Conjunto de funciones de base

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1 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Química Departamento de Física y Química Teórica Conjunto de funciones de base Alumno: Alejandro Avilés Sánchez Química Computacional Semestre de Septiembre de

2 Contenido 1. Funciones de onda SCF (Self-Consistent Field) y de Hartree- Fock 2. Conjunto de funciones de base 3. Conjunto de orbitales tipo Slater (STO) 4. Funciones tipo gausianas (GTF) 5. Terminología usada para describir las bases STO 6. Terminología usada para describir las bases gausianas 7. Algunos conjuntos de funciones de base 8. Algunos comentarios adicionales 9. Bibliografía 1

3 FUNCIONES DE ONDA SCF (SELF-CONSISTENT FIELD) Y DE HARTREE- FOCK Los orbitales de Hartree-Fock (HF) φ i de una molécula se hallan mediante la solución de las ecuaciones de HF Fφ i = ε i φ i 1 F es usualmente llamado el operador de Fock y tiene la siguiente forma: F 1 = Ζ μ r μ1 + 2I j Κ j 2 n μ j=1 2

4 FUNCIONES DE ONDA SCF (SELF-CONSISTENT FIELD) Y DE HARTREE- FOCK *Al operador I j, se le conoce como operador Coulomb y se expresa en forma explícita como: I j = φ j 2 1 r 12 φ j 2 dτ 2 (3) * El operador intercambio Κ j en conjunción con una función en la que está actuando se expresa: Κ j φ i 1 = φ j 2 1 r 12 φ i 2 dτ 2 φ j 1 (4) 3

5 FUNCIONES DE ONDA SCF (SELF-CONSISTENT FIELD) Y DE HARTREE- FOCK La manera más conveniente de expresar los orbitales de HF es como combinaciones lineales de un conjunto de funciones llamadas funciones de base. 4

6 FUNCIONES DE ONDA SCF (SELF-CONSISTENT FIELD) Y DE HARTREE- FOCK Un conjunto de funciones forma un conjunto completo si cualquier función aceptable puede escribirse como una combinación lineal de elementos del conjunto completo: f = k c k g k (5) donde los coeficientes dependen de cuál sea f. 5

7 FUNCIONES DE ONDA SCF (SELF-CONSISTENT FIELD) Y DE HARTREE- FOCK Un orbital φ i se especifica estableciendo el conjunto de funciones de base χ r y dando los coeficientes c ri φ i = c ri χ r (6) r Roothaan demostró cómo calcular los c ri que dan los orbitales mejores posibles. 6

8 CONJUNTO DE FUNCIONES DE BASE La naturaleza del conjunto de base Un conjunto de funciones de base es un conjunto completo de funciones matemáticas a partir de las cuales se construye una función de onda completa. El límite de HF se logra mediante el uso de un conjunto de base infinito. 7

9 CONJUNTO DE FUNCIONES DE BASE En la práctica no se puede hacer uso de un conjunto de base infinito. El trabajo de investigación está dirigido a la identificación de funciones matemáticas que permitan que las funciones de onda se acerquen al límite de HF. 8

10 CONJUNTO DE FUNCIONES DE BASE El número de integrales de dos electrones aumenta como N 4, donde N es el número de funciones de base. Mantener un número mínimo total de funciones de base es computacionalmente atractivo. Se debe elegir una base adecuada que permita evaluar de modo computacionalmente eficiente las integrales que aparecen en la ecuación de HF. 9

11 CONJUNTO DE FUNCIONES DE BASE Hay esencialmente tres criterios importantes: i) Se desea un conjunto de base capaz de describir la función de onda real. ii) Se quiere un conjunto de base con el cual podamos evaluar razonablemente las integrales que aparecen en la ecuación de HF. iii) El uso de una base adecuada es un requerimiento esencial para el éxito del cálculo. 10

12 CONJUNTO DE FUNCIONES DE BASE La mayor parte de los métodos mecanocuánticos moleculares, comienzan con la elección de las funciones de base χ r, que se usan para expresar los Orbitales Moleculares (OM) φ i = r c ri χ r 11

13 CONJUNTO DE FUNCIONES DE BASE Dos conjuntos de funciones de base dominan el área de los cálculos ab-initio: 1) el conjunto de orbitales tipo Slater (STO) y 2) el conjunto de funciones tipo Gaussiana (GTF). 12

14 Conjunto de orbitales tipo Slater (STO) Es el conjunto completo de funciones de base en cálculos HF atómicos. Un STO centrado sobre un átomo a tiene la forma Nr a n 1 e ζr a Υ l m θ a, φ a (7) donde Υ l m θ a, φ a = Θ lm θ a Φ m φ a (8) N: es una constante de normalización n: es el número cuántico principal ζ: es un parámetro variacional (el exponente del orbital) 13

