Prof. Alicia Iturbe y Cecilia Ariagno

Transcripción

1 PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN 1- Los tetraminos son figuras formadas por cuatro cuadrados iguales unidos por sus lados. Si los cuadrados son seis se denominan sexaminos. Las figuras muestran ejemplos- Considerando que los cuadrados utilizados son de 1 cm de lado, calcule el perímetro y el área de las distintas figuras dibujadas. Dibuja en lo posible otros ejemplo de tetraminos y sexaminos y compara los perímetros en cada caso. 2- Los lados de un triángulo cuyo perímetro tiene valor 3, se van fraccionando en partes iguales, de la siguiente manera. Cuánto mide el contorno de cada una de las figuras? 3- Trazar un cuadrado ABCD de 4,6 cm de lado. Indicar con M el punto medio del lado AB, con N el punto medio del lado BC, con R el punto medio del lado CD y con S el punto medio del lado DA. Trazar los segmentos MN; NR, RS y SM. Verificar por corte y pliegue que se obtiene un cuadrado. Calcular el perímetro y el área de los dos cuadriláteros. 4- Dibujar un cuadrado ABCD de 5 cm de lado. En el lado AB marcar un punto M a 1 cm de A; en el lado BC, un punto N a 1 cm de B; en el lado CD un punto R a 1cm de C, y en el lado DA un punto S a 1 cm de D. Trazar los segmentos MN; NR, RS y SM. Verificar que se obtiene un cuadrado. Calcular el perímetro y el área de los dos cuadriláteros. 5- Trazar 2 rectas perpendiculares que se corten en un punto O. Sobre cada uno de los brazos de la cruz, y a 3 cm de O, marcar sucesivamente los puntos A; B; C y D: Verificar por corte y pliegue que se obtiene un cuadrado, si se unen los puntos. Calcular el perímetro y el área del cuadrilátero obtenido. 1

2 6- Alrededor de un tapiz cuadrado de 5,35 m de lado se corta una faja de 50 cm de ancho. a) Cuánto mide el lado del nuevo cuadrado obtenido? b) Al tapiz así reducido se lo rodea de un cordón, Qué longitud de cordón habrá que comprar? 7- Un libro rectangular mide 22 cm de largo y 14 cm de ancho. Tiene 256 páginas (cada hoja tiene 2 páginas). a) Cuál es, en cm 2 ; la superficie del papel necesario para la impresión de un solo ejemplar? b) Cuántos m 2 representan? c) El libro será forrado con un papel cuyo doblez tendrá un ancho de 4 cm por cada lado. Qué superficie de papel en cm 2 será necesaria recortar? 8- Una ventana tiene 6 vidrios rectangulares: 4 de ellos miden 54 cm de ancho y 60 cm de alto; 2 miden 45 cm de ancho y 70 cm de alto. cuál es la superficie total, en cm 2 del vidrio empleado para esta ventana? Y en m 2? 9- Un cuadro mide exteriormente 0,60 m por 0,45 m. La varilla mide 8 cm de ancho y cuesta $ 35 el metro. Calcular a) El perímetro exterior del cuadro. b) La superficie interior sin considerar la varilla c) Calcular el precio de costo de la varilla. 10- La mesa de una cocina es rectangular y mide 1,40 m por 0,80 m. Se la quiere cubrir con un mantel plástico, de modo tal que éste sobrepase la superficie de la mesa 25 cm por los cuatro costados. El rollo de plástico tiene 1,30 m de ancho y cuesta $ 106 el metro. a) Qué largo hay que comprar? b) Cuál será su precio? 11- Un rectángulo mide 520 cm de perímetro. Si se suman 65 cm al ancho y se le restan 65 cm al largo, la figura resultante es un cuadrado. a) Cuáles son las dimensiones del rectángulo?, b) Y su superficie? c) Indica la superficie del cuadrado. 12- Permuto un terreno cuadrado de 25,60 m de lado, por otro de valor equivalente, que mide 6,40 m de ancho. Qué medida tiene el largo? 13- Para regar una plantación, se hacen zanjas de acuerdo con las dimensiones representadas en el plano de la figura, en escala 1: a) Cuál es la longitud total de las zanjas de riego?, b) Estos canales se construyeron con unidades de cemento prefabricadas, de 1,50 m de largo, unidas por sus extremos, cuántas unidades prefabricadas se necesitarán? 14- Una alfombra rectangular mide 3,25 m por 2,75 m.se corta alrededor-en sus cuatro lados- una banda de 15 cm de ancho, y se bordea la alfombra menor que queda con un cordón. Cuál es la longitud del cordón? 2

