Mecánica de Fluidos (Maestría) M.I. Juan José Muciño Porras

Transcripción

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2 . INTRODUCCIÓN Objetivo general del curso: El alumno comprenderá la teoría de la mecánica de los fluidos, haciendo énfasis en la interpretación del fenómeno físico por medio de símbolos matemáticos. Adquirir los antecedentes para leer la literatura relacionada. Mostrar los aspectos de la Mecánica de Fluidos más importantes y desarrollar la habilidad para resolver problemas. Objetivo específico de este capítulo: El alumno comprenderá los principios físicos que gobiernan los fluidos, mediante el uso de las ecuaciones fundamentales de la mecánica de fluidos utilizando las relaciones integrales para un volumen de control y diferenciales para una partícula fluida. Importancia de la Mecánica de Fluidos En los programas de maestría en ingeniería hidráulica se incluye la Mecánica de Fluidos, ya que sus principios y métodos encuentran muchas aplicaciones tecnológicas en campos como: Transporte de fluidos Generación de energía Control ambiental Transporte El transporte de fluidos es el movimiento de un fluido de un lugar a otro, de tal manera que éste se pueda emplear o procesar. Como ejemplo cabe citar los sistemas de suministro de agua en ciudades y casas, los oleoductos, las tuberías de gas natural, productos químicos de uso agrícola y el transporte por tuberías en plantas químicas. Respecto a la generación de energía útil, sólo una pequeña parte de ella se genera sin que se requiera para ello el movimiento de algún fluido. Los dispositivos típicos de conversión de energía, como turbinas de vapor, motores alternativos, turbinas de gas, centrales hidroeléctricas y molinos de viento, incluyen muchos procesos de flujo complicados. En el campo ambiental intervienen movimientos de fluidos. La mayoría de los sistemas de calefacción para edificios emplean un fluido para transportar energía desde un proceso de combustión, u otra fuente de calor, hacia los recintos calentados. En los sistemas de acondicionamiento de aire, el aire que circula se enfría por medio del movimiento de un fluido refrigerante. Todo el transporte se realiza dentro de un medio fluido (la atmósfera o un volumen de agua), el movimiento relativo entre el fluido y el dispositivo de transporte genera una fuerza que se opone al movimiento deseado. La mecánica de fluidos ahora se enfocará al análisis diferencial, para el ingeniero civil con posgrado, este análisis se debe dar a nivel micro, ya no a nivel macro como en la licenciatura. El fluido es un estado de la naturaleza que no soporta o resiste esfuerzos cortantes sin moverse.

3 Para la ingeniería civil, los fluidos más comunes son aire y agua como ya se mencionó; pero los desarrollos que se harán sirven para todo tipo de fluido, siempre y cuando se conozcan las condiciones particulares que tiene. Éstas no pueden generalizarse ya que efectos como la temperatura, la altitud, etc., influyen de manera distinta dependiendo del fluido que se trate. Todo requerirá mayor profundidad. El comportamiento del fluido parece estar fuera de lo común. Véanse dos argumentos lógicos que el fluido es capaz de desafiar. Primer argumento Sentido común: A pequeñas causas pequeños efectos. Ejemplo: El lanzamiento de una pelota de béisbol. En la gráfica, comprobada experimentalmente: una pequeña variación de la velocidad en el lanzamiento (indicada a través del Número de Reynolds, que se explicará posteriormente) produce una enorme reducción de C D (coeficiente de arraste). Esto significa que por una pequeña variación de velocidad en el lanzamiento la fuerza de arrastre se reduce mucho y llega en mucho menos tiempo (tiene más fuerza). Por eso los buscadores de grandes ligas están a la Figura. Variación del coeficiente de arrastre (Cengel, 006) caza de lanzadores que además de lanzar a gran velocidad tengan control. Otro ejemplo es la pelota de golf, una pelota igual en peso y del mismo diámetro Φ, pero lisa, llega 3 veces menos que la pelota de golf, porqué?. Segundo argumento Sentido común: A causas simétricas efectos simétricos. Un objeto como un remo, en un desplazamiento axial, produce vórtices asimétricos, figura. Figura. Efectos de capa límite (Cengel, 006) Una burbuja de aire en agua, en su ascenso vertical (simétrico) sube en forma espiral. Los sentidos de la vista y el tacto indican que existimos en un espacio de tres dimensiones en donde, los objetos que en él se encuentran, también tienen tres dimensiones. Para determinar el tamaño de los objetos se necesita definir unidades de dimensión, las cuales, junto con un sistema de referencia previamente establecido, permiten definir la posición de tales objetos en el espacio. También se percibe que los objetos están constituidos por algo que se llama materia y se dice que la cantidad de materia que tiene un cuerpo es su masa.

4 Por otra parte, la memoria permite constatar que los objetos pueden moverse porque no permanecen en la misma posición al transcurrir el tiempo y que también existen movimientos periódicos, porque ciertos objetos vuelven a ocupar la misma posición cuando ha transcurrido cierta cantidad de tiempo. Esta periodicidad sirve para establecer las unidades de tiempo. Así resulta que los conceptos de espacio, materia y tiempo no son absolutos e inmutables, sino que es necesario definirlos en cada caso, según el problema que se desee estudiar. La llamada Mecánica Clásica, acepta que el espacio es euclidiano, de tres dimensiones, invariante lo mismo que en el tiempo y sin que ninguno de los dos se altere por la presencia de la masa, de modo que la gravedad se considera como una acción externa. De acuerdo a la Mecánica Cuántica existe un buen número de pequeñísimas ondas partículas, de las cuales las más interesantes, por cuanto permiten entender cómo está constituida la materia, son los protones y los electrones. Los primeros tienen una masa considerablemente mayor y carga eléctrica positiva y, los segundos, por el contrario, tienen menor masa y carga eléctrica negativa. De ahí se producen enlaces moleculares. Sistema Internacional de Unidades (SI) El Système Internacional d Unités (SI), se adoptó en la ª. Conferencia General de Pesos y Medidas en 960. En este sistema, todas las cantidades se expresan en términos de siete unidades fundamentales, éstas son: Unidades básicas: Longitud: metro (m) Tiempo: segundo (s) Masa: kilogramo (kg) Corriente eléctrica: Ampere (A) Temperatura: Kelvin (K) Candela: intensidad luminosa (cd) Cantidad de sustancia Mol (mol). En adición al sistema básico de unidades se encuentran dos suplementarias: radián (rad) y esteradián (sr). En la Mecánica de Fluidos, a cualquier nivel de estudio, interesa conocer SIEMPRE el valor de dos variables: Velocidad (vector) Presión (escalar) Ambas están en función del espacio y del tiempo. v (x, y, z, t) v ( r, t) p (x, y, z, t) r, vector de posición Así ( v, p) f (propiedades del fluido, condiciones geométricas) Además se tienen: condiciones de frontera (espacial x, y, z) condiciones iniciales (temporal t) De acuerdo con las variables, se definen: campos (espacios donde a cada punto se le puede asignar un vector o escalar), dándose el atributo de campo vectorial o campo escalar, se verá en el apartado de cinemática. 3

