Métodos básicos de control I. Métodos básicos de control I

Transcripción

1 Métodos básicos de control I Objetivo específico Introducir los principales métodos de control en el dominio del tiempo y en representación externa, los cuales deben ser entendidos por cualquier profesional del control Métodos básicos de control I Temas. Requerimientos de diseño. 3. Rediseño de reguladores continuos 4. Ubicación de polos (enfoque polinomial) 5. Regulador de cancelación. Regulador de tiempo mínimo, Regulador de tiempo finito 6. Predictor de Smith (sistemas con retardo)

2 3 Requerimientos de diseño Generalidades Fases del diseño de sistemas de control: Especificación de ciertos requerimientos Selección y ajuste de diversos tipos de controladores Selección, a partir de un detallado análisis, del controlador que mejor da cumplimiento a los requerimientos El diseño de control para sistemas complejos puede requerir de metodologías de estructuración Consideraciones de diseño: El mejor diseño es malo si los objetivos son erróneos Un sistema de control es válido sólo para condiciones correctas, tales como: período de muestreo, rango de linealidad 4 Requerimientos de diseño Generalidades El diseño de un sistema de control implica: Ajuste de parámetros del sistema o del subsistema de control (diseño por análisis) ó Síntesis del subsistema de control, llamado controlador o compensador (diseño por síntesis) El subsistema de control es un sistema simple y flexible que permite el control de un sistema más complejo, dentro de unas condiciones deseadas de desempeño Los compensadores digitales son más flexibles que los analógicos y permiten la realización de cualquier esquema concebible de control En el establecimiento de los requerimientos es importante que trabajen juntos el diseñador del control y el diseñador de la planta

3 5 Requerimientos de diseño Esquemas de compensación r(t) e(t) u(t) Proceso y(t) Controlador controlado Gc(s) Gp(s) Compensación en serie r(t) e(t) u(t) Proceso y(t) controlado Gp(s) Controlador Gc(s) Compensación en paralelo 6 Requerimientos de diseño Esquemas de compensación r(t) u(t) Proceso controlado Gp(s) R ealimentación del estado K x(t) C y(t) Compensación con realimentación del estado r(t) e(t) u(t) Proceso y(t) Controlador Controlador controlado Gcf(s) Gc(s) Gp(s) Compensación adelanto-serie (dos grados de libertad) 3

4 7 Requerimientos de diseño Esquemas de compensación Controlador Gcf(s) r(t) e(t) u(t) Proceso y(t) Controlador controlado Gc(s) Gp(s) Compensación con prealimentación (dos grados de libertad) 8 Requerimientos de diseño Generalidades Definir los requerimientos de un sistema de control no es fácil. Un error común consiste en imponer requerimientos inalcanzables Especificaciones de diseño de un sistema de control: Especificaciones de desempeño Precisión estacionaria Respuesta transitoria Especificaciones frecuenciales Especificaciones de robustez Estabilidad relativa Sensibilidad a los parámetros Rechazo de perturbaciones y eliminación del ruido Esfuerzo de control Índices de desempeño 4

5 9 Requerimientos de diseño Precisión estacionaria El objetivo del diseño es eliminar el error en estado estacionario a determinado tipo de entrada (escalón, rampa, función definida por tramos, etc) El error en estado estacionario depende del tipo de sistema y de las perturbaciones Principales tipos de perturbación: inexactitudes de modelado, ruidos, errores numéricos, perturbaciones en la carga El error en estado estacionario se disminuye si: Se adicionan polos en el origen Se incrementa la ganancia del sistema Existe un compromiso entre errores pequeños y la estabilidad adecuada y la respuesta transitoria Requerimientos de diseño Respuesta transitoria El objetivo del diseño es obtener ciertas características de la respuesta temporal en lazo cerrado, normalmente como respuesta a una entrada escalón Se asume que el sistema en lazo cerrado es estable Principales características: Tiempo de crecimiento Sobreimpulso máximo Tiempo de establecimiento Tiempo de pico Tiempo de retardo A menudo los requerimientos de respuesta transitoria se describen en términos de polos y ceros Polos dominantes: polos cercanos al origen 5

6 Requerimientos de diseño Especificaciones frecuenciales El objetivo del diseño es obtener ciertas características de la respuesta frecuencial en lazo cerrado Especificaciones frecuenciales: Pico de resonancia. Generalmente se relaciona con la estabilidad relativa. Valores aceptados:. a.5 Ancho de banda. Indica la velocidad de respuesta y características de robustez y filtrado de ruido Razón de atajo (cutoff rate). Pendiente de la respuesta frecuencial para altas frecuencias Normalmente las especificaciones frecuenciales se especifican dentro de ciertos límites admisibles Requerimientos de diseño Estabilidad relativa El objetivo del diseño es obtener una determinada velocidad de respuesta del sistema en lazo cerrado Los criterios más usados para medir la estabilidad relativa son: El margen de ganancia El margen de fase Valores normales para un buen desempeño: MG mayor que 6 db y MF entre 3 y 6 6

