PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

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1 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA TEORÍA DE CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO Patricia Salazar

2 UNIDAD II. CONJUNTOS Y TECNICAS DE CONTEO 2.1. Introducción Eventos y espacio muestral 2.3. Unión, intersección, diferencia y complemento 2.4. Aplicaciones 2.5. Principios de conteo: aditivo y multiplicativo 2.6. Diagramas de árbol 2.7. Permutaciones 2.8. Combinaciones 2.9. Ejercicios de aplicación ING. MA. PATRICIA SALAZAR GONZÁLEZ 2

3 UNIDAD II 2.1- INTRODUCCION. CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO La teoría de conjuntos es un sistema matemático y un lenguaje especifico para el manejo de ciertos problemas. Al igual que otros sistemas matemáticos, como el álgebra y la geometría, consiste en un conjunto de conceptos básicos, definiciones, operaciones propiedades y teoremas EVENTOS Y ESPACIO MUESTRAL. Experimento: Cualquier proceso que genere un conjunto de datos. Experimento aleatorio: Aquel proceso que genera siempre diferentes resultados aún cuando se repita siempre de la misma manera. Espacio muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento y se representa por el símbolo S. En ocasiones es útil listar los elementos del espacio muestral a través de un diagrama de árbol. Espacio muestral discreto: Está formado por un conjunto finito o infinito contable de resultados. Espacio muestral continuo: Está formado por un conjunto infinito de resultados dados dentro de un intervalo de valores. Cada resultado en el espacio muestral se llama elemento o miembro del espacio muestral o simplemente punto muestral. Un evento es un subconjunto de resultados del espacio muestral. Un evento puede ser simple o compuesto, se llama evento simple a aquel está formado por un solo resultado o punto muestral. Se llama evento compuesto a aquel puede ser descompuesto en dos o más eventos simples. Los resultados de un experimento se pueden representar a través de eventos o subconjuntos que definen la o las características de interés del experimento; listando sus elementos, definiendo sus características mediante una regla o bien, de manera gráfica utilizando un diagrama de Venn. Para listar los elementos de un evento o subconjunto de resultados del espacio muestral, se le asigna una letra mayúscula (A, B, C,., etc.) como nombre, se listan entre llaves {} los elementos del conjunto. ING. MA. PATRICIA SALAZAR GONZÁLEZ 3

4 EJEMPLO: INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CD. JUÁREZ Sea A el conjunto de alumnos del grupo de estadística I que son mujeres A={rosy, mary, alma, vero, margarita,.., etc.} Para representar los elementos a través de un enunciado o una regla, se le asigna al conjunto una letra mayúscula como nombre y entre llaves se establecen las características de los elementos que forman parte del conjunto. EJEMPLO: Sea B el conjunto de calificaciones de los alumnos del ITCJ B={x/x son calificaciones de los alumnos del ITCJ} Sea C el conjunto de valores de temperatura de un día C={ x / x;5 x 23 } El Diagrama de Venn es una forma práctica de representar los espacios muestrales y sus subconjuntos de manera gráfica; el espacio muestral se representa por un rectángulo, y los subconjuntos por círculos que muestran todas las uniones e intersecciones que puede haber entre ellos UNIÓN, INTERSECCIÓN, DIFERENCIA Y COMPLEMENTO OPERACIONES CON CONJUNTOS UNIÓN ( A B) Es el evento que contiene a todos los elementos que pertenecen al evento A, o al evento B o a ambos eventos. Ya hemos mencionado que un evento o conjunto se puede representar listando sus elementos o estableciendo ING. MA. PATRICIA SALAZAR GONZÁLEZ 4

