5 Incertidumbre y errores

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1 5 Incertidumbre y errores 5.1 Introducción El proceso de medición está en la base de nuestra compresión del mundo. La medida nos permite cuantificar las magnitudes del mundo físico y con ello construir modelos matemáticos sobre las leyes que gobiernan los fenómenos físicos. Una ley física es una relación entre magnitudes y las magnitudes sólo tienen sentido si somos capaces de cuantificarlas, lo que se hace a través de la medida. No es nuestro objetivo dar definiciones precisas ni profundizar sobre la teoría de las magnitudes físicas y su medida. En este capítulo trataremos de ver algunos conceptos básicos asociados a la evaluación de la magnitud, o sea la medida y la incertidumbre o el error asociada a ella. La evaluación del margen de validez de la medida es tan importante como el valor del resultado; en el trabajo técnico muchas veces se olvida este hecho. Generalmente hacemos la suposición implícita de que el número de cifras significativas que damos de la lectura es tal que solo el último digito significativo es incierto; si no es este el caso, debería darse el intervalo de valores posibles del resultado de acuerdo a la incertidumbre en dicho valor. En este capítulo, intentaremos definir estos conceptos. Como ejemplo de lo anterior, suponga que se mide una resistencia con un determinado procedimiento y que el valor es 37,142, con una incertidumbre de 0,1 asociada al instrumento de medida. De acuerdo al fabricante del instrumento, el valor puede ser cualquiera en el intervalo [37,042 37,242]. Posteriormente se comentará acerca de la probabilidad de que ocurra un determinado valor. En la práctica, podemos hablar de que la resistencia vale 37 y es razonable, ya que el 37 es una cifra segura y a falta de más información quien lo lee supondrá que es ±1. Si damos una precisión mayor, deberíamos especificar el margen de incertidumbre. Esto no se ve muy elegante ni muy correcto, pero es lo que generalmente hacemos. En este capítulo se tratará de conciliar los dos enfoques, el científico, donde cada medida debe estar acompañada de un intervalo de incertidumbre y el técnico, donde se da el valor y una cota de variación de la magnitud. Esta cota puede ser implícita o explícita. 5.2 Concepto de error e incertidumbre Hasta no hace mucho tiempo se hablaba de error y de la teoría de errores de medición para estudiar el margen de validez de una medida. Aquí nos encontramos con un problema filosófico; para definir error debería existir un verdadero valor de la magnitud a medir en el sentido matemático, esto es, un número real que es la respuesta teórica a la medida que se quiere realizar. Lamentablemente esto no existe, no hay un

2 verdadero valor asociado a una medida, siempre hay un margen de incertidumbre en lo que medimos. Sin embargo, el concepto de error todavía tiene validez, aunque muy limitada. Antiguamente se hablaba de errores groseros, errores sistemáticos y errores aleatorios. El error grosero sería aquel que viene de una manipulación errada del procedimiento de medición introducido durante el proceso de medida: alguien se equivocó. Puedo no saber a priori que voy a equivocarme, pero luego de obtenido el resultado, si detecto el problema, puedo corregir o cuantificar el error grosero y descartar la medida si fuera el caso. El error sistemático sería aquel introducido por los instrumentos o el procedimiento de medida y que puede ser corregido a posteriori. Por ejemplo, en la medida de voltaje RMS se introduce un diodo rectificador, el cual posee una caída de voltaje de aproximadamente 0,65 V. La lectura será inferior a la que debería ser de acuerdo al modelo del voltímetro en este valor. Esto puede corregirse para cancelar el efecto, sin embargo, esta corrección nunca es perfecta e introduce una incertidumbre en el problema. Otro ejemplo es la no linealidad en la respuesta de un instrumento, caso en el que puede realizarse una curva de calibración y corregir los valores de acuerdo a la misma. Cuando se discuta la incertidumbre, volveremos sobre estos factores de corrección. Errores aleatorios. Toda magnitud fluctúa su valor por causas aleatorias que están fuera del control del operador. Fluctuaciones térmicas, ruido electromagnético y vibraciones mecánicas, entre otros, pueden hacer que el resultado de nuestra medida fluctúe. Antiguamente llamábamos a esto error aleatorio. Sin embargo, como veremos, no se trata de un error, sino de nuestra imposibilidad de conocer todas las variables que afectan la medida. En general estas fluctuaciones son pequeñas, pero si nuestro instrumento tiene una apreciación pequeña, puede detectarlas. No existe un verdadero valor asociado a la magnitud, por lo que es incorrecto hablar de error en el resultado. Lo que sí hay son errores de procedimiento, que pueden ser corregidos y por ello se trata de errores. Aquí caen los groseros y los sistemáticos. Resumiendo, actualmente llamamos error a lo que puede ser entendido, modelado y corregido. Este concepto no involucra la diferencia respecto a ningún valor ideal, simplemente reconoce que erramos en el procedimiento y que podemos hacer la corrección. Los errores, en la mayoría de los casos, no tienen sesgo estadístico. Cuando bajamos la apreciación de una medida, llegamos a un límite donde los resultados fluctúan aleatoriamente fuera de nuestro control. En este caso, se habla de incertidumbre. Decimos que la medida tiene una incertidumbre, porque para nosotros es imposible obtener un valor único a partir de determinada apreciación. El error puede ser corregido, pero la incertidumbre no. La incertidumbre tiene asociada una estadística que nos dice la probabilidad de que el valor de la medida caiga en un determinado intervalo.

