorio correcto y una comprensión adecuada de la probabilidad son tan necesarios para la formación integral del individuo, como lo son la capacidad aritmética y algebraica. Diversos investigadores recomiendan la iniciación temprana al estudio de la probabilidad en su acepción frecuencial. De acuerdo a los estándares del NCTM (2000), los estudiantes deberían tener la oportunidad de explorar de forma activa los modelos de probabilidad, pudiendo así desarrollar una correcta intuición estocástica. Esta recomendación está presente en la mayoría de los nuevos currículos del Uruguay, tanto para la enseñanza primaria y secundaria, como técnica. La enseñanza de la probabilidad tradicionalmente ha estado ligada al aprendizaje de algoritmos matemáticos. Los nuevos currículos sugieren que los estudiantes se acerquen a la probabilidad desde edades muy tempranas, a través de experiencias estocásticas sencillas vinculadas a contextos familiares. Esta tendencia de renovar la enseñanza de la probabilidad, volviéndola más experimental, nos lleva entonces a interesarnos en reflexionar sobre su naturaleza y los componentes de su comprensión Estado actual de conocimiento sobre el tema y problemática a abordar Realizaremos en este apartado una síntesis de las investigaciones sobre el tema que nos permitirán enmarcar nuestra problemática de estudio. La ocurrencia de errores en el pensamiento y las conductas que desestiman la lógica de la probabilidad han sido estudiadas por diversos autores. Por ejemplo, Kahneman, Slovic y Tversky (1982), han llamado la atención sobre el débil razonamiento estocástico en sujetos adultos y han señalado la utilización de heurísticas 1. Entre las heurísticas definidas por dichos autores, definen la llamada heurística de 1 Kahneman, Slovic y Tversky (1982), denominan heurísticas a ciertas estrategias inconscientes que suprimen parte de la información del problema, reduciendo así su complejidad y haciéndolo accesible al resolutor.

2 la representatividad, la cual se produce cuando se evalúa la probabilidad de un suceso en base a la representatividad del mismo respecto a la población de la cual proviene. Este tipo de razonamiento prescinde del tamaño de la muestra, otorga a un número limitado de ensayos la capacidad de reproducir todas las características de la población, lo cual lleva a razonamientos probabilísticos limitados. En los trabajos de Lecoutre (1988), se describe la creencia de la equiprobabilidad de todos los sucesos asociados a una experiencia aleatoria, incluso en aquellos en que no es aplicable el principio de indiferencia. Este principio es el que justifica la equiprobabilidad de los resultados en un experimento aleatorio. El principio afirma que, si tenemos n posibilidades mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivas, y las n posibilidades son indistinguibles excepto por sus nombres, entonces, cada posibilidad se debe asignar una probabilidad igual a 1/n. Konold (1989), se interesó en cómo los sujetos realizan juicios de probabilidad y en cómo interpretan las preguntas de probabilidad. Llegó a la conclusión que, en general, los sujetos interpretan las preguntas sobre probabilidad de forma no probabilística. Para muchos sujetos el objetivo de una pregunta de probabilidad es predecir si un determinado evento sucederá o no en el siguiente experimento. Godino et. al. (1998), se han preguntado, desde el ámbito educativo, cómo minimizar y controlar la presencia de estos sesgos en los razonamientos probabilísticos. Serrano, et. al. (1996), han detectado la presencia de las heurísticas mencionadas en los estudiantes de educación secundaria en España. Muchas veces el lenguaje utilizado, el contexto en el que se enmarcan los problemas y el tratamiento del tema en los libros de texto, afirman las estrategias erróneas y no eliminan los sesgos en los razonamientos anteriormente mencionados (Serradó, Cardeñoso y Azcárate, 2005). 