BASES CURRICULARES MATEMÁTICA MAYO 2013 UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN MINISTERIO DE EDUCACIÓN

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1 BASES CURRICULARES MATEMÁTICA MAYO 2013 UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN MINISTERIO DE EDUCACIÓN

2 BASES CURRICULARES 2013 Educación media Matemática INTRODUCCIÓN Comúnmente se asocia la matemática sólo con el aprendizaje de fórmulas, procedimientos y símbolos, con aprender nombres de formas y de operaciones de la aritmética, y se hace referencia a ella como un espacio de certeza, como en el álgebra o la geometría. Sin embargo, la matemática propone también explicaciones de fenómenos inciertos de la vida cotidiana, por lo que el pensamiento estadístico y probabilístico ha pasado a ser un componente destacado en ella. Así, la matemática es capaz de explicar figuras geométricas y sus movimientos en el espacio, relaciones numéricas entre distintos elementos, los patrones y las irregularidades, la continuidad y el cambio. Mirada con esta perspectiva, la matemática se manifiesta en variadas situaciones y, por sobre todo, en diferentes áreas del conocimiento. En este sentido, estas Bases se proponen formar un alumno que perciba la matemática en su entorno y que se valga de los conocimientos adquiridos como una herramienta útil para describir el mundo y para manejarse efectivamente en él. Llamamos a esto pensamiento matemático, que constituye uno de los principales focos a los cuales se orienta el currículum de esta asignatura. Esto tiene como propósito que reconozcan las aplicaciones de la matemática en diversos ámbitos, así como comprender diversas situaciones de la vida diaria y resolver problemas mediante ella. En este proceso, se fomenta una actitud positiva hacia la matemática y el trabajo en equipo, y se promueve la tolerancia y la creatividad en las soluciones propuestas. Por lo anterior, las bases curriculares de la asignatura contextualizan el uso de la matemática en la resolución de problemas. Estos corresponden a preguntas que surgen de situaciones cotidianas y de las ciencias. Con esto se busca, por un lado, que los estudiantes descubran la utilidad de las matemáticas en la vida real y, por otro, abrir espacios para conectar la matemática con otras asignaturas. En este contexto, muchas veces no es la solución a un problema matemático lo que más aporta al aprendizaje de los estudiantes, sino el proceso de búsqueda creativa de soluciones. Las habilidades comunicativas y argumentativas son centrales en este escenario. Las primeras, relacionadas con la capacidad de expresión clara de ideas, son muy importantes para comprender el razonamiento que hay detrás de cada problema resuelto o concepto comprendido. Las segundas, permiten a los estudiantes desarrollar una actitud reflexiva y abierta al debate de sus fundamentos. En ambos casos se fomentan el trabajo en equipo y la búsqueda de soluciones colaborativamente. Para lograr lo anterior, el currículum de Matemática enfatiza el tránsito entre los distintos niveles de representación, traduciendo situaciones de la vida cotidiana en lenguaje formal, o bien, utilizando símbolos matemáticos para resolver problemas o explicar situaciones concretas. Con esto se logra que las expresiones matemáticas tengan un sentido próximo para los estudiantes. Esta situación se ha abordado de dos formas. La primera es la inclusión del enfoque metafórico. Este consiste en partir de experiencias cercanas a los estudiantes para comprender conocimientos matemáticos, por ejemplo, explicar las funciones como una máquina que transforma los números, u ordenar los números en una recta y explicar la adición como pasos

