Matemáticas Física Curso de Temporada Verano Ing. Pablo Marcelo Flores Jara

Transcripción

1 Matemáticas Física Curso de Temporada Verano 2016 Ing. Pablo Marcelo Flores Jara

2 Reglamento de la Materia 1. Horario: 12:30 17:00 p.m. (Lunes a Sábado) a) Tolerancia de 10 minutos en la hora de ingreso (Se llamará lista al inicio de cada clase) 2. Faltas a) 3 Faltas permitidas 3. Evaluación a) Examen Parcial --> 40% b) Examen Final --> 60%

3 Contenido de la Materia UNIDAD I: INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA 1. Definición 2. Triángulos 3. Funciones Trigonométricas en untriángulo Rectángulo 4. Relaciones Trigonométricas entre dos ángulos complementarios 5. Fórmulas fundamentales 6. Ejercicios de aplicación

4 Contenido de la Materia (cont.) UNIDAD II: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULO CUALESQUIERA U OBLICUANGULOS 1. Teorema de los Senos 2. Teorema de los Cosenos 3. Teorema de los Tangentes 4. Área de Triángulos Oblicuángulos 5. Distintos casos de cálculo de áreas 6. Ejemplos y ejercicios de aplicación

5 Contenido de la Materia (cont.) UNIDAD III: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO MATRICIAL 1. Suma, resta y multiplicación de matrices 2. Matriz inversa, adjunta y unitaria 3. Prácticas y aplicación en hojas electrónicas de paquetes de computación

6 Contenido de la Materia (cont.) UNIDAD IV: INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 1. Eje o recta orientada y sistema de coordenadas cartesianas 2. Punto en sistema de coordenadas y distancia entre dos puntos 3. Punto de división de un segmento en una relación dada y coordenadas del punto medio de un segmento 4. Ángulo de inclinación y pendiente de una recta 5. Paralelismo y perpendicularidad entre dos rectas 6. Ángulo entre dos rectas 7. Ejemplos y ejercicios deaplicación

7 Contenido de la Materia (cont.) UNIDAD V: ECUACIONES DE LA LINEA RECTA 1. Conceptos iniciales y formas distintas de la Ecuación de una Línea Recta 2. Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada 3. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos 4. Ecuación de la recta en función de las coordenadas al origen 5. Ecuación General de la recta 6. Ecuación Normal de la recta 7. Reducción de la Forma General a la Normal 8. Distancia de un punto a una recta 9. Ejemplos y ejercicios de aplicación

8 Contenido de la Materia (cont.) UNIDAD VI: ESTUDIO DE LA CIRCUNFERENCIA 1. Definiciones y Ecuación de lacircunferencia 2. Ecuación Ordinaria o de Centro y Radio 3. Ecuación Canónica o Reducida 4. Ecuación General de la Circunferencia 5. Discusión de la Ecuación General de la Circunferencia 6. Tangente de una Circunferencia 7. Ejemplos y ejercicios de aplicación

9 Contenido de la Materia (cont.) UNIDAD VII: ESTUDIO DE LA PARÁBLOA 1. Definición y determinación de su Ecuación 2. Propiedades de la Parábola 3. Otras Ecuaciones de la Parábola 4. Ecuación General de la Parábola 5. Construcción geométrica de la Parábola 6. Ejemplos y ejercicios de aplicación

10 Contenido de la Materia (cont.) UNIDAD VIII: ESTUDIO DE LA ELIPSE 1. Definición Ecuación Normal de la Elipse 2. Propiedades de la Elipse 3. Ecuación de la Elipse 4. Ecuación General de la Elipse 5. Construcción Geométrica de la Elipse 6. Ejemplos y ejercicios de aplicación

11 Contenido de la Materia (cont.) UNIDAD IX: INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA SISTEMAS DE FUERZAS 1. Concepto Estático de Fuerza Cantidades Escalares y Vectoriales 2. Representación gráfica de una Fuerza, cargas Distribuidas y cargas Puntuales 3. Clasificación de Fuerzas, Colineales y Concurrentes 4. Principio del Paralelogramo de Fuerzas 5. Composición de Fuerzas Concurrentes y no Concurrentes 6. Polígono Funicular 7. Ejemplos y ejercicios de aplicación

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15 Evaluación diagnóstica

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17 UNIDAD I: INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA Ing. Pablo Marcelo Flores Jara pablofloresjara@gmail.com

18 Definición La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es 'la medición de los triángulos'. Deriva de los términos griegos τριγωνοϛ trigōnos 'triángulo' y μετρον metron 'medida'.