2. Marco teórico didáctico adoptado El concepto de significado es de enorme importancia para la Didáctica de la Matemática. Muchas investigaciones centran sus objetivos en cuál es el significado que le atribuyen los estudiantes a determinados objetos matemáticos. Sin embargo, el tema de qué es el significado es controversial desde el punto de vista filosófico. Es por ello que debemos enmarcar qué entenderemos por significado en nuestra investigación. En este aspecto, nuestro estudio se centra en la teoría de los significados sistémicos (Godino y Batanero, 1994; Godino, 2003). Con respecto al significado, los autores adoptan una posición pragmática, o sea que el significado de un objeto matemático es mucho más que su mera definición matemática, está relacionado al contexto donde se utiliza, su significado está estrechamente relacionado a los problemas y a la actividad realizada para su resolución. Se distinguen dos tipos de significados para los objetos matemáticos. El conjunto de prácticas institucionales asociadas a un objeto en un momento dado conforma el significado institucional del objeto. Y por otro lado, al sistema de prácticas personales que manifiesta una persona al resolver un problema se lo define como el significado personal del objeto. Distinguiremos para los objetos y prácticas matemáticas estudiadas, diferentes elementos de significado presentes en ellos. Los extensivos, éstos son los diferentes problemas presentes, siempre enmarcados dentro de un campo de problemas que definiremos previamente. Los actuativos, que corresponden a las formas de actuar ante las situaciones problemas: operaciones, algoritmos, procedimientos, técnicas, etc. Los ostensivos, que corresponden a las diferentes representaciones utilizadas en la actividad: notaciones, símbolos, gráficos, etc. Los intensivos que son las definiciones y conceptos presentes (intensivos nominales) y las proposiciones, propiedades, generalizaciones (intensivos proposicionales). Finalmente, los validativos, argumentaciones o justificaciones usadas para validar las respuestas y formas de actuar en cada problema. 3. Determinación del Significado Institucional de Referencia. Realizado un análisis de contenido de los libros de texto de tercer año de Ciclo Básico y de Bachillerato, hemos podido identificar los elementos más comunes del significado de la probabilidad, quedando determinado así el significado institucional de referencia a partir del cual hemos desarrollado nuestra investigación. A continuación, presentaremos las principales tendencias observadas respecto al uso de elementos de significado vinculados al azar y a la probabilidad. En primer lugar, debemos señalar un hecho significativo para nosotras, esto es

3 que ninguno de los libros analizados consta con un capítulo destinado al azar, este hecho es común en todos los libros, tanto de Ciclo Básico como de Bachillerato. En los mejores casos, aparecen unos pocos problemas sobre el azar previo a dar las definiciones de probabilidad. Pareciera que existe la creencia general de que los aspectos vinculados a la aleatoriedad y sus características surgen espontáneamente a partir de la resolución de problemas de probabilidad. Creemos que no trabajar explícitamente con el significado de azar y sus características, dejar librado a que esta caracterización se vaya construyendo a lo largo de la unidad puede llevar a que los estudiantes se afiancen en ideas erróneas. Ideas estocásticas surgidas de su experiencia y sus intuiciones, que son a menudo matemáticamente incorrectas y pueden generar obstáculos en la enseñanza. Se construye el concepto de aleatoriedad a la sombra del de probabilidad. Es así que, pareciera implícitamente quedar establecido que azar es todo aquello a lo que se le calcula la probabilidad. El problema está en que en estos niveles se trabaja resolviendo problemas de probabilidad en contextos simples, esencialmente vinculados a los juegos de azar, por lo que el azar quedaría reducido a estos contextos únicamente, dejando de lado ejemplos en donde se presenta en la naturaleza o en fenómenos sociales más complejos. A partir de nuestro estudio hemos identificado los principales campos de problemas presentes en los libros de texto, lo cual nos ha permitido determinar el significado de referencia. Por otro lado, al analizar la frecuencia de aparición de los diferentes campos de problemas, hemos logrado tener una idea de qué elementos extensivos tienen prioridad en el significado institucional pretendido en cada uno de los niveles de enseñanza. Así, hemos identificado, en primer lugar, campos de problemas en los cuales se reflexiona sobre el azar, los fenómenos aleatorios y cómo se vinculan éstos con las ideas básicas de probabilidad. Estos problemas son de gran relevancia para comprender significativamente el concepto de probabilidad, sin embargo, este campo de problemas no tiene un papel destacado en los libros analizados, sirviendo, en general, sólo para ejemplificar definiciones. Los problemas que se vinculan directamente con la asignación de probabilidades son los que tienen una mayor frecuencia. Existe una preponderancia de problemas con