ANALISIS DISCRIMINANTE, ESTADISTICA GERENCIAL

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO Recinto de Río Piedras Facultad de Administración de Empresas Instituto de Estadística ANALISIS DISCRIMINANTE, HERRAMIENTA EN ESTADISTICA GERENCIAL José C. Vega Vilca, PhD Presentación en la Escuela Graduada Marzo 8

2 INTRODUCCION En negocios hay muchas situaciones donde sujetos en estudio pueden ser separados en dos o más grupos bien deinidos. Estos sujetos pueden ser personas, ciudades, universidades, países u otros. El propósito del Análisis Discriminante es construir un clasiicador basado en datos multivariados, pertenecientes a grupos bien conocidos por el investigador, para ser usado en clasiicación de nuevos sujetos y puedan ser localizados en alguno de estos grupos en estudio. Según las características (multivariadas de los nuevos sujetos, podremos dar respuesta a casos tales como:.- Comprará, este cliente nuestro producto, o no?. - Devolverá, este cliente el crédito, o no? 3.- Se adaptará, este candidato al puesto de trabajo, o no? José Vega, PhD

3 EL PROBLEMA GENERAL EN CLASIFICACIÓN Población : π Población : π Cada punto representa un sujeto, en el espacio de p-dimensiones Clasiicar estos nuevos objetos, en una de estas dos poblaciones José Vega, PhD 3

4 CASO PRÁCTICO: los objetos se representan dentro de un espacio muestral Ω Ω clasiicador Región : R Región : R José Vega, PhD 4

5 CONCEPTOS R : Región donde los sujetos son clasiicados como perteneciente a π R : Región donde los sujetos son clasiicados como perteneciente a π Ω : Espacio muestral, R R Ω R R φ c(i j : costo de clasiicar un objeto en π i, cuando realmente pertenece a π j (,, 3, L, i p p ( p ' vector aleatorio : punto en el espacio unción de densidad de población i, i, ( ( P π P π Probabilidad apriori de pertenecer a población Probabilidad apriori de pertenecer a población José Vega, PhD 5

6 REGIONES DE CLASIFICACIÓN R : ( c( p ( c( p R : ( ( < c c ( p ( p c( p Generalmente se asume que: ( y c p Regiones de clasiicación Es la unción discriminante R R : : D D ( ( < D ( ln ( ( José Vega, PhD 6

7 DISTRIBUCIÓN NORMAL p-variada DISTRIBUCIÓN NORMAL p-variada El vector aleatorio tiene distribución normal p-variada, si su unción de densidad es : ( p L ( ( ( ' ( ep p π M p p σ σ σ σ σ σ M L M M L L vector de Matriz de covarianzas p M pp p p σ σ σ L M L M M p : univariada p : bivariada medias covarianzas ( ep σ σ π p : univariada p : bivariada José Vega, PhD 7

8 CLASIFICACIÓN EN DOS POBLACIONES NORMALES Sean ( y ( las unciones de densidad correspondientes a las poblaciones en estudio: π y π, respectivamente ( ep ( ' ( ( p ( π ep ( ' ( p ( π Regiones de clasiicación Es la unción discriminante R R : : D D ( ( < ( D ln ( ( José Vega, PhD 8

9 C (di i i t li l Caso a : Σ Σ Σ (discriminante lineal ( ' ( ' ( ( : + D R ( ' ( ' ( ( : < + D R Caso b : Σ Σ (discriminante cuadrático ( ( ' ( : ' ' + k D R ( ( ' ( : ' ' < + k D R ( ' ' + n k l donde : ( ( ( : < + k D R José Vega, PhD 9 ( + n k l donde :

10 CLASIFICACIÓN: PROBABILIDAD POSTERIOR ( P π i probabilidad de clasiicar en π i, un vector observado i, Usando probabilidad condicional ( π ( π P( ( π P( π P( P P P p P ( ( ( Usando probabilidad total P( ( P ( π + P ( π ( π P( π P( π P( π P + ( p ( p ( P + ( José Vega, PhD

11 Reemplazando ( en ( y asumiendo que p p ( P π ( ( ( ( + ( + ep [ D( ] + P ( π ( ( ( ( + + ( + ep [ D( ] Regla de clasiicación ( π P( π Si P > se clasiica en π de otro modo en π José Vega, PhD

12 ESTIMACION ( En el caso de aplicación, los parámetros son desconocidos. La unción discriminante se construye con una muestra de cada población,, y muestra de población muestra de población p p X L L p p y y y y y y Y L L np n n X L M M M mp m m y y y Y L M M M S S y y José Vega, PhD

13 ESTIMACION ( En discriminante lineal se supone que: La matriz de covarianza común: ( n S + ( m S S n+ m y REGIONES DE CLASIFICACION R : D( ( y' S ( y' S ( + y R : D( ( y' S ( y' S ( + y < CLASIFICACION Un nuevo sujeto representado por: (,, 3, L, p ' Será clasiicado en: π si D( Será clasiicado en: π si D( < José Vega, PhD 3

