XI Esc. Prob. & Estad. CIMAT 2012 Clase 3 La Ley de Benford para Secuencias Deterministas

Transcripción

1 XI Esc. Prob. & Estad. CIMAT 2012 Clase 3 La Ley de Benford para Secuencias Deterministas Ted Hill Internet base de datos Internet libro de la teoría de Benford Vol 8, pp 1-126

2 Esquema de Clase 3 1. Secuencias clásicas (Fibonacci, n!, etc) 2. Evidencia empírica (calculadora simbólica inversa) 3. Procesos exponenciales 4. Procesos super-exponenciales 5. El Método de Newton obedece a la LB 6. Aplic. a las pruebas de diagnóstico, errores de redondeo 7. Problemas Abiertos

3 Ejemplo 2 Otra Vez Comience con cualquier número positivo, y en repetidas ocasiones se multiplican por 2. Entonces, se empieza con 5, 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, Qué proporción de la secuencia comienza con un 1? R. Exactamente log % La misma respuesta si se comienza con 7, o con 3 y se multiplica repetidamente, etc por 5, pero no por 10

4 Ejemplos de Datos Deterministas Ej. 1 Los números de Fibonacci 1,1,2,3,5,8, n! n 2 las tres son secuencias de Benford Ej. 2 x (1 r ) x x n n 1 n 0 2 n 1 x n 1 x0 x1 x2,,,... es una secuencia de Benford Ej. 3 n cada componente es una secuencia de Benford Ej. 4 La solución de la ecuación diferencial x x e sin x, x(0) x es una función de Benf ord 0

5 Algunas Secuencias Clásicas D 1 (n!) (2 n ) (F n ) Benford Los primeros 1000 números enteros positivos

6

7

8 Calculadora Simbólica Inversa =? Math World En la base de datos de Plouffe [actualmente más de 3,7 mil millones de entradas], el 30% comienzan con el dígito 1. "

9

10 LB para Secuencias y Funciones Recuerde. S : [1, 10) es la función mantisa e.g. S(2,013) S( ) (decimal) Una secuencia x, x, x, es Benford si # i n : S xi t lim log t 1 t 10 n n Una función f :[0, ) lim T es Benford 0 : x T S f x t T si log t 1 t 10

11 Secuencias de Crecimiento Exponencial T Sea T( x) x(1 f ( x)) una de C con f ( ) 0 y 1. Entonces x, T( x), T( T( x)),... es Benford para todas x (suficientemente grande) si y sólo si log es 10 irracional. Ej. Ej. Ej. Iteraciones de T( x) 2 x son Benford. Iteraciones de T( x x x e 2 x ) 2 son Benford. Iteraciones de T( x) 10 x n o lo son

12 Las Iteraciones de T(x)=2x Iteraciones de

13 Secuencias Super-Exponencial T.11. Sea T un mapa C con un punto superatractivo de orden finito, entonces x, T( x), T( T( x)),... es Benford para casi todos los x suficientemente grandes, pero existe un número infinito de puntos excepcionales Ej. Ej. T x x x 2 2 ( ) o 10 ( iteraciones son Benford) T x 2 ( ) x 1 (iteraciones son Benford) Ej. polinomios, funciones exponenciales y de potencia... (iteraciones son Benford) E j. T( x) x (iteraciones no son Benford).

14 Las iteraciones de T(x) = x 2

15 LB en Ecuaciones Diferenciales Parciales La ecuación del calor w t 2 w 2 x Solución 1: ES 2 w( x, t) Aexp( a t x) B Benford en x y t Solución 2: 2 w( x, t) A( x 2 at)) B NO ES Benford en x ni t

16 Prueba Dentro-Benford, Fuera-Benford" para Diagnósticar los Modelos Modelo Matemático Entrada e.g., 2010 Datos del censo Ecuaciones diferenciales, los flujos de la red, PL, etc. Salida e.g., 2100 Predicción de censo Prueba parcial negativa

17 El Método de Newton Obedece LB Método de Newton f( x) f ( x) n T ( x ) x para x cerca x, donde f ( x ) 0. ' Sea T( x) x si f ( x) 0. Entonces ' * * * 0 0 T. 12. Sea f : I una función real analítica, * no-lineal, y f( x ) 0. Entonces * i) sea x una sola raíz de f * xn x xn1 xn ( ) ( ) and ( ) son Benford * para casi todos x cerca de x 0 ii) sea x * una raíz de multiplicidad * ( ) vale para todos x x. 0 2,

18 Errores de Redondeo en Algoritmos Knuth (1997) "Si los dígitos iniciales tienden a ser pequeñas..., el error relativo debido al redondeo es por lo general... más de lo esperado. Estimación Aproximada Sean X el error absoluto Y la mantisa en el momento de parar R X Y error relativo Si X, Y son independientes, ER EX E( ) 1 10dt 10 9t Si Y es uniforme U, ER 2.558EX pero si Y,1 real es Benford, ER 3.909EX log10 y la media de la subestimación del error es más de un tercio t dt 1 Y

19 Aplicaciones en la Informática Ej. 1 Análisis de los errores de redondeo (Hamming, Knuth, Berger-H). Ej. 2 Análisis de errores de overflow / underflow (Feldstein, Goodman & Turner) Ej. 3 Diseño de computadoras (Barlow y Bareiss; Schatte) Ej. 4 Codificación basada en la entropía (Abdallah, Heileman y Pérez González) Ej. 5 Idiomas libres de contexto (Ravikumar)

20 Problemas Abiertos 1. Cuál sería la velocidad de convergencia de Benford? 2. Existe una teoría general para ecuaciones diferenciales parciales? 3. Existe una teoría unificada de Benford (para secuencias, ecuaciones diferenciales, y variables aleatorias)? 2 4. Son iteraciones de T( x) x 1 con x0 1, Benford? i.e., es 1,2,5,26,... una secuencia Benford - si o no?

21 Newcomb 1881

22 Figs