Anillos, módulos y álgebras de artin. Lic. Manuel Flores Galicia Dr. Octavio Mendoza Hernández

Transcripción

1 Anillos, módulos y álgebras de artin Lic. Manuel Flores Galicia Dr. Octavio Mendoza Hernández

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3 Índice general Introducción vii 1. Nociones de conjuntos, funciones y categorías Nociones de Lógica Matemática Conjuntos Operaciones con conjuntos Correspondencias Funciones (morfismos de conjuntos) Familias de elementos Relaciones binarias Relaciones de equivalencia Un par de aplicaciones de las clases de equivalencia Ordenes parciales Diagramas de Hasse Elementos distinguidos en ordenes parciales El orden total y el buen orden Segmentos en conjuntos ordenados El buen orden y el Principio de inducción transfinita Retículas (Lattices) Axiomas de Peano y el buen orden en N Distintas formas del principio de inducción en N El Axioma de la elección y sus formas equivalentes Clases y conjuntos Números cardinales Categorías y Funtores Nociones básicas de grupos abelianos Notación básica La categoría Ab de grupos abelianos Sumas directas, productos y coproductos en Ab iii

4 iv Índice General 3. Nociones básicas de anillos y módulos La categoría de anillos unitarios El anillo opuesto Álgebras La categoría Mod (R) de R-módulos Sumas directas, productos y coproductos en Mod (R) Matrices de morfismos en Mod (R) Cambio de anillos Retículas (Lattices) de submódulos Categorías de bimódulos Álgebras de Artin Nociones básicas El proceso de Proyectivización Estructura de los inyectivos Anillos con dualidad Existencia de dualidad en álgebras de artin El funtor y el funtor de Nakayama Álgebras de Caminos Carcajes de álgebras Cocientes de álgebras de caminos Carcajes y el álgebra tensorial El carcaj de una K-álgebra de dimensión finita El teorema de P. Gabriel Representaciones de carcajes Representaciones de Vec K Representaciones de carcajes finitos con relaciones Representaciones especiales La característica de Euler Bibliografía 259 Índice alfabético 260

5 Introducción Simplificar y clasificar conceptos ha sido, y sigue siendo, un quehacer intrínseco en el desarrollo de cualquier ciencia; más aún en matemáticas. Por ejemplo, una transformación lineal en un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado, queda caracterizada por su forma canónica de Jordan, y ésta, a su vez actúa de alguna manera sobre el espacio vectorial. Pero, qué sucede cuando se quiere dar un paso adelante, con miras en la generalidad, en el avance de la teoría?, es decir, analizar la acción simultánea de una infinidad de transformaciones lineales sobre un mismo espacio. Es aquí donde los métodos simples ya no son más del todo efectivos, casi siempre insuficientes, motivo por el que se recurre a técnicas más abstractas y complejas; que en lo que nos atañe, es la Teoría de Representaciones de Álgebras. v

6 vi Introducción

7 Capítulo 1 Nociones de conjuntos, funciones y categorías 1.1. Nociones de Lógica Matemática Una proposición es una expresión lingüistica p respecto de la cual puede decirse si es verdadera (V ) o si es falsa (F ); dichos valores V y F son los valores de verdad de la proposición p. Por ejemplo: la proposición p := 3 es un número primo tiene como valor de verdad a V (i. e. p es verdadera); y la proposición q := 7 es par tiene como valor de verdad a F (i. e. q es falsa). Una proposición p se dice que es simple si tiene un único sujeto y un único predicado, por ejemplo: p := 14 es divisible por 7. Una proposición p se dice que es compuesta si se genera a partir de un número finito de proposiciones simples usando los conectivos lógicos: no, o, y, si... entonces y si y sólo si. Sean p y q proposiciones simples. Los símbolos que se usan para denotar a los conectivos lógicos son: Negación no p p Disyunción p ó q p q Conjunción p y q p q Implicación Si p entonces q p q Equivalencia p si y sólo si q p q Los valores de verdad de una proposición compuesta se construyen mediante las tablas de verdad ; las cuales están formadas: con letras p, q,... como variables proposicionales, y combinaciones finitas de los conectivos lógicos que forman dicha proposición compuesta. Para poder realizar el cálculo lógico de dichas tablas de verdad, exhibiremos a continuación las tablas de verdad de los conectivos lógicos principales. 1

8 2 Capítulo 1. Nociones de conjuntos, funciones y categorías Tabla de la Negación Tabla de la Conjunción p p V F F V p q p q V V V V F F F V F F F F Tabla de la Disyunción Tabla de la Implicación p q p q V V V V F V F V V F F F p q p q V V V V F F F V V F F V Tabla de la Equivalencia p q p q V V V V F F F V F F F V Definición Una forma proposicional es cualquier expresión en la que intervienen: variables proposicionales y conectivos lógicos, y es construida según las siguientes dos reglas. (Regla 1) Toda variable proposicional es una forma proposicional. (Regla 2) Si A y B son formas proposicionales, entonces las siguientes expresiones A, A B, A B, A B, A B son formas proposicionales.

9 1.1. Nociones de Lógica Matemática 3 Ejemplos. p q, p p y p p son formas proposicionales, cuyas tablas de verdad son las siguientes. p q p p q V V F V V F F F F V V V F F V V p p p p p p V F F V F V F V Definición Sea A una forma proposicional. Decimos que: (a) A es una tautología si toma el valor de verdad V para cualquier asignación de valores de verdad en las variables proposicionales que intervienen en A. (b) A es una contradicción si toma el valor de verdad F para cualquier asignación de valores de verdad en las variables proposicionales que intervienen en A. Ejemplos. A := p p es una tautología y B := p p es una contradicción. Definición Sean A y B formas proposicionales. Decimos que: (a) A implica lógicamente a B, o bien que B es una consecuencia lógica de A, si la forma proposicional A B es una tautología. (b) A es lógicamente equivalente a B, si la forma proposicional A B es una tautología. Ejemplos. (1) p q implica lógicamente a p como puede verse en la siguiente tabla de verdad p q p q (p q) p V V V V V F F V F V F V F F F V (2) (p q) es equivalente lógicamente a p q. Como puede verse en la siguiente tabla de verdad p q (p q) p q (p q) ( p q) V V F F V V F V V V F V V V V F F V V V (3) p q es equivalente lógicamente a p q. Hacer (ejercicio) la tabla de verdad de (p q) ( p q).

10 4 Capítulo 1. Nociones de conjuntos, funciones y categorías En general, a las tautologías se les conoce también como leyes. En lo que sigue, haremos una lista de las mas importantes (con sus nombres respectivos). El lector puede verificar que todas son tautologías, haciendo para cada una de ellas su correspondiente tabla de verdad. (1) Leyes de identidad: (a) p p, (b) p p. (2) Ley de contradicción: (p p). (3) Ley del tercero excluido: p p. (4) Ley de la doble negación: p ( p). (5) Leyes de simplificación: (a) (p q) p, (b) p (p q). (6) Leyes de conmutatividad: (a) (p q) (q p), (b) (p q) (q p), (c) (p q) (q p). (7) Leyes de asociatividad: (a) (p (q r)) ((p q) r), (b) (p (q r)) ((p q) r), (c) (p (q r)) ((p q) r). (8) Leyes de absorción: (a) (p (p q)) p, (b) (p (p q)) p. (9) Leyes de distribución: (a) (p (q r)) ((p q) (p r)), (b) (p (q r)) ((p q) (p r)), (c) (p (q r)) ((p q) (p r)), (d) (p (q r)) ((p q) (p r)). (10) Leyes de transitividad: (a) ((p q) (q r)) (p r), (b) ((p q) (q r)) (p r). (11) Ley del dilema: (((p q) (r s)) (p r)) (q r).