7 3 Requerimientos de diseño Sensibilidad a los parámetros El objetivo del diseño es lograr que el sistema en lazo cerrado se comporte de cierta manera a pesar de errores (incertidumbres) o cambios en el modelo del proceso Sensibilidad: grado con el cual cambios en los parámetros afectan el desempeño global del sistema Ganancias de lazo altas contribuyen a la disminución de la sensibilidad en lazo cerrado, debido a cambios de los parámetros Sin embargo, al aumentar la ganancia disminuye la estabilidad relativa. Se debe buscar un compromiso entre estabilidad y sensibilidad Requerimientos de diseño Rechazo de perturbaciones y eliminación del ruido El objetivo del diseño es lograr que la señal controlada sea igual a la señal de referencia a pesar de la influencia permanente de perturbaciones La realimentación reduce el efecto de perturbaciones y ruido en el comportamiento del sistema Relación entre la salida Y(s), el error E(s), el ruido N(s), la perturbación D(s) y la sensibilidad S(s): Y(s) = G cl (s)r(s) + G(s)S(s)D(s) G cl (s)n(s) E(s) = S(s)R(s) G(s)S(s)D G cl (s)(s) + N(s) G cl (s) + S(s) = S(s) y G cl (s) deben ser pequeñas, pero al disminuir una aumenta la otra. No se pueden reducir al mismo tiempo. Solución: mantener S(s) pequeña a bajas frecuencias (perturbación) y G cl (s) pequeña a altas frecuencias (ruido) 4 7

8 5 Requerimientos de diseño Esfuerzo de control Se busca lograr otros objetivos de control teniendo en cuenta los límites de las señales de control La mayoría de actuadores tienen límites en su magnitud y velocidad de cambio Los límites de los actuadores pueden restringir el comportamiento y robustez en lazo cerrado Por ejemplo, la saturación del actuador puede causar inestabilidad y una respuesta transitoria indeseable El esfuerzo de control crece con la estabilidad relativa Se debe especificar al inicio del diseño: Límite de la magnitud y velocidad de la señal de actuación Respuesta del sistema en lazo cerrado a grandes señales de entrada Requerimientos de diseño Índices de desempeño El objetivo del diseño es minimizar cierto índice de desempeño Se asume que es posible especificar cuantitativamente el comportamiento deseado, por medio de un índice de desempeño (función de coste) Un índice de desempeño es una medida cuantitativa (positiva) del desempeño de un sistema y se escoge de manera que se hace énfasis en los requerimientos importantes del sistema Base de la teoría de control óptimo Índices más comunes ISE (integral del cuadrado del error) ITAE (integral del tiempo multiplicado por el valor absoluto del error) 6 8

9 7 Conceptos básicos PID significa Proporcional-Integral-Derivativo Es el regulador más utilizado en procesos industriales (9-95%), debido a su gran flexibilidad, ajuste sencillo y fácil comprensión El ajuste puede hacerse por tanteo, sin un previo conocimiento del modelo matemático de la planta Se pueden sintonizar y pueden generar planificadores de ganancia automáticamente No siempre se utilizan correctamente, debido a una pobre sintonización. La razón es la dificultad para ajustar tres parámetros por prueba y error Fenómeno indeseado: "integrator windup" Acción P (proporcional) u(t) = K p e(t) K p - constante de acción proporcional e(t) = r(t) y(t) -error r(t) - punto de referencia (setpoint) Fenómeno indeseado: offset (fuera de referencia). Error en estado estacionario debido a que la acción de control es constante si el error también lo es Ejemplo: si en un tanque de agua (con una bomba para el control de nivel) el flujo de entrada es igual al flujo de salida (debido a un escape), el nivel se estabiliza por debajo del nivel máximo deseado El offset se elimina con la adición de una acción de control integral 8 9

10 9 Acción I (Integral) t K p ut () = etdt () T i T i Tiempo de acción integral La acción integral elimina el offset, ya que la acción de control aumenta aunque el error permanezca temporalmente constante (integra el error) Acción D (Derivativa) ut () = KT p d de() t dt T d Tiempo de acción derivativa Aumenta la velocidad de reacción a un cambio del error (acción anticipadora)

11 Control PID t de( t) U ( s) ut ( ) = Kp et ( ) + etdt ( ) Td Kp Ts d T + = + + i dt E() s Ts i La función de transferencia anterior es impropia Para utilizar una función de transferencia propia y, además, evitar irregularidades ante cambios repentinos de la señal de error (la derivada se hace muy grande), se introduce una constante de relajación α =.5.. La FDT del controlador PID es (forma estándar): U() s Ts d = K p E() s + + Ts i +αtds Control PID Reúne todas las ventajas de las acciones P, I y D Casos particulares: PI (T d = ), PD (T i = ) Con la acción I se elimina el offset Con la acción D se logra: Una alta sensibilidad al error y produce una corrección significativa antes que el error se haga excesivo (acción anticipativa) Extrapolación más que predicción (un controlador más complejo a partir de un modelo dinámico permite una mejor predicción) Añade amortiguamiento y permite una K p mayor, lo que disminuye el offset Desventajas: amplificación del error y saturación del actuador