19 Definición (cont.) En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica entodos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas enla geometría del espacio.

20 Definición (cont.) La matemática hace el diseño de edificios más seguro y más preciso. La trigonometría es especialmente importante en la arquitectura, ya que permite al arquitecto calcular las distancias y las fuerzas relacionadas con elementos de la diagonal. De las seis funciones de trigonometría básicas, el seno, el coseno y la tangente son los más importantes para la arquitectura, ya que permiten al arquitecto encontrar fácilmente los valores opuestos y adyacentes relacionados con un ángulo o la hipotenusa, la traducción de un vector diagonal en vectores horizontales y verticales.

21 Triángulos Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice. A las semirrectas se las llama lados del ángulo. El origen común es el vértice. El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario.

22 Medida de ángulos Triángulos (cont.) Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades: 1. Grado sexagesimal ( ): Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales. Un grado tiene 60 minutos (') y unminuto tiene 60 segundos (''). 1º = 60' = 3600'' 1' = 60''

23 Triángulos (cont.) 2. Radián (rad): Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio. Un radián (rad) es la medida del ángulo central de una circunferencia cuya longitud de arco coincide conla longitud de su radio.

24 Triángulos (cont.)

25 Ejercicios Expresa engrados sexagesimales los siguientes ángulos: 1. 3 rad 2. 2n / 5 rad 3. 3n / 10 rad

26 1. 3 rad Ejercicios (cont.)

27 2. 2π / 5 rad Ejercicios (cont.)

28 3. 3π / 10 rad Ejercicios (cont.)

29 Ejercicios (cont.) Expresa enradianes los siguientes ángulos:

30 Ejercicios (cont.)

31 2. 10 Ejercicios (cont.)

32 Ejercicios (cont.)

33 1. Ángulo agudo 2. Ángulo recto 3. Ángulo obtuso 4. Ángulo llano 5. Ángulo concavo Clases de ángulos

34 Ángulos notables Razones trigonométricas de 30º y 60º La altura divide al triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos miden 90º, 60º y 30º. Si aplicamos el teorema de Pitágoras obtenemos la altura en función del lado:

35 Ángulos notables (cont.)

36 Ángulos notables (cont.) Razones trigonométricas de 45 La diagonal divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos miden 90º, 45º y 45º. Si aplicamos el teorema de Pitágoras obtenemos la diagonal en función del lado:

37 Ángulos notables (cont.)

38 Razones trigonométricas de ángulos notables

39 Ángulos complementarios

40 Ángulos complementarios (cont.)

41 Ángulos suplementarios

42 Ángulos suplementarios (cont.)

43 Ángulos que difieren en 180

44 Ángulos que difieren en 180 (cont.)

45 Ángulos opuestos

46 Ángulos opuestos (cont.)

47 Ángulos negativos

48 Ángulos negativos (cont.)

49 Ángulos mayores de 360

50 Ángulos mayores de 360 (cont.)

51 Ángulos que difieren en 90

52 Ángulos que difieren en 90 (cont.)

53 Ángulos que suman en 270

54 Ángulos que suman en 270 (cont.)

55 Ángulos que difieren en 270

56 Ángulos que difieren en 270 (cont.)