5 las características o condiciones de sus elementos a través de una regla; o bien de manera gráfica a través del diagrama de Venn. En el caso de las operaciones de conjuntos, también podemos utilizar estos métodos para describirlas; así, para la unión; la regla que la describe es: A B = x x A o x B o x (A B) Para el caso de eventos mutuamente excluyentes; es decir, que no tienen elementos en común; la regla queda de la siguiente manera: A B = x x A o x B El diagrama de Venn para los eventos mutuamente excluyentes y los que no lo son, se muestra a continuación: Unión en eventos no mutuamente excluyentes Unión en eventos mutuamente excluyentes INTERSECCIÓN A B Es el evento que contiene a todos los elementos comunes a los eventos A y B. cuando dos eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, es decir; si no pueden ocurrir simultáneamente; entonces, su intersección es un conjunto vacío o nulo, esto es: A B =. La regla para representar la intersección es: A B = x x A y x B Su representación gráfica a travé del diagrama de Venn es: Intersección en eventos no mutuamente excluyentes Intersección en eventos mutuamente excluyentes ING. MA. PATRICIA SALAZAR GONZÁLEZ 5

6 DIFERENCIA A B INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CD. JUÁREZ Es el evento que contiene a todos los elementos del espacio muestral que pertenecen al evento A pero no pertenecen al evento B. Su expresión a través del método de la regla es: A B = x x A y x B Su representación gráfica a través del diagrama de Venn queda como sigue: COMPLEMENTO (A ) El complemento del evento A con respecto al espacio muestral S es el conjunto de todos los elementos de S que no están en A. su representación por medio del método de la regla y el diagrama de Venn, respectivamente es: O bien, A = x x A A = x x S y x A El diagrama de Venn queda como sigue: ING. MA. PATRICIA SALAZAR GONZÁLEZ 6

7 2.4.- APLICACIONES EJERCICIOS PROBLEMA 1.- Clasifique los siguientes enunciados como conjunto finito o infinito según sea le caso: a) Los estudiante que asisten a una Universidad b) Los número negativos c) Las letras del alfabeto d) Las mujeres profesionales de un país e) Los presidentes de los países latinoamericanos f) Todas las chicas hermosas de su grupo PROBLEMA 2.- Si: S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,3,5,7,9} Cuál es A? PROBLEMA 3.- Dado el espacio muestral y los siguientes conjuntos: ING. MA. PATRICIA SALAZAR GONZÁLEZ 7

8 S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5} B = {1,3,5,7,9} C = {0,2,4,6,8} Liste los elementos resultantes de las siguientes operaciones y dibuje su correspondiente diagrama de venn: a) A B b) A C d) A B e) A C g) A B C h) A B C j) A B k) A A c) B C f) B C i) A ( B C) l) ( B C ) ( A B ) PROBLEMA 4.- Considere un experimento donde cada uno de 3 automóviles toma una salida en particular de una autopista y dan vuelta a la izquierda (L) o a la derecha (R) al final de la rampa de salida. a) Liste los resultados del espacio muestral (S) b) Identifique como evento A todos los resultados en que exactamente uno de los 3 automóviles da vuelta a la derecha c) Identifique como evento B todos los resultados en que a lo sumo, uno de los automóviles da vuelta a la derecha d) Identifique como evento C todos los resultados en que los 3 automóviles dan vuelta en la misma dirección e) Represente en un diagrama de Venn los elementos del espacio muestral (S) y los eventos A, B y C PROBLEMA 5.- Escriba los elementos de cada uno de los siguientes espacios maestrales: a) El conjunto de los enteros entre 1 y 50 divisibles entre 8 2 b) El conjunto S = { x / x + 4x 5 = 0} c) El conjunto de resultados cuando una moneda se lanza al aire hasta que resulta una cruz o tres caras d) El conjunto S = { x / x es un continente} ING. MA. PATRICIA SALAZAR GONZÁLEZ 8