12 3 Controlador PI Mejora el amortiguamiento y reduce el sobreimpulso Incrementa el tiempo de crecimiento Disminuye el ancho de banda Mejora el MG, MF y el pico de resonancia Filtra el ruido de alta frecuencia Controlador PD Mejora el amortiguamiento y reduce el sobreimpulso Reduce el tiempo de crecimiento y de establecimiento Incrementa el ancho de banda Mejora el MG, MF y el pico de resonancia No es efectivo para sistemas inicialmente inestables o ligeramente amortiguados 4 Diagrama de simulación In Kp I Ti.s Out Td.s a*td.s+

13 5 Ejemplo El siguiente ejemplo muestra el problema de saturación, un fenómeno indeseado en control Planta: G(s) = /s(s+) PI: K p =.7, T i = 7.5 Diagrama de simulación: Referencia PID analógico Saturación s +s Planta Scope 6 Ejemplo (cont.). Resultados de la simulación.6.4. Variable controlada "Integrator windup" Respuesta sin tener en cuenta la saturación del actuador y (t) Respuesta teniendo en cuenta la saturación del actuador

14 7 Ejemplo (cont.). Resultados de la simulación Sistema en lazo abierto Acción de control Acción de control sin tener en cuenta la saturación del actuador u (t) Acción de control teniendo en cuenta la saturación del actuador Discretización de un PID continuo Existen diversos métodos de aproximación. Uno de ellos se presenta a continuación Se aproxima la integral por el método del trapecio y la derivada por el método de diferencia hacia atrás: k T T d u( kt ) = K p e( kt ) + [ e( it ) + e(( i ) T )] + [ e( it ) e(( i ) T )] Ti i= T El inconveniente de la expresión anterior es la acumulación ilimitada de datos en memoria Para obtener un algoritmo recursivo se obtiene u((k-)t) y se resta a la expresión anterior 4

15 9 Discretización de un PID continuo El algoritmo PID discreto es (una de las tantas posibilidades): u( kt) = u(( k ) T) + q e( kt) + qe(( k ) T) + q e(( k ) T) U qz + qz+ q = Ez ( ) zz ( ) T T d T T KT d p q = Kp + + q = Kp + q = Ti T Ti T T d 3 Sintonización de reguladores PID Sintonización de un PID: ajuste de los parámetros K p, T i y T d de manera que se satisfagan los requerimientos de diseño Método de Ziegler-Nichols (94): método heurístico. Variantes: Método de la curva de reacción (método en lazo abierto para sistemas estables) Método de sensibilidad (método en lazo cerrado para sistemas estables o inestables) Método de la curva de reacción. Se obtiene la respuesta del sistema a una entrada escalón y se calculan la pendiente R en el punto de inflexión y el retardo L (ver gráfica). Los parámetros se obtienen a partir de una tabla 5

16 3 Sintonización de reguladores PID. Método de la curva de reacción y (t) R Requerimiento de diseño: razón de amortiguamiento de un cuarto de la amplitud Se obtiene la respuesta temporal del sistema a una entrada escalón y se calculan la pendiente R y el retardo L (ver gráfica). Los parámetros se obtienen a partir de una tabla L Para sistemas discretos se hace L = L + T/ 3 Sintonización de reguladores PID. Método de la curva de reacción Tabla para el ajuste de parámetros Acción K p T i T d P /RL - - PI.9/RL 3L - PID./RL L.5L Para sistemas discretos se hace L = L + T/ 6

17 33 Sintonización de reguladores PID Método de la curva de reacción. Características Un proceso con un retardo L grande y una pendiente considerable es difícil de controlar (K p es pequeña) Grado de dificultad: S o = RL La regulabilidad del proceso puede determinarse a partir de la siguiente tabla La regulabilidad mejora al disminuir T S o >.8 Regulabilidad Muy buena Buena Apenas regulable Mala Muy mala 34 Sintonización de reguladores PID Método de la curva de reacción. Características El método no da un control satisfactorio. Razón: el amortiguamiento es muy pobre (ζ.) La sensibilidad es muy grande Existen versiones mejoradas. Ejemplo: coeficientes de Chien-Hrones-Reswick M p % % Acción K p T i T d K p T i T d P.3/RL - -.7/RL PI.6/RL 4L -.7/RL.3L PID.95/RL.4L.4L./RL L.4L 7

18 35 Sintonización de reguladores PID Método de sensibilidad Se utiliza un regulador P para el control del sistema en lazo cerrado con una referencia tipo escalón Se incrementa la ganancia K p hasta que el sistema se vuelva críticamente estable. La respectiva ganancia es K u (M G ) y el período de las oscilaciones es T u (ω cf ) Los parámetros del regulador se obtienen de la siguiente tabla Acción K p T i T d P.5/K u - - PI.4/K u.8t u - PID.6/K u.5t u.t u 36 Ejemplo de sintonización PID 3. Gs ( ) = T.5 seg s + s + 4 = Curva de reacción: y (t) y (t)