3 15- Calcular el perímetro y el área de las siguientes figuras: a) MP semicircunferencia de diámetro 6 cm. MN; NO; OP son semicircunferencias de igual diámetro b) c) KM, AD Semicircunferencias de diámetros 3 y JK. BC de 2 cm. d) FGH triángulo rectángulo isósceles. JK arco de circunferencia de centro F. K punto medio de FH. FG=5cm 16- Calcular las áreas sombreadas: a) FGHI cuadrado de lado 4,5 cm. J punto medio de FG. FJ semicircunferencia. IG arco de circunferencia de centro F. b) BC y FE semicircunferencias de 1,5 cm de radio. AF=2cm 17- Miguel recorre con la bicicleta una pista circular de radio r, Andrés va a su lado, a 50 cm de Miguel del lado de afuera. a. Quién realiza un mayor recorrido? Por qué? b. Cuánto más recorre Andrés que Miguel? 18- Un rectángulo tiene 64cm de perímetro. Si agrandamos la base 2cm, dejando fija la altura, la figura resulta un cuadrado. Cuál es el área del rectángulo? Por qué? 3

4 19- En una casa, la arcada que separa la cocina de la antecocina es circular, es decir, tiene una abertura de 80 cm hasta una altura de 1,80m y luego una semicircunferencia. a. Cuál es el área de la arcada? b. Cuál sería su área si el ancho de la abertura se modifica a 60 cm? 20- Sabiendo que los cubos tiene 1 cm de arista, calcular el volumen, el área total y las áreas de cada vista de la siguientes figuras: 21- La primer figura es un cubo formado por cubitos de aristas de 1 cm. El color negro indica que esa parte de la placa del medio esta vacía. Todas las caras se ven igual. La segunda figura está formada por tres paralelepípedos. Las medidas del mayor son 7, 4, y 3. Las medidas del mediano son 7, 2 y 1. Las medidas del pequeño son 4, 1 y 0,5. Calcule el volumen de las dos figuras. Para la segunda figura calcule el área total. 22- Los siguientes cilidros se obtienen por la rotación del rectángulo de lasdos a=3 y b=6. Calcule el área total y el volumen de cad uno de los cilindros. 4

5 23- A partir de dos cubos sólidos de arista a se obtuvieron los cuerpos que se ven en la ilustración Exprese el volumen de cada cuerpo para cualquier valor de a. 24- Adriana tiene que construir cajas de 252 cm 3 de volumen, y decide empezar construyendo cajas de 12 cm de ancho, 7 cm de fondo y 3 cm de alto. a. Después de construir algunas, piensa que puede construir cajas de 1 cm de ancho, 18 cm de fondo y 14 cm de alto, ya que también tendrán 252 cm3 de volumen. Es cierto lo que piensa Adriana? b. También piensa que puede construirlas de manera tal que el ancho sea de 4 cm, de fondo midan 2 cm y de alto 34 cm. Podrá Adriana construir cajas con estas dimensiones? c. Escribir una ecuación que represente la relación entre las dimensiones de la caja de Adriana y su volumen. d. Hay otras dimensiones posibles para que Adriana construya sus cajas? Si las hay, encuentren alguna. e. Si las hace de 6 cm de ancho y 7 cm de fondo, cuánto deberían tener de alto? Adriana debe seguir construyendo cajas con el mismo volumen, pero quiere que el área total (la suma de las áreas de los lados y base de la caja), sin considerar la tapa, sea de 204 cm 2. a. Le sirven las primeras cajas que construyó? b. Y las de 1 cm de ancho, 18 cm de fondo y 14 cm de alto? c. Representar algebraicamente la condición del área para las cajas. d. sirven las medidas de las cajas que hallaron en d) del problema anterior? e. y las que hallaron en e) del problema anterior? 25- Jorge tiene una lata cilíndrica, para guardar caramelos, que tiene 10 cm de altura. Miguel tiene otra lata de la misma altura, cuya base es un hexágono regular que se inscribe en la circunferencia que es la base de la lata de Jorge. Nota: El lado de un hexágono regular inscripto en una circunferencia mide lo mismo que el radio de la circunferencia. a. Cuál de las latas tiene mayor capacidad?, por qué? b. Miguel calculó que el apotema del hexágono de la base de su lata mide aproximadamente 8,66 cm, y que el volumen de su lata es aproximadamente 2598,08 cm 3. Cuánto mide el radio de la base de la lata de Jorge? c. Cuál es el volumen de la lata de Jorge? 5