3 hacia la derecha de la recta. Metaforizar permite, al menos, tres ventajas para el aprendizaje: relacionar el conocimiento intuitivo con una explicación formal de las situaciones, ligando niveles de representación concreto, pictórico y simbólico; potenciar la comprensión, memorización y explicación de las operaciones y conceptos matemáticos; y brindarle a las expresiones matemáticas un significado cercano. La segunda forma de abordar el pensamiento matemático, y en continuidad con el ciclo básico, es el énfasis en el modelamiento matemático. Este consiste en transferir la vida a un lenguaje formal, y sirve para explicar variados fenómenos y resolver problemas mediante la matemática. Es de esta forma que las ecuaciones, las funciones y la geometría cobran un sentido significativo para los estudiantes. El objetivo de la habilidad de modelamiento matemático es lograr que el estudiante construya una versión simplificada y abstracta de un sistema, usualmente más complejo, pero que capture los patrones claves y lo exprese mediante símbolos matemáticos. A través del modelamiento matemático los estudiantes aprenden a usar variadas formas para representar datos, así como a seleccionar y aplicar métodos matemáticos apropiados y las herramientas adecuadas para resolver problemas. En este proceso de comprender matemáticamente el mundo para resolver problemas, se ha puesto atención al desarrollo del razonamiento lógico de los estudiantes. En este ciclo se pretende que avancen progresivamente hacia el trabajo deductivo y el pensamiento abstracto, dándole sentido a sus experiencias a partir de premisas o símbolos matemáticos. Seleccionar, ordenar y clasificar consistentemente de acuerdo a criterios bien definidos, así como seguir reglas e inferir resultados, son centrales para el desarrollo de este tipo de razonamiento. Por otro lado, las bases de la asignatura promueven también el uso de TIC para realizar cálculos complejos, organizar la información, resolver problemas y comunicar resultados. Se pretende que los estudiantes sean capaces de utilizar una base de datos, obteniendo información útil de ella según sus propósitos, así como construir distintos tipos de gráficos para comunicar sus ideas y argumentos. Dado que el énfasis del currículum está puesto en la comprensión de las distintas operaciones matemáticas, el uso de TIC se concibe también como una herramienta que apoya las comprobaciones rápidas de cálculos, y la realización de una gran cantidad de operaciones o de operaciones con números muy grandes. Así, los estudiantes deben comprender y aplicar los conceptos involucrados antes de usar estos medios. Considerando el proceso de aprendizaje de la matemática, que relaciona constantemente las experiencias de los estudiantes con el conocimiento matemático, se espera que los estudiantes desarrollen una inclinación favorable hacia la disciplina. De la misma forman, las bases de la asignatura promueven la resolución colaborativa de problemas, por lo que también estimulan la capacidad de expresar y escuchar ideas de otros, así como la creatividad y la actitud reflexiva. Así, la asignatura de Matemática faculta al alumno a integrar el conocimiento matemático con otros tipos de conocimientos para sacar conclusiones y para enfrentar situaciones cotidianas de diferente complejidad. Para ello, la matemática entrega a los alumnos herramientas únicas y poderosas para entender el mundo. Estas herramientas abarcan el razonamiento lógico, el pensamiento abstracto y la habilidad de resolver problemas y modelar su entorno.

4 ORGANIZACIÓN CURRICULAR A. Habilidades En la educación media, en el desarrollo del pensamiento matemático están involucradas cuatro habilidades interrelacionadas: resolver problemas, representar, modelar y argumentar y comunicar. Todas ellas juegan un papel fundamental en la adquisición de nuevas destrezas y conceptos y en la aplicación de conocimientos en contextos diversos. Resolver problemas El objetivo de esta habilidad es lograr, en primer lugar, que el estudiante comprenda el problema que tiene que resolver: cuál es la incógnita?, cuáles son los datos?, cuáles son las condiciones?, es posible satisfacerlas?, son suficientes para determinar la incógnita?, son irrelevantes, o contradictorias? Luego, que diseñe un plan para resolverlo: se conoce un problema relacionado?, se puede replantear el problema?, se puede convertir en un problema más simple?, se pueden introducir elementos auxiliares? En este sentido, es importante que los estudiantes se aproximen de diferentes maneras al problema que están resolviendo y que apliquen y formulen distintas estrategias para resolverlo, evaluando constantemente las soluciones, ya sean parciales o totales, en función del contexto o de la ecuación obtenida. Un trabajo adecuado requiere confianza y autoestima, actitudes fundamentales para un aprendizaje efectivo de esta asignatura. Representar En la enseñanza media se pretende que los alumnos manejen una variedad de representaciones matemáticas y que transiten fluidamente entre ellas, específicamente, que extraigan información desde el entorno y la representen mediante diagramas, tablas y gráficos, que realicen representaciones de los datos de un problema, y que representen situaciones imaginadas por ellos, esto les ayudará a visualizar los elementos que están involucrados en diversas situaciones y realizar transformaciones de ellos, facilitando la resolución de los problemas. Modelar El objetivo de esta habilidad es lograr que el estudiante aplique, seleccione, modifique, evalúe y construya modelos de diversos ámbitos y contextos que involucren operaciones matemáticas en el sistema de los números reales, operaciones con expresiones algebraicas, análisis de datos, probabilidad de ocurrencia de eventos y sistemas geométricos. Durante el desarrollo de esta habilidad los estudiantes traducen sus propias palabras a lenguaje formal y viceversa, y descubren regularidades o patrones. A través del modelamiento matemático los estudiantes usan una variedad de representaciones y aplican métodos matemáticos apropiados y herramientas para resolver problemas del mundo real. Argumentar y comunicar Esta habilidad se relaciona con la descripción que hacen los alumnos de las situaciones del entorno mediante el lenguaje formal, con el descubrimiento de regularidades matemáticas y la comunicación de estas empleando símbolos matemáticos; con explicar soluciones propias de situaciones o problemas y de los procedimientos usados; con la formulación de sus propias preguntas para profundizar su conocimiento y comprensión de temas matemáticos; con la deducción matemática que hacen usando diferentes sistemas de representación; con la