5 Por ejemplo: sea el flujo que se muestra, en la figura 3. Mecánica de Fluidos (Maestría) Figura 3. Ilustración de un campo cinemático. Si se estudia el escurrimiento de la figura anterior, definido en cierto campo, se conocen las condiciones de frontera en la sección () en cierto tiempo y se desean conocer las condiciones en la sección (). Estos son el tipo de problemas que interesa a la mecánica de fluidos. Propiedades generales de los fluidos. Para determinar el tamaño de los objetos se necesita definir unidades de dimensión, las cuales, junto con un sistema de referencia previamente establecido, permiten definir la posición de tales objetos en el espacio. También se percibe que los objetos están constituidos por algo que se llama materia y se dice que la cantidad de materia que tiene un cuerpo es su masa. Definición del flujo (fluido). Los fluidos, son sustancias capaces de fluir y que se adaptan a la forma de los recipientes que los contienen. Todos los fluidos son compresibles en cierto grado y ofrecen poca resistencia a los cambios de forma. Los fluidos, pueden dividirse en líquidos y gases. Las diferencias son: Los líquidos son prácticamente incompresibles y los gases son compresibles. Los líquidos ocupan un volumen definido y tienen superficies libres, mientras que una masa dada de gas, se expansiona hasta ocupar todas las superficies del recipiente que lo contenga. Densidad de un cuerpo ρ (ro), es la masa del fluido contenida en la unidad de volumen, es decir: ( ρ V m ), en el sistema internacional, la densidad del agua es,000 kg/m 3, dimensionalmente [ρ] [ M L -3 ] Densidad relativa de un cuerpo. Es un número adimensional dado por la relación de la masa del cuerpo, a la densidad de un volumen igual de una sustancia que se toma como referencia, por ejemplo: densidad de la sustancia densidad relativa de un líquido densidad del agua densidad de la sustancia densidad relativa de un gas densidad del aire 4

6 Peso específico de un cuerpo γ (gamma), es el peso del fluido por unidad de volumen. En el sistema internacional, el peso tiene como unidad al Newton y el volumen al metro cúbico. Así, el peso específico del agua es aproximadamente 980 N/m 3, dimensionalmente [γ ] [ F L -3 ] Datos útiles para el hidráulico: Primeramente la relación entre densidad y peso específico: γ ρg Además de recordar que: γ agua 980 N / m 3 ; γ aire.8 N / m 3 γ agua / γ aire 800 En el sistema inglés, la unidad para medir el peso, es la libra peso, y para medir el volumen es el pie cúbico. Entonces, el peso específico del agua en el sistema inglés, será el peso de un píe cúbico; por ejemplo: kg. libras m 3.8 pies m pies 3, por lo tanto el peso específico del agua en el sistema inglés será igual:. 3 3 γ 000 lb /pie 6.4 lb /pie Ejercicio. La presión de un neumático de automóvil depende de la temperatura del aire contenido en él. Cuando la temperatura del aire es de 5 C, la lectura del manómetro es de 0 kpa. Si el volumen del neumático es de 0.05 m 3, determine la elevación de la presión cuando la temperatura del aire en él sube hasta 50 C. También determine la cantidad de aire que debe purgarse para restablecer la presión hasta su valor original, a esta temperatura. Suponga que la presión atmosférica es de 00 kpa. (Problema. de Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, Cengel, ª edición, 0, McGraw - Hill) La constante del aire es: kj kpa m kpa m R kg K kj kg K 3 3. Recordando que se debe trabajar la presión en valor absoluto, las condiciones iniciales son: P Pg + Patm kpa Si el volumen de la llanta permanece constante y se cumple la ley de los gases para el aire para las dos temperaturas, la presión final será; PV PV P T T T T P 33K (30kPa) 336kPa 98K Se tiene entonces un incremento en la presión de: P P P kpa La cantidad de aire necesaria para llegar a la condición inicial es: 3 P V (30kPa)(0.05m ) m kg RT 3 (0.87kPa m /kg K)(98K) 3 PV (30kPa)(0.05m ) m kg RT 3 (0.87kPa m /kg K)(33K) m m m kg Viscosidad, µ (mu) o viscosidad dinámica de un fluido es por definición, es la resistencia que oponen los fluidos a moverse. En ausencia de esta propiedad del fluido, se considera ideal. Se define, si el fluido es Newtoniano mediante la siguiente ecuación:, donde µ τ d u d y d u τ µ d y τ esfuerzo cortante du / dy gradiente de velocidades 5

7 En general se considera la variación de la velocidad respecto a una dirección perpendicular (se orientan los ejes). En la figura 4.a, se observa τ contra du / dy y la variación es lineal se tiene un fluido newtoniano, los fluidos más importantes a estudiar como son el agua y el aire, son fluidos newtonianos. Otros fluidos figura 4.b tienen otros comportamientos, entre ellos por ejemplo la sangre, la pasta de dientes, etc. (a) (b) Figura 4. (a) Variación de los flujos newtonianos, (b) Comportamiento de otros fluidos Hay también fluidos no newtonianos, estudiados por la Reología, que siguen modelos a veces más complejos; uno de ellos es el fluido de Bingham que se comporta como sólido hasta cierto límite. Entre los fluidos no newtonianos y plásticos se encuentran los fluidos pseudoplásticos, por ejemplo: - sangre - polímeros Ciertos líquidos tienen una curva τ - du/dy inversa (en concavidad) a las plásticas o pseudoplásticas, se llaman fluidos dilatantes. Para calcular la viscosidad se analiza el desplazamiento entre dos placas cercanas, de tal forma que la variación du/dy sea lineal; se mide el par o fuerza que mueve la placa (τ); con la ecuación se calcula µ. En la práctica se usan dos placas que forman cilindros concéntricos, como se muestra en la figura 5. Figura 5. Dispositivo para medir la viscosidad La viscosidad cinemática ν (νυ), se define como: μ ν dimesionalmente ν [ L T - ]; a diferencia de la viscosidad dinámica no interviene la masa. ρ El número de Reynolds es función de la viscosidad ν: v D R ; ν R v (cm/s) D (cm) 0.0(cm / s) es adimensional 6