6 26- Se sumerge un cubo en una lata de pintura. Luego se lo secciona en pequeños cubos según dos planos perpendiculares a cada una de las direcciones de sus respectivas caras Cuántos cubitos tienen todas sus caras pintadas?. y 5? 4? 3? 2? ninguna? 27- Calcula el volumen de un de prisma pentagonal regular cuya altura mide 25 cm, el lado de la base 5cm, y la apotema de la base mide 3,44 cm. 28- El volumen de un cubo mide cm 3. Calcula el lado del cubo y la diagonal principal. 29- Calcula el volumen de un edificio de dimensiones 10x10x6 m con una pirámide cuadrangular en la sima de 9 m de altura. 30- Calcular el área total y volumen de un cilindro de diámetro 10 cm y altura 12 cm. 31- Si pegamos los bordes menores de una hoja de papel (mídelos), se obtiene un cilindro cuánto mide su radio? 32- Las pelotas de tenis se venden en latas de forma cilíndrica que contienen 3 pelotas cada una, si el diámetro de la lata es de 6,5 cm y tiene 19,5 cm de altura, calcular el volumen que queda libre en el interior de una lata. 33- El área lateral de un cilindro de altura 5 cm es 188,4 cm 2, calcula su radio y volumen. 34- Con una plancha rectangular de 6 cm por 8 cm se pueden construir dos cilindros según se unan los bordes mayores o menores. Cuál tiene mayor área? Y mayor volumen? 35- Cuántos litros de agua hay que sacar de un depósito cilíndrico de 8 m de altura y 3,5 m de radio básico para que el nivel de agua descienda 3 m? 36- En un recipiente de forma cúbica entran litros de agua. Calcular cuánto se deberá pagar a un pintor que cobra a razón de $ $ el m ²; y se desean pintar las paredes laterales externas e internas del recipiente. Rta: Costo = $ Cuántos litros de agua se podrán cargar en una caja cúbica de 96 m ² de área total?. Rta: litros. 38- Averiguar el área lateral, el área total y el área de base de un prisma regular hexagonal cuyo perímetro de base es 84 m y la altura es el doble del lado de base.rta:alat:392 m ²; AT = 1.409,24 m ² y Ab = 508,62 m ². 6

7 39- Una pirámide cuya base es un hexágono regular de 5 m de lado mide de superficie lateral 337,5 m ². Cuál es la el área total, la altura, el volumen y la capacidad?.rta: AT =402,37 m² ; h = 22,08 m; V = 477,443 m ³ y Capacidad = litros. 40- Calcular la cantidad de gasolina, contenida en un tanque de 80 cm de diámetro y 150 cm de profundidad. Rta: La cantidad de gasolina es de 753,6 litros. 41- La suma de las medidas de todas las aristas de un cubo es 60 m. Calcular el área total y el volumen. Rta: a = 5 m; AT = 150 m ² y V = 125 m ³. 42- En un cubo la diagonal de la cara es 7 m. Calcular el área lateral, la superficie total, el volumen y la diagonal del cubo. Rta: a = 4,96 m; AL = 98,41 m ²; AT = 147,61 m ²; V = 122,02 m ³ y D = 8,58 m. 43- La diagonal de una cara de un cubo mide 7,05 m. Calcular la diagonal del cubo, la superficie total, el volumen y la capacidad. Rta: a = 5 m; D = 8,65 m; ST = 150 m ²; V = 125 m ³ y Capacidad = litros. 44- La diagonal de una de las caras de un cubo es 9,87 m. Calcular el área total, el volumen y la capacidad. Rta: a = 7 m; AT = 294 m ²; V = 343 m ³ y Capacidad = litros. 45- En un prisma cuadrangular regular el lado de base mide 6 m; sabiendo que la superficie lateral del prisma es 216 m ². Calcular la medida de la altura del prisma. Rta: h = 9 m. 46- Un prisma recto de 45 m de altura tiene por base un cuadrado de 210,25 m ² de superficie. Cuál es el área total del prisma?. Rta: AT = 3.030,5 m ². 47- Hallar el área total de un prisma recto de 15 cm de altura cuya base es un rombo de 12 cm y 16 cm de diagonales. Rta: AT = 792 cm ². 48- Calcular el área total de un prisma recto de 6 m de altura, teniendo por bases un rectángulo de 12 m ² de área y cuyo largo mide 5 m. Rta: AT = 112,8 m ². 49- Cuál es el área lateral de un prisma recto de 15 m de altura cuya base es un hexágono regular de 6,92 m de apotema?. Rta: AL = 720 m ². 50- El área total de un cilindro es 150,33 m ² y la superficie lateral es 102,45 m ². Cuál es el área de cada base?. Rta: Ab = 23,94 m ². 51- El área total de un cilindro es 244,92 m ², si el radio de la base es de 3 m. Cuál es la altura? 7