11 1.1. Nociones de Lógica Matemática 5 (12) Ley de exportación: ((p q) r) (p (q r)). (13) Leyes de transposición: (a) (p q) ( q p), (b) (p q) ( q p). (14) Ley bicondicional: (p q) ((p q) (q p)). (15) Ley condicional-disyunción: (p q) ( p q). (16) Ley condicional-conjunción: (p q) (p q). (17) Leyes de De Morgan: (a) (p q) ( p q), (b) (p q) ( p q). (18) Leyes de Expansión: (a) (p q) (p (p q)), (b) (p q) (q (p q)). (19) Leyes de idempotencia: (a) (p p) p, (b) (p p) p. A diferencia de una proposición simple, donde su valor es verdadero o falso, existen proposiciones que dependen de uno o varios parámetros, i. e. el sujeto (o los sujetos) de dicha expresión lingüística son variables, y pueden ser reemplazados por elementos de una o varias clases (Universos) dadas. Por ejemplo, la proposición en una variable x es divisible por 14. En este caso, no se puede saber si dicha proposición es falsa o verdadera, a no ser que especifiquemos quien es x y cual es el universo U donde está definido (o toma valores) el sujeto x. En tal caso, el predicado es divisible por 14 es lo mas importante de dicha proposición. Denotando a es divisible por 14 por D, tenemos la expresión en una variable D(x):= x es divisible por 14. Observe que D(3) es falso y D(28) es verdadero. Aquí podemos tomar como universo a los números naturales o bien a los números enteros. Representaremos a los predicados con letras mayúsculas y a los sujetos con minúsculas. Un ejemplo de una proposición en dos variables es la siguiente: sea M el predicado es mayor o igual que, tenemos entonces que M(x, y) := x es mayor o igual que y es una proposición en dos variables, donde y puede estar definida, por ejemplo, en el universo de los números naturales y x en los números reales. En general, podemos decir que un predicado puede tener una o más variables, y que las variables pueden tomar valores en uno o en varios universos específicos.

12 6 Capítulo 1. Nociones de conjuntos, funciones y categorías Para que una proposición, en las varibles x 1, x 2,, x n, tenga un valor de verdad unívocamente determinado, tenemos que aplicar un cuantificador (del tipo universal o existencial) a cada una de las n variables. Definición Sea P un predicado en una variable x que toma valores en un universo fijo U. (a) El cuantificador universal: la expresión x P (x) es verdadera si todo objeto x en U tiene la propiedad P. (b) El cuantificador existencial: la expresión x P (x) es verdadera si existe al menos un objeto x en U que tiene la propiedad P. (c) El cuantificador existencial único: la expresión! x P (x) es verdadera si existe exactamente un objeto x en U que tiene la propiedad P. Ejemplos. (1) Traducir al lenguaje lógico el enunciado: Todos los números naturales son positivos. Consideremos el universo U de los números naturales y el predicado P := es positivo. Luego, la proposición anterior se escribe como sigue: x P (x). (2) Traducir al lenguaje lógico el enunciado: Existe un número natural que es primo e impar. Consideremos el universo U de los números naturales y los predicados P := es primo y I := es impar. Luego, la proposición anterior se escribe como sigue: x (P (x) I(x)). Los cuantificadores y están relacionados vía las siguientes tautologías: ( ) ( x P (x)) x( P (x)). ( ) ( x P (x)) x( P (x)) Conjuntos La teoría de conjuntos fue formulada en 1870 por Georg Cantor ( ). Consideraremos como conceptos primitivos (no definidos) a los términos: Conjunto, Objeto (o Elemento ) y Pertenencia. En este libro, daremos un tratamiento meramente intuitivo, y solamente una introducción, de la teoría de conjuntos. Intuitivamente, un conjunto es una colección bien determinada de objetos (i. e. podemos precisar cuales son sus elementos). Dicha colección puede ser dada por extensión: nombrando uno a uno a todos los elementos, por ejemplo, A = {1, 2, 3}; o por comprensión: indicando una propiedad o condición que caracteriza a los elementos de dicho conjunto, por ejemplo, A = {a P (a)}, que representa al conjunto A formado por todos los elementos a (de un universo) que tienen la propiedad P. Por ejemplo, N := {0, 1, 2, 3, } es el conjunto de los números naturales, y N + := {1, 2, 3, } es el conjunto de los números naturales positivos.

13 1.2. Conjuntos 7 Dado un conjunto A y un objeto x, escribiremos x A (y se leé x pertenece a A ) para decir que el objeto x es un elemento del conjunto A. Para decir, que x no es un elemento del conjunto A, escribiremos x A (y se leé x no pertenece a A ). Definición Sean A y B conjuntos. Decimos que: (a) A es un subconjunto de B, y lo escribimos A B, si todo elemento de A es un elemento de B. Esto es, (A B) x(x A x B). Para decir que A no es un subconjunto de B, escribimos A B, esto es, x (x A x B). (b) A es igual a B, y lo escribimos A = B, si todo elemento de A es un elemento de B, y todo elemento de B es un elemento de A. Esto es, (A = B) (A B) (B A). Para decir que A no es igual a B, escribimos A B, esto es, (A B) (B A). Ejemplos. (1) Sean A = {2, 3, 5} y B = {1, 2, 3, 5}. Observe que A B; pero B A ya que 1 B y 1 A. En particular, A B. (2) Sean A = {1} y B = {{1}}. Observe que: 1 A, 1 B, {1} A, {1} B y {{1}} A. (3) A = {x x N x 10} y B = {x x N x 6}. Dado que ( x 10) (3 2 + x 6), se tiene que A = B. Ejercicio Pruebe que la inclusión de conjuntos satisface las siguientes propiedades. (a) Propiedad reflexiva: A A. (b) Propiedad antisimétrica: Si A B y B A, entonces A = B. (c) Propiedad transitiva: Si A B y B C, entonces A C. Definición Sea X un conjunto. El conjunto X := {x X x x} es el conjunto vacío asociado a X. Proposición Sean X y Y conjuntos. Entonces X Y y X = Y. Demostración. La proposición x (x X x Y ) es verdadera (ver la tabla de verdad de ) pues x X es falso para cualquier x. De donde se concluye que X Y. En particular, X Y y Y X ; probándose que X = Y.

14 8 Capítulo 1. Nociones de conjuntos, funciones y categorías Observación. Según lo demostrado en existe un único conjunto vacío, el cual denotaremos por. Además se tiene que es subconjunto de cualquier conjunto. Definición Sea X un conjunto. El conjunto potencia de X es el conjunto (X) cuyos elementos son todos los subconjuntos de X. Esto es, (X) := {E E X}. Ejemplos. ( ) = { }, ({1}) = {, {1}} y ({1, 2}) = {, {1}, {2}, {1, 2}}. Se puede probar, usando la fórmula del binomio de Newton, que: si el conjunto X tiene n elementos, entonces el conjunto potencia (X) tiene 2 n elementos Operaciones con conjuntos Unión de conjuntos Definición Sean X, Y conjuntos. La unión X Y, de X con Y, es el conjunto cuyos elementos pertenecen a X o a Y. Esto es, X Y := {z z X z Y }. Ejemplos. {1, 2, 3} {2, 5} = {1, 2, 3, 5} y {1, 2, 3} = {1, 2, 3}. Proposición Sean E, F y G conjuntos. Entonces, las siguientes condiciones se satisfacen. (a) E E = E. (b) E F = F E. (c) (E F ) G = E (F G). (d) F E si y sólo si F E = E. (e) E = E. Demostración. Las pruebas de (a) y (b) se dejan como ejercicio al lector. (a) Veamos primero que (E F ) G E (F G). En efecto, sea x (E F ) G. Luego x E F o bien x G. Analicemos en lo que sigue las distintas posiblidades. Si x G entonces x F G, y por lo tanto x E (F G). Supongamos ahora que x E F. Si x F entonces x F G, y así se tiene que x E (F G). Finalmente, si x E, es inmediato que x E (F G); probándose la inclusión (E F ) G E (F G). La otra inclusión E (F G) (E F ) G se prueba análogamente. (d) ( ) Sea F E. Si x F E, se tiene que x F o bien x E, en particular, x E pues F E; probándose que F E E. Ahora bien, si x E, es claro que x F E. Por lo tanto E F E. ( ) Sea F E = E. Si x F entonces x F E = E. De donde F E. (e) Es consequencia inmediata de (d), ya que E.