14 APLICACION : Clasiicación en dos grupos Una empresa tiene el registro de 84 clientes. Algunos de ellos están suscritos a la revista Wall Street Journal (WSJ y los otros no. Grupos: Clientes NO suscritos a Wall Street Journal Clientes suscritos a Wall Street Journal Variables discriminantes: Ingreso: ingreso anual de la persona Inversión: cantidad total invertido en bonos y acciones José Vega, PhD 4

15 GRAFICO DE PUNTOS: REPRESENTACION DE LOS DOS GRUPOS José Vega, PhD 5

16 ANALISIS DISCRIMINANTE ( PROMEDIOS grupo Ingreso Inversión N SUSCRITOS:NO SUSCRITOS: SI MATRIZ DE COVARIANZAS COMUN Ingreso Inversión Ingreso Inversión MATRIZ DE CLASIFICACION N-suscrito SI-suscrito TOTAL NO-suscritos SI-suscritos José Vega, PhD 6

17 ANALISIS DISCRIMINANTE ( FUNCIÓN DISCRIMINANTE (D D(.6586* Ingreso * Inversión ECUACION DE LA RECTA: CLASIFICADOR D (.6586* 6586* Ingreso * * Inversion Inversión.8675* Ingreso José Vega, PhD 7

18 REPRESENTACION GRAFICA DEL CLASIFICADOR Malaclasiicacion: 5 azules rojos clasiicador José Vega, PhD 8

19 COMO CLASIFICAR A UN NUEVO CLIENTE? Nuevo cliente: Ingreso: 6 Inversión: (6, ' Solución : Ubicar en el gráico de puntos Solución : Usar la unción discriminantei i D (.6586* * D ( > El nuevo cliente No está suscrito a WSJ José Vega, PhD 9

20 COMO CLASIFICAR A UN NUEVO CLIENTE? Solución 3: usando probabilidad posterior (p p ( P π ep( ep[ D( ] +.87 ( P π ep + ep( D [ ( ] Se cumple que: ( π P( π P > El nuevo cliente No está suscrito a WSJ José Vega, PhD

21 CLASIFICACIÓN EN MÁS DE DOS GRUPOS Trabajando con tres grupos Usando la unción discriminante: i i asumiendo que p p p 3 clasiicar en una de las tres poblaciones π si D ( D3 ( π si D( < D3( π 3 3( 3 < si D ( < D ( Usando probabilidad posterior calcular : ( π, i,, 3 P i ( clasiicar en la población donde es el valor más grande P π i José Vega, PhD

22 APLICACION : Clasiicación en tres grupos Una compañia especializada en tetos universitarios, es representante de un libro de computación con el cual ha alcanzado sus mejores ventas. La compañia tiene registrado a 9 universidades en tres grupos: Grupos: Universidades que NUNCA le compraron o el libro Universidades que YA NO compran el libro 3 Universidades que SIGUEN comprando el libro Variables discriminantes: X: total de alumnos en la universidad X: promedio SAT X3: porcentaje de cursos que requieren asistencia X4: número de PC disponibles en la universidad X5: porcentaje de estudiantes con PC propia X6: promedio anual de estudiantes matriculados José Vega, PhD

23 ANALISIS DISCRIMINANTE ( PROMEDIOS: GRUPO X X X3 X4 X5 X MATRIZ DE COVARIANZAS COMUN X X X3 X4 X5 X6 X e X e X e X e X e X e José Vega, PhD 3

24 ANALISIS DISCRIMINANTE ( MATRIZ DE CLASIFICACION GRUPO GRUPO GRUPO3 TOTAL GRUPO 39 4 GRUPO GRUPO José Vega, PhD 4

25 FUNCION DISCRIMINANTE El clasiicador consta de tres unciones: D ( D ( D ( 3 3 Coeicientes i de las unciones Variables D ( D ( D ( 3 3 X X X3 X4 X5 X6 Constante José Vega, PhD 5

26 COMO CLASIFICAR A UNA NUEVA UNIVERSIDAD? Nueva universidad: X X X3 X4 X5 X Solución : Usar la unción discriminante D ( D ( D (.48 3 La nueva universidad id d pertenence al grupo. Nunca comprarán el libro D( D3( José Vega, PhD 6

27 COMO CLASIFICAR A UN NUEVA UNIVERSIDAD? Solución : Usar la probabilidad posterior (p p p 3 D ( D ( D (.48 3 ( P π ep [ D3 ( ] + ep [ D ( ] + ( P π ep[ D( ] + + ep[ D3( ] ( P π [ D ( ] + ep[ D ( ] ep 3 La nueva universidad pertenence al grupo. NUNCA comprarán el libro José Vega, PhD 7

28 BIBLIOGRAFIA Albright S., Winston W., Zappe C. (. Managerial Statistics, Dubury Mardia K., Kent J., Bibby J. (979. Multivariate i t Analysis, Academic Press José Vega, PhD 8