3 Esta estadística pude obtenerse de forma directa o estimarla a partir de datos y modelos. Existen diversas fuentes de incertidumbre que hacen que el resultado de una lectura no pueda determinarse con precisión absoluta; se discutirá con más detalle en la próxima sección. Comenzaremos por lo más pequeño. Hay un nivel de apreciación en que una magnitud física deja de tener sentido desde el punto de vista experimental. Por ejemplo, en una medida de longitud macroscópica, no tiene sentido una resolución menor que el tamaño de un átomo, o para la medida de una masa macroscópica una resolución menor que la masa de un electrón. Puede discutirse el límite, pero es claro que existe, no podemos asociar cualquier número real al resultado de una medida. Esto nos marca un límite de incertidumbre asociada a la magnitud que se mide. Esto, aplicando razonamientos clásicos; el mundo microscópico es cuántico y esencialmente probabilístico. Un nivel más alto corresponde al objeto que se va a medir (mesurando), por ejemplo, la longitud de una barra depende del paralelismo y el pulido de sus extremos. O la masa de un objeto depende de la limpieza de su superficie. Aquí hay un límite de incertidumbre asociada al objeto que se mide. Un nivel más alto corresponde a las fluctuaciones provocadas por los factores externos fuera de nuestro control: temperatura, humedad, ruido electromagnético, vibraciones, etc. Aquí hay un límite de incertidumbre asociado a la variabilidad del ambiente de medida. Pueden controlarse las condiciones, por ejemplo trabajar a temperatura controlada, pero no podemos evitar la fluctuación térmica. Otra fuente de incertidumbre es dada por la apreciación del instrumento de medida: todos los instrumentos tienen un valor mínimo que permiten detectar. Desconocemos el valor de la magnitud con una resolución menor que la del instrumento. Hay casos especiales en que la adición de ruido aleatorio con estadística conocida puede reducir esta incertidumbre. Se discutirá este caso más adelante. Existen otras fuentes de incertidumbre, como en el caso de obtener el resultado a partir de un cálculo indirecto. Los datos ajenos a la medida, constantes físicas, otras medidas, etc., también tienen una incertidumbre, que se trasladará a nuestro resultado. 5.3 Definiciones y estadística de incertidumbre Aquí resumiremos algunas definiciones para el análisis de incertidumbre, en este caso, se trata de una estadística asociada al resultado de la medida. La referencia fundamental es el documento Evaluation of measurement data Guide to the expression of uncertainty in measurement producido por el Joint Committee for Guides in Metrology [Ref]. En este punto, suponemos que todas las fuentes de error fueron removidas de las medidas realizadas. La palabra incertidumbre en este contexto refleja la imposibilidad de asignar un número real al resultado de una medida.