57 Ejercicios Calcula las razones de los siguientes ángulos:

58 Ejercicios (cont.)

59 Ejercicios (cont.)

60 Ejercicios (cont.)

61 Ejercicios (cont.)

62 Ejercicios (cont.)

63 Razones trigonométricas Seno El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

64 Se denota por sen B. Razones trigonométricas (cont.)

65 Razones trigonométricas (cont.) El seno de un ángulo en una circunferencia goniométrica es igual a la ordenada.

66 Signo del seno Razones trigonométricas (cont.)

67 Razones trigonométricas (cont.) Valores del seno de algunos ángulos

68 Razones trigonométricas (cont.) Relación entre el seno y el coseno cos² α + sen² α = 1

69 Razones trigonométricas (cont.) Ejemplo Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180. Calcular el coseno de α

70 Razones trigonométricas (cont.) Seno del ángulo complementario

71 Razones trigonométricas (cont.) Seno del ángulo suplementario

72 Razones trigonométricas (cont.) Seno de ángulos que se diferencian en 180

73 Razones trigonométricas (cont.) Seno del ángulo opuesto

74 Razones trigonométricas (cont.) Seno del ángulo negativo

75 Razones trigonométricas (cont.) Seno de un ángulo mayor de 360

76 Razones trigonométricas (cont.) Seno de ángulos que diferencian en 90

77 Razones trigonométricas (cont.) Seno de ángulos que suman en 270

78 Razones trigonométricas (cont.) Seno de ángulos se diferencian en 270

79 Seno de una suma Razones trigonométricas (cont.)

80 Razones trigonométricas (cont.) Seno de una diferencia

81 Razones trigonométricas (cont.) Seno del ángulo doble

82 Razones trigonométricas (cont.) Seno del ángulo mitad

83 Razones trigonométricas (cont.) Transformación de una suma de senos en producto

84 Razones trigonométricas (cont.) Transformación de una diferencia de senos en producto

85 Razones trigonométricas (cont.) Transformación de un producto de senos en sumas

86 Razones trigonométricas (cont.) Coseno El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

87 Se denota por cos B. Razones trigonométricas (cont.)

88 Razones trigonométricas (cont.) El coseno de un ángulo en una circunferencia goniométrica es igual a la abscisa.

89 Signo del coseno Razones trigonométricas (cont.)

90 Razones trigonométricas (cont.) Valores del coseno de algunos ángulos

91 Razones trigonométricas (cont.) Relación entre el seno y el coseno cos² α + sen² α = 1 Ejemplo Sabiendo que cos α = ¼, y que 270º <α <360. Calcular el seno de α.

92 Razones trigonométricas (cont.) Coseno del ángulo complementario

93 Razones trigonométricas (cont.) Coseno del ángulo suplementario

94 Razones trigonométricas (cont.) Coseno de ángulos que se diferencian en 180

95 Razones trigonométricas (cont.) Coseno del ángulo opuesto

96 Razones trigonométricas (cont.) Coseno del ángulo negativo

97 Razones trigonométricas (cont.) Coseno del un ángulo mayor de 360

98 Razones trigonométricas (cont.) Coseno de ángulos que diferencian en 90

99 Razones trigonométricas (cont.) Coseno de ángulos que suman en 270

100 Razones trigonométricas (cont.) Coseno de ángulos que diferencian en 270

101 Coseno de una suma Razones trigonométricas (cont.)

102 Razones trigonométricas (cont.) Coseno de una diferencia

103 Razones trigonométricas (cont.) Coseno del ángulo doble

104 Razones trigonométricas (cont.) Coseno del ángulo mitad

105 Razones trigonométricas (cont.) Transformación de una suma de cosenos en producto

106 Razones trigonométricas (cont.) Transformación de una diferencia de cosenos en producto

107 Razones trigonométricas (cont.) Transformación de un producto de cosenos en sumas

108 Razones trigonométricas (cont.) Tangente La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.

109 Se denota por tg B. Razones trigonométricas (cont.)

110 Razones trigonométricas (cont.) Tangente en la circunferencia goniométrica

111 Signo de la tangente Razones trigonométricas (cont.)

112 Razones trigonométricas (cont.) Valores de la tangente de algunos ángulos

113 Razones trigonométricas (cont.) Relación entre la tangente y la secante sec² α = 1 + tg² α Ejemplo Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270. Calcular el coseno de α.