un enfoque clásico, en los que se aplica la regla de Laplace y las propiedades de la probabilidad. No aparecen en los textos problemas cuyo centro sea el significado del azar, ni aparecen problemas de simulación y probabilidad frecuencial. Esta preponderancia es mucho más marcada en los textos de Bachillerato que en los textos de Ciclo Básico. Los contextos geométricos y los problemas vinculados a la probabilidad frecuencial tienen una frecuencia mínima en estos libros, en las que se les da poca relevancia, utilizándoles sólo para ejemplificar o para mostrar experiencias ya realizadas, por lo que el estudiante debe observar y no hacer activamente experiencias. En general, se reduce el enfoque frecuencial a casos en donde la equiprobabilidad no es posible. Si bien somos concientes de la importancia que tiene el enfoque frecuencial para asignar probabilidades en contextos de no equiprobabilidad, este no es ni debe ser su único uso. Este análisis muestra una tendencia excesivamente clásica de la probabilidad, con un gran énfasis en lo operatorio sobre lo experimental. Es destacable una diferencia que pudimos detectar entre los libros de Ciclo Básico y los de Bachillerato, en los primeros hay una presencia mayoritaria de problemas asociados a la definición clásica de Laplace, lo cual es coherente con las definiciones presentadas. Sin embargo, en los libros de Bachillerato se presentan todas (o casi todas) las definiciones de probabilidad, pero sólo se plantean problemas de la definición clásica, por lo que las otras definiciones si bien se presentan en los textos, tienen un lugar totalmente marginal. Con el objetivo de resolver los problemas planteados se presentan en los textos una serie de prácticas. Éstas, además de ser un medio para resolver los problemas, pasan a ser objeto de enseñanza. En los libros de Ciclo Básico hemos determinado esencialmente tres elementos actuativos. El primer elemento actuativo fundamental es, realizar la razón entre los casos favorables y posibles, el cual aparece desarrollado explícitamente en todos los libros, además, se hace énfasis en que su aplicación implica la equiprobabilidad de los sucesos elementales y se la utiliza en estas condiciones. Sin embargo, no se observa como elemento actuativo

4 explícito el estudio de esta condición de equiprobabilidad, previa a la utilización de la regla de Laplace. Otro elemento actuativo de importancia destacada es la utilización de técnicas de conteo. Hemos evidenciado la utilización de diagramas de árbol y la escritura por extensión de permutaciones y combinaciones. Finalmente, en algunos casos, para la resolución de diversos problemas se realiza (o simula) una experiencia aleatoria, aunque se presenta con muy poca frecuencia. La realización de experiencias aleatorias está presente en varias oportunidades en dos de los tres libros analizados, mientras que la simulación sólo en uno. A diferencia de lo que sucede en el Ciclo Básico, en los libros de Bachillerato, se utilizan además del diagrama de árbol, combinaciones, arreglos y permutaciones, sus definiciones y sus fórmulas, que han sido desarrolladas en capítulos anteriores de cada uno de los libros analizados. Un tercer actuativo presente es la utilización de propiedades de la probabilidad. Como hemos mencionado, no existen casi problemas vinculados a la probabilidad frecuencial, por lo que no aparecen desarrollados elementos actuativos vinculados a la experimentación ni a la simulación. Consideramos que este hecho limita de gran manera la comprensión del azar y creemos que se verá reflejado en los significados personales puestos en juego por los estudiantes. En cuanto a las definiciones y formas de presentar la probabilidad, en los libros de Ciclo Básico se presentan la definición clásica, la frecuencial y la geométrica. La primera aparece en todos los casos dada explícitamente, la segunda sólo aparece explícitamente en uno de los textos asociándola casi exclusivamente a experiencias de sucesos no equiprobables y no a otras. Finalmente, la definición geométrica sólo aparece de forma implícita. No existe ninguna mención en estos libros respecto del enfoque subjetivo. Diversas propiedades se presentan en los libros respecto al tema, las más destacadas son que la probabilidad es un número entre 0 y 1, y la ley de los grandes números. Algo muy breve aparece sobre las propiedades de los sucesos y sus probabilidades. Con respecto a los elementos intensivos nominales presentes en los textos de Bachillerato hemos mostrado que están presentes