9 2.5.- PRINCIPIOS DE CONTEO: ADITIVO Y MULTIPLICATIVO TÉCNICAS DE CONTEO Las técnicas de conteo las utilizamos cuando estamos interesados en determinar el número de resultados que podemos obtener en la realización de un experimento, ya que en ocasiones el experimento es tan amplio que no es necesario o a veces posible saber cuáles son los resultados posibles del experimento, entonces buscamos un procedimiento a partir del cual podamos definir cuantos resultados obtendremos; sin necesidad de definir cuáles son esos resultados. Existen dos principios básicos de conteo, a partir de los cuales se deducen fórmulas y técnicas del análisis combinatorio. Estos principios son: El PRINCIPIO MULTIPLICATIVO, que dice que: si una tarea consta de n pasos distintos, y otra de m pasos distintos, y si ambas no son excluyentes; sino que es posible realizarlas juntas o en sucesión, entonces, el total de formas distintas en que pueden realizarse estas tareas es de: n m y Este principio, por supuesto puede generalizarse para más de dos tareas; El PRINCIPIO ADITIVO dice que si una tarea consta de n pasos distintos y otra de m pasos distintos; y si estas dos tareas no son viables de realizar juntas ni en sucesión, por ser mutuamente excluyentes, entonces el número total de maneras de realizar estas dos tareas es de: n + m DIAGRAMA DE ÁRBOL Un diagrama de árbol es una representacion gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. ING. MA. PATRICIA SALAZAR GONZÁLEZ 9

10 EJEMPLO.- INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CD. JUÁREZ Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico? 2.7.-PERMUTACIONES Las permutaciones las utilizamos cuando nos interesa determinar el número de formas en que podemos ordenar o arreglar los elementos de un conjunto. También conocidas como ordenaciones o variaciones, es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos. n P n se interpreta como ordenar n elementos tomando los n elementos a la vez, y se obtiene de la siguiente manera: ( n 1) ( n 2) ( n n + 1) n! n P n = n = n P r se interpreta como ordenar n elementos, tomando de r en r. Se obtiene como sigue: ING. MA. PATRICIA SALAZAR GONZÁLEZ 10

11 !P! = n! n r! COMBINACIONES En muchos problemas lo que interesa es el número de formas posibles de seleccionar r objetos o elementos de un total de n, sin importar el orden. A esta selección se le llama combinación. Una combinación es una partición en dos celdas, una de las cuales contiene los r elementos de interés seleccionados y la otra los ( n r) elementos restantes. Las combinaciones se obtienen de la siguiente manera: n! n C r = ( n r)! r! EJERCICIOS DE APLICACIÓN. DIAGRAMA DE ÁRBOL PROBLEMA 1- Dos equipos denominados A y B se disputan la final de un partido de baloncesto, aquel equipo que gane dos juegos seguidos o complete un total de tres juegos ganados será el que gane el torneo. Mediante un diagrama de árbol diga de cuantas maneras puede ser ganado este torneo, PROBLEMA 2.- Un hombre tiene tiempo de jugar ruleta cinco veces como máximo, él empieza a jugar con un dólar, apuesta cada vez un dólar y puede ganar o perder en cada juego un dólar, él se va a retirar de jugar si pierde todo su dinero, si gana tres dólares (esto es si completa un total de cuatro dólares) o si completa los cinco juegos, mediante un diagrama de árbol, diga cuántas maneras hay de que se efectué el juego de este hombre. ING. MA. PATRICIA SALAZAR GONZÁLEZ 11

12 PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CD. JUÁREZ PROBLEMA 1.- El propietario de una casa desea efectuar algunas remodelaciones y requiere los servicios de un contratista plomero y de un contratista electricista. Si hay 12 contratistas plomeros y 9 contratistas electricistas en la zona, de cuantas formas se pueden seleccionar los contratistas? PROBLEMA 2.- Una familia se ha cambiado a una nueva ciudad y requiere los servicios de un obstetra y de un pediatra, hay dos clínicas médicas accesibles cada una con dos obstetras y tres pediatras. La familia obtendrá máximos beneficios del seguro médico si se afilia a una clínica y selecciona ambos médicos de esa clínica. PROBLEMA 3.- En una investigación de mercado vemos que un consumidor se enfrenta a lo siguiente: Si desea comprar un refrigerador, visita una tienda que distribuye 3 marcas diferentes de refrigeradores, cada marca viene en 4 tamaños y 5 colores. Cuántos refrigeradores diferentes existen para escoger según la marca el tamaño y el color? PROBLEMA 4.- Si un experimento consiste en lanzar un dado y después seleccionar aleatoriamente una letra del alfabeto en inglés Cuántos puntos habrá en el espacio muestral? PROBLEMA 5.- Si una prueba de selección múltiple consta de 5 preguntas, cada una con 4 respuestas posibles de las cuales sólo una es correcta, a) en cuántas formas posibles puede un estudiante escoger una respuesta para cada pregunta? b) En cuantas formas puede un estudiante escoger una respuesta para cada pregunta y tener todas las respuestas incorrectas? c) En cuantas formas puede un estudiante escoger una respuesta para cada pregunta y tener todas las respuestas correctas? ING. MA. PATRICIA SALAZAR GONZÁLEZ 12