4 El objetivo de una medida consiste en determinar el valor de un mesurando, objeto a ser medido. La medida implica la especificación del mesurando, el método y el procedimiento realizados para la medida. En la práctica, depende de la resolución que quiere alcanzarse con la medida. En general, el resultado de una medida tiene un valor estimado (o más probable) y un margen de incertidumbre o desconocimiento, generalmente asociado a una estadística. La incertidumbre se divide en dos categorías: Incertidumbre tipo A: puede ser evaluada por métodos estadísticos mediante la repetición de una serie de medidas. Es el caso más simple, donde la apreciación es menor que la fluctuación aleatoria del valor a medir. Se toman n valores experimentales para estimar el valor más probable y la incertidumbre. Incertidumbre tipo B: Todas las que no son A. Aquí caen: falta de definición en el objeto a medir; aproximaciones en los cálculos y modelos; influencia del operador; incertidumbre en los datos de constantes y parámetros; resolución limitada de los instrumentos, entre otros. Un caso de incertidumbre tipo B es el uso de factores de corrección, como en el ejemplo del diodo en la medida RMS del apartado anterior. El voltaje del diodo es aproximadamente 0,65 V, pero este valor puede variar dependiendo de la temperatura, la corriente en el circuito, ruido eléctrico, etc. Podemos considerar que el voltaje del diodo tiene una incertidumbre de 0,05 V, es decir que eliminamos el error del voltaje pero introducimos una incertidumbre por la corrección. En la incertidumbre tipo B también hay un valor más probable y una estadística, solo que se obtienen de forma indirecta a partir del conocimiento de la fuente de incertidumbre y la experiencia del observador. Para la evaluación estadística del tipo A, se considera que para determinar el valor de una magnitud X, a partir de xi mediciones, la mejor estimación es tomar el valor medio. x = x i n σ ori = (x i x ) 2 n 1 Eq 5.1 Eq 5.2 Donde se han tomado n mediciones. La desviación estándar se toma generalmente como un indicador de la dispersión de los valores respecto al promedio. Puede tomarse un múltiplo de este valor como incertidumbre de la medida, dependiendo del intervalo de confianza que se desee. Por ejemplo, para una distribución gaussiana, el intervalo ± está asociado con una probabilidad del 68%, mientras que una de ±2 con 96%. Cuando realizamos una serie de medidas, decimos que tomamos una muestra del universo de valores posibles. Este conjunto tiene una media, la que llamaremos <x> y una desviación estándar ori. Si dividimos el conjunto en subconjuntos de m valores, cada uno con su propia media, obtenemos un nuevo conjunto de valores asociados a la medida. Este conjunto tiene la misma media que el original pero una desviación menor.

5 El valor medio tiene una desviación estándar med menor que la distribución de valores individuales original ori. σ med = σ ori m Eq 5.3 Podemos reducir la cantidad de conjuntos haciendo crecer m, el máximo valor es m=n, que en la práctica se toma como desviación de la media. Un problema del práctico aclara estos conceptos. Tomamos el valor de med como la incertidumbre asociada al valor estimado de la magnitud. Puede parecer que tomando un número grande de medidas puede reducirse la incertidumbre por el factor que se quiera. Esto en general choca con nuestra posibilidad de mantener el experimento constante durante un tiempo largo. Note que lo que se reduce es la incertidumbre tipo A, asociada a las variaciones de la magnitud. Para el tipo B, no se dispone de un conjunto de datos numéricos, por lo que debe asignarse una incertidumbre a la magnitud. En este caso, se considera que la magnitud varía según una determinada distribución de probabilidad. En este curso consideraremos dos distribuciones de probabilidad posibles para nuestras variables: la distribución de densidad uniforme y la distribución gaussiana. Llamando p(x) a la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria x, la probabilidad P [x1,x 2 ] de que una medida caiga en el intervalo [x 1, x 2 ] es x 2 P [x1,x 2 ] = p(x)dx. Eq 5.4 x 1 A partir de la densidad de probabilidad, el valor medio puede calcularse como x = x. p(x)dx. Eq 5.5 Para el caso continuo, la varianza, que es el valor de 2, se puede calcular como el valor medio de (x < x >) 2. En este caso tenemos σ 2 = (x x ) 2. p(x)dx = x 2. p(x)dx x 2. Eq 5.6

6 5.3.1 Distribución de densidad uniforme La densidad uniforme supone que todos los valores en un determinado intervalo [a, b], en particular cada intervalo de diferencias, dx, poseen la misma probabilidad. Figura 5.1 Densidad uniforme de probabilidad La función de densidad de probabilidad se escribe: { p(x) = 1 b a, p(x) = 0, En este caso la desviación estándar es: σ = b a 2 3 para a < x < b para otro caso Eq 5.7 Eq 5.8