8 La viscosidad dinámica µ, función de la temperatura en los líquidos y gases. La viscosidad cinemática ν, es función de la temperatura en los líquidos y lo es de la temperatura y la presión en los gases. Relaciones: µ agua / µ aire 00 ρ agua / ρ aire 800 ν agua / ν aire /8 Ejercicio.. Se debe mover un bloque de 50 cm x 30 cm x 0 cm que pesa 50 N a una velocidad constante de 0.8 m/s sobre una superficie inclinada 0, con un coeficiente de fricción de 0.7. a) Determine la fuerza F necesaria a aplicar en la dirección horizontal. b) Si se aplica una película de aceite de 0.4 mm de espesor, con una viscosidad dinámica de 0.0 Pa * s entre el bloque y la superficie inclinada, determine el porcentaje de reducción en la fuerza necesaria. (Problema.75 de Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, Cengel, ª edición, 0, McGraw - Hill) La viscosidad absoluta del aceite es µ 0.0 Pa s 0.0 N s/m. (a) Realizando el diagrama de cuerpo libre, para una velocidad constante. V 0.8 m/s F x 0 : F Ff cos 0 FNsen0 0 () F y 0 : FN cos 0 Ff sen0 W 0 () Fuerza de fricción: F f ff N (3) F W 50 N F N F f 0 0 y x Sustituyendo (3) en () y despejando F N W 50 N F N 77.0 N cos 0 fsen0 cos 0 0.7sen0 De (): F cos 0 + F sen0 ( N)cos 0 + (77 N)sen F f N N (b) En este caso, lo que cambia es el cálculo de la fuerza de fricción F cortante τ agua A µa (V/h) (0.0 N s/m ) (0.5 x 0. m ) (0.8 m/s/4x0-4 m).4 N x F cor tan te N F y 0 : FN cos 0 Fcor tan tesen0 W 0 F 0 : F cos 0 F sen0 0 (4) (5) 50 cm 0.4 F cortante F N De (5) FN (Fcor tan tesen0 + W) / cos 0 [(.4 N)sen0 + (50 N)] / cos N Sustituyendo en (4), F Fcor tan te cos 0 + FNsen0 (.4 N) cos 0 + (60.5 N)sen0 57. F 0 W 50 N N V 0.8 m/s Porcentaje de reducción de la fuerza requerida F F % 00% 45.8% F Compresibilidad. En el volumen diferencial al que se aplica un diferencial de presión dp - dv dv dp - V 7

9 Al definir la proporcionalidad en una relación de dp y dv / V se tiene el concepto del módulo E de elasticidad. Entonces: Figura 6. Compresibilidad dp E dv [E] [F L - ] V Así: E acero x 0 6 kg f / cm E acero / E agua 00 (el agua es 00 veces más compresible que el acero). Tensión Superficial, σ, se presenta al estar en contacto (interfase) dos fluidos y/o un sólido [σ] [FL - ] Figura 7. Efectos de la tensión superficial en la interfase de algunos líquidos Ejercicio.3 Los nutrientes disueltos en el agua los llevan hasta las partes superiores de las plantas diminutos tubos, en parte debido al efecto de capilaridad. Determine hasta qué altura ascenderá la solución acuosa en un árbol, en un tubo cuyo diámetro mide 0.00 mm, como resultado del efecto de la capilaridad. Trate la solución como agua a 0º C con un ángulo de contacto de 5º. (Problema.03 de Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, Cengel, ª edición, 0, McGraw - Hill). La tensión superficial del agua a 0º C es σ s N/m. Además se puede considerar que la densidad de la solución acuosa es de 000 kg/m 3. Finalmente el ángulo de contacto es de 5º. Por capilaridad se puede emplear la ecuación σs cosφ (0.073 N/m)(cos5º ) h 4.4 m ρ g R 3 6 (000 kg/m )(9.8m/s )(x0 m) Ejercicio.4 Un rociador emite al aire un chorro cilíndrico de agua a 0 C. La presión en el interior del chorro es aproximadamente 00 Pa por encima de la atmosférica. Estimar el diámetro del chorro en mm. (Problema.64 de Mecánica de Fluidos, White, 6ª edición, 008, McGraw - Hill). De la Tabla A.5 la tensión superficial del agua a 0 C es N/m. Para un cilindro líquido, la presión interna que ejerce se da por la ecuación Δp Y/R. Por lo que, para los datos del problema, Δp Y/R 00 N/m (0.078 N/m) / R, despejando el valor de R m, y el diámetro D m Ejercicio.5 Antiguamente, los montañeses hervían el agua para estimar la altura a la que se encontraban. Qué altura tendrá una montaña si al alcanzar la cima observamos que el agua hierve a 84 C? (Problema.7 de Mecánica de Fluidos, White, 6ª edición, 008, McGraw - Hill). De la Tabla A-5 a 84 C, la presión de vaporización es aproximadamente p v 55.4 kpa. Se puede interpolar este valor en la altitud estándar, que se encuentra en la Tabla A-6, y se tiene entonces: z 4800m 8

10 Campos de flujo Un fluido en movimiento responde a un medio continuo en el cual la posición relativa de los elementos que lo forman varía en función del tiempo. La cinemática se ocupa de describir este movimiento con base en ciertas características como la velocidad, aceleración y otras variables cinemáticas cuyos valores dependen de las coordenadas de posición y tiempo y en consecuencia se deben trabajar vectorialmente, ya que es necesario tener magnitud, dirección y sentido. En un fluido que se mueve existen también otras propiedades que pueden cambiar de valor en el tiempo y el espacio como la presión, masa, temperatura; sin embargo estas propiedades no requieren ser definidas más que por su magnitud, son entonces cantidades escalares. Un campo de flujo es cualquier región en el espacio donde hay un fluido en movimiento, a condición de que la región del flujo quede ocupada totalmente por el fluido. Para definir los campos de flujo que ayuden a describir un fluido, se parte del campo de velocidades que a su vez al derivarse con el tiempo (conocer la variación de la velocidad respecto al tiempo) da como resultado el campo de flujo de aceleraciones. Así, partiendo del campo de velocidades, se tiene que: Entonces: En realidad: v v v v d v dx + dy + dz + dt x y z t dv v v v v du + dv + dw + a dt x y z t a a x i + a y j + a z k Así por ejemplo en el plano, las componentes de la aceleración son en el eje z: dw w w w w a z u + v + w + dt x y z t Mientras que en forma compacta, la aceleración es: dv v v v v a u + v + w + dt x y z t Como se observa se compone de dos aceleraciones a aceleración convectiva (en función del espacio x,y,z) + aceleración local (en función del tiempo). Así, el flujo es uniforme cuando la aceleración convectiva es cero, flujo no uniforme es cuando la aceleración convectiva es diferente de cero. El flujo permanente se presenta cuando la aceleración local es cero; no permanente cuando la aceleración local no es nula. Esto es fácil distinguir al no aparecer el tiempo en la expresión de la velocidad. Ejercicio.6 Se da un campo bidimensional, incompresible y estacionario de velocidad por las siguientes componentes en el plano xy. (Problema 4.9 de Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, Cengel, ª edición, 0, McGraw - Hill). 9