19 Ejemplo de sintonización PID (cont.) Curva de reacción L =.7 +.5/ =.95, R =.88 Z-N: P (3.85), PI (3.47,.89), PID (4.6,.59,.5) C-H-R (%): P(.6), PI (.3,.8), PID (3.66,.7,.) El diagrama de simulación y las respuestas temporales se muestran a continuación Regulabilidad: S o = RL =.6 (apenas regulable) Acción de control Referencia PID Digital 3. s +s+4 Planta Respuesta temporal 38 Ejemplo de sintonización PID (cont.) Curva de reacción Coeficientes de Ziegler-Nichols P PI PID y (t) y (t) y (t) Coeficientes de Chien-Hrones-Reswick y (t) y (t) y (t) PID P PI 9

20 Ejemplo de sintonización PID (cont.) Método de sensibilidad Discretización del modelo continuo de la planta con período T =.5 seg Margen de ganancia y frecuencia de cruce de fase del sistema discreto: M G = 5.57 y ω cf = 4.3 K u = 5.57, T u = π/ω cf =.46 seg K u = 5.57 T u = y (t) Ejemplo de sintonización PID (cont.) Método de sensibilidad P (.78), PI (.5,.7), PID (3.34,.73,.7) Las respuestas temporales se muestran a continuación y (t) y (t) y (t) P PI PID

21 4 Rediseño de reguladores continuos Generalidades Objetivo del diseño: discretización de un regulador continuo de buen desempeño, de manera que se conserven sus propiedades (respuesta temporal, respuesta frecuencial, polos y ceros) Ventajas de la discretización: Fiabilidad y costo Se pueden aplicar métodos continuos de diseño Restricción: período de muestreo pequeño Métodos de rediseño en lazo abierto: Aproximación en diferencias hacia atrás y adelante Aproximación de Tustin o bilineal Aproximación a una respuesta impulsional o escalón Mapeo de polos y ceros 4 Rediseño de reguladores continuos Aproximación de diferencia hacia atrás b y = ay( t) + bu( t) G( s) = s + a ykt ( ) y(( k ) T) b y G T T G z G s ( ) ( ) s = ( z ) / T = z + Características: Al semiplano izquierdo le corresponde un círculo de radio ½ y centro en ½ Siempre se conserva la estabilidad La respuesta frecuencial se distorsiona considerablemente para períodos de muestreo grandes a

22 43 Rediseño de reguladores continuos Aproximación de diferencia hacia adelante b y = ay( t) + bu( t) G( s) = s + a y(( k + ) T) y( kt) b y G = T z + a Tz G G( s) s z Tz = ( ) / Características: Al semiplano izquierdo le corresponde también un semiplano izquierdo No siempre se conserva la estabilidad Esta aproximación nunca se utiliza 44 Rediseño de reguladores continuos Aproximación de Tustin o bilineal b y = ay( t) + bu( t) G( s) = s + a ( k+ ) T ( k+ ) T kt kt [ () ()] ydt = ay t + bu t dt Aproximando cada integral por el método del trapecio at bt y(( k + ) T) y( kt) y(( k + ) T) + y( kt) + u(( k + ) T) + u( kt) b Gz ( ) = z + a T + z [ ] [ ] G G( s) ( z ) s = T( + z )

23 45 Rediseño de reguladores continuos Aproximación de Tustin o bilineal Características Al semiplano izquierdo le corresponde un círculo unitario centrado en el origen (correspondencia ideal) Siempre se conserva la estabilidad La respuesta frecuencial se distorsiona considerablemente para períodos de muestreo grandes. En efecto, iωdt z e i ω d tan dt ωct ω tan dt s = iωc = = = iω T T + z T + e T ω d 3π ωd ωc =, % < 3% T ω c 46 Rediseño de reguladores continuos Ejemplo - Aproximación de Tustin o bilineal Gs ( ) = T=. seg s + Fase (grados); Magnitud (db) Tustin ( z + ) Gz ( ) = 3z ω N Frecuencia (rad/sec) Fase (grados); Magnitud (db) Prewarping, ω = 3.649( z + ) Gz ( ) = z Frecuencia (rad/sec) 3

24 47 Rediseño de reguladores continuos Aproximación a una respuesta impulsional { { }} G Z L G( s) Z{ G( s)} Aproximación a una respuesta escalón ( ) { { }} ( ) G z Z L G( s) z Z{ G( s)} 48 Rediseño de reguladores continuos Aproximación por mapeo de polos y ceros Función de transferencia continua factorizada K ( s ai ) i= Gs () = n ( s b ) m i= Función de transferencia discreta factorizada m n m at i ( ) ( ) K z+ z e i= Gz ( ) = n bt i ( z e ) i= i La ganancia K' se obtiene de: lim Gs ( ) = lim Gz ( ) s z 4

25 49 Rediseño de reguladores continuos Aproximación por mapeo de polos y ceros Características (z + ) n-m- corresponde a los ceros en el infinito El método es utilizado cuando se aplica un diseño por cancelación de polos y ceros Se puede seleccionar K' para otras frecuencias de interés Los polos y ceros complejos es mejor mapearlos juntos: ( s+ a) + b z ze cosbt + e at at 5 Rediseño de reguladores continuos Ejemplo - Aproximación por mapeo de polos y ceros ( s ) Gs ( ) = T=. seg ( s+ )( s+ ) Polos s = z = e = T,.89 T s =, z = e =.95 Ceros s = z = e = T,. K ( z.) Gz ( ) = ( z.95)( z.89).779( z.) Gz ( ) = ( z.95)( z.89) lim Gs ( ) =, lim Gz ( ) =.8348 K, K =.779 s z 5