13 PERMUTACIONES INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CD. JUÁREZ PROBLEMA 1.- En un concurso regional de deletreo, los 8 finalistas son 3 niños y 5 niñas. Encuentre el número de formas posibles en que pueden quedar: a) Para la final del evento b) Para las primeras 3 posiciones PROBLEMA 2.- Se sacan 3 boletos de la lotería, de un grupo de 40, para el primero, segundo y tercer premio. Encuentre el número de formas en que se pueden otorgar los tres premios si cada concursante tiene un solo boleto. PROBLEMA 3.- Encuentre el número de formas posibles en las cuales se pueden asignar 6 profesores a las 4 secciones de un curso introductorio de psicología, si ninguno cubre más de una sección. PROBLEMA 4.- PROBLEMA 5.- a) Cuántas permutaciones distintas se pueden con las letras de la palabra columna? b) Cuántas de estas permutaciones empiezan con la letra m? Un constructor desea edificar 9 casas, cada una con diferente diseño. En cuántas formas puede colocar estas casas si 6 terrenos están en un lado de la calle y 3 están en el opuesto? PROBLEMA 6.- PROBLEMA 7.- a) Cuántos números de 3 dígitos pueden formarse con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, si cada uno puede utilizarse sólo una vez? b) Cuántos de estos números son nones? c) Cuántos de estos son mayores de 330? En cuántas formas pueden sentarse en una línea 4 niños y 5 niñas, si deben colocarse alternadamente? ING. MA. PATRICIA SALAZAR GONZÁLEZ 13

14 PROBLEMA 8.- INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CD. JUÁREZ Cuatro matrimonios compraron 8 lugares para un concierto. En cuántas formas diferentes pueden sentarse a) sin restricciones? b) Si se sientan por parejas? c) Si todos los hombres se sientan juntos a la derecha de todas las mujeres? COMBINACIONES PROBLEMA 1.- Las 5 personas que conforman la gerencia general de una pequeña empresa manufacturera tienen invitación para asistir a un banquete, si sólo asistirán 3 de los 5 funcionarios, a) De cuantas formas se puede formar el grupo de 3 asistentes? b) De cuantas maneras se puede armar el grupo e incluir siempre al presidente de la compañía? c) De cuantas maneras se puede armar el grupo e incluir siempre al jefe de recursos humanos y al jefe de compras? PROBLEMA 2.- Un representante de ventas debe visitar 6 ciudades durante un viaje. Si hay 10 ciudades en el área geográfica que va a visitar, y de las 10 ciudades que se van a visitar, 6 corresponden a mercado primario y 4 a mercado secundario, a) Cuántos grupos de 6 ciudades pueden formarse para que visite el representante? b) de cuantas maneras se puede armar el grupo de 6 ciudades a visitar e incluir 2 de mercado secundario? c) de cuantas maneras se pueden elegir las 6 ciudades e incluir en la selección 3 de mercado primario y 3 de mercado secundario? PROBLEMA 3.- Se va a constituir un grupo de proyecto de 5 personas, seleccionados de un total de 5 ingenieros y 9 técnicos. a) De cuantas formas se puede constituir el grupo de proyecto? b) De cuantas formas se puede constituir el grupo de proyecto incluyendo a 2 ingenieros y 3 técnicos? ING. MA. PATRICIA SALAZAR GONZÁLEZ 14