15 1.3. Operaciones con conjuntos 9 Ejercicio (a) Sean A = {{1, 2, 3}, 1}, B = {2, 3, 4}, C = {1, 2, 3} y D = {{2, 3}, 1, 9}. Realice las operaciones: A B, A C, A D, B C y B D. (b) Pruebe que, para dos conjuntos cualesquiera X, Y, se tiene que (X) (Y ) (X Y ). De un ejemplo de dos conjuntos X y Y tales que (X) (Y ) (X Y ). Definición Sean X 1, X 2,, X n conjuntos. La unión n i=1 X i de tales conjuntos, es el conjunto de los elementos x para los cuales existe un elemento i {1, 2,, n} tal que x X i. Esto es, n X i := {x i ( x X i )}. i=1 Ejemplos. Sean X 1 = {1, 2}, X 2 = {1, 3, 5}, X 3 = {7, 6, 2, 1}. Luego su unión es 3 i=1 X i = {3, 5, 7, 6, 2, 1}. Ejercicio Sean X 1, X 2,, X n conjuntos. Pruebe lo siguiente. (a) n i=1 X i = ( n 1 i=1 X i) X n, n 2. (b) Si X 1 = X 2 = = X n = E entonces n i=1 X i = E. (c) Si X i X i+1 para 1 i n 1, entonces n i=1 X i = X n. (d) n i=1 (X i) ( n i=1 X i). Intersección de conjuntos Definición Sean X, Y conjuntos. La intersección X Y, de X con Y, es el conjunto cuyos elementos pertenecen a X y a Y. Esto es, X Y := {z z X z Y }. Ejemplos. {1, 2, 3, 4, 5} {2, 5} = {2, 5}, y {1, 2, 3} =. {1, 2, 3, {4}} {{1}, {2, 3}} = Proposición Sean E, F y G conjuntos. Entonces, las siguientes condiciones se satisfacen. (a) E E = E. (b) E F = F E. (c) (E F ) G = E (F G). (d) F E si y sólo si F E = F. (e) E =.

16 10 Capítulo 1. Nociones de conjuntos, funciones y categorías (f) E (F G) = (E F ) (E G). (g) E (F G) = (E F ) (E G). Demostración. Solo haremos el inciso (f), los otros se dejan a cargo del lector. Probemos primero que E (F G) (E F ) (E G). En efecto, sea x E (F G). Luego x E o bien x F G. Analizando por casos, tenemos: si x E entonces x E F y x E G; y por lo tanto x (E F ) (E G). Ahora bien, si x F G, tenemos que x F y x G. Luego x E F y x E G, de donde también se tiene que x (E F ) (E G). Veamos ahora que (E F ) (E G) E (F G). En efecto, sea x (E F ) (E G). Luego x E F y x E G. Analizando por casos, tenemos: si x E, es inmediato que x E (F G). Podemos asumir que x E. Por lo tanto x F y x G, esto es x F G; y así obtenemos también que x E (F G). Ejercicio (a) Sean A = {{1, 2, 3}, 1}, B = {2, 3, 4}, C = {1, 2, 3} y D = {{2, 3}, 1, 9}. Realice las operaciones: A B, A C, A D, B C y B D. (b) Pruebe que, para dos conjuntos cualesquiera X, Y, se tiene que (X) (Y ) = (X Y ). Definición Sean X 1, X 2,, X n conjuntos. La intersección n i=1 X i de tales conjuntos, es el conjunto de los elementos x para los cuales x X i para todo i {1, 2,, n}. Esto es, n X i := {x i ( x X i )}. i=1 Ejemplos. Sean X 1 = {1, 2}, X 2 = {1, 2, 3, 5}, X 3 = {7, 6, 2, 1}. Luego su intersección es 3 i=1 X i = {2, 1}. Ejercicio Sean X 1, X 2,, X n conjuntos. Pruebe lo siguiente. (a) n i=1 X i = ( n 1 i=1 X i) X n, n 2. (b) Si X 1 = X 2 = = X n = E entonces n i=1 X i = E. (c) Si X i X i+1 para 1 i n 1, entonces n i=1 X i = X 1. (d) n i=1 (X i) = ( n i=1 X i). Diferencia de conjuntos Definición Sean X, Y conjuntos. La diferencia X Y, de X con Y, es el conjunto de los elementos de X que no están en Y. Esto es, X Y := {z z X z Y }.

17 1.3. Operaciones con conjuntos 11 Ejemplos. {1, 2, 3} {2, 5} = {1, 3}, {1, 2, 3} {1, 2, 3} = y {1, 2, 3} = {1, 2, 3}. Proposición Sean E, F y G conjuntos. Entonces, las siguientes condiciones se satisfacen. (a) E E =. (b) E = E. (c) E =. (d) (E F ) G E (F G). Demostración. Probaremos solamente el inciso (d), los otros se dejan a cargo del lector. Sea x (E F ) G. Luego x E F y x G, por lo tanto x E, x F y x G. Ahora bien, si x F, se tiene que x F G; y como x E, se concluye que x E (F G). Definición Consideremos un conjunto fijo U, respecto del cual se está desarrollando una teoría determinada, y consideremos A (U). Al conjunto U se le llama referencial o universal y el complemento C U (A) de A es el conjunto U A. Esto es, C U (A) := {x U x A}. Proposición Sean U un conjunto universal y A, B (U). Entonces, las siguientes condiciones se satisfacen. (a) C U (C U (A)) = A. (b) C U (A) A = U. (c) C U (A) A =. (d) C U (U) = y C U ( ) = U. (e) C U (A B) = C U (A) C U (B). (f) C U (A B) = C U (A) C U (B). (g) A B C U (B) C U (A). (h) A B = A C U (B). Demostración. Para dar una idea de como se puede usar la Lógica matemática, emplearemos la lista de leyes (tautologías) que dimos al final de la Sección 1.1. (a) Es consecuencia de la Ley de la doble negación. En efecto, sea x U. Luego, tenemos la siguiente cadena de equivalencias: x A ( (x A)) (x A) (x C U (A)) x C U (C U (A)). (b) Es consecuencia de la Ley del tercero excluido. En efecto, por dicha ley, sabemos que para cualquier x U, la expresión (x A) (x A) es