26 5 Rediseño de reguladores continuos Ejemplo - Comparación de métodos de rediseño s + 3 Gs ( ) = T=. seg ω = 3 rad/ seg ( s+ 5)( s+ 9) Método ZOH Tustin Mapeo Preajuste G(z).399( z.536) ( z.34)( z.665).88( z +.)( z + ) ( z )( z.6).76( z.4979) ( z.34)( z.665).4893( z )( z + ) ( z )( z +.43) 5 Rediseño de reguladores continuos Ejemplo (cont.) - Comparación de métodos de rediseño Fase (grados); Magnitud (db) Preajuste Mapeo ZOH Continua Tustin Tustin Mejor en un rango de frecuencias más amplio Preajuste mejor en la frecuencia de 3 rad/seg ZOH y Mapeo pésimo, excepto para un escalón (frecuencia cero) - Frecuencia (rad/sec) 6

27 53 Rediseño de reguladores continuos Ejemplo (cont.) - Comparación de métodos de rediseño.8.6 Preajuste ω =. rad/ seg.4. ZOH Mapeo y (t) -. Continua Tustin Rediseño de reguladores continuos Ejemplo (cont.) - Comparación de métodos de rediseño.8.7 Preajuste Continua.6.5 y (t).4.3 Tustin ZOH ZOH la mejor aproximación para una entrada escalón. Mapeo

28 Ubicación de polos (enfoque polinomial) Generalidades Se ubican los polos y ceros en un lugar deseado, de manera que se obtenga una determinada FDT en lazo cerrado La FDT deseada puede darse ubicando directamente los polos y ceros discretos o discretizando una FDT continua Los ceros se ubican por medio de un prefiltro Posibilidad de lograr un comportamiento deseado en estado estacionario y transitorio El método se puede aplicar a sistemas SISO y MIMO Se debe resolver una ecuación diofantina 55 Ubicación de polos (enfoque polinomial) Generalidades Esquema de control r(kt) e(kt) u(kt) Proceso Controlador Controlador y(kt) controlado Gf(z) Gc(z) Gp(z) 56 Funciones de transferencia G Bz ( ) bz + bz b z+ b Az z + az + + a z+ a m m m p = = n n ( ) n Qz ( ) qz + qz q z+ q Gc = = Pz ( ) z pz p z p T Gf = Sz ( ) µ µ µ µ ν ν ν + ν n m A(z) y B(z) son polinomios coprimos A(z) es un polinomio mónico 8

29 Ubicación de polos (enfoque polinomial) Solución del problema Función de transferencia en lazo cerrado Y ( z ) ( ) ( ) ( ) = T z B z Q z R S A P + B Q Función de transferencia deseada Bm Gm = Am Solución Ubicación de polos (ecuación diofantina o diofántica) AzPz ( ) ( ) + BzQz ( ) ( ) = A = ( z z) Ubicación de ceros T ( z ) B ( zqz ) ( ) = B m ( z ) Sz ( ) n+ν i= m i 57 Ubicación de polos (enfoque polinomial) Solución de la ecuación diofantina Restricción de causalidad: µ ν µ n, ya que Número de incógnitas del regulador: µ + ν + Número de ecuaciones: n + ν Número de incógnitas Número de ecuaciones ν = µ = n corresponde a una solución única Se tienen (n )incógnitas o parámetros del regulador Se especifican (n )polos en lazo cerrado µ > n permite una selección arbitraria de algunos de los coeficientes del regulador. Por ejemplo, para cancelar ceros o polos (de fase mínima) del proceso De esta manera, si el proceso es de orden n, el regulador será mínimo de orden (n )y el sistema en lazo cerrado será de orden (n ) 58 9

30 Ubicación de polos (enfoque polinomial) Solución de la ecuación diofantina Si el polinomio deseado es de menor orden que (n ) se deben cancelar algunos polos y/o ceros (de fase mínima) de la planta con algunos ceros y/o polos del regulador. Esto se puede hacer incluyendo los polos y/o ceros a cancelar dentro del polinomio deseado. En efecto, c nc c nc Bz ( ) BB QQ Sea Gp = = y Gc =. Entonces, c nc c nc Az ( ) AA PP A A P P + B B Q Q = A B Am implica que: Q = A, P = B nc nc nc nc La ecuación diofantina se reduce a: A P + B Q = A c nc c nc c nc c nc c c c c c c El regulador es: c Qz ( ) AQ G = = Pz ( ) BP nc c c nc m 59 Ubicación de polos (enfoque polinomial) Características Se obtiene un regulador de dimensión mínima La planta puede tener polos y ceros de fase no mínima Un regulador de grado mayor puede utilizarse para cancelar ceros de fase mínima o introducir integradores para eliminar errores estacionarios Se pueden ubicar los ceros con un prefiltro Se puede eliminar el error estacionario con un prefiltro constante o un integrador Métodos para la solución de la ecuación diofantina: Comparación de coeficientes Algoritmo de Euclides Algoritmo extendido de Euclides Uso de la matriz de Sylvester 6 3

