CAPÍTULO 4 CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA. 1 ó j INTRODUCCIÓN

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1 CAPÍTULO 4 CRCUTOS ELÉCTRCOS EN EL DOMNO DE LA FRECUENCA 4.1 NTRODUCCÓN Hasta el momento el curso lo hemos analizado los circuitos aplicando una metodología de análisis en el dominio del tiempo, este método es de aplicación general pero se hace complicado y tedioso resolver ecuaciones integro-diferenciales de circuitos con numerosas mallas y nodos. Por lo que usaremos una transformación de estas ecuaciones integro-diferenciales en el dominio del tiempo en un conjunto de ecuaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia, este procedimiento solo es válido para señales senoidales con una misma frecuencia y en régimen permanente. Antes de introducirnos en el análisis en el dominio de la frecuencia, haremos una revisión de los números complejos, los cuales terminaremos relacionando con la formas de ondas senoidales Números complejos. Generalidades: Los números complejos aparecen de cuando se estudiaban las ecuaciones de segundo grado del tipo: x 4 0 x 1 x 1 Cuya solución requería de una extensión el concepto del número que hasta entonces no se poseía y para salvar este inconveniente se introdujo el número imaginarioj tal que: j 1 Llamaremos número complejo a toda expresión de la forma: a+jb, Donde a y b son números reales; j es la llamada unidad imaginaria, definida por: j 1 ó j 1 118

2 En un número complejo a+jb, a ase le denomina parte real y bes la parte imaginaria del número complejo. Si a = 0, el número complejo 0 + jbes un número imaginario puro; si b = 0, se obtiene un número real a+j0= a. El conjunto de números complejos se denota porc 4.1. Representación de los Números Complejos a) Representación Gráfica Todo número complejo a+jb puede ser representado en el plano XY mediante un punto de coordenadas (a, b). Recíprocamente, todo punto del plano de coordenadas (a, b) puede considerarse como la imagen geométrica del número complejo a+jb. Obsérvese que todos los números imaginarios puros se representan en el eje OY que llamaremos eje imaginario; igualmente los números reales se representan en el eje OX llamado eje real. b) Forma Rectangular de los números complejos Representamos a un número complejo o en su forma rectangular de la siguiente manera: C X jy Un número complejo se representa con una letra mayúscula con una barra en la parte superior X ReC Y mc j C X jy Y Esta expresión es llamada también forma binómica, X -j c) Forma trigonométrica de los números complejos Si se designan por A(A 0) y θ las coordenadas polares del punto (a, b), se verifica que a Acos b Asen 119

3 A Acos jasen A A modulo del número complejo A= a b -1 argumento del número complejo =tan() b a El número Ase llama módulo y θes el argumento del número complejo a+jb. El argumento del número complejo es positivo cuando se toma a partir de la dirección positiva del eje OX en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj, y es negativo, cuando se calcula en dirección opuesta. Es evidente que el argumento θ no se determina de manera unívoca. Teniendo en cuenta la forma de Euler: e j cos jsen A esta expresión se le denomina forma exponencial de un número complejo observamos que: j cos Re() e sen m() e j e j cos sen 1 Entonces para cualquier número complejo: j A Ae Acos jasen A a b Otra manera de expresar un número complejo es especificando su magnitud y su argumento que forma con el eje real. A esta forma se le conoce como forma polar: A A Entonces un número complejo se puede representar: j Aa jb Acos jasen Ae A Se llama conjugado de un número complejo a aquel que tiene el mismo valor real y la componente maginaria de igual valor pero con signo diferente 10

4 A a jb * A a jb Operaciones con números complejos Los números complejos se pueden representar fácilmente en cualquiera de sus formas para realizar las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, como veremos a continuación: a) Suma y resta Para realizar una suma o sustracción de dos números complejos lo realizaremos en su forma rectangular sustrayendo o sumando las componentes de igual naturaleza: ()()()() a jb c jd a c j b d b) Producto Para realizar un producto de dos números complejos lo podemos realizar en su forma rectangular, pero es más práctico realizarla en su forma exponencial o polar: En forma rectangular: (a + jb) (c + jd) = (ac bd) + j(bc+ ad) En forma polar: A A AA c) División Al igual que el producto se puede realizar de forma rectangular pero una manera práctica es en su forma polar: En forma rectangular: a jb a jb c jd ()() ac bd j bc ad c jd c jd c jd c d 11