11 u x y v x.3y Calcule el campo de aceleración (encuentre expresiones para las componentes a x y a y ) de la aceleración y calcule la aceleración en el punto (x,y) (,) Los componentes de la velocidad son: u x y; v x -.3y. a a x y u u u u + u + v + w 0 + ( x y) (.3) + ( x -.3y)(0.85)0 + 0 t x y z v v v v + u + v + w 0 + ( x y) (0.95) + ( x -.3y) (-.3) + 0 t x y z Operando las componentes de la aceleración quedan así: a x x a y y Y para el punto (,), se tiene que a x.335 a y Físicamente, el flujo es uniforme cuando las líneas de corriente son RECTAS y PARALELAS, y permanente cuando no cambia en el tiempo. Otra forma de expresar el desarrollo anterior es: d v v + d t t ( v ) v En general, para una propiedad R de interés del flujo se contempla que d R R + ( v )R d t t Así el desarrollo de la expresión anterior si el campo de velocidades es una sola dimensión. R (t, x), u U dr dt R R + U t x Por lo que v (ui + vj + wk) ( i + j + k) (u + v + w ) x y z x y z R así al multiplicar por R siendo función de x. U x Por eso R R R + U t t x Aceleración total local + convectiva 0

12 Flujo rotacional e irrotacional El hecho de que un elemento de fluido pueda rotar a medida que se mueve, hace necesario introducir otra propiedad para tener una medida cuantitativa de este fenómeno. La rotación de un elemento de fluido se acostumbra evaluar como la velocidad angular promedio a que giran dos líneas perpendiculares cualesquiera contenidas en cada uno de los planos. La rotación es una cantidad vectorial que refleja el hecho de que un elemento de fluido moviéndose en el espacio puede girar en torno a cualquiera de los ejes coordenados. Matemáticamente se define mediante la ecuación, ver figura 8 rot v 0 rotacional rot v 0 irrotacional rot v v i j k x y z u v w v, en general: v f(x, y, z, t) Figura 8. Diagrama esquemático de la tendencia a rotar del flujo Físicamente, una partícula () gira por efecto de la diferencia de velocidades. En la partícula bidimensional (): no gira. El flujo laminar es más rotacional que el turbulento. Lo que en rigor no se toma en consideración. Flujo compresible e incompresible Si la divergencia div v 0 es compresible, en caso contrario div v 0 incompresible Recordemos v div v u v w Entonces v (ver figura 9) x y z Figura 9. Diagrama de un volumen de control en equilibrio.

13 Métodos de análisis Existen varios métodos para describir el movimiento de un fluido. Los más conocidos son los llamados métodos de Lagrange y de Euler. Cada uno de estos métodos tiene un esquema matemático de descripción asociado a él. El método de Lagrange (736 8) describe el movimiento del fluido mediante el conocimiento de lo que le ocurre a cada uno de los elementos que lo forman. Para ello propone encontrar la posición de cada volumen elemental de fluido en función del tiempo. Este método supone que es posible determinar las trayectorias en función del tiempo, ver en la figura 0 el seguimiento esquemático de una partícula de fluido al chocar contra una pared. Figura 0. Esquemas bajo sistemas lagrangiano y euleriano Por otra parte el método de Euler ( ) consiste en determinar para cada instante el campo de velocidades en todo el espacio ocupado por el fluido. En cada punto fijo P del espacio de coordenadas (x,y,z) se observa para cada instante t la velocidad del elemento de fluido que en ese instante pasa por P. Es más sencillo para un primer estudio de la mecánica de fluidos, como se verá en el capítulo siguiente. Ver figura 0, al momento de pasar el flujo. u u + d x x u du d x x o respecto al tiempo u d u t d t Según Newton f m a, es válida en los sistemas inerciales (esto es en reposo o en movimiento con velocidad constante). Un sistema de referencia no fijo permite analizar más fácilmente un sistema o fenómeno giratorio, ver figura. Ejemplos: Figura. Ejemplos sistemas giratorios, como el impulsor de una bomba o un aspersor para regar Considérese un marco inercial (fijo) y un sistema libre con un desplazamiento y un giro, figura.

14 Figura. La importancia del marco inercial de referencia que se aplica en la mecánica clásica. Sea el punto P, cuyo vector de posición es r R+r. La variación de r respecto al sistema fijo - en el tiempo - es: d0 r d0r d0r + d t d t d t La partícula gira alrededor de una columna. Vector Ω partícula. Figura 3. Ejemplo. Ω x r da la aceleración centrípeta de la Aceleración de Coriolis Figura 3. Una de las aplicaciones del campo de los rotacionales. El punto P en movimiento, sí tiene aceleración de Coriolis respecto a la Tierra, P no tiene. Tubo de flujo Una línea de corriente es aquella que puede definirse como la línea cuya velocidad de todos los puntos que la forman son tangentes a ella, ver figura 4. Figura 4. Se muestra el vector velocidad que es tangente a la línea de corriente Todos los componentes del campo de velocidades son tangenciales al vector de posición d r donde d r dx i + dy j + dz k 3

15 El producto cruz resulta cero. v x dr 0 Campo vectorial definido por líneas de corriente; si se definen dos secciones transversales con curvas cerradas y las líneas de corriente que pasan por la primera, también pasan por la segunda se tiene un TUBO DE FLUJO. Ver figura 5. Es importante hacer énfasis en la denominada línea de corriente, que es una curva que, en todas partes, es tangente al vector velocidad local instantáneo. Por lo que son útiles como indicadoras de la dirección instantánea del movimiento del fluido en todo el campo del flujo. Mediante sencillos argumentos geométricos, con el uso de triángulos semejantes, se sabe que las componente s de dr deben ser proporcionales a las de V. Por lo que se puede escribir de la siguiente forma la ecuación de la línea de corriente: dr V dx u dy v dz w Figura 5. Esquema de líneas de corriente que forman un tubo de flujo Ejemplo.7 Considere el campo de velocidad bidimensional, incompresible y estacionario: V ( x) i + (-.0 -.y) j genere una expresión analítica para las líneas de corriente del flujo y trace varias de estas líneas en el cuadrante superior derecho, desde x 0 hasta 5 y y 0 hasta 6. (Problema 4.36 de Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, Cengel, ª edición, 0, McGraw - Hill). El campo de velocidad V ( x) i + (-.0 -.y) j, puede de acuerdo a la ecuación de las líneas de corriente expresarse así: dy y dx ; x estas ecuaciones diferenciales se puede resolver por separación de variables dy dx y x cuyo resultado es: 4