31 Ubicación de polos (enfoque polinomial) Uso de la matriz de Sylvester 6 an bn an an bn bn a a an b b bn E = a an bo b bn an bo b n b o - M=E A m A T m = am,n am,n am, M = [ p p p q q q ] T n n o n n Matriz de Sylvester (contiene información sólo de la planta) Ubicación de polos (enfoque polinomial) Uso de la matriz de Sylvester Código en MATLAB function [Gr,Gcl]=ubicpolo(G,D) B=G.num{:}; A=G.den{:}; n=length(a)-; if (*n-) ~= length(d)- disp('sólo se pueden asignar (n-) polos'); return end M=diofan(A,B,D); %Solución de la ecuación diofantina Nr=M(*n:-:n+)'; Dr=M(n:-:)'; if G.Ts == Gr=tf(Nr,Dr); else Gr=tf(Nr,Dr,'Ts',G.Ts); end Gcl=Gr*G/(+Gr*G); num=gcl.num{:}; den=gcl.den{:}; [num,den]=reduce(num,den); Gcl=tf(num,den,'Ts',G.Ts); 6 3

32 Ubicación de polos (enfoque polinomial) Uso de la matriz de Sylvester Código en MATLAB function M=diofan(A,B,D) n=length(a)-; if (*n-) ~= length(d)- disp('sólo se pueden asignar (n-) polos'); return end na=length(a); nb=length(b); if na ~= nb B=[zeros(nA-nB) B]; end E=sylvest(A,B); D=[]; for i=:*n D=[D D(*n+-i)]; end D=D'; M=inv(E)*D; 63 Ubicación de polos (enfoque polinomial) Uso de la matriz de Sylvester Código en MATLAB 64 function E = sylvest(a,b) n=length(a)-; na=length(a); nb=length(b); if na ~= nb B=[zeros(nA-nB) B]; end E=[]; for i=:n Ei=[]; for j=:n ind=n-i+j; if ind>n Ei=[Ei ]; else Ei=[Ei A(ind+)]; end end E=[E;Ei]; End E=[]; for i=:n Ei=[]; for j=:n ind=n-i+j; if ind>n Ei=[Ei ]; else Ei=[Ei B(ind+)]; end end E=[E;Ei]; end E3=[]; for i=:n E3i=zeros(,i-); for j=:n-i+ E3i=[E3i A(j)]; end E3=[E3;E3i]; end E4=[]; for i=:n E4i=zeros(,i-); for j=:n-i+ E4i=[E4i B(j)]; end E4=[E4;E4i]; end E=[E E;E3 E4]; 3

33 Ubicación de polos (enfoque polinomial) Ejemplo 65 Gp () s = T =.seg ss ( + ) Requerimientos de diseño: M %, t.8seg, e = p s p, ss Ubicación de polos (enfoque polinomial) Ejemplo (cont.) Planta discreta: Bz ( ).48( z+.9673) Gp = = Az ( ) ( z )( z.948) Según los requerimientos de diseño: 66 M p = e ζπ ζ ζ = =.59 M p + π /ln 3. ts ζω 3. ω = ζ t s Gm () s = s + 8s ( z +.764) Gm = z.46z

34 Ubicación de polos (enfoque polinomial) Ejemplo (cont.) Forma del regulador Como el modelo deseado en lazo cerrado es igual al orden de la planta se debe cancelar un polo estable de la planta con un cero del regulador Como la planta tiene un integrador se eliminará el error en estado estacionario Siguiendo el procedimiento expuesto anteriormente se llega al siguiente regulador: Qz ( ) q ( z.948) n =, µ = ν = n = Gc = = Pz ( ) z+ p Ecuación diofantina: c ( z ) ( z.948) ( z+ p) +.48( z+.9673) qq = = ( z.46z +.449) ( z.948) 67 Ubicación de polos (enfoque polinomial) Ejemplo (cont.) Solución de la ecuación diofantina. Comparación de coeficientes z + ( p +.48 q) z p +.46q = z.46z+.449 p +.48q =.46 p =.3, q = 3.84 p +.46q = Regulador de ubicación de polos Qz ( ) 3.84( z.948) Gc = = Pz ( ) z.3 Regulador de ubicación de ceros (prefiltro) Bm.7( z+.764).( z+.764) Gf = = = nc BzQ ( ).48( z+.9673)3.84 z

35 Ubicación de polos (enfoque polinomial) Ejemplo (cont.) Diagrama de simulación 69 Acción de control Referencia.*[.764] z Gf(z) 3.84*[ -.948] z-.3 Gc(z) s +s Planta Respuesta temporal.7*[.764] z -.46z+.449 Gm(z) Ubicación de polos (enfoque polinomial) Ejemplo (cont.) Resultados de la simulación 7.5 Respuesta temporal 4 Acción de control 3 y (t).5 u (t)

