Modelo de Ising. David Marcos. Resumen

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1 Modelo de Ising David Marcos Resumen En el presente trabajo realizamos un estudio del modelo de Ising en una dimensión (1D), analizando la dependencia de magnetización y energía con la temperatura y calculando la función de correlación. 1. El modelo de Ising y su solución exacta en una dimensión. Consideremos una red de espines {s i } con energía: E({s i }) = J (i, j) 1 os vecinos i<j s i s j µh i s i (1) Con J la energía de interacción a primeros vecinos, µ el momento maganético y H el campo magnético. Resolver el problema pasa por calcular la función de partición. Consideremos el caso de 1D con N espines e impongamos condiciones de contorno (CC) periódicas (s N+1 = s 1 ). Si B µh tenemos: Z(B,T) =... N exp {β (J k s k+1 + Bs k )} = N exp {β [J k s k B(s k + s k+1 )]} (2) s 1 s N s i k=1 Definiendo P tal que P ss < s P s > e β[jss B(s+s )] tenemos < 1 P 1 >= e β(j+b), < 1 P 1 >= e β(j B), < 1 P 1 >=< 1 P 1 >= e βj.yasílamatriz de transferencia: ( ) e β(j+b) e P = βj e βj e β(j B) Con esta definición de P la función de partición se obtiene de manera inmediata: Z(B,T) = s i <s 1 P s 2 >< s 2 P s 3 >...<s N P s 1 >= s 1 <s 1 P N s 1 >= Tr(P N )=λ N + + λ N (3) k=1 Con λ ± e βj [cosh(βb) ± sinh 2 (βb)+e 4βJ ] los autovalores de P. Notar que: ( 1 N lnz(b,t)=ln(λ +)+ 1 ( ) ) N N ln λ N 1+ ln(λ + ) (4) Portanto,enellímite en que el número de espines es grande tenemos una energía E y una magnetización M: λ + E N = ln(z) J ( e βj e βj) β { J si T 0 0 si T (5) M N = H ( ktln(z)) sinh(βb) (= 0 si B =0) (6) sinh2 (βb)+e 4βJ 1

2 2. Simulación numérica del modelo de Ising en 1D. Conocidos los resultados teóricos, pasamos a la implementación numérica de resultados. El código Fortran 90 se muestra en el apéndice I. En la figura 2 se muestran los resultados de la simulación y su correspondiente acuerdo con la teoría. Observamos que en efecto la magnetización es nula, pues no existe magnetización espontánea para temperatura mayor que cero en una dimensión. En otras palabras, en 1D la transición de fase se produce a T = 0, con lo que las fluctuaciones numéricas de M que obtenemos cerca de T = 0 son de esperar. Otro resultado que puede llamar la atención es la no superposición de las curvas teórica y simulada para la energía. Para T 0ambas curvas nos dicen que la energía por espín es 1. Esto es así porqueladisminución de la temperatura provoca la aparición de dominios, hasta que en T = 0 se tiene un estado ordenado. La pista de la no coincidencia de curvas teórica y numérica nos la proporciona la que se obiene para el límite N. Resulta relativamente sencillo reproducir el modelo de Ising teórico para N grande. Sin embargo, en caso contrario, para obtener resultados precisos se requieren un gran número de pasos Montecarlo. Al incrementar tal cantidad iremos aproximándonos alacurvateórica Magnetizacion simulada/n Magnetizacion teorica/n Energia simulada/nj Energia teorica/nj Energia teorica/nj para N>> Temperatura T (en unidades de J/k) Figura 1: Energía y Magnetización en el modelo de Ising en 1D. 3. Función de correlación en el modelo de Ising de 1D. Llegagos a este punto, nos proponemos calcular la función de correlación de espines, definida por: Γ( j i ) s j s i s j s i (7) Siendo j i la distancia r. Intuitivamente, como la función de correlación nos da una idea de cómo afecta un espín a los de su entorno, vemos que este efecto será apreciable en Γ para distancias relativamente pequeñas, pues es donde la interacción entre espines es relevante. Esperamos así un decaimiento exponencial de Γ con la distancia. También de un modo intuitivo podemos predecir que el efecto de la temperatura será disminuir la correlación, pues al aumentar T la interacción espín-espín será menos significativa en relación a la energía total delsistema.enelapéndice II se muestra un código para el cálculo de la función de correlación y en la figura 2 los resultados obtenidos para varias temperaturas. Podemos calcular la llamada longitud de correlación ζ definida por: Y su dependencia con la temperatura. Para ello observamos que: Γ(r, T ) e r/ζ(t ) (8) ln (Γ(r, T )) = ln(a) 1 ζ(t ) r (9) 2