18 12 Capítulo 1. Nociones de conjuntos, funciones y categorías verdadera. Luego, se tiene la siguiente cadena de equivalencias: x U ((x A) (x A)) (x A x A) (x A C U (A)). (c) Es consecuencia de la Ley de contradicción. En efecto, por dicha ley, sabemos que para cualquier x U, la expresión (x A) (x A) es falsa, y genera por lo tanto al conjunto vacío. (d) Es consecuencia inmediata de (e), (f) Son consecuencia de las Leyes de De Morgan. Haremos solo una, pues la otra es análoga. Sea x U. Luego, se tiene la siguiente cadena de equivalencias: x C U (A B) (x A B) (x A x B) (x A x B) x C U (A) C U (B). (g) Es consecuencia de la primera Ley de transposición. En efecto, sea x U. Luego, se tiene la siguiente cadena de equivalencias: (x A x B) ( (x B) (x A)) (x C U (B) x C U (A)). (h) Sea x U. Luego, se tiene la siguiente cadena de equivalencias: (x A B) (x A x B) (x A x C U (B)) (x A C U (B)). Ejercicio Sean A, B y C conjuntos. Pruebe lo siguiente. (a) A (B C) = (A B) (A C). (b) A (B C) = (A B) (C A). (c) A (B C) = (A B) (A C). Definición Sean A y B conjuntos. La diferencia simétrica de A y B es el conjunto A B := (A B) (A B). Proposición Sean U un conjunto universal y A, B (U). Entonces, las siguientes condiciones se satisfacen. (a) A B = (A B) C U (A B). (b) A B = (A C U (B)) (C U (A) B). Demostración. (a) x A B ((x A B) (x A B)) x (A B) C U (A B). (b) Usaremos y el inciso anterior. En efecto A B = (A B) C U (A B) = [(A B) C U (A)] [(A B) C U (B)] = [(A C U (A)) (B C U (A))] [(A C U (B)) (B C U (B))] = [ (B C U (A))] [(A C U (B)) ] = (B C U (A)) (A C U (B)). Ejercicio Sean A, B y C conjuntos. Pruebe lo siguiente. (a) A B = B A. (b) A (B C) = (A B) C. (c) A = A y A A =. (d) A B = A = B.

19 1.3. Operaciones con conjuntos 13 (e) (A B) (B C) = (A B C) (A B C). (f) (A B) C = (A C) (B C). Uniones e intersecciones generalizadas En esta sección, U denotará a un conjunto universal que consideraremos fijo. Introduciremos el concepto de unión e intersección de un conjunto de partes del conjunto universal, i. e. de F (U). Definición Sea F (U). La unión e intersección del conjunto F de partes de U son respectivamente X := {x U X F (x X)}, X := {x U X F (x X)}. X F X F Proposición Sea F (U). Entonces las siguientes condiciones se satisfacen. (a) X F X y X F X son subconjuntos de U. (b) Si F = {X 1, X 2,, X n }, entonces X F X = n i=1 X y X F X = n i=1 X. (c) Si F = entonces X F X = y X F X = U. Demostración. Probaremos solamente el último inciso, pues los dos primeros son inmediatos de las definiciones. Sea F =. Si X F X, se tiene que existe X F y por lo tanto F no es vacío, contradiciendo que F = ; lo cual prueba que X F X =. Por otro lado, para probar que X F X = U, es suficiente ver que U X F X. Ahora bien, para esto último, hay que ver que la proposición y ( y U y X F X) es verdadera. Sea y U, veamos que y X F X es verdadera, o equivalentemente, que y X F X es falsa. Para ello, tenemos la siguiente cadena de equivalencias: y X F X (y X F X) ( X F ( y X )) X F ( y X ). Por lo tanto, dado que la proposición X F ( y X ) es falsa ( pues F = ), se tiene que y X F X también lo és. Ejemplos. Sean U = R y F = {[ 1 n, n ] n N+ }. En tal caso tenemos que X F X = (0, 2] y X F X = {1}. Proposición Sea F (U). Entonces, las siguientes condiciones se satisfacen. (a) C U ( X F X) = X F C U(X). (b) C U ( X F X) = X F C U(X).

20 14 Capítulo 1. Nociones de conjuntos, funciones y categorías Demostración. Probaremos solo el primer inciso, pues el segundo se prueba de manera análoga. Sea x U. Luego, se tiene la siguiente cadena de equivalencias: x C U ( X F X) (x X F X) ( X F ( x X) ) X F ( x X ) X F ( x C U (X) ) x X F C U(X). Ejercicio Sean F (U) y Y U. Pruebe que Y ( X F X) = X F (Y X) y Y ( X F X) = X F (Y X). Producto cartesiano Definición Sean X un conjunto y a, b X. El par ordenado (a, b) es un elemento del conjunto potencia ( (X)) y se define como: (a, b) := {{a}, {a, b}}. Observación. (1) (a, a) = {{a}, {a, a}} = {{a}}. (2) Si a b entonces (a, b) (b, a). En efecto, sea a b; luego {b} {{b}, {a, b}} = (b, a) y sin embargo {b} {{a}, {a, b}} = (a, b). Proposición Sean X un conjunto y a, b, a, b X. Entonces, (a, b) = (a, b ) si y sólo si a = a y b = b. Demostración. ( ) Sea (a, b) = (a, b ), esto es, {{a}, {a, b}} = {{a }, {a, b }}. Si a = b, se tiene que (a, b) = {{a}} y por lo tanto a = a = b, de donde se obtiene lo deseado pues a = b. Supongamos ahora que a b. Luego (a, b) y (a, b ) tienen cada uno dos elementos pues son iguales. Por lo tanto, como {a} {a, b } (el primero tiene un elemento y el segundo dos), concluimos que {a} = {a } y {a, b} = {a, b }. Así, se obtiene que a = a y b = b. ( ) Sean a = a y b = b. Luego (a, b) = {{a}, {a, b}} = {{a }, {a, b }} = (a, b ). Definición Sean A y B conjuntos. El producto A B, de A por B, es el conjunto A B := {(a, b) ( (A B)) a A b B}. Proposición Sean A, B y C conjuntos. Entonces, las siguientes condiciones se satisfacen. (a) A B = si y sólo si A = o bien B =. (b) (A B) C = (A C) (B C). (c) (A B) C = (A C) (B C). (d) (A B) C = (A C) (B C).

21 1.3. Operaciones con conjuntos 15 Demostración. (a) ( ) Sea A B =. Si los conjuntos A y B no son vacíos, existen a A y b B. Por lo tanto (a, b) A B = ; lo cual es absurdo, por lo tanto, uno de los dos conjuntos A ó B es vacío. ( ) Sea A = o bien B =. Luego, la proposición a A b B es siempre falsa, por lo tanto A B =. (b) Sea z = (x, y) ( (A B C)). Luego, se tiene la siguiente cadena de equivalencias: z = (x, y) (A B) C ((x A B) (y C)) ([x A x B] (y C)) ([x A y C] [x B y C]) ((z A C) (z B C)) z (A C) (B C). (c) y (d), A cargo del lector. Definición Sean A, B y C conjuntos. Definimos el producto A B C := (A B) C, y denotaremos, por simplicidad, al elemento ((a, b), c) (A B) C por la terna (a, b, c). De esta manera, A B C = {(a, b, c) a A, b B y c C}. Oservación. La definición de A B C, podría inducirnos a creer que (A B) C = A (B C), lo cual es falso. En general, como veremos más adelante, ambos conjuntos son isomorfos. n Definición Sean X 1, X 2,, X n conjuntos. El producto i=1 X i se n n introduce recursivamente como sigue: i=1 X i := X 1 si n = 1, y i=1 X i := n 1 ( i=1 X i) X n si n 2. Por simplicidad, diremos que los elementos del producto i=1 X i, son n-adas de la forma (x 1, x 2,, x n ). Esto n es, n i=1 X i = {(x 1, x 2,, x n ) i ( x i X i )}. Proposición Sean X 1, X 2,, X n conjuntos, x = (x 1, x 2,, x n ) y x = (x 1, x 2,, x n n) elementos del producto i=1 X i. Entonces, x = x si y sólo si x i = x i i. Demostración. Procederemos por inducción sobre n. Si n = 1, se tiene que x 1 = (x 1 ) = x = x = (x 1) = x 1. Sea n 2. Consideremos los elementos x := (x 1, x 2,, x n 1 ) y x := (x 1, x 2,, x n 1 n 1) en el producto i=1 X i. Luego (x, x n ) = x = x = (x, x n) de donde, por , se tiene que x = x y x n = x n. Finalmente, por hipótesis inductiva aplicada a los elementos del n 1 producto i=1 X i, concluimos que también x i = x i para toda i = 1, 2,, n 1. Ejercicio Sean X 1, X 2,, X n y C conjuntos. Pruebe que las siguientes condiciones se satisfacen. (a) n i=1 X i = si y sólo si i ( X i = ). (b) ( n i=1 X i) C = n i=1 (X i C). (c) ( n i=1 X i) C = n i=1 (X i C).