15 Conjunto de orbitales tipo Slater (STO) Figura 1. Comportamiento del factor radial R r = e αr de un STO. Tomada de Lowe, J.P., Quantum Chemistry, 2th ed., Academic Press,

16 Conjunto de orbitales tipo Slater (STO) Figura 2. Función radial R r = r exp ζr para un STO tipo 2p. El valor grande de ζ da un STO más contraído alrededor del núcleo que un STO con ζ menor. Frecuentemente por ello se dice que el STO con ζ grande es interior. Tomada de Lowe, J.P., Quantum Chemistry, 2th ed., Academic Press,

17 Conjunto de orbitales tipo Slater (STO) Cada orbital atómico de HF puede aproximarse con mucha precisión utilizando sólo un número pequeño de STO bien escogidos. Ejemplo: para el estado fundamental del He, se toma una función variacional de prueba: φ 1 φ α 1 β 2 β 1 α 2 (9) se busca la función φ que minimice la integral variacional. 16

18 Conjunto de orbitales tipo Slater (STO) Clementi expresó φ de HF para el estado fundamental del 5 átomo de He como φ = i=1 c ri χ r, donde los coeficientes c ri se determinan resolviendo la ecuación (1) de HF y cada función χ r es un 1s STO dado por χ r = N i exp ζ i r. Los valores usados de ζ i fueron 1.417, 2.377, 4.396, y Los valores determinados para c ri fueron 0.768, 0.223, 0.041, y 0.002, respectivamente. 17

19 Conjunto de orbitales tipo Slater (STO) Cada orbital molecular φ i se expresa como φ i = r c ri χ r, donde las χ r son las funciones de base STO. Tenemos los OM CL-STO. Para moléculas poliatómicas, el método OM CL-STO usa los STO centrados en cada uno de los átomos. La evaluación con computador de éstas integrales que usualmente son de tres y cuatro centros con funciones de base STO, consume mucho tiempo. 18

20 Funciones tipo gausianas (GTF) Para acelerar la evaluación de las integrales moleculares se ha propuesto usar las funciones tipo gausianas (GTF), en lugar de los STO. Una gaussiana cartesiana centrada en el átomo b se define como donde g ijk = Nx b i y b j z b k e αr b 2 (10) i, j y k: son números enteros no negativos α: es un exponente orbital positivo x b, y b y z b : son coordenadas cartesianas 19

21 Funciones tipo gausianas (GTF) Las gausianas cartesianas forman una serie completa. Cada gausiana tiene la forma exp αr b 2 Figura 3. Comportamiento del factor exponencial de una gausiana, donde el origen está en el núcleo b. Una función gausiana no tiene la cúspide deseada sobre el núcleo. Tomada de Lowe, J.P., Quantum Chemistry, 2th ed., Academic Press,

22 Funciones tipo gausianas (GTF) Para representar precisamente un OA, debemos usar una combinación lineal de varias gausianas. El producto de dos funciones gausianas centradas en dos diferentes puntos es igual a una gausiana simple centrada en un tercer punto. Por tanto, la evaluación de integrales gausianas consume mucho menos tiempo de computador que la evaluación de integrales de Slater. 21

23 Funciones tipo gausianas (GTF) Figura 4. El producto de dos funciones gausianas centradas en dos diferentes puntos es igual a una gausiana simple centrada en un tercer punto. Tomada de Szabo, A., y N. S. Ostlund, Modern Quantum Chemistry, rev. ed., McGraw-Hill, 1989; Dover, 1996

24 Terminología usada para describir las bases STO Una base mínima consta de un STO para cada OA de capa interna y de capa de valencia de cada átomo. Ejemplo: C 2 H 2 Este conjunto contiene dos STO tipo s, un conjunto STO tipo p sobre cada carbono, y un STO tipo s sobre cada hidrógeno; una serie así se denota abreviadamente como 2s1p 1s. 23

25 Terminología usada para describir las bases STO Una base doble zeta (DZ) se obtiene reemplazando cada STO de una base mínima por dos STO que difieren en sus exponentes orbitales ζ (zeta). Ejemplo: C 2 H 2 Hay un total de 24 funciones de base; se trata de una base 4s2p 2s. En una base triple zeta (TZ) se reemplaza cada STO de una base mínima por tres STO que difieren en sus exponentes orbitales. 24

26 Terminología usada para describir las bases STO Una base de valencia desdoblada (SV) usa dos (o más) STO para cada OA de valencia, pero solamente un STO para cada OA de capa interna (core). - Una base SV es mínima para los orbitales atómicos de capa interna, y doble zeta (o triple, o ) para cada OA de valencia. - doble zeta de valencia (VDZ), triple zeta de valencia (VTZ), 25