5 comprobación de una solución y la fundamentación de su razonamiento; y con escuchar el razonamiento de otros para corregir errores. B. Ejes temáticos Los conceptos se presentan en cuatro ejes temáticos: 1. Números En este eje los estudiantes trabajan la comprensión de los números y de las operaciones con ellos, aplicándolos en la resolución de problemas. Específicamente, utilizan números naturales, enteros, racionales y reales en la representación de cantidades y posiciones; aplican los algoritmos y el cálculo mental en las operaciones básicas; calculan con fracciones, números decimales y porcentajes y los aplican en situaciones cotidianas; comprenden cómo los distintos tipos de números y sus reglas operatorias básicas se representan en la recta numérica y permiten modelar situaciones reales; y operan con potencias, raíces y logaritmos y los usan para resolver problemas. 2. Álgebra y funciones En este eje los estudiantes escriben, representan y usan expresiones algebraicas para designar números; establecen relaciones entre ellas mediante ecuaciones, inecuaciones o funciones en el contexto de la resolución de problema; e identifican regularidades y las expresan en lenguaje algebraico en el proceso de modelamiento. Específicamente, describen patrones en lenguaje algebraico en el curso de procesos de modelación; transforman expresiones algebraicas en otras equivalentes para resolver problemas y lo justifican; expresan igualdades y desigualdades mediante ecuaciones e inecuaciones y las aplican para resolver problemas; modelan la dependencia y la variación de magnitudes con funciones lineales, cuadráticas, raíz cuadrada, potencias, exponenciales y logarítmicas incluyendo funciones de dos variables; describen y representan funciones de crecimiento en forma recursiva con modelos lineales y exponenciales, y funciones de dos variables con curvas de nivel, campos de vectores y trayectorias asociadas. 3. Geometría En este eje se espera que los estudiantes comprendan figuras geométricas en dos y tres dimensiones, comparen, midan y estimen magnitudes, y determinen perímetros, áreas y volúmenes en contextos diversos. Representen y describan posiciones y movimientos mediante el uso de coordenadas y vectores. Específicamente, transitan entre figuras 2D y figuras 3D vía caras, bases, secciones, sombras y mallas; calculan perímetros y áreas de figuras 2D y volúmenes de figuras 3D; resuelven problemas mediante razones trigonométricas; describen y transforman figuras 2D y 3D mediante isometrías y homotecias, en forma geométrica, vectorial y algebraica, en contextos de resolución de problemas; aplican los teoremas de Pitágoras, Tales y Euclides en contextos varios; describen posiciones y movimientos con vectores; y usan combinaciones lineales y aplican el producto punto. 4. Estadística y probabilidades Este eje responde a la necesidad de que todos los estudiantes realicen análisis, inferencias y obtengan información a partir de datos estadísticos. Se espera que determinen la probabilidad de ocurrencia de eventos en forma experimental y teórica, y que construyan modelos probabilistas basados en situaciones aleatorias. Específicamente, que diseñen experimentos de muestreo aleatorio para inferir sobre características de poblaciones; utilicen medidas de posición y de dispersión para resolver problemas; interpreten y visualicen datos estadísticos; estudien

6 experimentos aleatorios sencillos, con varios pasos (por ejemplo, paseos al azar) en forma empírica (realización o simulación) y teórica (por ejemplo, vía metáforas); construyan modelos probabilistas no equiprobables basados en situaciones aleatorias de equiprobabilidad; comprendan la independencia probabilística y empleen probabilidades condicionales para resolver problemas en contexto; interpreten y visualicen datos estadísticos con histogramas, árboles, nubes de puntos y segmentaciones usadas en la prensa y reportes. C. Actitudes Las bases curriculares de Matemática promueven un conjunto de actitudes que derivan directamente de la Ley LGE, N 30, la cual considera el desarrollo de actitudes personales y sociales, tanto en el ámbito del conocimiento, como en el de la cultura. En el caso de la enseñanza media se mantienen y se refuerzan la mayoría de las actitudes de la enseñanza básica, que se desprenden de los Objetivos de Aprendizaje Transversales (OAT). Además, se han considerado algunas actitudes que corresponderían a la respectiva etapa del desarrollo de los jóvenes de enseñanza media. Estas actitudes se deben desarrollar de manera integrada con los conocimientos y habilidades propias de cada asignatura, deben promoverse de manera sistemática y sostenida, y fomentarse de forma intencionada por el profesor, en el diseño de las actividades de aprendizaje, de las interacciones de clase y rutinas diarias. Las actitudes a desarrollar en la asignatura de Matemática son las siguientes: A. Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa. B. Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas C. Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas. D. Manifestar una actitud positiva frente a sí mismo y a sus capacidades. E. Demostrar una actitud de esfuerzo y perseverancia frente a la resolución de problemas y la búsqueda de nuevas soluciones. F. Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico. G. Abordar de manera colaborativa la búsqueda de soluciones a problemas H. Manifestar una actitud de autonomía en el trabajo y en el proceso de aprendizaje.