15 TEORÍA ELEMENTAL DE PROBABILIDAD PROBABILIDAD.- Es el grado de posibilidad de que un resultado ocurra. La probabilidad se puede expresar como fracción, como decimal o como porcentaje. La probabilidad toma valores entre 0 y 1, tener una probabilidad de 0 significa que es un evento que nunca va a ocurrir. Tener una probabilidad de 1 nos habla de un evento para el cual tenemos la certeza de que siempre va a ocurrir CONCEPTO CLÁSICO Y COMO FRECUENCIA RELATIVA. La probabilidad se puede clasificar en 2 tipos: Probabilidad objetiva y Probabilidad subjetiva. A su vez, la probabilidad objetiva se divide en 2 tipos de probabilidad: como concepto clásico y como frecuencia relativa y nos indica que todos los resultados de un experimento tienen la misma probabilidad de ocurrencia. El hablar de probabilidad como concepto clásico nos remonta a los orígenes de la probabilidad, cuando el interés radicaba solamente en realizar pronósticos acerca del número ganador de la lotería, o el número ganador de la ruleta, o la mejor mano en un juego de cartas. En estos casos, se puede determinar el número de resultados posibles y el número de resultados favorables o de interés, si necesidad de realizar el experimento, es decir; sin necesidad de jugar a la lotería o a la ruleta o a las cartas. A este tipo de probabilidad se le llama probabilidad a priori y se obtiene como sigue: ( A) P = x = Es el número de resultados favorables éxitos. x n ING. MA. PATRICIA SALAZAR GONZÁLEZ 15

16 n = Es el número total de resultados posibles. INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CD. JUÁREZ A = Es el evento de interés La probabilidad como frecuencia relativa es una probabilidad también llamada probabilidad a posteriori ya que para obtenerla es necesario que se lleve a cabo primero el experimento, por ejemplo: aplicar una encuesta para determinar la aceptación de un nuevo producto, o los resultados de un examen. En ambos casos sería necesario realizar el experimento para determinar el número de resultados favorables o de interés (éxitos) y el número de resultados posibles en el experimento. Una vez que ya se determinó en número total de resultados y el número de éxitos, entonces se puede aplicar la fórmula de cálculo de la probabilidad de un evento cualquiera como sigue: x = Es el número de resultados favorables éxitos. n = Es el número total de resultados posibles. A = Es el evento de interés. La probabilidad subjetiva es aquella que se basa únicamente en el criterio, la experiencia y el conocimiento de la población en estudio por parte del experimentador. No hay un método científico que nos ayude a determinar su valor con exactitud, ya que solamente nos basamos en el juicio del experimentador; por lo que es necesario que la persona encargada de realizar el experimento, no se vea influida por algunos resultados ajenos al proceso que aquí se lleva a cabo AXIOMAS Y TEOREMAS DE PROBABILIDAD. 0 P A 1 Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces: P = 0 P S = 1 ( A) P = la P A B = P A + P B ESPACIO FINITO EQUIPROBABLE. Los procedimientos anteriores, (probabilidad clásica y como frecuencia relativa) son muy útiles para el cálculo de probabilidades individuales o x n ING. MA. PATRICIA SALAZAR GONZÁLEZ 16

17 marginales; pero cuando se desea calcular la probabilidad de que ocurra cualquiera de 2 o más eventos, o cuando se desea determinar la probabilidad de que ocurran simultáneamente 2 o más eventos, nos podemos apoyar de las siguientes reglas o leyes: LEY ADITIVA: Eventos excluyentes y no excluyentes ( A B) P.- Si se tienen dos eventos mutuamente excluyentes A y B y se desea determinar la probabilidad de que ocurra cualquiera de ellos, es decir A ó B; entonces: P ( A B) = P( A) + P( B) Una generalización de este procedimiento para k eventos sería: P A A A... A ) = P( A ) + P( A ) + P( A ) P( A ) ( k K En cambio, si se tienen dos eventos cualesquiera A y B, entonces; la probabilidad de que ocurra A ó B ó ambos es: P ( A B) = P( A) + P( B) P( A B) Para tres eventos: P ( A B C) = P( A) + P( B) + P( C) P( A B) P( A C) P( B C) + P( A B C) PROBABILIDAD CONDICIONAL P(B\A).- A la probabilidad de que un evento B se dé cuando un evento A se ha presentado, se le llama probabilidad condicional y se escribe como P(B\A); en esta probabilidad asumimos que el evento A ya ocurrió, por lo que es considerado como un nuevo espacio muestral, y en consecuencia; su probabilidad de ocurrencia debe ser diferente de Cero. Esta probabilidad condicional de B dado que A ya ocurrió se puede obtener como sigue: ING. MA. PATRICIA SALAZAR GONZÁLEZ 17