16 . ln (-.0 -.y). C ln (0.5 +.x) expresión y (0.5 +.x) -. Mecánica de Fluidos (Maestría) ln C ; al proponerla en forma explícita para y, se tiene la siguiente La figura muestra las líneas de corriente para el campo de velocidades dado. Teorema del transporte de Reynolds Para convertir un análisis de sistemas en análisis de volumen de control es necesario modificar nuestras matemáticas para poder aplicar las leyes básicas a regiones específicas en lugar de a masas concretas. Esta conversión se consigue mediante el llamado teorema del transporte de Reynolds. Por lo tanto es necesario relacionar las derivadas con respecto al tiempo de una propiedad del sistema con la variación de dicha propiedad dentro de una región concreta. La expresión de conversión difiere ligeramente según se trate de volúmenes fijos, móviles o deformables. En el primero, el volumen de control recuerda al concepto de cuerpo libre, que se aplica en los sistemas de mecánica de sólidos. En el segundo, donde se ejemplifica un barco en movimiento, el interés se centra en el barco, no en el océano, de forma que el volumen de control se mueve con el barco a la velocidad de éste. En el tercero, ha de tenerse en cuenta la variación del movimiento relativo en el contorno y también deberá entrar en el análisis el cambio de forma del volumen de control. Los elementos del fluido que forman el sistema transportan ciertas propiedades que trasladan con el fluido mismo, de manera que para todo el sistema, la propiedad tiene un valor total dado por la suma de lo que transporta cada uno de los elementos que lo integran. Los principios básicos que se aplican requieren evaluar la variación temporal de cantidades que se mueven con el fluido referidas al conjunto de elementos que forman el sistema. Sin embargo, en la práctica es más simple utilizar en lugar del sistema un volumen de control fijo en el espacio, a través del cual se mueve el fluido. Entonces se necesita poder relacionar las variaciones de esa propiedad si se considera el sistema global con los cambios que experimenta esa misma cantidad si se considera el movimiento del fluido a través de la superficie de control y en el interior del volumen de control. El teorema del transporte de Reynolds entrega una relación cuantificable entre ambos enfoques. Para ello se considera una propiedad extensiva cualquiera del fluido, N, con su correspondiente propiedad intensiva, η, tal que para todo el sistema se tiene: N η d m η ρ d υ masa volumen Por ejemplo, si la propiedad considerada es la masa se tiene N M y η 5

17 La idea básica del teorema de Reynolds es poder expresar las variaciones de la propiedad extensiva para un sistema de elementos de fluido en movimiento en términos de los cambios de esta propiedad, asociada a un volumen de control fijo en el espacio. Supóngase un conjunto de elementos moviéndose en un espacio donde el campo de velocidades está referido a un sistema de coordenadas XYZ. Se define un volumen de control fijo en el espacio, tal que en un instante t 0, el volumen de control y el ocupado por el sistema coinciden. En el instante t siguient sistema se ha desplazado, de tal manera que parte de él ha abandonado el volumen de control y en el interior de éste hay un espacio ocupado por elementos que no pertenecen al sistema. Entonces, para una propiedad extensiva N cualquiera del sistema se cumple, por definición que: N d t ( N - N ) d t0 + t t0 sistema lim t t 0 En el instante t 0 el sistema y el volumen de control coinciden. En el instante t 0 + t el sistema ocupa sólo las regiones II y III, indicadas en la figura 6, mientras la región I ha sido ocupada por elementos que no pertenecen al sistema. La propiedad extensiva N se puede escribir para el instante t 0 + t como: N ( N II + N III ) t + t ( N V - N I N III ) t + t t0 + t donde v representa el volumen de control. Figura 6. Vol. De control y sistema de elementos de fluido en dos instantes consecutivos. Por otra parte, en el instante t 0 : N t ( N v ) 0 0 t Reemplazando estas expresiones en el límite que define la derivada total, se obtiene: d N d t sistem lim t t 0 [ ] ( N ) - ( N ) ) lim ( N ) v t t v 0 + t + 0 III t0 + 6

18 Se puede apreciar que, de acuerdo a la definición de derivada, el primer término de la suma corresponde a la variación de la propiedad N al interior del volumen de control ya que: lim t 0 t N v ( N ) - ( N ) ) ρ η v t + t v t d v 0 0 t Los límites que incluyen las regiones I y III son más difíciles de evaluar. Para ello se puede analizar en detalle lo que ocurre con una pequeña parte de la zona, como se aprecia en la figura 7 para las regiones I y III. t Figura 7. Detalle de un elemento de las superficies de control en las regiones I y III. Se requiere evaluar la propiedad N en la región III para el instante t 0 + t, la que se puede expresar como: N III (t 0 + t) ρ η d v t V n d A ρ η III SIII t0 + t Donde el elemento de volumen de la región III se ha evaluado como ( t V n d A), siendo V la velocidad con que se mueve el elemento de fluido al pasar la región III. Por lo tanto: t 0 + t t lim ρ η d v t ρ η 0 + t lim V n d A III t III t 0 t 0 t0 + t ρ η V n d A SIII donde S III corresponde a la parte de S C por la cual salen los elementos del sistema del volumen de control. Similarmente, en el caso de la región I, de acuerdo a lo que se ilustra en la figura, la propiedad en esta región en t 0 + t, N I está dada por: N I (t 0 + t) ρ η d v t V n d A ρ η I t t S 0 + I t 0 + t Entonces: lim ρ η d v t ρ η ρ η 0 + t lim V n d A t0 + t V n d A t I t SI SI t 0 t 0 7