36 Ubicación de polos (enfoque polinomial) Ejemplo.73( z +.6) Gp = T =.5seg z ( z.99z+.5) Requerimientos de diseño (el retardo no puede eliminarse): A z z z z m ( ) = (. +.48) Forma del regulador Como se deben especificar (n = 7) polos y sólo se especifican 4, se deben cancelar dos polos y un cero estables de la planta con dos ceros y un polo del regulador Como la planta no tiene un integrador no se eliminará el error en estado estacionario. Es necesario adicionar un prefiltro igual a una constante 7 Ubicación de polos (enfoque polinomial) Ejemplo (cont.) Forma del regulador Siguiendo el procedimiento expuesto anteriormente se llega al siguiente regulador: n = 4, µ = ν = n = 3 Qz ( ) ( qz + q) z Gc = = Pz ( ) ( z +.6 )( z + p z+ p ) Ecuación diofantina: 7 + P ( z+.6) Q + = c c ( z.99z.5) z ( z pz p).73 ( qz q) = z z z+ (..48) z ( z +.6) 36

37 Ubicación de polos (enfoque polinomial) Ejemplo (cont.) Solución de la ecuación diofantina. Método de la matriz de Sylvester. Regulador de ubicación de polos 73 Qz ( ).5949 z( z.6) Gc = = Pz ( ) ( z+.6)( z.8z+.5866) Y.9( z.6) Gcl = = Rz ( ) z( z.z +.48) Eliminación del error en estado estacionario (prefiltro) z.9( z.6) lim( z ) Y = lim( z ) Gf =.34G f = z z z z ( z.z+.48).39( z.6) Gf = 3.7 Gcl = z ( z.z+.48) Ubicación de polos (enfoque polinomial) Ejemplo (cont.) Diagrama de simulación 74 Acción de control Referencia 3.7 Gf.5949*[ -.6 ] z z -.663z+.353 Gc(z).73*[.6] z 4-.99z 3+.5z Gp(z) Respuesta temporal 37

38 Ubicación de polos (enfoque polinomial) Ejemplo (cont.) Resultados de la simulación 75.4 Respuesta temporal Acción de control..8.6 y (t).8 u (t) Ubicación de polos (enfoque polinomial) Ejemplo 3.73( z +.6) Gp = T =.5seg z ( z.99z+.5) Requerimientos de diseño (el retardo no puede eliminarse): Polos en el origen Eliminación del error en estado estacionario Forma del regulador Como la planta no tiene un integrador no se eliminará el error en estado estacionario. Se puede adicionar un prefiltro o un integrador (mejor opción) Se adicionará un integrador a la planta (para efectos de diseño) y luego se incluirá en el regulador. Planta modificada:.73( z +.6) Gp = T =.5seg z ( z )( z.99z+.5) 76 38

39 Ubicación de polos (enfoque polinomial) Ejemplo 3 (cont.) Forma del regulador Siguiendo el procedimiento expuesto anteriormente se llega al siguiente regulador: n = 5, µ = ν = n = 4 Qz ( ) qz + qz + qz + qz+ q Gc = = P z p z p z p z p Gc Gc = z Ecuación diofantina: ( z.99z+.5)( z ) z ( z + p z + p z + p z+ p ) ( z+.6)( qz + qz + qz + q3z+ q4) = z 77 Ubicación de polos (enfoque polinomial) Ejemplo 3 (cont.) Solución de la ecuación diofantina. Método de la matriz de Sylvester. Regulador de ubicación de polos z ( z.64)( z.34) Gc = ( z.3)( z+.69)( z +.473z+.734) Y.38( z.64)( z.399)( z+.6) Gcl = = 7 Rz ( ) z 78 Regulador final Gc z ( z.64)( z.34) Gc = = z ( z )( z.3)( z+.69)( z +.473z+.734) 39

40 Ubicación de polos (enfoque polinomial) Ejemplo 3 (cont.) Resultados de la simulación 79 y (t) Respuesta temporal u (t) Acción de control Ubicación de polos (enfoque polinomial) Ejemplo 3 (cont.) Análisis de los resultados Para el diseño se adiciona temporalmente un integrador a la planta, el cual se incluirá finalmente en el regulador La respuesta alcanza el valor final en un tiempo finito y mínimo (7 períodos de muestreo), lo cual sólo puede lograrse con un regulador de tiempo discreto La respuesta presenta un sobreimpulso inaceptable El costo de obtener una respuesta rápida (polos en el origen) es una acción de control excesivamente grande En general, una ubicación de polos en el origen conlleva a acciones de control muy grandes e inaceptables. El problema se soluciona ubicando los polos más lejos del origen o dando más tiempo para la estabilización 8 4

41 8 Regulador de cancelación Generalidades También llamado método de Ragazzini Se calcula directamente el regulador, dada una función de transferencia deseada G m (z) Gp Gc G ( )... m z q z + + q z+ q Gm =, Gc = = + G G G G z + p z + + p p c p m Características Aunque el diseño es sencillo, se pueden obtener reguladores irrealizables o demasiado complejos Se debe cumplir que µ ν Se debe mantener la diferencia entre polos y ceros en G m (z), ya que no puede cambiarse el retardo de la planta No se pueden cancelar los polos y ceros de fase no mínima Casos particulares de acuerdo a la forma de G m (z): regulador de tiempo mínimo y regulador de tiempo finito µ µ µ ν ν ν Regulador de cancelación Ejemplo Bz ( ).48( z+.9673) Gp = = Az ( ) ( z )( z.948) T =.seg 8 Modelo deseado: El regulador es: G = m.7( z +.764) z.46z+.449 Gm ( z+.764)( z.948) Gc = = G G ( z+.967)( z.374) p m 4