114 Razones trigonométricas (cont.) Tangente del ángulo complementario

115 Razones trigonométricas (cont.) Tangente del ángulo suplementario

116 Razones trigonométricas (cont.) Tangente de ángulos que se diferencian en 180

117 Razones trigonométricas (cont.) Tangente del ángulo opuesto

118 Razones trigonométricas (cont.) Tangente del ángulo negativo

119 Razones trigonométricas (cont.) Tangente de un ángulo mayor de 360º

120 Razones trigonométricas (cont.) Tangente de ángulos que diferencian en 90º

121 Razones trigonométricas (cont.) Tangente de ángulos que suman en 270º

122 Razones trigonométricas (cont.) Tangente de ángulos que se diferencian en 270º

123 Razones trigonométricas (cont.) Tangente de una suma

124 Razones trigonométricas (cont.) Tangente de una diferencia

125 Razones trigonométricas (cont.) Tangente del ángulo doble

126 Razones trigonométricas (cont.) Tangente del ángulo mitad

127 Razones trigonométricas (cont.) Cosecante La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B.

128 Razones trigonométricas (cont.) Se denota por cosec B.

129 Razones trigonométricas (cont.) Cosecante en la circunferencia goniométrica

130 Razones trigonométricas (cont.) Signo de la cosecante

131 Razones trigonométricas (cont.) Relación entre la cosecante y la cotangente cosec² α = 1 + cotg² α

132 Razones trigonométricas (cont.) Secante La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B.

133 Se denota por sec B. Razones trigonométricas (cont.)

134 Razones trigonométricas (cont.) Secante en la circunferencia goniométrica

135 Signo de la secante Razones trigonométricas (cont.)

136 Razones trigonométricas (cont.) Relación entre la secante y la tangente sec² α = 1 + tg² α Ejemplo Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270. Calcular la secante de α.

137 Razones trigonométricas (cont.) Cotangente La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B.

138 Se denota por cotg B. Razones trigonométricas (cont.)

139 Razones trigonométricas (cont.) Cotangente en la circunferencia goniométrica

140 Razones trigonométricas (cont.) Signo de la cotangente

141 Razones trigonométricas (cont.) Valores de la cotangente de algunos ángulos

142 Razones trigonométricas (cont.) Relación entre la cotangente y la cosecante cosec² α = 1 + cotg² α

143 Razones trigonométricas (cont.) Cotangente del ángulo complementario Cotangente del ángulo suplementario

144 Razones trigonométricas (cont.) Cotangente de ángulos que se diferencian en 180 Cotangente del ángulo opuesto

145 Razones trigonométricas (cont.) Cotangente del ángulo negativo Cotangente de un ángulo mayor de 360º

146 Razones trigonométricas (cont.) Cotangente de ángulos que diferencian en 90º Cotangente de ángulos que suman en 270º

147 Razones trigonométricas (cont.) Cotangente de ángulos que se diferencian en 270º

148 Signo de las razones trigonométricas

149 Tabla de razones trigonométricas

150 Relaciones entre las razones trigonométricas cos² α + sen² α = 1 sec² α = 1 + tg² α cosec² α = 1 + cotg² α

151 Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos Ángulos complementarios

152 Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos (cont.) Ángulos suplementarios

153 Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos (cont.) Ángulos que difieren en 180

154 Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos (cont.) Ángulos opuestos

155 Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos (cont.) Ángulos negativos

156 Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos (cont.) Ángulos mayores de 360

157 Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos (cont.) Ángulos que difieren en 90

158 Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos (cont.) Ángulos que suman 270

159 Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos (cont.) Ángulos que difieren en 270