22 16 Capítulo 1. Nociones de conjuntos, funciones y categorías 1.4. Correspondencias Notación básica Definición Una correspondencia entre dos conjuntos A y B es una terna Γ = (G, A, B), donde G A B. Decimos que dos correspondencias Γ = (G, A, B) y Γ = (G, A, B ) son iguales, esto es Γ = Γ, si G = G, A = A y B = B. Observación. Sean Γ = (G, A, B) una correspondencia y (a, b) A B. (1) Si (a, b) G, diremos que b está en relación G con a, o también que b es un correspondiente de a por G. El conjunto G se dice que es la gráfica de la correspondencia Γ. (2) Para decir que b es un correspondiente de a por G, utilizaremos una de las siguientes notaciones: (a, b) G, a G b, b G(a), a G b, G : a b. (3) Frecuentemente, la correspondencia Γ = (G, A, B) será denotada por G : A B, o bien por A G B. El conjunto A se dice que es el dominio de Γ, y el conjunto B es el co-dominio de Γ. Definición Sea G : A B una correspondencia. Las proyecciones de G en A y en B, respectivamente, se definen como sigue: proy 1 (G) := {a A b B ( b G(a) )}, proy 2 (G) := {b B a A ( b G(a) )}. Ejemplos. (1) Sea G : R R la correspondencia dada por G = {(x, y) R 2 y = 3x + 4}. En tal caso proy 1 (G) = R = proy 2 (G). (2) Sea F : R R la correspondencia dada por F = {(x, y) R 2 y = 3x 2 + 4}. En tal caso proy 1 (G) = R y proy 2 (G) = [4, + ). (3) Sea H : R R la correspondencia dada por H = {(x, y) R 2 x 2 +y 2 1}. En tal caso proy 1 (G) = [ 1, 1] = proy 2 (G). (4) Sea G : A B, donde A = {1, 2, 3}, B = {1, 5} y G = {(1, 1), (1, 5), (2, 1)}. En tal caso, proy 1 (G) = {1, 2} y proy 2 (G) = B. (5) Las correspondencias del tipo G : A A se llaman relaciones y serán estudiadas con detalle más adelante. Por lo pronto, diremos que dar una correspondencia G : A A, es dar una relación G en A; y en tal caso, se prefiere la notación x G y (por sobre las otras) y se lee: x está en relación G con y. Por ejemplo, la relación de orden en R. (6) Dados los conjuntos A y B. Tenemos la correspondencia vacía : A B pues A B.

23 1.4. Correspondencias 17 Ejercicio Sean F, G : A B dos correspondencias. Pruebe que, para i = 1, 2, vale lo siguiente: (a) proy i (F G) proy i (F ) proy i (G). (b) proy i (F G) = proy i (F ) proy i (G). Definición Sean X 1, X 2,, X n conjuntos, y consideremos el producto X := n i=1 X i. Para cada i = 1, 2,, n, la i-esima proyección de X en X i es la correspondencia proy i : X X i definida por proy i := {(x, x i ) x = (x 1, x 2,, x i,, x n ) X}. Imagen de una correspondencia Definición Sea G : A B una correspondencia. (a) Si X A, la imagen de X por G es el conjunto G(X) := {y B x X ( y G(x) )} B. En caso el conjunto X tenga un solo elemento, i. e. X = {x}, por simplicidad, se escribe G(x) en lugar de G({x}). (b) Si F (A), la imagen de F por G es el conjunto G(F) := {G(X) X F} (B). Ejemplos. (1) Sea G : A B una correspondencia. Considere las proyecciones proy 1 : A B A y proy 2 : A B B. Dado que G A B, tenemos que las imágenes de G por dichas proyecciones, coinciden, respectivamente, con las proyecciones de G en A y en B (según la Definición 1.4.2). (2) Sea G : A B, con G = A B y A. En este caso, tenemos que G(X) = B para cualquier subconjunto no vacío X de A. (3) Sea G : A B una correspondencia, con A = N = B y G = A B. Consideremos X 1 = {1} y X 2 = {2}. Luego, tenemos que G(X 1 X 2 ) = G( ) = y G(X 1 ) G(X 2 ) = N N = N. Por otro lado, G(X 1 X 2 ) = N = G(X 1 ) G(X 2 ). Proposición Sean G : A B una correspondencia y F (A). Entonces, las siguientes condiciones se satisfacen. (a) G( X F X) = X F G(X). (b) G( X F X) X F G(X).

24 18 Capítulo 1. Nociones de conjuntos, funciones y categorías Demostración. (a) Sea y B. Luego, tenemos la siguiente cadena de equivalencias: y G( X F X) ( x X F X (y G(x))) X F ( x X (y G(x))) X F (y G(X)) y X F G(X). (b) Sea y B. Luego, tenemos la siguiente cadena de implicaciones: y G( X F X) ( x X F X (y G(x))) X F (x X y G(x)) X F (y G(X)) y X F G(X). Ejercicio Sea G : A B una correspondencia. Pruebe lo siguiente. (a) Si X Y A entonces G(X) G(Y ). (b) Si proy 1 (G) X A entonces G(X) = proy 2 (G). Correspondencia inversa Definición Sea Γ = (G, A, B) una correspondencia. (a) La correspondencia inversa de Γ es Γ 1 := (G 1, B, A), donde G 1 := {(b, a) B A (a, b) G}. (b) Dado un Y B, la imagen inversa (o preimagen) de Y por G es G 1 (Y ). Esto es, G 1 (Y ) = {x A y Y ( y G(x) )}. Ejemplos. (1) Sea G : A B una correspondencia, con A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 5} y G = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 2)}. Luego, la correspondencia inversa G 1 : B A está dada por G 1 = {(2, 1), (3, 1), (2, 2), (2, 3)}. En tal caso, se tiene que G 1 (2) = {1, 2, 3} = G 1 ({2, 3}). (2) Sea G : A B una correspondencia, con A = R = B y G = {(x, y) R 2 y = x 2 }. La correspondencia inversa G 1 : B A está dada por G 1 = {(x, y) R 2 x = y 2 }. Observe que G(R) = [0, + ) = G 1 (R). (3) Sea G : A B una correspondencia, con A = R = B y G = {(x, y) R 2 x y}. La correspondencia inversa G 1 : B A está dada por G 1 = {(x, y) R 2 y x}. En tal caso, G G 1 = {(x, y) R 2 x = y}. Composición de correspondencias Definición Sean G 1 : A 1 B 1 y G 2 : A 2 B 2 correspondencias. La composición de G 1 con G 2 es la correspondencia G 2 G 1 : A 1 B 2, donde G 2 G 1 := {(x, z) A 1 B 2 y B 1 A 2 ( (x, y) G 1 (y, z) G 2 )}. Por simplicidad, escribiremos también G 2 G 1 en lugar de G 2 G 1.