en este significado las diferentes definiciones de probabilidad. Yendo a cada una en concreto, vimos que en todos los libros analizados, aparece explícitamente la definición de Laplace, mientras que la definición frecuencial aparece en los tres libros, en uno de ellos de manera formal y en los otros dos a través de ejemplos particulares. El enfoque subjetivo de la probabilidad aparece en dos de los libros analizados, en ambos, se presenta la probabilidad de un suceso como grado de confianza que una persona tiene de que ocurra un evento considerando toda la información disponible. Finalmente, en todos los textos analizados se presenta el desarrollo axiomático de la probabilidad. Entonces, concluimos que, a diferencia de lo ocurrido en los libros de Ciclo Básico, existe una mayor variedad de definiciones de probabilidad en los de Bachillerato. Sin embargo, nos parece necesario destacar que no todas ellas tienen la misma jerarquía, pues no todas se relacionan con la misma frecuencia con los elementos extensivos. Existen muchos campos de problemas en los que se aplica la definición clásica de probabilidad y muy pocos en los que se trabaja con los demás elementos intensivos nominales. Al igual que en el caso anterior se presenta la propiedad de que la probabilidad es un número entre 0 y 1 y la ley de los grandes números. A diferencia de lo analizado para Ciclo Básico, aparecen diversas propiedades de la probabilidad como por ejemplo, la de sucesos complementarios, de la unión e intersección de sucesos, etc. Finalmente, nos hemos centrado en los elementos validativos que se presentan en los libros de texto, encontrando que en los de Ciclo Básico, la validación se da a través de la probabilidad empírica y a través de la realización (o simulación) de experiencias, para validar conceptos y resultados que se han ido desarrollando. No aparecen en los libros, demostraciones deductivas formales. En todos los casos, se utilizan demostraciones informales que se apoyan en la experimentación, representación gráfica y comprobación de casos, para pasar luego a generalizar. En los libros de Bachillerato existe un equilibrio entre las demostraciones formales e informales, observándose los siguientes tipos de validación: a través de la realización de una experiencia aleatoria, a través de la generalización de un resultado en un caso particular y deductiva formal.

5 4. Significado Personal puesto en juego por los estudiantes al responder el cuestionario A continuación realizaremos el análisis del significado personal puesto en juego por los estudiantes al resolver las consignas de un cuestionario elaborado para esta investigación (ANEXO 1). Este cuestionario se aplicó a dos grupos de estudiantes: el primero, está culminando el Ciclo Básico y el segundo, culminando el Bachillerato. El primer grupo es conformado por estudiantes de entre 14 y 15 años y tiene escasa instrucción en probabilidad. El segundo grupo está conformado por estudiantes de 18 años, que al haber cursado toda la enseñanza media, han recibido enseñanza de probabilidad y estadística prevista en el currículo para el nivel medio. Presentaremos aquí las principales conclusiones de este análisis y aclaramos que no se realiza un análisis del cuestionario por la limitación de espacio. Podemos afirmar que las actividades en las que se presentó una mayor concordancia entre el significado institucional previsto y el significado personal fueron las vinculadas a la aplicación de Laplace en experiencias con espacios muestrales inmediatos (en ambos grupos de estudio). Este hecho podía ser esperable dado que este elemento de significado es prioritario en el significado institucional de referencia, como mostramos con el análisis de los libros. Sin embargo, el análisis realizado no nos permite afirmar que los estudiantes se desenvuelven bien en el contexto de problemas clásicos pues hubo otras actividades en las que también entraba en juego la definición de Laplace y no obtuvieron los mismos buenos resultados. La diferencia está en que en las primeras actividades el espacio muestral es inmediato, o bastante simple de visualizar, mientras que en las segundas actividades, se presentan numerosas dificultades en las actividades que se requiere un razonamiento combinatorio para establecer los casos posibles que pueden darse. Las actividades en donde hubo menos puntos de contacto entre el significado personal y el previsto fueron las dedicadas a la probabilidad en su enfoque frecuencial. Habíamos previsto este hecho dada la poca