19 Finalmente, se obtiene: d N d t sistema ρ η d v t V - ρ η V n d A + ρ η V n d A S I S III Se puede apreciar que la superficie total del volumen de control corresponde a la suma del S I y S III más otras superficies, a través de las cuales no hay flujo, debido a que en ellas la velocidad no tiene componentes en la dirección del vector que define la superficie, es decir en ellas V n 0. Por lo tanto, se obtiene: d N d t sistema t ρ η d v + ρ η V n d A V c S c Ecuación que permite relacionar las variaciones totales referidas al sistema de una propiedad extensiva N, cuya propiedad específica es η que se mueve con el fluido, en términos de lo que ocurre en un volumen de control fijo en el espacio, definido por V c y S c. Es conveniente aclarar el significado físico de cada uno de los términos que intervienen en esta ecuación. El primero del lado derecho corresponde a la variación intrínseca que experimenta la propiedad en el interior del volumen de control, en el transcurso del tiempo. Este término es positivo si la cantidad aumenta. El segundo representa el flujo neto de la propiedad que es arrastrada por el fluido al entrar o salir del volumen de control a través de la superficie de control. Este término es positivo si la cantidad sale del volumen de control a través de la superficie de control. La suma de ambos es la variación total de la propiedad referida al sistema de elementos de fluido en movimiento. De manera que el Teorema de Reynolds expresa en un lenguaje matemático lo que en palabras podría expresarse como: Variación total Variación de esa Flujo neto de una propiedad propiedad en el + de la propiedad del sistema interior del volumen a través de la superficie en el tiempo de control de control Ejercicio.8 Considere la forma general del teorema de transporte de Reynolds (RTT) dada por db dt sis d dt ρ bdv + VC ρbvr nda SC Donde v r es la velocidad del fluido con relación a la superficie de control. Sea B sis la masa m de un sistema de partículas de fluido. Se sabe que, para un sistema dm/dt 0 ya que, por definición, ninguna masa entra ni sale del mismo. Use la ecuación dada para deducir la ecuación de conservación de la masa para un volumen de control. (Problema 4.94 de Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, Cengel, ª edición, 0, McGraw - Hill). Considerando B m, significa que b m/m. Sustituyendo estas consideraciones, además de considerar que dm/dt 0 se tiene: d 0 ρdv + ρvs nda dt VC SC que es la ecuación general de la conservación de la masa y se aplica a cualquier volumen de control ya sea fijo, en movimiento o deformándose. 8

20 Métodos de análisis de flujo Dentro de los métodos de análisis de flujo, se tienen dos criterios: a) el que se basa en un volumen de control finito, enfoque a nivel macro LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD (Ley de la conservación masa). LA ECUACIÓN DE IMPULSO (Ley de la conservación de la cantidad de movimiento). LA ECUACIÓN DE LA ENERGÍA (Ley de la conservación de la energía). A continuación se presentan algunas ventajas y desventajas derivadas de la utilización del método del volumen de control (se enseña en licenciatura). VENTAJAS DESVENTAJAS. Las matemáticas son más simples. No revela todos los detalles del flujo; no obliga al fluido a obedecer las leyes fundamentales en cada punto.. Las hipótesis y aproximaciones son menos sensibles; con frecuencia se obtiene información aproximada muy útil con suposiciones simples. 3. Con papel y lápiz se requiere aproximadamente una hora de trabajo. 4. Con frecuencia sólo revela la información que realmente se necesita.. Con frecuencia se obtienen solamente respuestas aproximadas. 3. Requiere más información de entrada, tal como una distribución de velocidades en fronteras convenientes. 4. Con frecuencia no proporciona tanta información como la requerida. b) de tipo diferencial, dentro de este criterio derivan (se propone en maestría) enfoque a nivel micro. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CONTINUIDAD LA ECUACIÓN DINÁMICA DEL FLUJO NO VISCOSO (Ecuación de Euler). La forma diferencial de la segunda ley de Newton para un flujo no viscoso se denomina ecuación de Euler, si sólo se emplea en una ecuación vectorial; o ecuaciones de Euler si se emplean ecuaciones por componentes separadas. LA ECUACIÓN DINÁMICA DEL FLUJO VISCOSO (Ecuación de Navier - Stokes) 9

21 Ecuación de continuidad en valores medios (volumen de control). Figura 8 Análisis de un volumen de control para llegar a la ecuación de continuidad. ρ d V.C. LO QUE ENTRA LO QUE SALE LO QUE SE QUEDA a través de la superficie de control por unidad de tiempo Así, la variación del volumen del control V.C. respecto al tiempo es, ver figura 9: t V. C. ρ d (escalar) Consideremos la superficie y un elemento diferencial que vectorialmente es de magnitud A). n d A (normal a la superficie y O también distancia por unidad de tiempo Figura 9 Esquema de análisis para llegar a la ecuación de continuidad. El producto punto v d A da precisamente la componente de volumen por unidad de tiempo que ENTRA por la superficie de control (y menos, lo que sale al considerar toda la superficie). Al considerar la masa de este volumen e integrar toda la superficie: Entonces queda: t ρ d V.C. - ρv da S.C. - ρv da S.C. 0

22 (El menos resulta al considerar que lo que entra es positivo y lo que sale, negativo (opuesto al signo de los productos punto)). -Si el flujo es PERMANENTE, la variación respecto al tiempo es nula y: - ρv da S.C. 0 -Si el flujo es INCOMPRESIBLE (Volumen de control no deformable) - v da S.C. 0 (Se supone que ρ (x, y, z, t)... esta condición la anula) Considerando el flujo permanente e incompresible Entonces v da A - v da 0 S.C. - v da A Pero por definición de valor medio Entonces v v d A A A A V A V Ejercicio.9 Un tanque abierto, como se muestra en la figura, contiene agua a 0º C y se está llenando a través de la sección () con una velocidad V 3 m/s y (3) con un flujo volumétrico Q m 3 /s. Si el nivel del tanque h se considera constante, calcule la velocidad de salida en (). (Problema 3.4 de Mecánica de Fluidos, White, 6ª edición, 008, McGraw - Hill).

23 Se plantea la ecuación de la conservación de la masa, con los datos del problema: π 3 Q Q + Q3 (0.05) (3) m / s 4 Pero también 3 π Q AV m / s (0.07 m) V V 4.3 m / s 4 Ecuación de cantidad de movimiento (volumen de control) La segunda ley de Newton para un sistema se emplea como la base para determinar la forma del volumen de control para la ecuación de la cantidad de movimiento lineal, que implica que la fuerza es igual al cambio de la cantidad de movimiento en el tiempo, donde la cantidad de movimiento es el producto de la masa por la velocidad. Del teorema del transporte de Reynolds donde N mv y donde ρv / ρ v d (mv) F ρ v d + vρ v da d t t VC es el mom Lo anterior ha permitido de nuevo trabajar en un volumen de control, donde las fuerzas que actúan son de dos tipos: de cuerpo (masivas) y de superficie. f peso, w f presión, p f cuerpo f superficie f electromagnética f tangenciales, τ Entonces la sumatoria de fuerzas del miembro izquierdo de la ecuación quedaría como: d f w + f p + fτ ( ρ v ) d t Esto es, utilizando el operador desarrollado cuando se derivó la ecuación de continuidad, quedaría: f w + f p + fτ d d t ( ρ v d ) + ( ρ v vd A) V.C. S.C. que es la ecuación de la CANTIDAD DE MOVIMIENTO para un volumen de control, y que como se observa es una ecuación vectorial. - Si el flujo es permanente, el primer término se elimina y se reduce a f w + f p + f τ ( ρ v vd A) S.C. Si se selecciona el volumen de control de manera que coincida con un tubo de flujo y recordando que la velocidad media en una sección está dada por: v v d A A A