27 Terminología usada para describir las bases STO En una base polarizada se añaden funciones de polarización cuyos números cuánticos son mayores que el l máximo de la capa de valencia del estado fundamental del átomo - Esto permite que las formas de los OA varíen, desplazando, por tanto, densidad de carga de los núcleos al interior de las regiones de enlace en la molécula. 26

28 Terminología usada para describir las bases STO Un ejemplo: base doble zeta más polarización(dz+p ó DZP): Se añade a una serie doble zeta una serie de cinco funciones 3d para cada átomo de la primera fila (Li Ne) y segunda fila, y una serie de tres funciones 2 p (2p x, 2p y,2p z ) a cada átomo de hidrógeno. 27

29 Terminología usada para describir las bases gausianas Función tipo gausiana contraída (CGTF) χ r = d ur g u (11) donde u g u : son las gausianas cartesianas normalizadas, también llamadas gausianas primitivas. d ur : son los coeficientes de contracción - Usando como bases gausianas contraídas se ahorra mucho tiempo de cálculo con poca pérdida de precisión si los coeficientes de contracción se eligen bien. 28

30 Terminología usada para describir las bases gausianas Las clasificaciones dadas para las bases STO también se aplican a las bases CGTF, reemplazando ST por CGTF en cada definición. 29

31 Algunos conjuntos de funciones de base STO-3G. Es una base mínima en la que cada STO se aproxima por una combinación lineal de tres funciones gausianas (se define para los átomos de H hasta Xe.) Figura 5. Comparación de una función tipo Slater 1s (ζ = 1,0) con las aproximaciones STO-1G, STO-2G, y STO-3G. Tomada de 4. 30

32 Algunos conjuntos de funciones de base 3-21G. Es definida para los átomos comprendidos entre H y Xe. Es una serie de base de valencia desdoblada de CGTF. Figura 6. Base 3-21G para el átomo de N en el formato GAMESS-US. Tomada de /forms/basisform.html. 31

33 Algunos conjuntos de funciones de base 6-31G. Es una serie de base de valencia desdoblada de CGTF. Figura 7. Base 6-31G para el átomo de N en el formato GAMESS-US. Tomada de /forms/basisform.html. 32

34 Algunos conjuntos de funciones de base 6-31G*/6-31G d. Es definida para los átomos comprendidos entre H y Zn. - Es una base doble zeta polarizada que añade a la serie 6-31G seis funciones de polarización gausianas cartesianas tipo d a cada uno de los átomos desde el Li hasta el Ca, - Añade diez funciones de polarización gausianas cartesianas tipo f para cada uno de los átomos desde el Sc hasta el Zn. 33

35 Algunos conjuntos de funciones de base Figura 8. Base 6-31G* para el átomo de N en el formato GAMESS-US. Tomada de /forms/basisform.html. 34

36 Algunos conjuntos de funciones de base 6-31G**/6-31G d, p. Añade a la serie 6-31G* una serie de tres funciones de polarización gausiana tipo p para cada átomo de hidrógeno y helio. Figura 9. Base 6-31G* para el átomo de N en el formato GAMESS-US. Tomada de /forms/basisform.html. 35

37 Algunos conjuntos de funciones de base 6-31+G*. Se forma la base 6-31+G* a partir de la 6-31G* por la adición de cuatro funciones altamente difusas s, p x, p y, p z sobre cada átomo de hidrógeno. cc-pvnz,n=d, T, Q, 5. Dunning y colaboradores han desarrollado estas bases diseñadas para el uso en los métodos de cálculo (como CI) que incluyen la correlación electrónica. 36

38 Algunos comentarios adicionales Las bases STO-3G, 3-21G, 6-31G* y 6-31G** fueron desarrolladas por Pople y sus colaboradores, y están disponibles en Gaussian. Los cálculos ab initio usan mayoritariamente bases de gausianas contraídas. Las bases gausianas comúnmente usadas están disponibles en la dirección electrónica EMSL Gaussian Basis Set Order Form en el Environmental Molecular Sciences Laboratory del Pacific Northwest Laboratory. 37

39 Bibliografía 1 Levine I. N., Quantum Chemistry, 5th ed. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, Lowe, J.P., Quantum Chemistry, 2th ed., Academic Press, McQuarrie, D.A., Quantum Chemistry, University Science, Szabo, A., y N. S. Ostlund, Modern Quantum Chemistry, rev. ed., McGraw-Hill, 1989; Dover, 1996 World Wide Web /forms/basisform.html 38