18 P(B\A) P( A B) = P ( A) 0 P( A) INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CD. JUÁREZ y su representación gráfica en el diagrama de Venn es: Dos eventos son independientes si y solo si: De otra forma son dependientes. P(B\A)=P(B) y P(A\B)=P(A) LEY MULTIPLICATIVA: Eventos Independientes y Dependientes P A B.- ( ) Si dos eventos A y B son dependientes, entonces la probabilidad de que ambos ocurran es: ( A B) P( A) P = P(B\A) Dos eventos son dependientes cuando la ocurrencia de uno afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. Si los eventos A y B son independientes, entonces; la probabilidad de que ambos ocurran es: ( A B) P( A) P( B) P = Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. ING. MA. PATRICIA SALAZAR GONZÁLEZ 18

19 3.7.- PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES. Suponga que se tienen 2 eventos A y B, ordenados en el tiempo, y que el evento A se puede realizar de k maneras diferentes ( A 1, A2,, A K ), por lo que cada forma de realización del evento A constituye una partición del espacio muestral S y son eventos mutuamente excluyentes. Suponga también que el evento B es un evento común a todas las particiones del evento A, y ahora nuestro interés radica en calcular la probabilidad de que haya ocurrido el evento A ; de alguna forma específica en A i sabiendo que ya ocurrió el evento B, esto lo podemos expresar como sigue: P(A i \B) Esta probabilidad la podemos obtener con el teorema de Bayes, que presentamos a continuación: P(A i \B)= k P i= 1 ( A B) P i ( A B) i ( A B) P( ) P = i A i P(B\A i )= es la probabilidad de que ocurran los eventos A i y B La Regla de Probabilidad Total nos ayuda a determinar la probabilidad de que ocurra el evento B, independientemente de la partición del evento A que haya ocurrido, por lo que es necesario considerar la posibilidad de que ocurra cualquiera de las particiones de A y B; esto es:! P B = A! B = P A! P B A + P A! P B! A + + P A! P B! A!!!! k P ( A B) = P( ) i A i i= 1 i= 1 k P(B\A i )= P(B); esto es la probabilidad de que ocurra el evento B; independientemente de que ocurra cualquiera de las particiones del evento A ó no. La regla de probabilidad total y el teorema de bayes se pueden visualizar mejor a través de un diagrama de árbol o un diagrama de venn, como se muestra a través del siguiente EJEMPLO: Se ha nominado a 3 miembros de un club privado nacional para ocupar la presidencia del mismo. La probabilidad de que se elija al señor X es de 0.3, la de que se elija al señor Y es 0.5 y la de que se elija al señor Z es 0.2. En caso de ING. MA. PATRICIA SALAZAR GONZÁLEZ 19

20 que se elija al señor X, la probabilidad de que las cuotas se incrementen es de 0.8, si se elige al señor Y o al señor Z, las probabilidades de incrementar las cuotas son: 0.1 y 0.4. a) Cuál es la probabilidad de incrementar las cuotas de la membresía? b) Se incrementaron las cuotas de la membresía, Cuál es la probabilidad de que haya sido elegido el señor Y? SOLUCIÓN.- Considere como eventos principales el elegir candidatos para ocupar la presidencia del club y aumentar las cuotas de membresía del mismo. Estos dos eventos están ordenados en el tiempo; es decir, debemos elegir primero al presidente y luego ver si aumentará las cuotas de membresía. Lo primero que debemos hacer es representar los eventos y sus probabilidades de la siguiente manera: A=Elegir candidatos para la presidencia del club A 1 =elegir al señor X P ( A 1 ) = 0. 3 A 2 =elegir al señor Y P ( A 2 ) = 0. 5 A 3 =elegir al señor Z P ( A 3 ) = 0. 2 B=aumentar las cuotas de membresía al club P(B\A 1 )=0.8 P(B\A 2 )=0.1 P(A 3 )=0.4 En el siguiente diagrama de Venn, se muestran todos los eventos ó particiones de A y el evento B, que es común a las particiones de A, indicando también sus respectivas probabilidades de ocurrencia. En el inciso a) nos piden encontrar la probabilidad de que se incrementen las cuotas, es decir; necesitamos encontrar la probabilidad de que ocurra el ING. MA. PATRICIA SALAZAR GONZÁLEZ 20