5 En forma polar: A1 A1 1 A A El inverso de un número complejo es de la forma: 1 1 A A d) Potenciación Para poder realizar la potencia de un número complejo y evitar estar realizando productos consecutivos aplicaremos la regla exponencial para la forma polar: () A n A n e jn n A n e) Radicación Al igual que el caso anterior trabajaremos con su forma exponencial y polar: A Ae n n j k j() n n n Ae Para valores de K= 0, 1,, 3,..,(n-1); para K = n se vuelve a tomar el valor de K = 0 4. FASORES Se define como fasor a un vector radial en rotación, que tiene magnitud constante con un punto fijo en el origen, todo fasor gira con una velocidad angular constante en sentido antihorario. 1

6 Podemos observar en la figura que el tiempo t=0, la onda senoidal está en el cruce del eje imaginario y para T= π, habrá completado un ciclo y vuelve a su posición inicial, por esta razón que a un fasor también se le conoce como fasores armónicos. Y cumple con la periodicidad de las funciones trigonométricas: cos( wt ) k cos() wt sen( wt )() k sen wt ; para valores de K= 0, 1,, De igual modo podemos representar un señal de tensión o corriente en forma fasorial, y dado que cuando hablamos de CA el valor del modulo será igual al valor eficaz. j e Emsen () wt = E t me E E Donde E e son valores eficaces. Como ya hemos mencionado anteriormente, solo se puede aplicar un análisis fasorial para aquellas señales que tienen la misma frecuencia, ya que al momento de hacer la representación en su forma polar, solo ponemos el valor eficaz y el ángulo de fase. Si hemos llevado una expresión de la onda senoidal a su forma fasorial, también se cumple todo lo anteriormente explicado, lo más importante son las operaciones aritméticas que se puede realizar con mayor facilidad en el dominio de la frecuencia. Por ejemplo si queremos sumar dos señales de tensión 1 0º 90º º Para este caso en particular estamos tomando los valores máximos de las señales, aquí estamos sumando dos corrientes i1 e i Ahora haremos una comparación de una señal senoidal en el dominio del tiempo y en dominio de la frecuencia. 13

7 Dominio del tiempo ( sen wt 30º) 70.71( sen w10 t º) 10cos wt Dominio de la frecuencia 130º º 4.3 RELACÓN FASORAL DE LOS ELEMENTOS DE UN CRCUTO DE CORRENTE ALTERNA En la primera parte del curso hemos analizado los circuitos de corriente alterna en el dominio del tiempo, ahora vamos a realizar el mismo análisis pero haciendo la conversión fasorial de los elementos que está formado mi circuito, así como de las respuestas y excitaciones, este cambio se realiza para hacer más sencilla las operaciones entre señales senoidales. Cuando llevamos una señal de la forma v () sen() wt a su forma fasorial, debemos realizar el t m cambio en cada uno de los demás elementos del circuito, es decir todos deben expresarse de la misma forma fasorial, empezaremos con los circuitos R, L y C puros CRCUTO PURO RESSTO (R) Tomamos como referencia la corrientee del circuito i ()t m senwt que en su forma fasorial se representa 0º. 14

8 Por Kirchhoff el fasor del de tensión es igual al producto de del fasor corriente por la impedancia R i ()t R R 0º Podemos observara que la tensión tiene un ángulo de desfase que la corriente 0º, es decir están en fase con la corriente, Para encontrar la impedancia R del circuito dividimos a la tensión entree la corriente, aquí concluimos que la impedancia es resistiva es decir no tiene parte compleja sólo real 0º Z Z 0º 0º Haciendo su diagrama fasorial, debemos tener en cuenta que si graficamos al fasor corriente junto con el fasor tensión deben estar en diferentes escalas La impedancia de un circuito no es un fasor como lo detallaremos más adelante, sólo es una cantidad fija en el caso de la resistencia es un valor real CRCUTO PURO NDUCTO (L) Tomamos como referencia la corrientee del circuito i ()t senwt m que en su forma fasorial se representa 0º para hacer un análisis similar que del circuito resistivo puro v () t di L dt () t Recordando que co s( w t 9 0 º) sen w t i ()t v () t wl msen( wy 90º) 90º Dándole forma fasorial: 15

