12.3. PILOTE AISLADO. CARGA DE HUNDIMIENTO (UD: / LW: )

Transcripción

1 TEA 1 CIENTACIONES PROFUNDAS 1.1. INTRODUCCIÓN (UD: 4.1) 1.. TIPOLOGÍA DE PILOTES (UD: ) 1.3. PILOTE AISLADO. CARGA DE HUNDIIENTO (UD: / LW: ) Introducción Resistencia or unta. Exresiones estáticas y seieíricas Resistencia or fuste Fórulas de hinca y ruebas de carga 1.4. GRUPOS DE PILOTES. CARGA DE HUNDIIENTO (UD: 43./ LW: 33.4) 1.5. DISTRIBUCIÓN DE CARGAS EN GRUPOS DE PILOTES 1.6. COPROBACIÓN EN ROTURA Y EN SERVICIO (UD: 43.3) 1.7. FRICCIÓN NEGATIVA Y OTRAS SOLICITACIONES ESPECIALES (LW: 33.5) 1.8. PROCEDIIENTO DE CÁLCULO Y NORAS TECNOLÓGICAS (UD: 4.4/ NTE)

2 1.1. INTRODUCCIÓN Tiología general de cientaciones Objeto de una cientación: transitir al terreno de fora aortiguada las cargas estructurales que no se ueden transitir directaente al iso or ser un aterial de baja resistencia y elevada deforabilidad. - Cientaciones suerficiales: D/B < 4 - Cientaciones seirofundas 4 < D/B < 8 a 10 - Cientaciones rofundas 8 a 10 < D/B Pilotes: Eleentos de cientación de gran longitud que se hincan directaente en el terreno o bien se construyen en una cavidad reviaente abierta en el iso. La cientación ediante ilotes es necesaria cuando la cientación suerficial o seirofunda no es osible or razones técnicas, de diensiones o econóicas. Originalente se establecieron criterios de esbeltez tales coo: φ/l > 1/1 (siglo XV y XVI) osteriorente se desarrollaron criterios de rechazo enos de 1-4 en 5 a 30 goles de una aza de deterinado eso seguidaente se desarrollaron las fórulas de hinca: Q P H P h = (1851) δ P + P y finalente exresiones estáticas y eíricas, resectivaente, en función de aráetros característicos del suelo o de resultados de ensayos de enetratción: = 9 c u o = q c /β

3 Historia de los ilotes (toado de Piling Engineering, Fleing, Weltan, Randolh y Elson) Construir zonas elevadas en zonas húedas: orillas de lagos (Lago de Ginebra, hace 4000 años). En Robenhausen (Suiza), ilotes fueron encontrados bajo un deósito de terreno de 000 años de antigüedad. En Lough Drukeery (Irlanda) se encontraron ilotes antiguos de adera oak de 3 de rofundidad. Herodoto (escritor Griego, 400 A.C.) exlica que en una tribu africana (PEONIONS) vivian en una zona levantada con ilotes: ara contraer atrionio cada hobre tenia que hincar 3 ilotes. Eran olígaos. Los Fenicios usaban ilotes ara las construcciones ortuarias. Los constructores de barcos eezaron a construir las antallas foradas or hileras de ilotes o tablestacas. Los cedros del Líbano rácticaente desaarecieron exortados a Egito ara construir ilotes Tanto los Griegos coo los Roanos usaron ilotes en todas sus construcciones. Tuvieron robleas con el teredo navalis, lo que ha rovocado la desaarición de dichas construcciones. Ejelo de los Roanos es un uente en Newcastle (UK) con ilotes de adera negra de roble de 3. El Eerador Trajano construyó un uente en el Danubio. Cuando se descubrieron los ilotes estaban en fase de etrificación. Vitrubio (arquitecto roano del siglo 0), describe técnicas constructivas ara la ejecución de ilotes y tablestacas. La ayoría de los edificios antiguos (siglo VIII) en Venecia se fundaentan ediante ilotajes. La ciudad eezó en una zona de antanosa. La ciudad de Asterda, fundada hace 1000 años, rácticaente se encuentra construida sobre ilotes de 15-0 de longitud. Los ilotes de adera suergidos han deostrado ser ás duraderos que los soetidos a secado-ojado eriódico (en tal caso se usaban grasas ara rotejer la suerficie). La hinca se hacia ediante un sile tríode que eritía la caída de un eso que goleaba el ilote. SIGLOS XIX y XX En el siglo XIX eezaron los cabios iortantes, tanto en los ateriales de los ilotes coo en su ejecución. En 1830 se eezaron a usar los ilotes etálicos de fora tubular. En 184 (siglo XIX) Joseh Asdin atentó en ceento que as tarde se conoció coo ceento Portland (se arece a las iedras de Portland). Hacia finales de siglo aarece el horigón arado en Francia. A rinciios del siglo XIX eieza a usarse en Inglaterra la áquina de vaor ara levantar las azas.

