TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS

Transcripción

1 1 CICUNFEENCIAS ANGENES ENE SÍ Dos circunferencias son tangentes cuando tienen un único punto en común, llamado punto de tangencia. Entre dos circunferencias existen cinco posiciones relativas. POSICIONES ELAIVAS ENE DOS CICUNFEENCIAS Dos circunferencias pueden estar relacionadas de las siguientes formas: EXEIOES No tienen ningún punto en común y podemos trazar un recta de manera que cada circunferencia quede a un lado diferente. SECANES INEIOES ANGENES EXEIOES ANGENES INEIOES ienen dos puntos en común, es decir, se cortan. La recta que pasa por los puntos comunes es la secante común, y cada circunferencia tiene alguna parte a cada lado de la recta. No tienen ningún punto en común. No se puede trazar un recta de modo que cada una esté a un lado. Puede trazarse de modo que ambas estén en el mismo lado. ienen un único punto en común, el punto de tangencia. Podemos trazar una recta de modo que cada circunferencia quede a un lado; esta recta será tangente a ambas circunferencias su punto de tangencia. ienen un único punto en común, el punto de tangencia. Podemos trazar una recta de modo las dos circunferencias queden a un lado; esta recta será tangente a ambas circunferencias su punto de tangencia.

2 2 POPIEDAD FUNDAMENAL ENE CICUNFEENCIAS ANGENES Los centros y el punto de tangencia pertenecen a la misma recta. Puede decirse también que los centros y el punto de tangencia están alineados. ANGENES EXEIOES ANGENES INEIOES Esta propiedad es importantísima, tanto en el concepto como en la forma de dibujar: si no se cumple la propiedad es que las circunferencias NO son tangentes, aunque creamos que lo son o pensemos que lo hemos hecho bien. El error de dibujo aquí es muy importante. DIFEENCIA ENE CICUNFEENCIAS ANGENES EXEIOES E INEIOES A la vista es muy sencillo distinguirlas, pero en ciertos problemas puede no ser fácil, por lo que hay qye dar una definición geométrica de lo que son tangentes exteriores e interiores. Podemos hacerlo de dos formas distintas, ambas útiles según los casos: 1. Cuando dos circunferencias son tangentes exteriores, el punto de tangencia está situado entre los centros. Si son tangentes interiores el punto de tangencia está situado a un lado de los centros. ANGENES EXEIOES No importa la posición de las circunferencias, sino la posición de entre O1 y O2. ANGENES EXEIOES El segmento O1-O2 es la suma de r1 más r2. ANGENES INEIOES No importa la posición de las circunferencias, sino la posición de a un lado de O1 y O2. 2. Cuando dos circunferencias son tangentes exteriores, los radios de las circunferencias se están sumando. Si son tangentes interiores los radios se están restando. ANGENES INEIOES El segmento O1-O2 es la diferencia entre r1 y r2.

3 CICUNFEENCIA ANGENE A OA DADA, en un punto cualquiera. Debemos resolver el problema según sean exteriores o interiores Exteriormente (o semirrecta) que lo contiene, en sentido O1-. Elegimos sobre la recta el centro O2 de modo que el punto quede entre los centros. Con centro en O2 y radio O2- trazamos la circunferencia tangente exteriormente. 1. Interiormente Elegimos sobre la recta el centro O2 de modo que el punto quede a un lado de los centros. (o semirrecta) que lo contiene, pero en sentido contrario a O1-. Con centro en O2 y radio O2- trazamos la circunferencia tangente interiormente.

4 CICUNFEENCIA ANGENE A OA DADA, en un punto cualquiera. (Continuación) enemos que tener en cuenta algunas observaciones: 4 El tamaño de las circunferencias (es decir, el radio), no influye para resolver el problema, se resuelve siempre igual. La circunferencia que nos piden puede ser menor, igual o mayor que la que nos dan. Cuando son exteriores se ve mejor y no solemos equivocarnos. En cambio cuando son interiores solemos equivocarnos más, ya que el problema no se ve igual, pero se resuelve exactamente de la misma forma, independientemente del tamaño del radio que nos pidan. Según sean los radios de la circunferencias puede haber varios casos: La circunferencia pasa por el centro de la otra. r1 = 2 r2 La circunferencia que me piden es mayor que la que me dan. r1 < r2 La circunferencia contiene al centro de la otra. El centro de la que me piden coincide sobre la que me dan. r2 = 2 r1 Los radios son iguales luego las circunferencias coinciden. r1 = r2 El centro de la que me piden está fuera de la que me dan. r2 > 2 r1 Estos casos no hay que aprendérselos, únicamente saber que pueden existir según las medidas de las circunferencias. OBSEVACIÓN sobre el significado de interiores/exteriores. Cuando dos circunferencias son tangentes exteriores quiere decir que la 1ª es exterior a la 2ª y la 2ª a su vez es exterior a la primera. Cuando dos circunferencias son tangentes interiores quiere decir que la 1ª es interior a la 2ª y la 2ª a su vez es interior a la primera, da igual que una esté dentro de otra o la otra esté por fuera. Es un error decir que una es interior y la otra exterior, ambas son interiores.

5 CICUNFEENCIA ANGENE A OA DADA, CONOCIENDO EL ADIO. Debemos resolver el problema según sean exteriores o interiores, pero aplicando el radio dado. 1. Exteriormente 5 (o semirrecta) que lo contiene, en sentido O1-. Desde medimos el radio que nos pidan, sumándoselo a O1-. Con centro en O2 y radio O2- trazamos la circunferencia tangente exteriormente. 1. Interiormente Desde medimos el radio que nos pidan, restándoselo a O1-. (o semirrecta) que lo contiene, en sentido - O1. Con centro en O2 y radio O2- trazamos la circunferencia tangente interiormente. CICUNFEENCIA ANGENE A OA DADA, EN UN PUNO DADO Y CONOCIENDO EL ADIO. Se resuelve exactamente igual que el anterior, con la única diferencia de que no elegimos el punto de tangencia sino que ya nos viene dado. Además, puede que nos den más de un punto de tangencia para dibujar más de una circunferencia tangente a la primera. ambién es posible dibujar más de una circunferencia en el mismo punto de tangencia: exteriores e interiores, o con diferentes radios.