21 evento B (marcado en amarillo en el diagrama), note que el evento B tiene probabilidades de ocurrir; ya sean elegidos o no el señor X, Y ó Z. A nosotros nos interesa la probabilidad de que se incrementen las cuotas, independientemente de que sea elegido el señor X, Y ó Z; por lo tanto debemos encontrar las siguientes probabilidades: Ø de que el señor X sea elegido y aumente las cuotas (P(A 1 B)), Ø de que sea elegido el señor Y y aumente las cuotas (P(A 2 B)), Ø y de sea elegido el señor Z y aumente las cuotas (P(A 3 B)). Esto se obtiene a través de la regla total de probabilidad de la siguiente manera: P( B) = 3 P ( A B) = P( ) i A i i= 1 i= 1 3 P(B\A i ) =P(A 1 B)+P(A 2 B)+P(A 3 B) Esto es: Una vez que ya se ha encontrado la probabilidad de B, podemos responder a la pregunta del inciso b)., ya que para el teorema de bayes es necesario considerar el evento B como un nuevo espacio muestral; en este caso ya sabemos que las cuotas fueron aumentadas, queremos encontrar la probabilidad de que el señor Y haya sido elegido como presidente; es decir: P(A 2 \B), y se obtiene como sigue: P(A 2 \B)= 3 P i= 1 ( A B) P 2 ( A i B) P( A ) = 2 B = P( B) = APLICACIONES INSTRUCCIONES: En los siguientes problemas indique el tipo de probabilidad (clásica o como frecuencia relativa) que se maneja y obtenga las probabilidades que se le solicitan; indicando su interpretación de cada resultado. ING. MA. PATRICIA SALAZAR GONZÁLEZ 21

22 1.- Del conjunto {1,2,3,,11} se selecciona un número, Cuál es la probabilidad de que éste sea: a) Impar? b) Divisible entre 3? c) Impar ó divisible entre 3? d) Primo? 2.- De una baraja común se extrae una carta, Cuál es la probabilidad de obtener: a) Un corazón? b) Un as? c) Un corazón ó un as? 3.- En una lotería hay 100 boletos, de ellos 5 tienen premio. Indique la probabilidad de que si compra 5 boletos; a) Exactamente 2 tengan premio. b) Por lo menos uno tenga premio. 4.- Si el pronóstico meteorológico lo dan de la siguiente manera: probabilidad de que llueva 0.5, de que haga calor 0.2, y de que llueva y haga calor Cuál es la probabilidad de que: a) Llueva ó haga calor? b) No llueva ni haga calor? 5.- Los ahorradores de una pequeña población cuentan con 3 bancos: A, B y C. Suponga que 60% de las familias de la ciudad han depositado sus ahorros en A, 40% en B, y 30% en C. También suponga que 20% de los habitantes abrieron cuentas en A y B; 10% en A y C; 20% en B y C y 5% en A, B y C. c) Qué porcentaje de las familias maneja sus cuentas en al menos uno de los 3 bancos? d) Qué porcentaje de las familias no maneja sus cuentas en estos 3 bancos? 6.- Si se lanzan 2 dados, Cuál es la probabilidad de que las caras que muestren: a) Sumen 6? b) Su producto sea 6? c) El valor absoluto de la diferencia sea 1? ING. MA. PATRICIA SALAZAR GONZÁLEZ 22

23 ING. MA. PATRICIA SALAZAR GONZÁLEZ 23