4 Durante este siglo aarecen otras técnicas basadas en la áquina de vaor (ercusión directa) o con áquinas de aire coriido e incluso con ólvora. En 1897 Rayond atentó su sistea de ilotes. En 1903 Beale desarrolló el sistea de entubación etálica, osterior horigonado interior y extracción de la entubación. El Belga Franki desarrolló un sistea siilar que eritía el ensanchaiento de la base del ilote. En USA (1900) se eezaron a usar los ilotes etálicos en fora de viga-i y viga-h. A artir de 1946 eiezan a aarecer aquinas DIESEL ara la hinca de ilotes. Los ilotes erforados fueron uy usados en la India, or ejelo ediante ozos de cientación que se rellenaban con iedra. Ej: Taj ahal (construido entre ). La aquinaria ara erforación era ás ligera que la aquinaria de hinca, lo que facilitó la técnica de la erforación. Originalente se iedía la entrada de agua en la entubación ediante aire coriido. Actualente se horigona desde la zona inferior del tubo aunque exista agua en su interior. Actualente existe aquinaria de erforación desde 150 hasta. Actualente se hincan ilotes refabricados (achiebrados) o se hincan ilotes ejecutados in situ. Actualente los ilotes tubulares hincados se suelen usar en lataforas off-shore.

5 Fora de trabajo de los ilotes Contribución or fuste: se basa en la fricción entre el terreno y el ilote. Es un coortaiento tensión tangencial versus deslazaiento relativo que uede tener térinos friccionales o de adherencia. F = integral de τ x da fuste Contribución or unta: se basa en el aoyo noral en caas inferiores noralente ás resistentes ya sea or naturaleza diferente coo or ayor confinaiento. P = integral de σ n x da unta Una coonente (cualquiera de ellas) uede ser uy suerior a la otra. El fuste uede actuar en contra, es decir, en lugar de resistir se aoya. Criterios básicos de utilización de los ilotes Cuando en suerficie las caas no son suficienteente resistentes coo ara obtener taaños de cientación suerficial acetables culiendo las condiciones en rotura y de servicio (asientos). - Relleno de suelo blando que nunca ha sido soetido a una carga exterior (suelo noralente consolidado). - Estricta liitación de asientos, asientos diferenciales o asientos sobre otras estructuras. Los ilotes son cientaciones que dan lugar a oviientos uy equeños en coaración con las cientaciones suerficiales. - Terreno heterogéneo. Presencia de caas de aoyo duras a rofundidad variable. - Cargas uy fuertes: Offshore, uelles en zonas ortuarias, uros, aoyos de uentes, cargas verticales invertidas (tracción). En todo caso debe considerarse la osible ejora del terreno or ejelo ediante recarga o eliinación de caas de terreno blando.

6 11.. TIPOLOGÍA DE PILOTES a) Por la fora de transitir la carga al terreno - Coluna: fuerte redoinio de la coonente de unta (caa resistente bajo suelo blando). - Flotantes o de rozaiento: transisión a lo largo del ilote al suelo deforable al que se adhiere or fuste. Según la NTE se uede establecer que: - P > 3 F el ilote trabaja esencialente or unta - P < 3 F el ilote trabaja esencialente or fuste b) Por la fora de uesta en obra con resecto al terreno - Pilotes de deslazaiento o hincados: se instala en el terreno deslazando en el terreno un voluen de suelo equivalente. Priero el terreno sube, ero luego solo se corie. Se caracterizan or: - fuerte fricción suelo - ilote (el ilote queda fuerteente confinado) - alteración del suelo: en general ejora or coresión del terreno - ara reducir el coste de hinca uede interesar que el ilote sea liso - Pilotes de extracción: se excava reviaente el terreno donde se va a instalar el ilote. A continuación se ejecuta el ilote. Se caracterizan or: - débil fricción suelo - ilote debido a la débil tensión noral - interesa que el ilote sea rugoso ara ejorar la contribución or fuste. - De extracción - deslazaiento: se excava reviaente un voluen de suelo inferior al que ocuará el ilote terinado. Se hace ara reducir el coste de la hinca en un terreno edio. c) or el lugar de fabricación y la fora de ejecución - Prefabricados: en este caso se transortan desde una lanta de fabricación y se hincan or ercusión, or resión o vibración, ediante gatos hidráulicos, roscados al terreno o, se instalan en erforaciones reviaente erforadas. - Ejecutados in situ: hay varios tiologias - Hinca de entubación recuerable con un azuche (taón erdido en la unta de la entubación). Se horigona en el interior de la entubación que se va extrayendo siultáneaente al horigonado. Siere deben quedar diáetros de horigón dentro de la caisa ara evitar la