7 7 básico Matemática OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Los estudiantes serán capaces de: HABILIDADES Resolver problemas a. Utilizar estrategias como las siguientes: destacar la información dada usar un proceso de ensayo y error sistemático aplicar procesos reversibles descartar información irrelevante usar problemas similares b. Evaluar procedimientos y comprobar resultados propios y de otros, de un problema matemático. c. Utilizar sus propias palabras, gráficos y símbolos matemáticos para presentar ideas o soluciones. Argumentar y comunicar d. Describir relaciones y situaciones matemáticas de manera verbal y usando símbolos. e. Explicar: soluciones propias y los procedimientos utilizados resultados mediante definiciones, axiomas, propiedades y teoremas, para fundamentarlos f. Fundamentar conjeturas dando ejemplos y contraejemplos. g. Evaluar la argumentación de otros en forma objetiva. Modelar h. Usar modelos, realizando cálculos, estimaciones y simulaciones, tanto manualmente como con ayuda de instrumentos para resolver problemas de ciencias y vida diaria. i. Seleccionar modelos, para resolver problemas asociados a ecuaciones e inecuaciones de la forma, comparando dependencias lineales. j. Ajustar modelos, interpretando el resultado en relación al problema presentado. k. Evaluar la pertinencia de modelos: en relación al problema presentado considerando sus limitaciones Representar l. Elegir y utilizar representaciones concretas, pictóricas y simbólicas para representar enunciados y situaciones en contextos diversos (tablas, gráficos, recta numérica, entre otros). m. Relacionar y contrastar información entre distintos niveles de representación. n. Representar y metaforizar hacia ámbitos más familiares para resolver problemas.

8 NÚMEROS Los alumnos serán capaces de: 1. Mostrar que comprenden los números enteros, representándolos de manera concreta, pictórica y simbólica. 2. Mostrar que comprenden las operaciones de adición y sustracción de números enteros de manera concreta, pictórica y simbólica. 3. Mostrar que comprenden la multiplicación y la división de fracciones positivos de manera concreta, pictórica y simbólica. 4. Mostrar que comprenden la multiplicación y la división de decimales positivos de manera concreta, pictórica y simbólica. 5. Resolver problemas que involucren adiciones y sustracciones de números enteros y multiplicaciones y divisiones de fracciones y decimales positivos incluyendo el uso de la calculadora. 6. Mostrar que comprenden el concepto de proporción y porcentaje, aplicándolo a situaciones sencillas de economía, física, geografía y de la vida diaria. 7. Interpretar potencias de base 2 y 10 con exponentes hasta 9, de otras bases hasta el exponente 2 y 3 y aplicarlas en contextos diversos incluyendo el sistema binario 8. Realizar uniones e intersecciones con conjuntos numéricos, determinar subconjuntos de dichos conjuntos en contextos matemáticos y cotidianos. ÁLGEBRA y FUNCIONES 9. Reconocer el rol que juegan las variables en la vida cotidiana, y las ventajas que tienen el lenguaje y el cálculo simbólico. 10. Explicar de forma concreta, pictórica o simbólica la conmutatividad, la asociatividad de la adición y de la multiplicación y la distributividad de la multiplicación respecto a la suma, de números naturales y racionales positivos. 11. Traducir expresiones del lenguaje natural al lenguaje algebraico y viceversa. 12. Reducir expresiones algebraicas reuniendo términos semejantes para obtener expresiones de la forma con 13. Modelar y resolver problemas que pueden ser representados por ecuaciones e inecuaciones de la forma ax + b = c, ax +b < c, ax +b > c, con a, b, c ϵ N: b<c, de manera concreta, pictórica y simbólica 14. Resolver problemas de la vida diaria y de ciencias, relativos a cantidades directamente proporcionales utilizando tablas y gráficos. GEOMETRÍA 15. Descubrir relaciones entre ángulos exteriores e interiores de diferentes polígonos. 16. Derivar la fórmula del área de paralelogramos, triángulos y trapecios, aplicándola a la resolución de problemas geométricos y cotidianos. 17. Conjeturar sobre las fórmulas de área de superficies de prismas con diferentes bases, aplicándolas a la resolución de problemas geométricos y de la vida diaria 18. Derivar, por medio de cortes transversales de cubos y paralelepípedos, el volumen de un prisma triangular, aplicándolo a la resolución de problemas de la vida diaria y geométricos. 19. Mostrar que comprenden el círculo, aplicando las aproximaciones del perímetro y del área en la resolución de problemas geométricos, de geografía y de la vida diaria. 20. Aplicar el círculo como lugar geométrico en la construcción de rectas perpendiculares, paralelas, simetrales y bisectrices, con regla y compás o procesadores geométricos.

