Introducción a la probabilidad (continuación) Universidad de Puerto Rico ESTA Prof. Héctor D. Torres Aponte

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Juan Antonio Acosta Roldán
hace 6 años
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1 Introducción a la probabilidad (continuación) Universidad de Puerto Rico ESTA 3041 Prof. Héctor D. Torres Aponte 1. Probabilidad II 1.1. Dígitos aleatorios VS Ley de Benford Considere que los primeros dígitos en cientos documentos financieros se distribuyen aleatoriamente entre los dígitos del 1 al 9. Los nueve posibles dígitos tienen la misma probabilidad, así que tenemos que el espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} con una probabilidad de 1 para que cada dígito esté en la primera posición. 9 Sea X el primer dígito, el modelo de probabilidad para X es descrito por la siguiente tabla: X P (X) La probabilidad de que el primer dígito sea mayor o igual a 6 es: P (X 6) = P (X = 6) + P (X = 7) + P (X = 8) + P (X = 9) = ( ) 9 1 = 4 9 = Comparando con la Ley de Benford, sea V el primer dígito, V P (V ) La probabilidad de que el primer dígito V sea mayor o igual a 6 es: P (V 6) = P (V = 6) + P (V = 7) + P (V = 8) + P (V = 9) = = La ley de Benford nos permite una detección fácil de documentos financieros si estos son seleccionados aleatoriamente. Estos registros tienden a tener en muy pocas ocasiones números como 1 o 2 como primer dígito. 1

2 Ejemplo 1.1. Un generador de números aleatorios tiene una distribución uniforme. Esta curva de densidad tiene una altura 1 y corre sobre el intérvalo 0 a 1. Note que el área bajo la curva es 1. Si queremos encontrar la probabilidad que el generador de números aleatorio sea un número Y entre 0.3 y 0.7 es P (0.3 Y 0.7) = 0.4 Area = P (0.3 X 0.7) Si queremos encontrar la probabilidad de que el número Y sea menor igual que 0.5 o mayor que 0.8 entonces tenemos que P (Y 0.5 o Y > 0.8) como P (Y 0.5) = 0.5 y P (Y > 0.8) = 0.2 entonces P (Y 0.5 Y > 0.8) = P (Y 0.5)+ (Y > 0.8) = 0.7 Area = 0.5 Area = P ( X 0.5 or X > 0.8) Ejemplo 1.2. Si generamos dos números aleatorios entre 0 y 1 y tomamos la suma de estos (llamada T ). Entonces T obtiene valores entre 0 y 2 con la siguiente curva de densidad. 2

3 Ejemplo 1.3. Cual es la probabilidad de que seleccionemos una bolsa de papitas 9oz que tenga un peso entre 9.33 y 9.45oz si el peso tiene una distribución N (9.12, 0.15)? Para esto, considere que W representa el peso de la bolsa: P (9.33 W 9.45) = ( P W 9.12 ) = P (1.4 Z 2.2) = = Standard Nor mal curve Probability = Z = 1.4 Z = Probabilidad condicional La siguiente tabla nos da información de personas entre 16 a 24 años que están matriculados en alguna institución educativa, su estado laboral y su género. Note que la información es en miles. Employed Unemployed Not in labor force Total Male Female Total Si aleatoriamente se escoge una persona entre 16 a 24 años que está matriculado en alguna institución educativa, Cual es la probabilidad de que la persona esté empleada? Como se seleccionó de manera aleatoria usamos la muestra total entonces P (employed) = = Ahora, si se conoce que es mujer, entonces la probabilidad que la persona seleccionada aleatoriamente trabaja dado que sea mujer es P (employed female) = = A esto se le conoce como una probabilidad condicional. Que pasa si queremos saber la probabilidad de que la persona seleccionada trabaje y sea mujer? 3