9 wl 90º 90º, Podemos concluir que un circuito inductivo puro la tensión adelanta a la corriente en 90º Como ya hemos definido en el análisis en el dominio del tiempo X L wl reactancia inductiva, hallando la impedancia del circuito, para circuito puramente inductivo la impedancia es una cantidad imaginaria ya que no presenta parte real, por consiguiente su representación es sólo un segmento sobre el eje positivo imaginario. 90º Z X L 90º jx 0º L jx L j Recordando: j e cos jsen Para hacer el diagrama fasorial de un circuito puramente inductivo la tensión debe tener un adelanto de 90º respecto a la corriente: CRCUTO PURO CAPACTO (C) Tomamos como referencia a la corriente i () senwt 0º, aplicando la segunda ley de Kirchhoff tenemos: t m 16

10 v ()() t 1 C i dt t i ()t ()() ( cos)( wt 90º) v t sen wt wc wc v ( t Llevándolo a su forma fasorial: 90º 90º wc En el dominio del tiempo a la expresión es solo una cantidad imaginaria negativa. X L 1 le denominamos reactancia capacitiva, esta reactancia wc 90º Z XC 90º jx 0º C jx C Para su diagrama fasorial en un circuito puramente capacitivo la tensión atrasa a la corriente 90º 4.4 ASOCASÓN DE MPEDACAS EN SERE Cuando se nos presentan impedancias en serie aplicamos la segunda ley de Kirchhoff que dice que la suma de tensiones en un circuito de lazo cerrado es igual a cero, si tomamos como referencia a la corriente 0º 17

11 R jx jx L C Factorizando el fasor corriente y nos queda el fasor corriente multiplicado por impedancias inductivas y capacitivas son dos cantidades las podemos restar en forma directa, asumimos para nuestro circuito que se comporta inductivamente, es decir que X L X C R j X L XC Como las mpedancia R jx X L Haciendo el diagrama de impedancias: Donde: Z X C Z R X R 1 X tan R Z Z Por lo que el fasor tensión queda: 0º Z, Como asumimos que nuestro circuito se comportaba inductivamente la tensión adelanta a la corriente en, hacemos el diagrama fasorial de las tensiones. L C R 18

12 El ángulo de desfase entre la tensión y la corriente es el mismo ángulo asociado a la impedancia. Cuando hablamos de impedancias asociadas en serie, la impedancia total del circuito es la suma de todas las impedancias complejas a 1 b 3 n Z 1 Z Z 3 Z n n Dividimos entre 1 3 n... T Z Z Z Z Z n Por la segunda ley de Kirchhoff la tensión de la fuente ha sido repartida en cada impedancia del circuito serie, por eso que cuando nos referimos de un circuito serie decimos que es un divisor de tensión, por ejemplo la tensión 1 es igual al producto de la impedancia Z 1 por la corriente del circuito serie. 1 Z1 Z T Z T Si queremos encontrar la tensión ab, aplicamos la regla de división de tensión: ab Z1 Z T Z 19

13 4.5 ASOCASÓN DE MPEDANCAS EN PARALELO Para iniciar a analizar este circuito pondremos como referencia a la tensión de la fuente 1 1 R 3 L C Por la primera ley de Kirchhoff, la suma de todas las corrientes entrantes a un nodo es igual a la suma de todas las corrientes salientes: 1 3 R jx jx L C 1 1 jwc R wl Cuando trabajamos con un circuito paralelo se nos hará más sencillo si hacemos el cambio de impedancias a admitancias complejas: 1 G conductancia R 1 B L suceptancia inductiva wl G j B B wc B Suceptancia capacitiva C () C L Realizando el diagrama de admitancias, asumimos que BC BL 130