importancia que se le da a este enfoque en los libros analizados. En cuanto a los elementos intensivos proposicionales, los estudiantes tienen presente que la probabilidad es un número entre 0 y 1 y en menor medida que la anterior, la propiedad de la probabilidad de los sucesos complementarios. Los resultados no fueron tan favorables para la ley de los grandes números, esta propiedad no entró en juego en casi ninguna de las respuestas de los estudiantes, así como tampoco la multiplicidad de las probabilidades. Por otra parte, hemos detectado en las respuestas de los estudiantes, la presencia de la heurística de la representatividad, de tal manera que prescinden del tamaño de la muestra en cuestión, por lo que manifiestan como significado una especie de ley de los pequeños números. Es así que esperan que en toda muestra, por pequeña que sea, se verifique la probabilidad teórica del suceso. Ha quedado evidenciado que la ley de los grandes números no es un significado que tengan incorporado, lo cual trae aparejado que los razonamientos probabilísticos que pueden hacer se vean limitados y sesgados. Por otro lado, este hecho trae como consecuencia enormes dificultades para comprender la probabilidad desde su acepción frecuencial, dado que la tendencia de la probabilidad experimental a la teórica cuando el número de experiencias tiende a infinito, es básico para un buen razonamiento frecuencial. Ahora bien, la no incorporación significativa de la ley de los grandes números, además de generar obstáculos en la enseñanza de la probabilidad, tendrá impactos enormemente negativos en el desarrollo de la comprensión estadística. En definitiva, como docentes no podemos eludir la responsabilidad de lograr que este concepto, que es central para la educación estocástica, sea aprendido significativamente. Debemos también destacar ciertas ideas erróneas sobre el azar que han manifestado los estudiantes. Una de ellas, que tiene graves consecuencias en los razonamientos probabilísticos, es la asociación entre azar y falta de orden o patrón alguno. De esta manera, los estudiantes razonan equivocadamente, por ejemplo, rechazando las rachas en las secuencias aleatorias. Además, muchas veces esto lleva a que se asigne mayor probabilidad a secuencias que en realidad no la tienen. Dan características al azar que no tiene, como por ejemplo, cuando se menciona que los resultados en un experimento aleatorio serán intercalados o variados. Estas ideas erróneas se transforman en verdaderos obstáculos

6 para comprender la naturaleza de los fenómenos aleatorios. Otro significado personal no acorde al institucional es el llamado falacia del jugador, o matemáticamente hablando, la dificultad para comprender la independencia de los sucesivos ensayos en experiencias independientes. Otro aspecto que ha quedado evidenciado en nuestro análisis es una marcada dificultad de los estudiantes en comprender el concepto de frecuencia relativa. En diversas ocasiones, los estudiantes confunden la frecuencia relativa con la absoluta. En base a la frecuencia relativa podemos comparar la probabilidad de diversos sucesos, pero no en base a la frecuencia absoluta. Esta confusión entre las frecuencias dificultará sin duda un buen aprendizaje de la probabilidad. Vinculado a ello, también pudimos detectar una dificultad para relacionar la probabilidad de un suceso con su frecuencia relativa en una serie sucesiva de experimentos. Otra dificultad se vincula al razonamiento combinatorio, lo cual trae dos consecuencias que sesgan los razonamientos de los estudiantes. La primera, es tratar sucesos que son compuestos como sucesos simples, esto es, no percibir que, el suceso al tirar dos monedas salga un número y una cara es verificado por dos eventos, mientras que el que salgan dos caras sólo por uno. En segundo lugar, estas dificultades generan el llamado sesgo de la equiprobabilidad, el cual hace que muchas veces se aplique el principio de indiferencia cuando no es posible. Cabe destacar también, que los estudiantes no han manifestado como un elemento de significado el estudio de la equiprobabilidad previo a la aplicación de la regla de Laplace, asumen como implícita la equiprobabilidad de los sucesos. Hemos también incluido actividades, basadas en investigaciones previas, que buscaban la presencia en los estudiantes del enfoque en el resultado aislado. Esto ha quedado de manifiesto en muchas respuestas de los estudiantes que no fueron capaces de interpretar la probabilidad como una frecuencia relativa, sino que la interpretan