9 21. Descubrir de forma concreta, pictórica y por medio de juegos, la posición y el desplazamiento de objetos representados por vectores sobre el plano cartesiano PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 22. Plantear preguntas estadísticas, abordables mediante muestreo aleatorio de una población e investigar experimentalmente casos sencillos de manera concreta, pictórica y simbólica. 23. Representar los datos obtenidos en una muestra mediante tablas de frecuencias absolutas y relativas, así como los gráficos correspondientes, incluyendo los histogramas y los diagramas de tallo y hojas. 24. Describir las distribuciones de datos categóricos 1 a través de tablas de frecuencia y los gráficos asociados. 25. Describir las distribuciones de datos cuantitativos a través del valor máximo, el valor mínimo, el recorrido y la mediana, de manera pictórica y simbólica. 26. Comparar muestras de dos poblaciones, usando tablas, gráficos o indicadores, para inferir posibles diferencias entre ellas. 27. Realizar experimentos aleatorios sencillos con resultados equiprobables, con material concreto o con herramientas tecnológicas. 28. Determinar los resultados posibles al elegir uno o más elementos al azar de una colección finita de objetos. 1 Los datos categóricos son datos que provienen de resultados de experimentos en que sus resultados se miden en escalas categóricas. Por ejemplo, La variable nivel educacional tiene las categorías: hasta 4º Básico, básico completo, hasta segundo medio, medio completo, estudios universitarios incompletos

10 8 básico Matemática OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Los estudiantes serán capaces de: HABILIDADES Resolver problemas a. Utilizar estrategias como las siguientes: destacar la información dada usar un proceso de ensayo y error sistemático aplicar procesos reversibles descartar información irrelevante usar problemas similares b. Evaluar procedimientos y comprobar resultados propios y de otros, de un problema matemático. c. Utilizar sus propias palabras, gráficos y símbolos matemáticos para presentar ideas o soluciones. Argumentar y comunicar d. Describir relaciones y situaciones matemáticas de manera verbal y usando símbolos. e. Explicar: soluciones propias y los procedimientos utilizados resultados mediante definiciones, axiomas, propiedades y teoremas, para fundamentarlos f. Fundamentar conjeturas dando ejemplos y contraejemplos. g. Evaluar la argumentación de otros en forma objetiva. Modelar h. Usar modelos, realizando cálculos, estimaciones y simulaciones, tanto manualmente como con ayuda de instrumentos para resolver problemas de ciencias y vida diaria. i. Seleccionar modelos, para resolver problemas asociados a ecuaciones e inecuaciones de la forma, comparando dependencias lineales. j. Ajustar modelos, interpretando el resultado en relación al problema presentado. k. Evaluar la pertinencia de modelos: en relación al problema presentado considerando sus limitaciones Representar l. Elegir y utilizar representaciones concretas, pictóricas y simbólicas para representar enunciados y situaciones en contextos diversos (tablas, gráficos, recta numérica, entre otros). m. Relacionar y contrastar información entre distintos niveles de representación. n. Representar y metaforizar hacia ámbitos más familiares para resolver problemas.

11 NÚMEROS Los alumnos serán capaces de: 1. Mostrar que comprenden la multiplicación y la división de números enteros, representándolas y aplicándolas de manera concreta, pictórica y simbólica. 2. Mostrar que comprenden los números racionales, representándolos de manera concreta, pictórica y simbólica. 3. Mostrar que comprenden la multiplicación y división de potencias de base y exponente entero, de manera concreta, pictórica y simbólica. 4. Mostrar que comprenden las raíces cuadradas de números naturales, de manera concreta, pictórica y simbólica, aplicándolas en situaciones geométricas y en la vida diaria Modelar situaciones de la vida diaria 3 y de ciencias utilizando relaciones de proporcionalidad inversa, de manera concreta, pictórica y simbólica. 6. Resolver problemas que involucran variaciones porcentuales en contextos diversos, usando representaciones pictóricas y registrando el proceso de manera simbólica. ÁLGEBRA y FUNCIONES 7. Descubrir en situaciones concretas o de forma pictórica los productos notables y aplicarlas en la solución de problemas cotidianos. 8. Transformar expresiones algebraicas que incluyen potencias y productos notables. 9. Mostrar que comprenden la noción de función, mediante los fenómenos lineales de la forma f(x) = a x, metaforizándolas con máquinas de ingreso egreso. 10. Mostrar que comprenden el significado de función lineal a través de metáforas de maquinas, donde la suma y el múltiplo de ingresos se mantienen en el egreso. 11. Modelar problemas que puedan ser representados por ecuaciones e inecuaciones de la forma, con, de manera concreta, pictórica y simbólica. 12. Mostrar que comprenden la función afín como la suma de una constante y una variación constante, en situaciones de la vida cotidiana. 13. Describir algebraicamente el cambio en intervalos reconociendo cuándo es de la forma f(t+1) f(t) = c (4) (cambio constante) modelando situaciones de la vida real, economía, ciencias naturales y sociales. 14. Descubrir por medio de situaciones reales, modelación y representación gráfica la solución de un sistema de ecuaciones lineales 2x Modelar problemas de geografía, ciencias naturales y economía, los cuales pueden ser representados por funciones en dos variables de la forma f(x,y) = ax + by. GEOMETRÍA 16. Conjeturar acerca del área de polígonos regulares de 6, 8 y 12 lados en forma concreta, pictórica y simbólica. 17. Conjeturar acerca de los valores del área de la superficie de cilindros, de manera concreta y simbólica. 18. Derivar la fórmula del volumen del cilindro, para aplicarla a problemas geométricos y de la vida diaria. 2 Incluir índice de masa corporal, raíces. 3 Gases, proporcionalidad inversa 4 por ejemplo de un año a otro la venta crece en 1 millón de pesos