14 Donde: B C Y G B Y 1 Y tan Y Y B G Y B L Y G Reemplazando la admitancia compleja: C Y 0º Y Y L Realicemos el diagrama fasorial de las corrientes: Y Aquí observamos que la corriente adelanta a la tensión un ángulo º, este ángulo es el mismo asociado a ángulo de la admitancia compleja. Cuando tenemos los dipolos dispuestos en paralelo la admitancia total del circuito es igual a la suma de todas las admitancias del circuito. R 1 Z1 Z 3 Z3 n Z n n Dividiendo entre el fasor tensión 0º 1 3 n

15 Esto es la suma de todas las admitancias del circuito: Y Y1 Y Y3... Yn Podemos concluir que la corriente total se reparte en cada rama del circuito, porque hablamos de un circuito divisor de corriente, analizaremos el circuito con dos impedancias en paralelo. 1 Z1 Z 1es igual al cociente entre la tensión y la impedancia Z 1, de aquí que la tensión de la fuente es igual al producto de la corriente total por la impedancia total del circuito Z T Z1Z Z Z 1 Dividimos esta última expresión entre Z 1 : 1 Z Z Z 1 Para hallar aplicamos el mismo criterio Z1 Z Z MPEDANCAS Y ADMTANCAS COMPLEJAS La impedancia compleja es el cociente entre la tensión y la corriente, y tiene como notación Z y sus unidades son los ohms, el modulo de la impedancia compleja depende la frecuencia, está hace variar a la parte imaginaria de la impedancia (reactancia) por lo que el modulo resultante también cambiara de valor. La impedancia representa la oposición al flujo de la corriente. 13

16 Z Z R jx X reactancia m Z R resistencia R e Z X Z Z R Z R X X R 1 tan La admitancia compleja es el cociente entre la corriente y la tensión, es decir es la inversa de la impedancia compleja por lo que también es una cantidad compleja cuyo argumento es el mismo de la impedancia asociada solo que es negativo. Y Z, sus unidades son los siemens (S), la admitancia viene a ser el grado de libertad con que fluye la corriente por un circuito, por lo que cuando más grande sea esta cantidad mayor será el flujo de la corriente Y 1 1 Z R jx, Si multiplicamos por su conjugada a ambos términos: Y 1 R jx R X j R jx R jx R X R X G B B Susceptancia m Y G Conductancia Re Y 133

17 Y Y B Y G B B G 1 Y tan G En todo circuito de CA sea serie, paralelo o una combinación de esto el ángulo asociado a la impedancia compleja o de la admitancia compleja es el mismo ángulo que la tensión de la fuente adelanta o atrasa a la corriente. 4.6 DAGRAMAS FASORALES Realizar Un diagrama fasorial nos ayuda a tener en forma rápida la relación de magnitud, fase, adelanto o atraso de dos o más señales senoidales llevadas a su forma fasorial. Sobre un mismo plano podemos realizar el diagrama fasorial de tensión y corriente sólo debemos tener en cuenta las escalas a las que se grafican. Para poder ir entendiendo como realizar los diagramas fasoriales de los circuitos realizaremos un ejemplo. Realizar el diagrama fasorial del circuito y encontrar la tensión de la fuente, (t) R 10 L 0 30 C Los valores indicados de tensión son valores eficaces, por lo que le daremos su forma fasorial de tensión a cada elemento del circuito, tomaremos como referencia a la corriente 0º Analizamos primeramente a la resistencia: 100º, debe estar en fase con la corriente R 134

18 Para el caso de la inductancia el fasor tensión debe estar adelantado al fasorcorriente 90º L 090º Observamos que en el circuito la tensión en el condensador es mayor que el de la inductancia, por lo que el circuito se comportara capacitivamente º C Por la segunda ley de Kirchhoff la tensión en la fuente es la suma de las tensiones en cada dipolo, uniendo las tres graficas tendremos la suma de las tensiones, debemos recordar que la suma de las tensiones no es escalar, si no, una suma de fasores complejos Hallando el modulo del fasor Hallando el ángulo de fase 1 10 tan 45º º oltios 135