25 1.4. Correspondencias 19 Ejemplos. Sean G 1 : A 1 B 1 y G 2 : A 2 B 2 correspondencias. (1) Sean A 1 = {2, 3, 6}, B 1 = {0, 2, 4, 5, 7, 8}, A 2 = {0, 2, 4, 5, 7}, B 2 = {2, 3, 4, 8, 9, 10}, G 1 = {(2, 5), (3, 4), (6, 2), (3, 0), (2, 7)} y G 2 = {(4, 8), (5, 3), (0, 9), (2, 2), (7, 4), (5, 10)}. Dado que G 1 (2) = {5, 7}, G 2 (5) = {3, 10} y G 2 (7) = {4}, tenemos que G 2 G 1 (2) = {3, 10, 4}. Análogamente, se puede ver que G 2 G 1 (3) = {8, 9} y G 2 G 1 (6) = {2}. De donde obtenemos finalmente que G 2 G 1 = {(2, 3), (2, 10), (2, 4), (3, 8), (3, 9), (6, 2)}. (2) Sean A 1 = A 2 = B 1 = B 2 = R, G 1 = {(x, y) R 2 y = 2x} y G 2 = {(z, w) R 2 w = z 3 }. Calcularemos, primeramente, la composición x G1 (y = z) G2 w : G 2 G 1 = {(x, w) R 2 y = 2x, w = y 3 } = {(x, w) R 2 w = 8x 3 }. Por otro lado, la composición z G2 (w = x) G1 y nos dá: G 1 G 2 = {(z, y) R 2 y = 2w, w = z 3 } = {(z, y) R 2 y = 2z 3 }. Observe que G 2 G 1 G 1 G 2 pues (1, 8) G 2 G 1 y (1, 8) G 1 G 2. Ejercicio Sean G 1 : A 1 B 1 y G 2 : A 2 B 2 correspondencias. Pruebe que: (a) Si B 1 A 2 = entonces G 2 G 1 =. (b) proy 1 (G 2 G 1 ) = {x proy 1 (G 1 ) G(x) proy 1 (G 2 ) }. Proposición Sean G 1 : A 1 B 1 y G 2 : A 2 B 2 correspondencias. Entonces (G 2 G 1 ) 1 = G 1 1 G2 1. Demostración. Sea G 3 := G 2 G 1 y (z, x) B 2 A 1. Luego, se tiene la siguiente cadena de equivalencias: (z, x) G 1 3 (x, z) G 3 y B 1 A 2 ( (x, y) G 1 (y, z) G 2 ) y B 1 A 2 ( (z, y) G 1 2 (y, x) G 1 1 ) (z, x) G 1 1 G 1 2. Ejercicio Considere las correspondencias G i : A i B i, con i = 1, 2, 3, donde A i = B i = N, siendo G 1 = {(x, y) N 2 y = 3x + 3}, G 2 = {(t, z) N 2 z = 2t+1} y G 3 = {(w, u) N 2 u = 2w 2 }. Calcule, G 3 G 2, (G 3 G 2 ) G 1, G 2 G 1 y G 3 (G 2 G 1 ). Proposición Sean G 1 : A 1 B 1, G 2 : A 2 B 2 y G 3 : A 3 B 3 correspondencias. Entonces (G 3 G 2 ) G 1 = G 3 (G 2 G 1 ). Demostración. Sea (x, w) A 1 B 3. Luego, tenemos la siguiente cadena de equivalencias: (x, w) (G 3 G 2 ) G 1 ( y B 1 A 2 (x, y) G 1 (y, w) G 3 G 2 ) ( y B 1 A 2 z B 2 A 3 (x, y) G 1 (y, z) G 2 (z, w) G 3 ) ( z B 2 A 3 (x, z) G 2 G 1 (z, w) G 3 ) (x, w) G 3 (G 2 G 1 ). Lo cual muestra la afirmación.

26 20 Capítulo 1. Nociones de conjuntos, funciones y categorías Ejercicio Sean G 1 : A 1 B 1 y G 2 : A 2 B 2 correspondencias. Diga si el siguiente enunciado es falso o verdadero: Para cualquier subconjunto X de A 1, se tiene que G 2 G 1 (X) = G 2 (G 1 (X)) Funciones (morfismos de conjuntos) Notación básica Definición Una función (mapeo, asignación, morfismo de conjuntos) entre conjuntos A y B es una correspondencia f : A B que satisface la siguiente condición: x A! y B ( y f(x) ). Observación. Sea f : A B una correspondencia. (1) La correspondencia f : A B es una función si y sólo si se satisfacen las siguientes dos condiciones: (a) proy 1 (f) = A y (b) ( (x, y 1 ) f (x, y 2 ) f ) y 1 = y 2. (2) Si A = tenemos una única función de A en B, esto es, la función vacía : B. (3) Si A y B =, no existen funciones de A en B pues proy 1 (f) = A. (4) Sean f : A B una función y x A. En este caso, el conjunto f(x) tiene un solo elemento, esto es, f(x) = {y} con y B. Por simplicidad, escribiremos f(x) = y (en lugar de f(x) = {y}) y diremos que y es el valor de f en el elemento x A. Por lo tanto, con esta notación, se tiene que f = {(x, y) A B y = f(x)}. (5) Sea f : A B una función. Dado un elemento (a, b) A B, se tienen las siguientes equivalencias: a f 1 (b) (b, a) f 1 (a, b) f f(a) = b. (6) Sea f : A B una función, X A y Y B. Usando el inciso anterior, tenemos que f(x) = {y B x X ( y = f(x) )} y f 1 (Y ) = {x A f(x) Y }. (7) Sea f : A B una función. La imagen de f en B es el conjunto Im (f) := f(a). Ejemplos. (1) La correspondencia f : A B, donde A, B tiene al menos dos elementos y f = A B, no es una función pues existen b 1, b 2 B y a A tales que b 1 b 2 y (a, b 1 ), (a, b 2 ) f.

27 1.5. Funciones (morfismos de conjuntos) 21 (2) Sean X 1, X 2,..., X n conjuntos, y consideremos el producto X := n i=1 X i. Para cada i = 1, 2,, n, la i-ésima proyección proy i : X X i, definida como proy i := {(x, x i ) x = (x 1, x 2,, x i,, x n ) X} es una función. Esto es, proy i (x) = x i x = (x 1, x 2,, x i,, x n ) X. (3) Para cada conjunto A, la correspondencia 1 A : A A, con 1 A := {(x, y) A A y = x}, es una función; y se le conoce como la función identidad en A. Esto es, 1 A (x) = x x A. (4) Sean A, B conjuntos y b B. La correspondencia c b : A B, con c b := {(x, y) A B y = b}, es una función; y se le conoce como la función constante en A. Esto es, c b (x) = b x A. (5) Sean X, A conjuntos tales que X A. La correspondencia In X : X A, con In X := {(x, y) X A y = x}, es una función; y se le conoce como la inclusión de X en A. Esto es, In X (x) = x x A. Observe que, si X = A, se tiene que 1 A = In X. Proposición Sean f : A B una función y F (B). Entonces f 1 ( Y F Y ) = Y F f 1 (Y ). Demostración. Dado que f 1 : B A es una correspondencia, tenemos por que f 1 ( Y F Y ) Y F f 1 (Y ). Veamos que la otra inclusión es cierta para el caso de preimagenes de funciones. En efecto, para x A se tiene la siguiente cadena de implicaciones: x Y F f 1 (Y ) Y F ( x f 1 (Y )) Y F ( f(x) Y ) f(x) Y F Y x f 1 ( Y F Y ). Composición de funciones Definición Sean f : A B y g : C D funciones. La composición de f con g estará definida solo para B = C. En tal caso, la composición g f : A D es la composición de f y g como correspondencias. Proposición Sean f : A B y g : B C funciones. Entonces, las siguientes condiciones se satisfacen. (a) La composición g f : A C es una función. (b) (g f)(x) = g(f(x)) x A. Demostración. Sea x A. Luego, de la definición de composición de correspondencias, tenemos la igualdad (g f)(x) = {z C u B ( (x, u) f (u, z) g )}; dado que f y g son funciones, obtenemos que f(x) = u y g(u) = z. Luego (g f)(x) = g(f(x)) pues z = g(u) = g(f(x)). Definición Sean f : A B una función y X A. La restricción f X de f en X es la composición de funciones X In X A f B, donde In X : X A es la inclusión, esto es f X := f In X.