como una predicción del siguiente experimento. De esta manera, consideran que un 50% de probabilidad implica que el suceso es verdaderamente aleatorio. Cualquier porcentaje mayor a ello se evalúa como seguro e inferior como imposible. Los resultados obtenidos sobre la presencia de este sesgo en los razonamientos probabilísticos son de suma importancia para la enseñanza de la probabilidad en su acepción frecuencial. Interpretar la probabilidad con carácter predictivo y no como frecuencia relativa en una serie sucesiva de ensayos, se transformará en un verdadero obstáculo para la enseñanza. Otro elemento de significado que no entró en juego en las respuestas de los estudiantes fue la asignación de probabilidades concretas, ya sea de forma frecuencial, clásica o geométrica, dependiendo del contexto del ejercicio. En ninguna de las once actividades del cuestionario se pide explícitamente calcular la probabilidad de ciertos sucesos, esto es, no se pregunta cuál es la probabilidad de tal o cuál situación. El objeto de ello fue evaluar si éste era un significado incorporado en los estudiantes, si lo tienen como una estrategia significativa para resolver las actividades vinculadas a la probabilidad. Los resultados en este sentido son preocupantes, ya que la asignación de probabilidades numéricas concretas fue realizada por una minoría de estudiantes. Quizás esto se deba en algunos casos a una incapacidad de hacerlo en los contextos planteados por no contar con las herramientas adecuadas, y en otros casos, simplemente a que no les surge esta necesidad. Sea por la razón que sea, no poner en juego este significado trae como consecuencia que los razonamientos probabilísticos de los estudiantes se vean limitados, quedando así sesgado el enorme potencial que tiene la asignación de un número entre cero y uno como probabilidad de los sucesos. Finalmente, debemos remarcar un significado que mostraron los estudiantes, que no previmos en nuestro análisis previo, que es el rechazo de la aleatoriedad en las experiencias que les planteamos. Creemos que esto es consecuencia de la dificultad que les genera la actividad y entonces lo usan como estrategia para simplificar el problema. Nos confirma esta percepción que los estudiantes que utilizan esta estrategia lo hacen en las actividades en las cuales la comparación de probabilidades tiene mayor complejidad. De esta manera, no dudan de la aleatoriedad que puede tener tirar dos monedas al aire pero sí la de repartir tres abrigos al azar. Referencias bibliográficas

7 Batanero, C., Serrano, L. y Ortiz de Haro, J. (1996). Interpretación de enunciados de probabilidad en términos frecuenciales por alumnos de Bachillerato. Suma, 22, Belcredi, L. y Zambra, M. (2000) Matemática 3 Gauss. Montevideo: La Flor del Itapebí. (pp ). Borbonet, M., Burgos, Martinez, A. y Ravaioli, N. (2000) Matemática 3. Montevideo: Fin de Siglo (pp ). Cólera, J., García R. y Olivera M. J. (2002). Matemáticas I Bachillerato. Madrid: Anaya. (pp ). Fernández Val, W. (2010). Matemática de Bachillerato 2º año: núcleo común. Montevideo: Ediciones del Palacio. (pp ) Gallo, E., Haniotis, S. y Silvera J. (2001). Mikrakys. Montevideo: Fin de Siglo. (pp ). Godino, J. D.; Batanero, C. y Cañizares, M. J. (1998). Azar y probabilidad. Fundamentos didácticos y propuestas curriculares. Madrid, Síntesis. Godino, J. D. y Batanero, C. (1994). Significado institucional y personal de los objetos matemáticos. Recherches Didactique des Mathématiques, 14(3): Godino, J. D. (2003). Teoría de las funciones semióticas. Un enfoque ontológico-semiótico de la cognición e instrucción matemática. Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada. Disponible en Internet: Kahneman, D.; Slovic, P. y Tversky, A. (1982). Judgment Under Uncertainty: Heuristics and Biases, Nueva York, Cambridge University Press. Konold, C. (1989). Informal conceptions of probability. Cognition and Instruction, 6, Lecoutre, M. P. y Durand, J. L. (1988). Judgements probabilistes et modèles cognitifs: étude d'une situation aleatoire. Educational Studies in Mathematics, 19, National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principals and Standards for School Mathematics. USA: NCTM. Ochoviet, C. y Olave, M. (2009) Matemática 3. Montevideo: Santillana (pp ). Serradó, A., Cardeñoso, J.M. y Azcárate, P (2005). Las concepciones deterministas, un obstáculo para el desarrollo profesional del docente en el campo probabilístico. Actas del V Cibem. Congreso Ibero-Americano de Educaçao Matemática. Portugal: Porto..

