Aplicaciones del Teorema Fundamental del Cálculo
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- Irene Alcaraz Hidalgo
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1 Aplicaciones del Teorema Fundamental del Cálculo MEng. Alejandro Arceo Institución: ITC Cálculo Integral Villa de Álvarez, Colima, Febrero de 216.
2 Outline 1 Aplicaciones del Teorema Fundamental del Cálculo. Objetivos Breve análisis 2
3 Objetivos Objetivos Conocer los diferentes enfoques que tiene el Teorema Fundamental del Cálculo en situaciones de la vida real. Resolución de estas situaciones.
4 Breve análisis Recordemos que F (x) representa la proporción / velocidad de cambio de y = F (x) con respecto a la variable x.
5 Breve análisis Recordemos que F (x) representa la proporción / velocidad de cambio de y = F (x) con respecto a la variable x. Ahora, F (b) F (a) es el cambio en y cuando x aumenta de a a b. Ejemplo: Si y = F (x) indica el volumen de agua en un tanque al tiempo x, entonces, F (b) F (a) representa
6 Breve análisis Recordemos que F (x) representa la proporción / velocidad de cambio de y = F (x) con respecto a la variable x. Ahora, F (b) F (a) es el cambio en y cuando x aumenta de a a b. Ejemplo: Si y = F (x) indica el volumen de agua en un tanque al tiempo x, entonces, F (b) F (a) representa la cantidad que cambió el volumen de agua en el tanque entre el tiempo x = a y x = b. F (b) F (a) =v
7 Breve análisis Por el TFC, F (b) F (a) = b a F (x) dx
8 Si V (t) es el volumen de agua en un depósito al tiempo t, entonces V (t) es la velocidad a la cuál el agua fluye hacia dentro (afuera) del recipiente al tiempo t: t2 t 1 V (t) dt = V (t 2 ) V (t 1 ) es el cambio en la cantidad de agua en el depósito entre el tiempo t 1 y t 2.
9 Si un objeto se mueve a lo largo de una línea recta con posición s(t), entonces, s (t) es la velocidad con la que se mueve y t2 t 1 s (t) dt = s(t 2 ) s(t 1 ) indica el desplazamiento del objeto durante el tiempo t 1 al tiempo t 2.
10 Si la aceleración de un objeto está dada por a(t) = v (t), entonces t2 t 1 a(t) dt = v(t 2 ) v(t 1 ) = A 1 A 2 + A 3 es el cambio en la velocidad en el tiempo t 1 al tiempo t 2.
11 Ejemplo 1: La velocidad al tiempo t de una partícula que se mueve en línea recta está dada por la función v(t) = t 3 t medida en m/s. Encuentra el desplazamiento de la partícula durante el periodo de tiempo t 1.
12 Ejemplo 1: La velocidad al tiempo t de una partícula que se mueve en línea recta está dada por la función v(t) = t 3 t medida en m/s. Encuentra el desplazamiento de la partícula durante el periodo de tiempo t 1. Solucíon: El desplazamiento de la partícula es: s(1) s()
13 Ejemplo 1: La velocidad al tiempo t de una partícula que se mueve en línea recta está dada por la función v(t) = t 3 t medida en m/s. Encuentra el desplazamiento de la partícula durante el periodo de tiempo t 1. Solucíon: El desplazamiento de la partícula es: s(1) s() = 1 v(t) dt
14 Ejemplo 1: La velocidad al tiempo t de una partícula que se mueve en línea recta está dada por la función v(t) = t 3 t medida en m/s. Encuentra el desplazamiento de la partícula durante el periodo de tiempo t 1. Solucíon: El desplazamiento de la partícula es: s(1) s() = 1 v(t) dt = 1 (t 3 t) dt
15 Ejemplo 1: La velocidad al tiempo t de una partícula que se mueve en línea recta está dada por la función v(t) = t 3 t medida en m/s. Encuentra el desplazamiento de la partícula durante el periodo de tiempo t 1. Solucíon: El desplazamiento de la partícula es: s(1) s() = = 1 [ t 4 v(t) dt = 4 t2 2 ] 1 1 (t 3 t) dt
16 Ejemplo 1: La velocidad al tiempo t de una partícula que se mueve en línea recta está dada por la función v(t) = t 3 t medida en m/s. Encuentra el desplazamiento de la partícula durante el periodo de tiempo t 1. Solucíon: El desplazamiento de la partícula es: s(1) s() = = 1 [ t 4 v(t) dt = 4 t2 2 ] 1 1 (t 3 t) dt = = 1 4.