7 5.3.2 Distribución Normal o Gaussiana La función de densidad de probabilidad se escribe: p(x) = 1 (x x ) 2 2πσ e 2σ 2 Eq 5.9 Esta expresión normalizada está en función del valor medio y la desviación estándar. Figura 5.2 Densidad de probabilidad gaussiana 5.4 Cálculo de la incertidumbre y margen de seguridad dependientes sólo del instrumento Cuando realizamos una medida en la práctica, generalmente tomamos un valor único. La información de que disponemos es la del fabricante del instrumento de medida que nos da un error asociado. El dato del fabricante en realidad es un margen de validez de la medida; se cubre de errores sistemáticos, que se sabe que existen, pero sería muy costoso corregir y cubre los márgenes de incertidumbre. De esta forma, bajo el nombre error dado por el fabricante, se engloban errores de diversa causa e incertidumbre. Cómo proceder? No sabemos cómo corregir los errores sistemáticos y, lo que es peor, no sabemos su peso dentro del error del fabricante. Tenemos dos alternativas: suponer una estadística y que todo el intervalo es incertidumbre o definir un margen de seguridad dado por los valores máximos del fabricante, como una cota para los valores posibles. El primer enfoque es mejor para instrumentos de calidad, mientras que el segundo es más conservador y puede ser útil en el caso de instrumentos donde se supone que pueden existir errores sistemáticos importantes. En el caso de instrumentos de mala calidad, no podemos asegurar que, en un punto particular de la escala, la distribución de incertidumbre esté centrada en el valor leído. Es más, puede variar dependiendo del punto de la escala en que se toma la lectura. El

8 segundo enfoque es conservador en la mayoría de los puntos de la escala, pero al menos estamos del lado seguro. Para el caso de un instrumento de calidad, identificamos dos fuentes de incertidumbre: la apreciación finita del instrumento y la incertidumbre de medida informada por el fabricante. Para determinar la incertidumbre a partir de esto, debe suponerse una estadística y calcular la desviación estándar. A falta de más datos, puede suponerse una densidad de probabilidad uniforme. Si el valor leído por el instrumento es M y el fabricante dice que el margen de validez es m, esto significa que el resultado pertenece al conjunto [M m, M + m]. Si se supone la estadística uniforme, la desviación es m. Este criterio se aplica para la apreciación 3 y en algunos casos para la incertidumbre de medida. El otro caso en instrumentos de calidad es que la incertidumbre de medida sea gaussiana, con un intervalo de confianza de un determinado porcentaje. Esto es, el fabricante nos da un valor que corresponde a kσ, donde k es un factor de cobertura para asegurar un determinado porcentaje en el intervalo. En este caso hablamos de incertidumbre extendida. La siguiente tabla muestra valores posibles de k y la probabilidad asociada. Intervalo de confianza [%] Factor de cobertura (k) Tabla 5.1 Factores de cobertura para cálculo de incertidumbre extendida. Como en el caso anterior, el resultado pertenece al conjunto [M m, M + m]. Podemos asumir que = m, conociendo el intervalo de confianza. k Cómo combinamos ambas incertidumbres? La varianza total en este caso es la suma de las varianzas, ambos factores pesan uno en la suma. 2 σ = σ med + σ2 apr Eq 5.9 Si en este instrumento además se realiza una serie de medias para evaluar las condiciones ambientales y la fluctuación del resultado, esta da una incertidumbre de tipo A, cuya varianza se suma dentro de la raíz en la Eq. 5.9.

9 5.5 Cálculo de la incertidumbre y margen de seguridad combinadas En muchos casos, las magnitudes se expresan a partir de una fórmula de cálculo, dónde se miden algunas variables y se obtienen otras de tablas o datos de fabricantes. Esto es, la magnitud y es función de otras magnitudes x i. y = f(x 1, x 2,, x i,, ) Eq 5.10 Si cada una de las variables tiene una varianza σ i 2, en el caso de variables estadísticamente independientes se tiene σ y = ( f x i ) 2 σ i 2. Eq 5.11 El margen de incertidumbre asociado a la magnitud y es la varianza obtenida de En el caso de que las magnitudes tengan correlación estadística, deben considerarse las covarianzas. En el caso de una medida realizada con un instrumento de calidad, procedemos de esta manera, agregando al final un factor de cobertura para dar un margen de confianza del porcentaje deseado. En caso de mayor duda sobre los datos, puede calcularse una cota o margen de seguridad de la forma y = f x i xi. Eq 5.12 Esta estimación es más conservadora que 5.11, pero es mucho más simple de utilizar, ya que considera sólo los valores extremos del intervalo y de esta forma se está del lado seguro.