4 Paso 1: Se busca la proporción de mujeres en el grupo de interes. Paso 2: Se multiplica por la proporción de mujeres que están empleadas. P (female and employed) = P (female) P (employed female) = = = Definición 1.1. La probabilidad de que dos eventos A y B ocurran simultaneamente se puede definir como: P (A B) = P (A) P (B A) donde P (B A) es la probabilidad condicional que B ocurra dado que el evento A ocurra. En otras palablas, para determinar la probabilidad de que 2 eventos ocurran, el primer evento debe ocurrir y dado que el promer evento ocurra, el segundo va a ocurrir. Ejemplo 1.4. Un grupo focal de 10 consumidores son seleccionados para ver un anuncio comercial. Luego de esto, 2 miembros del grupo focal son seleccionados aleatoriamente para contestar preguntas. El grupo contiene 4 hombres y 6 mujeres. Cual es la probabilidad de que las 2 personas seleccionadas sean mujer? Paso 1: Determindar la probabilidad de que la primera persona seleccionada sea mujer. Esto es, P (primera persona mujer). Como la muestra de 10 personas cuenta con 6 mujeres, entonces, la probabilidad de que la primera persona seleccionada sea mujer es: P (primera persona mujer) = 6 10 Paso 2: Calcular la probabilidad que la segunda persona sea mujer: P (segunda persona mujer primera persona mujer) = 5 9 Esto ocurre ya que en el primer evento se obtuvo una fémina por lo tanto la segunda persona sale de un grupo de 9 persona donde solamente quedan 5 mujeres. Note que P (B A), primero tiene que ocurrir el evento A, este nos da la información necesaria o la condición para poder calcular el evento B que es el que realmente se quiere calcular. 4

5 Ejemplo 1.5. Solo 5 % de los hombres en escuela superior que practican algún deporte llegan a un nivel universitario. De estos, 1.7 % entran a ligas profesionales. Cerca de 40 % de los atletas compited en universidad y luego tienen una carrera profesional de mas de 3 años. Cual es la probabilidad de que un atleta de escuela superior compita en universidad y luego obtenga una carrera profesional de mas de 3 años? Para esto definimos los siguientes eventos: Sabemos que entonces, A = {compite en universidad} B = {compite a nivel profesional} C = {carrera profesional de mas de 3 a~nos} P (A) = 5 % = 0.05 P (B) = 1.7 % = P (C A B) = 0.4 P (A B C) = P (A) P (B A) P (C A B) = = Este resultado representa que 3 de cada 10,000 atletas se espera que compitan a nivel universitario y obtengan un contrato profesional de mas de 3 años Probabilidad condicional e independencia Definición 1.2. Cuando P (A) > 0, la probabilidad condicional de B dado A es: P (B A) = P (B A) P (A) Note que la probabilidad de P (B A) no tiene ningún sentido si el evento A nunca ocurre. Si el evento A ocurre, pero este no nos brinda ninguna información relacionada con el evento B entonces decimos que A y B son eventos independientes. Definición 1.3. Sean A y B dos eventos independientes talque P (A) > 0 y P (B) > 0 decimos que A y B son eventos independientes si P (B A) = P (B) A continuación vemos la explicación de porque esto es cierto, 5

6 Proposition 1.6. Si A y B son eventos independientes con ambas probabilidades mayor que 0 entonces P (B A) = P (B) Demostración. Sean A, B eventos independientes talque P (A) > 0 y P (B) > 0 entonces P (B A) P (B A) = P (A) Por definición de probabilidad condicional P (B) P (A) = P (A) Eventos independientes = P (B) CancelandoP (A) 1.4. Diagramas de arbol Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de elementos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción del diagrama de árbol. Utilizando el ejemplo anterior, Cual es la probabilidad de que un atleta de escuela superior practique a nivel profesional? En otras palabras, queremos saber P (B). Para esto utilizaremos el siguiente diagrama de arbol: College A Professional B B c High school athlete B A c B c Sabemos que la probabilidad de que el atleta compita a nivel universitario es P (A) = 0.05 por consiguiente la probabilidad de que el atleta no compita a nivel universitario es P (A c ) = 0.95, esto por la regla del complemento. Ahora, dado que el estudiante compitió en la universidad, la probabilidad de que compita a nivel profesional es P (B A) = Entonces la probabilidad de que no compita a nivel profesional dado que compitió en la universidad es P (B c A) = 1 P (B A) = = Existe la posibilidad de que un estudiante que es atleta en escuela superior pase directamente a una liga profesional. Este caso es muy raro pero puede ocurrir, es por eso que 6

7 suponga que P (B A c ) = y por consiguiente P (B c A c ) = Vemos que para llegar al evento B tenemos dos caminos, uno utilizando el evento A y otro utilizando el evento A c, es por eso que P (B) es la suma de P (B A) y P (B A c ). Calculando cada una de manera independiente obetenemos: y por lo tanto, P (B A) = P (A) P (B A) = = P (B A c ) = P (A c ) P (B A c ) = = P (B) = P (B A) + P (B A c ) = = Entonces podemos decir que alrededor de 9 de cada 10,000 atletas jugarán en una liga profecional. Ahora, si queremos saber la proporción de atletas profecionales que compitieron a nivel universitario, tenemos que calcular P (A B), para esto tenemos que P (A B) P (A B) = P (B) = = Casi un 90 % de los atletas profesionales compitieron a nivel universitario. 7

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