12 19. Conjeturar acerca de los valores del área de la superficie de pirámides, de manera concreta y simbólica. 20. Derivar la fórmula del volumen de una pirámide, aplicándola en la resolución de problemas geométricos y de la vida diaria. 21. Explicar de manera concreta, pictórica y simbólica la validez del teorema de Pitágoras y de su recíproco, aplicándolos a la resolución de problemas geométricos y de la vida cotidiana. 22. Mostrar que comprenden la composición de transformaciones isométricas en el plano, mediante herramientas tecnológicas o manuales. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 23. Inferir sobre características de una población investigando muestras mediante distribuciones, medidas de tendencia central, de posición 5, de dispersión 6 y representarlas con diagramas de cajón. 24. Realizar experimentos aleatorios, manualmente o con apoyo de herramientas tecnológicas, para aproximar, estimar o asignar probabilidades, mediante el uso de frecuencias relativas. 25. Calcular probabilidades de eventos no equiprobables mediante su expresión en términos de resultados equiprobables. 26. Aplicar la equiprobabilidad a la selección aleatoria de muestras, con o sin reposición. 27. Descubrir el principio combinatorio multiplicativo a partir de árboles regulares, aplicándolo para obtener el número de resultados posibles de un experimento aleatorio. 28. Encontrar la probabilidad de un evento en un experimento aleatorio, usando el modelo de Laplace, cuando los resultados sean equiprobables. 29. Calcular probabilidades en el contexto de la resolución de problemas, mediante el modelo de Laplace o mediante frecuencias relativas. 5 percentiles y cuartiles 6 desviación absoluta media y recorrido intercuartil

13 I medio Matemática OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Los estudiantes serán capaces de: HABILIDADES Resolver problemas a. Utilizar estrategias como las siguientes: simplificar el problema y estimar el resultado descomponer el problema en subproblemas más sencillos buscar patrones usar herramientas computacionales b. Evaluar procedimientos y comprobar resultados propios y de otros, de un problema matemático. c. Utilizar lenguaje formal y símbolos matemáticos para presentar ideas o soluciones. Argumentar y comunicar d. Describir relaciones y situaciones matemáticas de manera verbal, usando esquemas y símbolos. e. Explicar y verificar conjeturas: fundamentando resultados mediante definiciones, axiomas, propiedades y teoremas realizando demostraciones simples usando apropiadamente conectores lógicos y cuantificadores, si corresponde f. Fundamentar conjeturas usando lenguaje algebraico para comprobar o descartar la validez de enunciados. g. Realizar demostraciones simples de resultados e identificar en una demostración, si en una secuencia de pasos hay un salto o error. Modelar h. Usar modelos, utilizando un lenguaje funcional para resolver problemas y para modelar patrones y fenómenos de la ciencia y la vida diaria. i. Seleccionar modelos, identificando la dependencia de las variables (función lineal, afín, cuadrática y valor absoluto) en un intervalo de valores. j. Ajustar modelos, eligiendo los parámetros adecuados para que se acerque más a la realidad. k. Construir o generalizar modelos con diferentes grados de aproximación a la realidad y llevar a cabo simulaciones de ellos. l. Evaluar modelos, comparándolos entre sí y con la realidad determinando las limitaciones de un modelo

14 Representar m. Elegir y utilizar representaciones de acuerdo a las necesidades de la actividad. n. Organizar, analizar y hacer inferencias acerca de información representada en tablas y gráficos. o. Utilizar distintas representaciones y metaforizaciones para resolver problemas. p. Transitar entre los niveles de representación de funciones. q. Identificar limitaciones y validez de representaciones.