8 ANEXO Presentamos a continuación el cuestionario tal cual fue aplicado a los estudiantes. Actividad 1: Consideremos las siguientes ruletas. RULETA A RULETA B 1.1. Para ganar necesitas que al girar la ruleta frene en el color amarillo. Cuál de las ruletas elegirías para jugar? Por qué? 1.2. Si tiramos la ruleta A 120 veces, Qué resultado será más fácil de obtener? a) 60 veces amarillo b) 15 veces amarillo c) 100 veces amarillo Por qué? 1.3. Imagina que haces girar 40 veces cada ruleta, sin hacer trampa. Inventa una secuencia para cada ruleta. En cada espacio debes poner R (rojo), A (amarillo), Z (azul) y V (verde), según imaginas que vaya saliendo. RULETA A: RULETA B: Actividad 2: Sabemos que en el Uruguay aproximadamente la mitad de los bebés que nacen son varones y la otra mitad niñas En un Hospital cualquiera del Uruguay Cuál de los siguientes casos te parece más probable? a) Que en los siguientes 10 nacimientos 8 sean varones. b) Qué en los siguientes 100 nacimientos 80 sean varones. c) Ambos casos son igualmente probables. Por qué? 2.2. En un Hospital de Montevideo se han registrado 100 nacimientos el mes pasado, mientras que en un Hospital de la ciudad de Flores hubo 20 nacimientos. En cuál Hospital crees que sería más esperable que hallan nacido un 70 % de varones este mes? a) Hospital de Montevideo b) Hospital de Flores c) sería igual de esperable en ambos. Por qué? Actividad Nicolás le propone a Fernanda jugar el siguiente juego: Se tiran 2 monedas al aire, si en ambas sale CARA gana Fernanda 1 punto, en caso contrario gana Nicolás 1 punto. Te parece un juego justo? Si fueras Fernanda aceptarías las reglas del juego? Por qué? 3.2. Fernanda propone otras reglas: Se tirarán las 2 monedas, si salen las dos iguales ganará ella 1 punto de lo contrario ganará Nicolás 1 punto. Piensas que ahora el juego es justo? Por qué? Actividad 4: Como se ve en la figura, tenemos cuatro bolsas con pelotas ROJAS y AZULES. BOLSA 1 BOLSA 2 BOLSA 3 BOLSA 4

9 Imaginando que sacamos pelotas al azar. Te pido que indiques si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F) y expliques por qué a) Es más fácil obtener una pelota ROJA en la BOLSA 1 que en la BOLSA 2: V/ F Porque: b) Es más fácil obtener una pelota ROJA en la BOLSA 2 que en la BOLSA 4: V/ F Porque: c) Es más fácil obtener una pelota ROJA en la BOLSA 1 que en la BOLSA 4: V/ F Porque: d) Es más fácil obtener una pelota ROJA en la BOLSA 1 que en la BOLSA 3: V/F Actividad 5: Tres alumnos le dan sus abrigos a la Profesora, para que ésta los guarde en un armario. Al terminar la clase la profesora reparte los 3 abrigos a los 3 alumnos al azar. Qué suceso te parece más posible que ocurra? a) Que cada alumno se lleve la campera que le pertenece. b) Qué ninguno se lleve la campera correcta. c) Qué solo uno se lleve la campera correcta. Por qué? De los sucesos que te parecen menos posibles, hay alguno que te parezca más posible que el otro? Actividad 6: 6.1. El Centro Meteorológico quiso determinar la precisión de su meteorólogo. Buscaron sus registros de aquellos días en los que el meteorólogo había informado que había un 70 % de posibilidades de lluvia. Compararon estas predicciones con los registros que indicaban si llovió o no en esos días en particular. La predicción del 70 % de posibilidades de lluvia puede considerarse muy precisa si: a) Llovió entre el 95 % y el 100 % de esos días b) Llovió entre el 85 % y el 94 % de esos días c) Llovió entre el 75 % y el 84 %de esos días d) Llovió entre el 65 % y el 74 % de esos días e) Llovió entre el 55 % y el 64 % de esos días 6.2. Supongamos que este meteorólogo dice que mañana hay un 70 % de posibilidades de lluvia y mañana no llueve. Qué conclusión sacarías sobre su predicción de que había un 70 % de probabilidades de lluvia? Actividad 7: Al tirar una moneda al aire, tenemos dos resultados posibles: CARA (C) o NÚMERO (N) 7.1. La profesora mandó a Lucía y a Francisco tirar al aire 50 veces una moneda y a anotar los resultados de cada tirada. Las secuencias que obtuvo cada uno son: Lucía: NCNCCNNCCNNCNCNCNNCNNCCNCNNNCCNCCNCCNNCNCCCNNCNNCN Francisco: CNNCCCNCCCCNCNNCCCNNCNNCCCNNCNNNCCCNCCCCCCNCNCNCNC Sabemos que uno de ellos lo hizo en serio y el otro inventó los resultados. Cuál crees tú que mienta? a) Lucía b) Francisco Por qué? 7.2. Cuál de las siguientes sucesiones te parece más probable que ocurra, si tiro una moneda al aire 7 veces? a) CCCCNNN b) CNNCNCC c) CNNNCCC d) CNCNCNC e) Las cuatro sucesiones son igualmente probables. Por qué has elegido esa respuesta? 7.3. A continuación aparecen las mismas secuencias. Cuál de las siguientes sucesiones te parece menos probable que ocurra si tiro una moneda al aire 7 veces? a) CCCCNNN b) CNNCNCC c) CNNNCCC d) CNCNCNC e) Las cuatro sucesiones son igualmente probables. Por qué has elegido esa respuesta?

10 7.4. He lanzado una moneda 7 veces. La primera me ha salido número y las siguientes 6 me ha salido cara. Qué es más probable que salga si la tiro otra vez? Podrías decir con seguridad el próximo resultado? Actividad 8: Para ganar al 5 de oro debemos acertar las 5 bolillas sorteadas. María, Juana y Laura han jugado este miércoles. A continuación te muestro que números han jugado cada una: María: Juana: Laura: Cuál crees que tiene mayor posibilidad de ganar? Por qué? Actividad Para comenzar a avanzar en un juego de caja es necesario tirar un dado y sacar un 6. Un amigo te propone que él prefiere arrancar el juego si él saca un 3 Aceptarías este cambio en las reglas del juego? Por qué? 9.2. Se tira un mismo dado 3 veces. Cuál de las siguientes situaciones te parece más probable? a) Que haya salido 3, 6 y 1 en este orden. b) Que haya salido 3, 6 y 1 en cualquier orden. c) Que haya salido 1,1 y 6 en cualquier orden. d) Las opciones a) y b) son igualmente probables. e) La opción b) y c) son igualmente probables. f) Las tres opciones a), b) y c) son igualmente probables Al tirar dos dados simultáneamente. Elije la opción que consideras correcta. a) Existen las mismas posibilidades que salga un 2 y un 3, que obtener dos veces 3. b) Existen más posibilidades que salga un 2 y un 3, que obtener dos veces 3 c) Existen menos posibilidades que salga un 2 y un 3, que obtener dos veces 3. d) Es imposible saberlo. Actividad 10: Desde una Terminal de ómnibus salen 2 líneas una se dirige al Centro y otra al Prado. Según un empleado de la Terminal, 80 de cada 100 ómnibus se dirigen hacia el Centro Si nos tomamos un ómnibus sin mirar el destino y va hacia el Prado, pensarías que el empleado nos dijo una información incorrecta? Por qué? Si nos tomamos 10 ómnibus sin mirar el destino y resulta que 3 de ellos van al Prado. Pensarías que el empleado nos dijo una información incorrecta? Por qué? Actividad 11: Martín y Carmen van a un parque y encuentran diversos juegos de azar Han encontrado el siguiente juego que se ilustra a continuación: A El juego se trata de tirar una bola por la abertura A y apostar por cual abertura saldrá: B, C o D. Consideras que las tres opciones son igualmente probables? Por cuál abertura apostarías? B C D Luego se encuentran con las siguientes dos máquinas: A

11 A B C D Se gana el premio si la pelota sale por C. En qué máquina preferirías jugar? Por qué?

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