3 T=0.6 J/k T=1.0 J/k T=1.4 J/k T=1.8 J/k 0.7 Correlacion Γ Distancia r Figura 2: Función de correlación de espines. Con A una constante. Generando entonces un conjunto de curvas Γ para distintas temperaturas, y realizando un ajuste por mínimos cuadrados para obtener la pendiente de 9 podemos obtener un conjunto de puntos ζ(t ) como los ploteados en la figura Longitud de correlacion ζ Temperatura T Figura 3: Longitud de correlación. 3

4 Apéndice I: Programa en Fortran 90 para el modelo de Ising en 1D.! Monte Carlo para el modelo de Ising 1D! parameter (n=100) dimension is(n) real*8 dseed data dseed /142761d0/ nsteps = nblock=100 open(1,file= T_m_e.dat )! T=1.0 do nt=1,100 T=0.1*nT ama = 0 amaa = 0 ene = 0 enea = 0 do i = 1, n is(i)=1 call ran (dseed,random) if(random.lt.0.5) is(i)=-1 ama = ama + is(i) amaa = 0 enea = 0 do i = 1, n ip = i + 1 if (ip.gt. n) ip = 1 ene = ene - is(i)*is(ip) do k = 1, nsteps/nblock do l = 1, nblock do m = 1, 200! i=m CALL RAN (DSEED,RANDOM) i=int((n-1)*random+1.d0) si = is(i) ip = i + 1 if (ip.gt.n) ip=1 im = i - 1 if (im.lt.1) im=n de = 2*si*(is(ip)+is(im)) call ran (dseed,random) 4

5 if (exp(-de/t).gt. random) then is(i) = -si ama = ama - 2*si ene = ene + de end if enea = enea + ene amaa = amaa + ama write(1,*) T, amaa/(nsteps/nblock*n),enea/(nsteps/nblock*n) enddo close(1) end subroutine ran(dseed,r) double precision z,d2p31m,d2pn31,dseed data d2p31m/ /,d2pn31/ d-10/ z = dseed z = dmod(16807.*z,d2p31m) r = z * d2pn31 dseed = z end 5

6 Apéndice II: Programa en Fortran 90 para cálculo de la función de correlación en el modelo de Ising en 1D.! Monte Carlo para el modelo de Ising 1D! parameter (n=100) dimension is(n), CORR1(n-1),CORR2(n-1),CORR3(n-1),CORRA(n-1) real*8 dseed data dseed /142761d0/ nsteps = nblock=100 OPEN(2,FILE= correlr.dat ) T=1.0! ama = 0! amaa = 0! ene = 0! enea = 0 DO NR=1,n-1 CORR1(NR)=0. CORR2(NR)=0. CORR3(NR)=0. CORRA(NR)=0. ENDDO do i = 1, n is(i)=1 call ran (dseed,random) if(random.lt.0.5) is(i)=-1! ama = ama + is(i) NR=1 DO WHILE (I+NR.LE.n) CORR1(NR) = CORR1(NR)+(IS(I)*IS(I+NR)) CORR2(NR) = CORR2(NR)+IS(I) CORR3(NR) = CORR3(NR)+IS(I+NR) NR=NR+1 ENDDO! amaa = 0! enea = 0! do i = 1, n! ip = i + 1! if (ip.gt. n) ip = 1! ene = ene - is(i)*is(ip)!! DO NR=1,n-1! SPINI=0! SPINJ=0! SPINIJ=0! NUM=0 6

7 ! I=1! DO WHILE (I+NR.LE.n)! NUM=NUM+1! SPINI=SPINI+IS(I)! SPINJ=SPINJ+IS(I+NR)! SPINIJ=SPINIJ+(IS(I)*IS(I+NR))! I=I+1! ENDDO! CORR(NR)= (1./NUM)*(SPINIJ-SPINI*SPINJ)! ENDDO do k = 1, nsteps/nblock do l = 1, nblock do m = 1, 200! i=m CALL RAN (DSEED,RANDOM) i=int((n-1)*random+1.d0) si = is(i) ip = i + 1 if (ip.gt.n) ip=1 im = i - 1 if (im.lt.1) im=n de = 2*si*(is(ip)+is(im)) call ran (dseed,random) if (exp(-de/t).gt. random) then is(i) = -si! ama = ama - 2*si! ene = ene + de end if NR=1 DO WHILE (I+NR.LE.n) CORR1(NR) = CORR1(NR)+(IS(I)*IS(I+NR)) CORR2(NR) = CORR2(NR)+IS(I) CORR3(NR) = CORR3(NR)+IS(I+NR) NR=NR+1 ENDDO! enea = enea + ene! amaa = amaa + ama DO NR=1,n-1 WRITE(2,*) NR, (1./(nsteps*200))*corr1(nr) ENDDO CLOSE(2) end 7

8 subroutine ran(dseed,r) double precision z,d2p31m,d2pn31,dseed data d2p31m/ /,d2pn31/ d-10/ z = dseed z = dmod(16807.*z,d2p31m) r = z * d2pn31 dseed = z end 8