7 entrada de agua. Se extrae la entubación ediante goleo lateral que sirve ara vibrar el horigón. CPI - Ide ero con taón de gravas en lugar del azuche. En este caso el goleo se hace con un artillo interior que golea sobre el taón. CPI 3 - Extracción ediante cuchara (tréano si es terreno duro) con entubación recuerable. Al horigonar se quita la entubación. CPI-4. - Extracción ediante cuchara (tréano si es terreno duro) con entubación no recuerable. CPI-5. - Perforados con hélice y anteniendo la excavación con lodos tixotróicos (ezcla de agua con arcilla bentonítica) que antienen las aredes evitando los derrubes (su densidad uede ser de 1.3 a 1.4, suongo). CPI-6 - Barrenados: introduciendo un ortero or el eje de la barrena que deslaza el terreno triturado. Finalente se va extrayendo la barrena y al iso tieo se horigona. Las araduras se introducen en el horigón fresco. CPI-7 d) según el aterial - adera: bajo el agua se conserva bien - etálicos: arovechar erfiles lainados. Velocidad de oxidación es lenta - Horigón: arado o retensado. - ixtos: cobinación de erfiles con horigón.

8 PILOTE BARRENADO SIN SOSTENIIENTO Perforación ediante barrena Horigonado or el interior de la barrena y extracción siultánea de la barrena Se introduce la aradura con el horigón fresco PILOTE PERFORADO SIN ENTUBACIÓN Y CON LODOS BENTONÍTICOS Perforación ediante helice Lodo bentonítico de densidad ayor que la del agua y enor que la del terreno. Es caaz de transitir cierta resión en la erforación Se horigona desde el extreo inferior. El roio horigón desaloja el lodo. La aradura se introduce con el horigón fresco

9 PILOTE EXCAVADO CON CAISA RECUPERABLE Se excava con cuchara (suelo granular) Se introduce caisa de chaa a tieo que se avanza con la cuchara Se introduce aradura en el interior vacio de la caisa Se introduce tubo ara horigonar or el interior de la aradura Se horigona desde el extreo inferior a edida que se extrae el agua Se extrae la caisa, or traos a edida que se horigonan

10 PILOTE PERFORADO CON HELICE Perforación ediante hélice Introducción de aradura y horigón or el interior del tubo Horigonado y extracción de herraienta de corte siultáneos PILOTE PERFORADO CON HÉLICE Y ENTUBACIÓN RECUPERABLE La erforación es acoañada de una entubación sobre todo en estratos granulares. En los cohesivos uede no ser necesaria Herraienta esecial ara ensanchar la base Introducción de aradura en el interior de la caisa Horigonado y extracción de entubación siultáneos

11 CLAS IFICACIÓN DE LOS PILOTES SEGÚN NTE CPP: ilotes refabricados con azuche ara hinca CPP: disosición en gruo de 3 CPI-: Pilotes deslazaiento con azuche y caisa recuerable CPI-3: Pilotes deslazaien-to con taón de gravas y caisa recuerable CPI-4: Pilotes extracción con cuchara y caisa recuerable

12 CPI-5: Pilotes extracción con cuchara y caisa erdida CPI-6: Pilotes erforados sin entubación y con lodos tixo - tróicos CPI-7: Pilotes barrenados sin entubación CPI-8: Pilotes barrenados sin entubación. Horigonado or eje barrena

13 Procediiento general de cálculo 1. Selección de la solución en base a criterios reestablecidos. Corobación en rotura/hundiiento (ilote aislado / gruo de ilotes). Si no cule, volver a Corobación de deforaciones / asientos ara la carga de trabajo. Si no cule, volver a Diensionaiento estructural del ilote: araduras 5. Diensionaiento de eleentos auxiliares tales coo enceados o vigas riostras. Notación : resión or unta o resistencia a la rotura or unta (unidades de tensión) f : resión or fuste o resistencia a la rotura or fuste (unidades de tensión) Q h : Carga de hundiiento (t) Q h = Q + Q f = P + F : contribuciones or unta y or fuste q c, R : resistencia a la enetración (unidades de tensión) q u : resistencia a la coresión sile (unidades de tensión) c u : resistencia al corte sin drenaje l, D: longitud del ilote φ, B: diáetro del ilote