15 NÚMEROS Los alumnos serán capaces de: 1. Mostrar que comprenden los números reales, representándolos de manera concreta, pictórica y simbólica. 2. Extender propiedades de la multiplicación, división y potencias de potencias, de base entera y exponente entero, a potencias de base racional y exponente entero, y aplicarlas en la resolución de problemas en contextos diversos. 3. Realizar cálculos y estimaciones que involucren adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con raíces cuadradas en el ámbito de los números racionales, resolviendo problemas que involucren estas operaciones en contextos diversos. ÁLGEBRA y FUNCIONES 4. Aplicar conocimiento de las operaciones sobre expresiones algebraicas no fraccionarias, operando polinomios y utilizando productos notables. 5. Descubrir variaciones 7 cuadráticas en situaciones de las ciencias naturales y de la vida cotidiana, representándolos con la función cuadrática f(x) = ax Resolver ecuaciones cuadráticas de la forma y otras que se reduzcan a esa forma completando cuadrados, de manera concreta, pictórica y simbólica. 7. Representar gráficamente el conjunto solución de inecuaciones de la forma ó bien. 8. Interpretar funciones valor absoluto de la forma f(x) = ax + b graficando y resolviendo ecuaciones e inecuaciones de la forma ax + b c, ax + b c. 9. Modelar problemas de geografía, ciencias naturales y sociales que pueden ser representados por funciones de dos variables de la forma f(x,y) = (x-a)² + (y-b)², graficando sus curvas de nivel Estudiar modelos recursivos lineales con ruido aditivo 9 como x(t+1)= ax(t) + bn(t) con input de valores equiprobable 1 y -1, simulando manual o informáticamente, situaciones o fenómenos en ciencias naturales y sociales. GEOMETRÍA 11. Conjeturar, por medio de representaciones concretas, acerca de los valores del área y del perímetro de sectores y segmentos circulares para ángulos centrales de 60, 90, 120 y Conjeturar, por medio de representaciones concretas, la fórmula del área de la superficie de un cono para aplicarla en la resolución de problemas geométricos y de la vida cotidiana. 13. Encontrar la fórmula del volumen del cono de manera concreta, pictórica y simbólica para aplicarla en la resolución de problemas geométricos y de la vida cotidiana. 14. Encontrar propiedades de la homotecia de manera concreta, pictórica y simbólica para aplicarlas en la resolución de problemas geométricos, de la vida cotidiana, del arte 10, de la física 11, de la biología 12 y de construcciones reales. 7 Cambios en el espacio y el tiempo 8 Por ejemplo, mapas de prácticas culturales o lingüísticas en función de la distancia. 9 Es una perturbación aleatoria, que en este caso se reduce a +1 ó Perspectiva 11 Instrumentos ópticos 12 El ojo humano

16 15. Conjeturar el teorema de Tales, mediante las propiedades de la homotecia, para aplicarlo en la resolución de problemas. 16. Encontrar relaciones de proporcionalidad en el círculo, aplicándolas a problemas geométricos. 17. Representar el concepto de homotecia de forma vectorial, relacionándolo con el producto de un vector por un escalar. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 18. Calcular probabilidades mediante la expresión de eventos en término de resultados equiprobables 13 de manera concreta, pictórica y simbólica. 19. Descubrir la regla aditiva de probabilidades en el contexto de la resolución de problemas para aplicarla en la toma de decisiones. 20. Describir las distribuciones de variables aleatorias finitas, estudiadas empíricamente mediante las frecuencias relativas de sus valores posibles y sus gráficos. 21. Estudiar paseos aleatorios sencillos: abordaje estadístico (frecuentista) y probabilista (vía metáforas) y usarlos en la resolución de problemas. 22. Comparar poblaciones mediante la confección de gráficos xy para dos atributos de muestras, utilizando nubes de puntos de manera concreta y pictórica. 23. Verificar o rechazar conjeturas estadísticas o probabilistas, simulando reiteradamente, en casos sencillos, manual o informáticamente. 13 Por ej. lanzamiento de dos monedas.

17 II medio Matemática OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Los estudiantes serán capaces de: HABILIDADES Resolver problemas a. Utilizar estrategias como las siguientes: simplificar el problema y estimar el resultado descomponer el problema en subproblemas más sencillos buscar patrones usar herramientas computacionales b. Evaluar procedimientos y comprobar resultados propios y de otros, de un problema matemático. c. Utilizar lenguaje formal y símbolos matemáticos para presentar ideas o soluciones. Argumentar y comunicar d. Describir relaciones y situaciones matemáticas de manera verbal, usando esquemas y símbolos. e. Explicar y verificar conjeturas: fundamentando resultados mediante definiciones, axiomas, propiedades y teoremas realizando demostraciones simples usando apropiadamente conectores lógicos y cuantificadores, si corresponde f. Fundamentar conjeturas usando lenguaje algebraico para comprobar o descartar la validez de enunciados. g. Realizar demostraciones simples de resultados e identificar en una demostración, si en una secuencia de pasos hay un salto o error. Modelar h. Usar modelos, utilizando un lenguaje funcional para resolver problemas y para modelar patrones y fenómenos de la ciencia y la vida diaria. i. Seleccionar modelos, identificando la dependencia de las variables (función lineal, afín, cuadrática, raíz cuadrada, valor absoluto, exponencial, logarítmica y potencial) en un intervalo de valores. j. Ajustar modelos, eligiendo los parámetros adecuados para que se acerque más a la realidad. k. Construir o generalizar modelos con diferentes grados de aproximación a la realidad y llevar a cabo simulaciones de ellos. l. Evaluar modelos, comparándolos entre sí y con la realidad determinando las limitaciones de un modelo

18 Representar m. Elegir y utilizar representaciones de acuerdo a las necesidades de la actividad. n. Organizar, analizar y hacer inferencias acerca de información representada en tablas y gráficos. o. Utilizar distintas representaciones y metaforizaciones para resolver problemas. p. Transitar entre los niveles de representación de funciones. q. Identificar limitaciones y validez de representaciones.