24 se puede definir, en forma semejante, un coeficiente llamado de Boussinesq (84-99), dado por: β ρ v v d A o sea β ρ v v d A ρ v A ρ v Q por lo que la ecuación de cantidad de movimiento para flujo permanente, considerando valores medios, puede representarse como: f w + fp + fτ β ρ v Q - β ρ v Q Donde β para tubos : Flujo laminar, β.33 Flujo turbulento, β.03 a.04 Ejercicio.0 El chorro de agua golpea perpendicularmente a una placa fija. Despreciando la gravedad y la fricción, calcule la fuerza F en N requerida para mantener la placa fija. Las cantidades a analizar se muestran en la figura. (Problema 3.40 de Mecánica de Fluidos, White, 6ª edición, 008, McGraw - Hill). Utilizando un volumen de control que incluya tanto a la placa como al chorro que incide y tomando F x ma x (ya que solamente en x se lleva a cabo el análisis al considerar que el chorro se divide en dos partes iguales que hacen que en y se anulen las fuerzas), se tiene: Se indicará sólo la componente en la velocidad en x que es u. F x F m i u i donde m i ρa i u i F ρ A V i i 3 (998 kg/m ) π (0.05 m) (8 m/s) 500 N Ecuación de la energía (Bernoulli) (volumen de control) La primera ley de la termodinámica establece que para un sistema, el cambio de la energía en un sistema es igual al calor añadido al fluido, menos el trabajo hecho por el fluido en sus alrededores, depende solamente de las condiciones iniciales y finales del sistema. Es decir, en forma de ecuación: d E d Q - d W E, energía Q, calor añadido 3

25 W, trabajo hecho por el fluido en sus alrededores Mecánica de Fluidos (Maestría) Recordemos entonces el teorema del transporte de Reynolds que nos dice lo siguiente, si N E y e Utilizando la definición anterior se tiene: d E VC ρ e d + ρ e v d A d t t d E Q W - VC ρ e d + ρ e v d A d t t t t Las energías que se presentan son: E energía interna E E energía potencial E 3 energía cinética que corresponden a las siguientes energías específicas, por unidad de masa e e p u g h función de la temperatura h, diferencia de niveles y de la sustancia e c V energia cinetica El trabajo puede efectuarse a través de las fronteras únicamente, por medio de fuerzas normales o de presión, tangenciales o de cortante y / o de flecha (que es una combinación de ambas). W W presión (normal) W cortantes (tangencial) W flecha (normal y tangencial) Analicemos cada término. La variación del trabajo por unidad de tiempo (o sea una potencia) hecho por el fluido en sus alrededores debido a las fuerzas de presión, estará dado por: d W presion d t p v d A S.C. longitud x fuerza d W v p d A velocidad x fuerza tiempo d t Obsérvese que este término no es una energía de presión - como suele llamarse - sino un trabajo del fluido debido a las fuerzas de presión. Por otra parte, el cambio de la energía en el volumen de control por unidad de tiempo, del teorema del transporte de Reynolds estará dado por: 4

26 d d E t t e ρ d + e ρ v d A V.C. S.C. Mecánica de Fluidos (Maestría) donde e e i + e p + e c Con un volumen de control adecuado se puede eliminar con las fuerzas de presión. d W cortante d t haciéndolos despreciables comparados Recordamos el concepto de potencia que - en términos hidráulicos - es: P η Q H ρ g Al definir la eficiencia, por ejemplo, en bombas o turbinas: η βomba γ Q H P P potencia nominal o de la placa η turbina η es < ; en bombas, la potencia real es menor a la nominal. En turbinas es a la inversa. P γ Q H Considerando que la variación de calor no afecta notoriamente el comportamiento de los fluidos en d Q hidráulica, la variación de calor y la energía interna no aparecen en forma explícita y se agrupan en un d t término de pérdidas. Al quedar e pot, e cinética y el trabajo de presión, la carga total H de energía resulta, para un flujo permanente: v p H α + + z g ρ g que se le atribuye por primera vez a Daniel Bernoulli (700-78) v La distribución de velocidades afecta el valor de por lo que se definido el coeficiente de Coriolis α g α v v d A ρ ρ Q v La expresión más general de la ecuación de Bernoulli (de las varias presentaciones), dentro del campo de la Ingeniería Civil es, ver figura 0: v p v H α + + z + h h, carga piezométrica g ρ g g 5

27 Figura 0 Representación gráfica de las variables que constituyen la ecuación de la energía Ejercicio.. Se tiene un tubo que cambia de 0 cm en el punto () a 40 cm en el punto (); si el punto () está a 4.50m debajo de (); además, si la presión en () es de 0.75 kg/cm y en el punto () la presión es de 0.60 kg/. Si en la tubería circula un gasto Q 05 lt/seg, con un coeficiente (f 0.07); además, no se presentan pérdidas en la tubería, se pregunta: a) Cuál será la dirección del flujo? kg kg kg kg P ,000 P 0.6 6,000 D 0.0m cm cm cm cm 0.05 m A πr π * (0.0) 0.0m 0.034m V seg D 0.40m A πr π * (0.0) 0.0m 0.034m 0.57m 0.05 m V seg Z 0 Z 4.50m Aplicando la ecuación de Bernoulli, se tiene: P V P V + + Z + + Z + hf γ g γ g Sustituyendo valores: kg m kg 7000.(3.34 ) 6000 cm seg cm kg *9.8 kg cm cm m m m (0.34 ) seg + * De acuerdo al resultado anterior, la dirección del flujo es de a Ejercicio.. Se usa un cono reductor en un tubo horizontal para desviar el flujo de agua en un ángulo θ 0, con respecto a la dirección inicial del flujo, al mismo tiempo que se acelera. El codo descarga agua a la atmósfera. El área de la sección transversal del codo es 50 cm a la entrada y 5 cm a la salida. La diferencia de elevación entre los 6