28 22 Capítulo 1. Nociones de conjuntos, funciones y categorías Ejemplos. (1) Sean f : A B una función y 1 A : A A, 1 B : B B las identidades. Luego, se tiene que f 1 A = f = 1 B f. (2) Sean f : A B y g : B C funciones. Entonces, para cualquier subconjunto X A, se tiene que g (f X ) = (g f) X. En efecto, usaremos que la composición de correspondencias es asociativa. De donde se tiene (g f) X = (g f) In X = g (f In X ) = g f X. Funciones inyectivas, suryectivas y biyectivas Definición Sea f : A B una función. Decimos que: (a) f es inyectiva (monomorfismo de conjuntos) si (x 1, x 2 ) A 2 ( f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 ). (b) f es suryectiva (suprayectiva, sobreyectiva, epiyectiva, epimorfismo de conjuntos) si Im (f) = B. (c) f es biyectiva ( una biyección, isomorfismo de conjuntos) si f es inyectiva y suryectiva. Se dice que dos conjuntos A y B son isomorfos (como conjuntos), i. e. A B, si existe un función biyectiva (isomorfismo) f : A B. Ejemplos. (1) La función f : R R, con y = f(x) = 2x+1, es biyectiva. En efecto, es inyectiva pues f(x 1 ) = f(x 2 ) 2x = 2x x 1 = x 2. Por otro lado, sea b R, veamos que x R tal que b = f(x). Para ello, tenemos que resolver la ecuación b = 2x+1 en términos de x. Resolviendo dicha ecuación, se tiene que x = b 1 2 R. Luego f( b 1 b 1 2 ) = 2( 2 )+1 = b. (2) La función f : R R, con y = f(x) = x 2, no es inyectiva ni suryectiva. En efecto, dado que f( 1) = f(1) se tiene que f no es inyectiva. Por otro lado, se sabe que x R ( x 2 0 ). Luego, la ecuación x 2 = 1 no tiene solución en R, lo cual prueba que f no es suryectiva pues f 1 ( 1) =. (3) La función identidad 1 A : A A es biyectiva. (4) La inclusión In X : X A es inyectiva. Mas aún, dicha función es suryectiva (y por lo tanto biyectiva) si y sólo si X = A. (5) Sea A un conjunto no vacío y b A. La función ϕ b : A A {b}, con ϕ b (x) := (x, b) es una biyección. (6) Sean A, B y C conjuntos. La función ϕ : (A B) C A (B C), dada por ϕ((a, b), c)) := (a, (b, c)), es biyectiva. (7) Sean X 1, X 2,, X n conjuntos no vacíos. Para cada i = 1, 2,, n, la i-ésima proyección proy i : n i=1 X i X i, dada por proy i (x) = x i x = (x 1, x 2,, x i,, x n ) n i=1 X i, es suryectiva.

29 1.5. Funciones (morfismos de conjuntos) 23 Teorema Sea f : A B una función. Entonces, las siguientes condiciones son equivalentes. (a) f : A B es inyectiva. (b) b B f 1 (b) tiene a lo sumo un elemento. (c) Existe una función g : B A tal que gf = 1 A. (d) Si α, β : C A son funciones tales que fβ = fα, entonces β = α. Demostración. (a) (b) Sea b B. Supongamos que f 1 (b) tiene al menos dos elementos. Por lo tanto, existen a 1, a 2 f 1 (b) con a 1 a 2 ; lo cual contradice que f es inyectiva pues f(a 1 ) = b = f(a 2 ). Por lo tanto f 1 (b) tiene a lo sumo un elemento. (b) (c) Por hipótesis, para cada b f(a) existe un único a b A tal que f(a b ) = b. Fijemos un elemento a 0 A. Definimos ahora una función g : B A como sigue: g(y) := { a b a 0 si y = b f(a), si y B f(a). Sea a A. Dado que b := f(a) f(a), tenemos que a b = a. Por lo tanto gf(a) = g(b) = a b = a, probándose que gf = 1 A. (c) (d) Supongamos que existe una función g : B A tal que gf = 1 A. Sean α, β : C A funciones tales que fβ = fα. Luego β = 1 A β = (gf)β = g(fβ) = g(fα) = (gf)α = 1 A α = α. (d) (a) Sean x 1, x 2 A tales que f(x 1 ) = f(x 2 ). Definamos las funciones α, β : {0} A, donde α(0) := x 1, y β(0) := x 2. Luego, tenemos que: f(x 1 ) = f(x 2 ) fα = fβ α = β x 1 = x 2. Ejercicio Sea f : A B una función. Pruebe que las siguientes condiciones son equivalentes. (a) f : A B es suryectiva. (b) b B f 1 (b). (c) Existe una función g : B A tal que fg = 1 B. (d) Si α, β : B C son funciones tales que βf = αf entonces β = α. Proposición Sean f : A B y h, g : B A funciones tales que fg = 1 B y hf = 1 A. Entonces f : A B es biyectiva y además g = h = f 1. Demostración. Por y 1.5.8, se tiene que f es biyectiva. Por otro lado g = 1 A g = (hf)g = h(fg) = h1 B = h. Veamos, finalmente que f 1 = g. En efecto, sea b B. Por ser f biyectiva, obtenemos que f 1 (b) = a A, esto es f(a) = b. Luego f(g(b)) = 1 B (b) = b = f(a), y como f es inyectiva, concluimos que g(b) = a = f 1 (b); probándose que g = f 1.

30 24 Capítulo 1. Nociones de conjuntos, funciones y categorías Corolario Sea f : A B una función. Entonces, las siguientes condiciones son equivalentes. (a) f : A B es biyectiva. (b) b B f 1 (b) tiene solo un elemento. (c) f 1 : B A es una función. (d) Existe una función t : B A tal que tf = 1 A y ft = 1 B. (e) Existen funciones h, g : B A tales que hf = 1 A y fg = 1 B. Demostración. A cargo del lector. Proposición Sean f : A B una función y F (A). Si f es inyectiva entonces f( X F X) = X F f(x). Demostración. Supongamos que la función f es inyectiva. Dado que f : A B es, en particular, una correspondencia, sabemos por que f( X F X) X F f(x). Probaremos la otra inclusión. Sea y B. Luego, usando que f es inyectiva (en la tercera implicación), se tiene la siguiente cadena de implicaciones: y X F f(x) X F ( y f(x) ) X F α X X ( y = f(α X ) ) α X F X ( y = f(α) ) y f( X F X). Ejercicio Sean f : A B y g : B C funciones. Pruebe que: (a) Si f y g son inyectivas, entonces gf es inyectiva. (b) Si f y g son suryectivas, entonces gf es suryectiva. (c) Si gf es inyectiva, entonces f es inyectiva. (d) Si gf es suryectiva, entonces g es suryectiva Familias de elementos Notación básica Definición Sean X y I conjuntos. Una función f : I X se dice que es una familia de elementos en X indexada por el conjunto I. En tal caso, se suele escribir f = (x i ) i I o bien f = {x i } i I en lugar de f = {(i, x i ) I X f(i) = x i }. El conjunto de valores de dicha familia es f(i) = {x i X i I}. Para el caso en que X = (W ), diremos que f : I X es una familia de subconjuntos de W. Proposición Sean (x i ) i I y (z i ) i I familias de elementos en X. Entonces, (x i ) i I = (z i ) i I si y sólo si x i = z i i I.