19 NÚMEROS Los alumnos serán capaces de: 1. Mostrar que comprenden las raíces enésimas, potencias de exponente racional y los logaritmos realizando operaciones matemáticas, graficándolas y estableciendo relaciones entre ellos. ÁLGEBRA y FUNCIONES 2. Transformar expresiones algebraicas fraccionarias simples, para resolver problemas de ciencias naturales y sociales. 3. Mostrar que comprenden la función cuadrática generalizada f(x)= ax 2 + bx + c, aplicándola en el modelamiento de situaciones de las ciencias naturales y sociales. 4. Resolver de manera gráfica y algebraica ecuaciones cuadráticas de la forma ax 2 + bx + c = 0 5. Mostrar que comprende las funciones potencia:, para n entero, con n 3, aplicándola en el modelamiento de situaciones de las ciencias naturales y sociales. 6. Modelar situaciones del cambio porcentual constante de la vida real, economía, ciencias naturales y sociales mediante el cambio en intervalos de tiempo f(t+1) f(t) = a f(t) (14) 7. Metaforizar la función inversa de una función con una máquina que trabaja al revés 15 determinar las funciones inversas de funciones lineales y afines. 8. Investigar el comportamiento de la función raíz cuadrada y otras raíces enésimas y = x 2 identificándola como función inversa a la función potencia para x 0 para aplicarla en el modelamiento de situaciones de la vida real y ciencias. 9. Investigar el comportamiento de la función exponencial y = a x identificándola con la función del cambio porcentual constante para aplicarla en el modelamiento de situaciones de la vida real y ciencias. 10. Investigar el comportamiento de la función y = log a x identificándola como función inversa a la función exponencial para aplicarla en el modelamiento de situaciones de la vida real y ciencias. GEOMETRÍA 11. Encontrar la fórmula del volumen de la esfera de manera concreta, pictórica y simbólica, para aplicarla en la resolución de problemas geométricos y de la vida cotidiana. 12. Conjeturar acerca del principio de Cavalieri, de manera concreta, pictórica y simbólica, a situaciones de figuras 3D oblicuos, para aplicarlo a problemas geométricos y de arquitectura. 13. Mostrar que comprende las razones trigonométricas de seno, coseno y tangente, graficándolas para diferentes ángulos y aplicándolas a problemas geométricos y científicos. 14. Aplicar las razones trigonométricas en la composición 16 y en la descomposición de vectores, en diversos contextos. 15. Modelar el trabajo que realiza una fuerza utilizando el producto punto de vectores. 14 por ejemplo de un año a otro la venta crece en 10%. 15 una máquina que deshace lo que la otra hace 16 suma vectorial

20 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 16. Determinar medidas de dispersión, como el recorrido, la varianza y la desviación estándar, en forma manual y usando herramientas tecnológicas. 17. Comparar poblaciones mediante dos muestras aleatorias, usando medidas de tendencia central, de posición y de dispersión. 18. Analizar distribuciones marginales, condicionales y conjuntas en una tabla de datos de doble entrada. 19. Realizar resúmenes de datos con dos variables categóricas para dos categorías en tablas, reconociendo patrones y tendencias. 20. Separar nubes de puntos de dos poblaciones mediante rectas 17 para aplicar en clasificación automática, como en el diagnóstico médico o industrial. 21. Segmentar dos poblaciones de datos mediante árboles para determinar en cada segmento las probabilidades de pertenencia a cada población. 22. Construir el concepto intuitivo de probabilidades condicionales e independencia a partir de experimentación manual o tecnológica. 23. Descubrir la ley multiplicativa para aplicarla sola y en combinación con la ley aditiva usando diagramas de árbol. 24. Evaluar probabilistamente el resultado de un test médico de detección (p.ej. embarazo) vía frecuencias naturales o metáforas. 25. Usar paseos aleatorios y modelos recursivos lineales con ruido aditivo 18 para modelar diversas situaciones o fenómenos. 17 aplicaciones a diagnóstico médico y mantenimiento, aplicaciones financieras, predicciones en fútbol, etc. 18 El ruido aditivo es una perturbación aleatoria que se adiciona (o superpone) a la variable determinista.