28 centros de la salida y de la entrada es de 40 cm. La masa del codo y del agua que contiene es de 50 kg. Determine la fuerza de anclaje necesaria para mantener al codo en su lugar. Considere el factor de corrección del flujo de la cantidad de movimiento como.03 tanto a la entrada como a la salida. (Problema 6.4 de Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, Cengel, ª edición, 0, McGraw - Hill). 0 Considerando que el flujo es permanente, donde no interviene la fricción, unidimensional e irrotacional (de tal manera que Bernoulli pueda aplicarse), que debe tomarse en cuenta el peso del codo y del agua, además que el agua descarga a la atmósfera y en consecuencia la presión manométrica es cero y que si se considera flujo turbulento β.03. ρ 000 kg/m 3. W mg (50 kg)(9.8m/s ) N kn Agua 30 kg/s F Rz F Rx 50 cm 5 cm W Por continuidad m m m 30 kg/s. Y las velocidades a la entrada y a la salida son: m 30 kg/s V.0 m/s ρa 3 (000 kg/m )(0.050 m ) m 30 kg/s V m/s ρa 3 (000 kg/m )(0.005 m ) La ecuación de Bernoulli nos permite expresar lo siguiente: P V P V + + z + + z ρg g ρg g V V P P ρg g + z z V V P, man ρg g + z ( m/s) ( m/s) 3 P (000 kg/m )(9.8m/s ), man kn/m 73.9 kpa (9.8m/s ) Aplicando la ecuación del impulso y cantidad de movimiento: FRx + P,manA βmv cosθ βmv y FRy W βmv senθ Resolviendo para F Rx y F Rz, y sustituyendo los valores dados, FRx βm(v cosθ V ) P, gagea kn.03(30 kg/s)[(cos0 - ) m/s] 000 kg m/s (73.9 kn/m )(0.050 m ).97 kn kn FRz mvsen W.03(30 kg/s)(sen0 m/s) kn kn 000 kg m/s β θ + y FR FRx + FRz (.97) FRz θ tan tan 3.9 FRx kn Ejercicio.3 Cuando la bomba de la figura adjunta desarrolla 5 kw de potencia sobre el agua, la pérdida por fricción es de 4 m. Calcule (a) la velocidad de salida V s y (b) el flujo volumétrico Q. (Problema 3.30 de Mecánica de Fluidos, White, 6ª edición, 008, McGraw - Hill). 7

29 Al establecer la ecuación de la energía se tiene lo siguiente: p v + ρg g p + z ρg v + g + z + h f - h b Al sustituir valores, con el P. H. C. en la superficie libre del agua. V h b g Donde P 5,000 w h b () ρ g Q kg/m x 9.8m/s Q Por continuidad Q π (0.05 m) V () Resolviendo numéricamente las ecuaciones () y () Para encontrar V 8. m/s y luego en () se tiene 3 3 Q 8.m/s π (0.05 m) m / s 00 m / h Criterios de aproximación diferencial para el desarrollo de las ecuaciones básicas. El análisis diferencial está orientado a establecer un modelo matemático del comportamiento del fluido, que permita conocer en detalle lo que ocurre en cada punto y en todos los puntos del campo de flujo. Para ello se establecen las ecuaciones básicas en pequeña escala, llegando a relaciones diferenciales, las cuales se deberán integrar para cada caso particular. Lo anterior permitirá conocer la distribución espacial y temporal de las variables que definen el comportamiento del fluido, como son la presión, velocidad, densidad y otras. A medida que un elemento de fluido se mueve en el espacio le pueden ocurrir diferentes transformaciones. Lo más claro es que está sujeto a un desplazamiento, pero también puede rotar y deformarse. Además la deformación puede ser lineal, en cuyo caso no se pierde la ortogonalidad de los ejes, o angular, cuando el ángulo entre los ejes también cambia. Ver figura 8

30 Figura Esquema de transformación de la partícula al moverse. Para describir estas transformaciones y cuantificarlas se necesitan elementos que midan los cambios de posición, la rotación y la deformación de un elemento de fluido en el tiempo. En general, incluso en muchos de los llamados flujos permanentes, la velocidad en un punto no es absolutamente constante, sino que oscila aleatoriamente en torno a un valor, ver figura. Figura Comparación entre el flujo laminar y el turbulento. La velocidad puntual instantánea se puede expresar como V U + v * donde el promedio de v * es cero si el flujo es laminar y en caso de no serlo entonces el flujo es turbulento. Antes de comenzar a tratar el tema, es útil recordar las propiedades del operador vectorial (nabla). A continuación se resumen sus principales propiedades, utilizando coordenadas cartesianas: a. Definición. Operador vectorial i + x j y + k z b. Gradiente de una función escalar. Define la variación de la función F en el espacio y tiene por 9

31 dirección aquella en la cual el aumento de F es mayor. En este caso opera sobre una función escalar y el resultado es un vector: F F F grad F F i + j + k x y z c. Divergencia de una función vectorial. Indica la forma en que un vector se aleja de un punto en el espacio y el comportamiento de sus componentes. De esta manera opera sobre un vector y el resultado es un escalar. u v w div V V + + x y z d. Rotacional o rotor de una función vectorial. Define la forma en que el vector gira en el espacio. En este caso opera sobre un vector y el resultado también es un vector. w v u w v u rot v V - i + - j + - k y z z x x y e. Laplaciano de una función escalar. Se define por este nombre a la divergencia del gradiente de una función escalar. El resultado es un escalar. F F F Lap F F div ( grad F ) F + + x y z Hasta el momento se han desarrollado las expresiones para el análisis bajo el método del volumen de control (criterio macro), es decir se estudia el flujo de manera externa al volumen de control; la figura 3 a, muestra una antena parabólica, sólo interesa la fuerza dinámica generada por el flujo que incide sin importar la distorsión que la propia antema ofrezca al flujo. La solución se obtiene aplicando los criterios expuestos en incisos anteriores. En la parte inferior de la figura 3 b, el análisis obedece ya no sólo a la fuerza dinámica que el flujo induce sobre la antena, además se desea conocer cómo se modifican las líneas de corriente por el efecto del obstáculo que presenta la antena parabólica al paso del flujo. En esta situación no es posible resolverla con las herramientas desarrolladas y se hace necesario plantear el problema a escala micro, se requiere más detalle para la solución y entonces interviene el criterio del análisis diferencial. Figura 3. Flujo ante una antena (Cengel, 005) Ecuación de la conservación de la masa. Es necesario plantear lo que podría llamarse un volumen de control diferencial y utilizando el teorema del transporte de Reynolds, poder llegar a la siguiente conclusión, la figura 4, muestra el elemento diferencial. 30