31 1.6. Familias de elementos 25 Demostración. Sabemos que (x i ) i I = {(i, x i ) I X f(i) = x i } y (z i ) i I = {(i, z i ) I X g(i) = z i }, donde f, g : I X son las funciones que definen la respectiva familia de elementos. Luego, por , concluimos que (x i ) i I = (z i ) i I x i = z i i I. Observación. Sea (x i ) i I una familia de elementos en X. (1) La función θ : I (x i ) i I, dada por θ(i) = (i, x i ), es biyectiva. (2) La función ϕ : (x i ) i I {x i X i I}, dada por ϕ((i, x i )) = x i, es siempre suryectiva; y no necesariamente inyectiva. Por ejemplo, en el caso de familias constantes, esto es x i = x i I, se tiene que el conjunto de valores de (x i ) i I es {x} (un solo elemento); en cambio (como vimos en (1)) la familia (x i ) i I tiene tantos elementos como el conjunto I. (3) Si el conjunto de índices I es el conjunto N de los números naturales, la familia (x i ) i I se dice que es una sucesión de elementos en X ( o de subconjuntos de W, en el caso X = (W )). (4) En caso I = {j, j + 1,, n}, escribiremos también (x i ) n i=j (respectivamente, {x i } n i=j ) para referirnos a (x i) i I (respectivamente, {x i } i I ). (5) Un subconjunto Z de (x i ) i I se dice que es una subfamilia de (x i ) i I. En tal caso, Z = (x i ) i J, para algún subconjunto J de I. Uniones e intersecciones de familias de conjuntos Definición Sea {X i } i I una familia de subconjuntos de X. La unión y la intersección de dicha familia se definen como sigue: X i := {x X i I ( x X i )}. i I X i := {x X i I ( x X i )} y i I Observación. Sea {X i } i I una familia de subconjuntos de X. Consideremos el conjunto de valores F := {X i (X) i I} de la familia {X i } i I. Dado que i I X i = Z F Z y i I X i = Z F Z, tenemos que valen, para las familias de conjuntos, los resultados probados en las uniones e intersecciones generalizadas. En particular, si I = se tiene que i I X i = y i I X i = X. Ejercicio Sea {G i : A B} i I una familia de correspondencias entre conjuntos A y B. Considere las correspondencias i I G i : A B y i I G i : A B. Pruebe lo siguiente: (a) X (A) ( i I G i)(x) = i I G i(x). (b) x A ( i I G i)(x) = i I G i(x). Ejercicio Sean {A i } i I y {B i } i J familias de subconjuntos de X. Pruebe las siguientes igualdades.

32 26 Capítulo 1. Nociones de conjuntos, funciones y categorías (a) ( i I A i) ( i J B j) = (i,j) I J (A i B j ). (b) ( i I A i) ( i J B j) = (i,j) I J (A i B j ). (c) ( i I A i) ( i J B j) = (i,j) I J (A i B j ). (d) ( i I A i) ( i J B j) = (i,j) I J (A i B j ). Producto de una familia de conjuntos En lo que sigue, fijaremos un conjunto universal U y consideraremos familias de subconjuntos en U. Como U está fijo, solo hablaremos de familias de conjuntos, las cuales se entenderan como familias de subconjuntos de U. Definición Sea {X i } i I una familia de conjuntos. El producto de dicha familia es el conjunto X i f es una función y f(i) X i i I}. i I X i := {f : I i I Observación. Sea {X i } i I una familia de conjuntos. (1) Usando el lenguaje de las familias de elementos, el producto de dicha familia de conjuntos se puede escribir en términos de familias de elementos en i I X i, como sigue: X i = {x = (x i ) i I x i X i i I}. i I (2) Dado un elemento x = (x i ) i I i I X i, se dice que x i es la coordenada i-ésima de x. n (3) En el caso en que I = {1, 2,, n}, la función ϕ : i=1 X i i I X i, dada por ϕ((x 1, x 2,, x n )) := (x i ) n i=1, es un isomorfismo de conjuntos (biyectiva), la cual nos permite identificar (y así se hace en la práctica) a los dos productos. En efecto, por definición es claro que ϕ es suryectiva; y la inyectividad es consecuencia de y (4) Si I =, se tiene que i I X i = { }. En efecto, tenemos que I = = i I X i, y la función vacía : es la única que existe en este caso. (5) Si la la familia {X i } i I está formada por conjuntos con un solo elemento, i. e. X i = {a i } i I, el producto i I X i también tiene un solo elemento: la familia de elementos (a i ) i I. Definición Sea {X i } i I una familia de conjuntos. Para cada j I, la proyección en la j-ésima coordenada es la función Proy j : i I X i X j dada por Proy j ((x i ) i I ) := x j.

33 1.7. Relaciones binarias 27 Para probar, bajo ciertas condiciones, que la proyección Proy j : i I X i X j es suryectiva, necesitaremos hacer uso del llamado Axioma de la elección. El cual enunciamos a continuación. Otras formas equivalentes de dicho axioma, serán comentadas más adelante. Axioma de la Elección. Para todo conjunto F de subconjuntos no vacíos, existe una función, llamada función de elección, τ : F X F X tal que τ(x) X X F. Proposición Sea {X i } i I una familia de conjuntos no vacíos, i. e. X i i I. Entonces, para cada j I, la proyección Proy j : i I X i X j es suryectiva. Demostración. Sean j I y x j X j. Veamos que existe un elemento z i I X i tal que Proy j (z) = x j. En efecto, si I = {j}, se tiene que i I X i = {f : {j} X j f es una función } = {j} X j ; y así, eligiendo z := (j, x j ) se tiene que Proy j (z) = x j. Supongamos ahora que I {j} =. Usando el Axioma de la Elección, elegimos para cada i I {j} un elemento z i X i, y tomamos z j := x j. Luego tenemos que z := (z i ) i I i I X i y por consiguiente Proy j (z) = x j. Teorema Sea {X i } i I una familia de conjuntos. Entonces, se tiene la equivalencia X i = i I ( X i = ). i I Demostración. ( ) Sea i I X i =. Supongamos, por contradicción, que i I ( X i ). Luego, por 1.6.8, se tiene que cada j I, la proyección Proy j : i I X i X j es suryectiva, contradiciendo nuestra hipótesis i I X i =. Luego, la suposición que hicimos es falsa, de donde se tiene que i I ( X i = ). ( ) Sea i I ( X i = ) verdadera. Supongamos, por contradicción, que i I X i. Luego, existe un elemento (x i ) i I i I X i, y por lo tanto i I ( X i ); contradiciendo la hipótesis. Por lo tanto i I X i =. Ejercicio Pruebe que el Axioma de la Elección es equivalente a la validez de la proposición i I ( X i ) = i I X i Relaciones binarias Definición Una relación binaria, en un conjunto A, es una correspondencia R : A A. En este caso, dados (x, y) R, usaremos la notación xry diciendo que x está en relación R con y.