19 Diagrama fasorial de las tensiones: L R C CRCUTOS ELÉCTRCOS EN EL DOMNO DE LA FRECUENCA PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA Nº01. En el circuito de la figura, se pide hallar: a) El diagrama fasorial de las tensiones 136

20 1 b) si, calcule el valor de L y C en función de de R1, R, y w M 1 R1 L 1 B A C R N Resolución Empezaremos realizando el diagrama fasorial del circuito, como es un circuito paralelo de dos ramas, la tensión de la R1 más la tensión en C debe ser igual a la de la fuente 1, de igual manera la tensión en la inductancia L más la tensión en la resistencia R debe darnos la tensión de la fuente 1, también se tiene que la tensión en R1 más la tensión y más la tensión en la resistencia R también nos da 1, sea corriente que pasa por la rama R-C e RL la corriente que pasa por la rama R-L RC la Tenemos así: 1 R1 C R L R1 R RC B A R1 R L C M N 137 1

21 Tomamos como referencia la tensión de la fuente 0º, en la rama capacitiva la corriente adelanta a la tensión en 90º y la tensión de la resistencia esta en fase con la corriente y por Kirchhoff está suma es igual a la tensión de la fuente, y se grafica en la parte del semicírculo superior, en cambio en la rama inductiva la tensión adelanta a la corriente en 90º y la tensión de la resistencia en la rama está en fase con la corriente, por lo que supondríamos que la grafica corresponde a la parte inferior del semicírculo, pero de la tercera condición R 1 R 1, debemos desplazar al fasor de la tensión de la resistencia R en forma paralela al fasor corriente a la parte superior del semicírculo y la gráfica fasorial quedaría como se muestra en la parte superior. Para la parte (b) si 1, entonces están en fase y graficamos a partir de nuestro diagrama inicial. Debemos tener en cuenta que el radio del circulo es igual a 1, y podemos construir tres triángulos equiláteros de lado 1, OMB, OBA y OAN, para estas condiciones R1 = R por lo que tenemos dos triángulos rectángulos 30º 60º MBN y MAN. RC B A R1 C R L 138 M 60º 60º 30º N 1

22 O Hallando los valores de C y L en función de R1, R y w, para el triangulo rectángulo MBN 30º 60º el fasor C es igual a R1 por la cotangente de 30º despejamos y encontramos el valor de C: cot 30º X R 3 C R1 RC C RC 1 1 C wr 1 3 ; aplicamos el mismo criterio para hallar L cot 30º X R 3 L R RL L RL R 3 L w PROBLEMA Nº0. En el circuito de la figura se tiene AN BN. Hallar AB en función de la tensión de entrada MN. Solo análisis gráfico. 139

23 M 1 R 1 X c B A R 1 R N Resolución Tomemos la rama 1 que es resistiva pura, aplicando Kirchhoff como tanto la corriente y la tensión están en fase el diagrama fasorial quedaría como se muestra en la figura. Por divisor de tensión la tensión en la resistencia 1 es la tercera parte de la tensión que se le suministra a la rama 1 3 NM AM NM NA AB AM AM AM NM NM Q AM AM NM NM 0 NM MB BN NM MB BN NM BM NB 140

24 Y de esto: NB BM N B M Para la rama tenemos en serie una capacitor con una resistencia, en esta ultima la tensión y la corriente de la rama están en fase, en cambio en el capacitor la tensión está atrasada 90º respecto a la corriente de la rama A NA AM NM AM NA M N M AM X c NM NM A También: tan NA AM /3 NM 5 /3 NM NA R N AQ Del triángulo N A Q : cos AQ 0.5 /3 También: MN MN NQ NQ 7 6 MN MN NQ MN QB NM NM NM MN 141

25 AB NM NM AB NM NM tan 65.68, 0.6 la tensión en A-B es la expresión AB NM NM 14