160 Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

161 Razones trigonométricas del ángulo doble

162 Transformaciones de sumas en productos

163 Transformaciones de productos en sumas

164 Identidades Fundamentales cos² α + sen² α = 1 sec² α = 1 + tg² α cosec² α = 1 + cotg² α

165 Identidades Fundamentales (cont.) Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

166 Identidades Fundamentales (cont.) Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

167 Desarrollar: cos(x+y+z) Ejercicios

168 Calcula el sen 3x, en función de sen x. Ejercicios (cont.)

169 Ejercicios (cont.) Calcula el sen x, cos x y tg x; en función de tg x/2.

170 Comprobar las identidades trigonométricas: Ejercicios (cont.) 6. 7.

171 Ejercicios (cont.)

172 Ejercicios (cont.)

173 Ejercicios (cont.)

174 Ejercicios (cont.)

175 Ejercicios (cont.)

176 Ejercicios (cont.)

177 Ejercicios (cont.)

178 Ejercicios (cont.) Simplificar las fracciones:

179 Ejercicios (cont.)

180 Ejercicios (cont.)

181 Ejercicios (cont.)

182 Aplicación de la Trigonometría en el campo de la Arquitectura La trigonometría se utiliza mucho en la arquitectura moderna, tanto que ésta es incompleta sin la otra. Las formas de gran estrella en los edificios, hermosas estructuras curvas de acero, piedra, vidrio entre otras, no serian posibles sin el uso de la trigonometría. En realidad los paneles planos y planos rectos en los edificios se encuentran en un ángulo entre sí y la ilusión que tenemos es la de una superficie curva. Incluso mientras se decide el interior de los hogares y oficinas, la trigonometría juega unpapel vital.

183 Aplicación de la Trigonometría en el campo de la Arquitectura (cont.) También puede ser utilizada en la arquitectura como esenla construcción de edificios así también como en la construcción de túneles a través de montañas y calcular la dirección para que el túnel salga al otro lado en el lugar deseado.

184 Aplicación de la Trigonometría en el campo de la Arquitectura (cont.) Teatro Popular en Niterói Para el diseño de este edificio se utilizó una función trigonométrica, ya que si ubicamos la forma de este edificio en un plano cartesiano, tomando en cuenta que la punta de lado izquierdo del edifico pasa por el origen del plano cartesiano, con esta información podemos deducir el edifico pertenece a la función de Seno. El teatro Popular fue diseñado por el arquitecto Oscar Niemeyer en el año 2007.

185 Aplicación de la Trigonometría en el campo de la Arquitectura (cont.) Bridge of Peace Al igual que la imagen anterior la forma de este puente pertenece a una función trigonométrica. Si localizamos este diseño en un plano cartesiano podemos ver que el inicio del puente pasa por la coordenada (0,1) con esto podemos deducir que la silueta de este puente pertenece a la función coseno. Este símbolo contemporáneo diseñado por el arquitecto Michele de Lucchi a principios de Tiene 150 m de largo y se encuentra ubicado en Georgia.

186 Aplicación de la Trigonometría en el campo de la Arquitectura (cont.) Zentrum Paul Klee Esta obra representa claramente la aplicación de las funciones trigonométricas enlaarquitectura. En esta obra seutilizó la función seno, ya que la silueta del edificio colocado en un plano cartesiano, nos demuestra que el contorno del edifico pasa por el origen del plano, lo cual nos indica que este edificio se aplicó lafunción seno. Esta obra fue diseñada por el arquitecto suizo Renzo Piano y el artista Paul Klee, en conjunto diseñaron el edificio Zentrum Paul Klee en 1999.

187 Aplicación de la Trigonometría en el campo de la Arquitectura (cont.) Funciones Cuadráticas Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola. f(x) = ax² + bx + c El vértice es un indicador importante del punto máximo o mínimo alcanzado. Estas funciones también se representan como texto, tablas de valores y fórmulas. En arquitectura, se emplean las funciones cuadráticas mayoritariamente para la construcción de puentes colgantes que tienen que soportar un peso uniformemente distribuido.

188 Aplicación de la Trigonometría en el campo Funciones Exponenciales La función exponencial es del tipo: f(x)=ax de la Arquitectura (cont.) Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x. En arquitectura, se puede asociar este tipo de funciones para la planificación del desarrollo urbano de una ciudad.