42 83 Regulador de cancelación Regulador de tiempo mínimo (deadbeat) Para un sistema de fase mínima y una entrada escalón, se tiene que G m (z) = z d, donde d es el retardo Existen formas especiales para otros tipos de entrada. En general, se debe resolver la siguiente ecuación diofantina z B ( z ) M ( z ) = ( z ) A ( z ) M ( z ) d r+ d Gm ( z ) m = c = Gp z Gm z G ( z ) z B( z ) M ( z ), G ( z ) ( ) ( ) r es el grado de la referencia y A ( z ), B ( z ) contienen los polos y ceros de fase no mínima, además M ( z ) = + az + bz +..., M ( z ) = α + β z + γ z +... Regulador de cancelación Regulador de tiempo mínimo (deadbeat) Características: Ubica los polos en el origen Lleva la salida a su valor final en un tiempo finito de pasos (igual al retardo) Su estructura depende del proceso del proceso, retardo y referencia Si se incrementa el tiempo de establecimiento se mejora el comportamiento temporal (regulador de tiempo finito) Se deben considerar lo polos y ceros de fase no mínima Se obtienen acciones de control demasiado grandes Aunque la salida es buena en los instantes de muestreo, puede presentar rizado (oscilaciones ocultas) entre ellos 84 4

43 85 Regulador de cancelación Ejemplo Regulador de tiempo mínimo (deadbeat) ( z +.873) Gp ( s) = T =.seg r = G ( ) p z = s + 6s+ 34 z.3z G z z+ Gm = z Gc = = G G ( z )( z +.873) m 7.35( ) p m.5 Salida continua (con oscilaciones ocultas) Salida discreta (estabilización en un tiempo mínimo) Acción de control Regulador de cancelación Ejemplo (cont.) Regulador de tiempo finito G z z z m ( ) =.55 ( +.87 ) Gm 4.3( z.3z+.5488) c = = Gp Gm ( z )( z+.4496) G.4 5. Salida continua 4 Acción de control

44 87 Predictor de Smith Generalidades Esquema de control que facilita los cálculos cuando se tiene una planta con retardo El diseño se divide en dos partes: Cálculo del regulador (por cualquier método) para una planta sin retardo Adición de una rama para el retardo (predicción) El regulador obtenido de esta manera es de menor orden que en el caso cuando se incorpora el retardo en la planta Se obtiene una respuesta semejante al caso de una planta sin retardo, pero desplazada en dicho retardo El método no elimina el retardo y no se pueden evitar los problemas inherentes a los sistemas con retardo (p. ej., la estabilidad y sensibilidad en lazo cerrado) Predictor de Smith Generalidades Fuentes más comunes de retardo: Retrasos en la medida y en el transporte Tiempos de análisis, medición o actuación Tiempos de cálculo y comunicación Compensación cuando un modelo se aproxima por otro de menor orden Problemas en los sistemas con retardo El análisis y el diseño es más complicado Es más difícil obtener un control satisfactorio, debido a la reducción de las ganancias de control τs τs e Ke Gp =, Gc = K, Gcl( s) = τ s Ts + Ts + + Ke K cuando τ / T max 88 44

45 89 Predictor de Smith Deducción del método r(kt) + - Gr ( z ) Gp z d y(kt) r(kt) +- Gr ( z ) Gp z d y(kt) ˆ d G ( z ) p Predictor de Smith Deducción del método r(kt) + - Predictor de Smith - Gr ( z ) G p z ˆ d G ( z ) p d y(kt) Gr Gr = ( ) ˆ d + G z G ( z ) r p d Gr Gp z Gcl = + G ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ r z Gp z + Gr z Gp z Gp z d ˆ Gr Gp z Si Gp ( z ) = Gp ( z ), Gcl ( z ) = + G G r p d Sólo en este caso se puede separar con confianza el retardo 45

46 9 Predictor de Smith Características Permite ganancias más grandes que si se hace el diseño directo sobre el sistema con retardo Aunque el diseño aparenta ser simple, se pueden presentar graves problemas ante pequeños cambios del modelo. Un sistema con grandes márgenes de ganancia puede volverse inestable con un PS Es mejor afirmar que el PS minimiza los efectos del retardo El anterior PS ("PS clásico") es aplicable solamente a plantas estables Existen otras versiones del PS con mejores prestaciones Es poco efectivo para atenuar las perturbaciones Predictor de Smith Ejemplo s e Gp ( s) =, T = seg, r( kt) = kt s +.63 Gp =, d = z ( z.368) 9 Regulador de cancelación: G = 4z 3z m Gm 6.39( z.368)( z.75) Gr = = G G ( z )( z 3) p m 46

47 93 Predictor de Smith Ejemplo (cont.) 6.39(z-.368)(z-.75) Rampa Sum (z-3)(z-) Regulador ZOH s+ Planta Retardo Mux Scope.63(z-)(z+) z (z-.368) Predictor de Smith y (t)