17 Ejemplo 1: La velocidad al tiempo t de una partícula que se mueve en línea recta está dada por la función v(t) = t 3 t medida en m/s. Encuentra el desplazamiento de la partícula durante el periodo de tiempo t 1. Solucíon: El desplazamiento de la partícula es: s(1) s() = = 1 [ t 4 v(t) dt = 4 t2 2 ] 1 1 (t 3 t) dt = = 1 4.
18 Ejemplo 1: La velocidad al tiempo t de una partícula que se mueve en línea recta está dada por la función v(t) = t 3 t medida en m/s. Encuentra el desplazamiento de la partícula durante el periodo de tiempo t 1. Solucíon: El desplazamiento de la partícula es: s(1) s() = = 1 [ t 4 v(t) dt = 4 t2 2 ] 1 1 (t 3 t) dt = = cm
19 Si [C](t) es la concentración del producto de una reacción química al tiempo t, entonces, la velocidad de reacción es [C] (t) y t2 t 1 [C] (t) dt = [C](t 2 ) [C](t 1 ) es el cambio en la concentración de C del tiempo t 1 al tiempo t 2.
20 Si la masa de una barra medida de izquiera a derecha desde el punto a hasta el punto x b es dada por m(x), entonces, la densidad lineal es ρ(x) = m (x) y se tiene b a ρ(x) dx = m(b) m(b) es la masa del segmento de la barra de longitud b a.
21 Si la velocidad de crecimiento de una población es n (t), entonces, t2 t 1 n (t) dt = n(t 2 ) n(t 1 ) es el cambio en la población en el periodo de tiempo t 1 a t 2.
22 Si C(x) es el costo de producir x unidades de petróleo, el costo marginal es C (x). Así que, x2 x 1 C (x) dx = C(x 2 ) C(x 1 ) es el incremento en el costo cuando la producción incrementa de x 1 a x 2.
23 Outline 1 Aplicaciones del Teorema Fundamental del Cálculo. Objetivos Breve análisis 2
24 Ejemplo 2 La siguiente gráfica muestra el consumo de energía de la Ciudad de México del 15 de Septiembre, donde P es medida en megawatts en t horas. Encuentre la energía consumida en ese día.
25 Solucíon La potencia es la velocidad de cambio de la energía, así que, 24 P (t) dt
26 Solucíon La potencia es la velocidad de cambio de la energía, así que, 24 P (t) dt = 24 E (t) dt = E(24) E() es la cantidad total de energía gastada ese día.
27 Solucíon La potencia es la velocidad de cambio de la energía, así que, 24 P (t) dt = 24 E (t) dt = E(24) E() es la cantidad total de energía gastada ese día. Enseguida, se aproxima la integral mediante sumas de Riemann: 12 rectángulos de base 2.
28 Solucíon La potencia es la velocidad de cambio de la energía, así que, 24 P (t) dt = 24 E (t) dt = E(24) E() es la cantidad total de energía gastada ese día. Enseguida, se aproxima la integral mediante sumas de Riemann: 12 rectángulos de base P (t) dt R 12 = 2 P (2k 1) k=1
29 Solucíon La potencia es la velocidad de cambio de la energía, así que, 24 P (t) dt = 24 E (t) dt = E(24) E() es la cantidad total de energía gastada ese día. Enseguida, se aproxima la integral mediante sumas de Riemann: 12 rectángulos de base P (t) dt R 12 = 2 P (2k 1) k=1 = (2)( ) = 15, 84.
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2.1.5 Teoremas sobre derivadas
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4.3 Problemas de aplicación 349
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