14 1.3 PILOTE AISLADO. CARGA DE HUNDIIENTO Introducción La rotura global (tíica de cientaciones suerficiales) dificilente se roduce en ilotes. Debido a su ayor esbeltez, la rotura en un ilote es or unzonaiento. La rotura de un ilote se identifica en la curva carga-asiento. Esta curva es de la isa fora que las curvas tensión-deforación de coortaiento de un aterial elastolástico. Puede ostrar coortaiento dúctil y coortaiento frágil. Según Winterkorn y Fang, los tios de rotura en ilotes ueden esqueatizarse coo: a) Terreno blando con base rocosa en su líite inferior. El ilote es de tio coluna y rácticaente toda la carga se soorta or unta. El fuste es desreciable y tabien la caacidad de confinaiento del suelo alrededor del ilote. Si la carga es suficienteente grande en relación a la esbeltez del ilote, éste uede llegar a andear. La rotura es de tio coletaente frágil. b) Terreno blando sobre terreno edio o terreno edio sobre terreno duro. En este caso tabién se uede tratar de ilote coluna lo que si da lugar a una rotura global del estrato de aoyo (ecaniso de Prandtl) entonces tabién rovocaría una curva de rotura con coortaiento frágil. c) Terreno hoogéneo con ilote flotante. A edida que un ilote flotante se va introduciendo en el terreno, va coriiendolo y la resistencia or fuste va auentando. Por tanto, la curva de rotura de un ilote flotante tiende a ostrar endureciiento. d) Pilote a tracción. Un ilote flotante uede soortar cargas a tracción y la curva de rotura que roduce será de tio lástico erfecto. Acciones y reacciones sobre un ilote Sea un sistea de cargas, V, H, general. En realidad el ilote aislado solo uede soortar cargas verticales V y, aunque en enor agnitud e iortancia, cargas horizontales. La carga vertical V sobre un ilote se acaba coarando con la carga de hundiiento del ilote Qh a través de un factor de seguridad al hundiiento. Dicha carga de hundiiento se exresa coo: Qh = Q + Qf donde Q y Qf son resectivaente las cargas de hundiiento de la unta y del fuste y se exresan coo: Q = A A =πφ /4 l l i i f = πφ f( ) =πφ f( ) =πφ f 0 0 Q zdz zdz l De estas dos coonentes, la contribución or fuste se ve afectada or el sistea de ejecución en ayor edida que la contribución or unta.

15 1.3.. Resistencia or unta. Exresiones estáticas Se uede considerar la analogía con cientaciones suerficiales de fora que en rinciio se artirá de la exresión general de Brinch-Hansen: 1 h = cnsdi ' c c cc + qnqsdi q qq+ BNsdi γ γ γ γγ El térino de eso (γ) es desreciable en todos los casos de ilotes. En condiciones no drenadas Nγ=0 lo que anula todo el térino. En condiciones drenadas es desreciable ya que: 1 BNsdi γ γ γ γ γ<< qn sdi q q qq debido a que, or un lado, B = φ es equeño, y or otro lado, qn q es uy grande (q = γl, y la longitud l es grande). Los térinos de inclinación, seran la unidad en cualquier caso ya que las cargas actúan verticalente en los ilotes. Por tanto la exresión de artida será la siguiente: h = cnsd ' c c c + qnqsd q q que osteriorente se articularizará según el tio de suelo y en diferentes casos. Los ecanisos de rotura en ilotes han sido estudiados or diferentes autores con el objetivo de encontrar foras analíticas ara N c y N q. Algunos de éstos ecanisos son: Terzaghi: Se suone rotura global (zona en rotura activa y zona en rotura asiva) en el terreno bajo la unta del ilote y el terreno lateral actúa en fora de sobrecarga q = γ l.

16 eyerhoff: El ecaniso de rotura eieza de fora arecida al de rotura global, sin ebargo, las lineas de rotura continuan en fora de esiral que se va abriendo hasra que se intersecta con el fuste del ilote. Este ecaniso erite definir la ZAI y ZAS que son, resectivaente, la zona activa inferior (ZAI= a 3 φ) y la zona activa suerior (4 φ en arcillas y 8 φ en arenas). La existencia de esta ZAS justifica que los ilotes ejoran su contribución or unta si se eotran en la caa dura resecto a un sile aoyo Berenzantsev: La hiótesis básica de este autor es que en realidad la sobre carga q en el lano de aoyo es inferior que γ l debido a efecto silo causado or la roia construcción del ilote o or el estado natural del terreno. Esto facilita la subida del terreno en la zona lateral. Gibson: Este ecaniso se basa en la existencia de un bulbo en el que el suelo se encuentra lastificado. Este bulbo es estable hasta que se llega a rotura en que va creciendo alcanzando incluso la suerficie del terreno. Resistencia or unta en Arenas Se desrecia la cohesión y or tanto: h = qn sd q q q La existencia de diferentes ecaniso rovoca tabién la existencia de diferentes odels que se ueden usar ara deterinar el coeficiente N q (en el caso de suelos granulares. Caquot-Kerisel las ha recoilado y obtenido una curva edia que odria ser: N q = tan φ' Si se coara esta exresión con los resultados obtenidos ara cientaciones se obtiene or ejelo: φ N q en zaatas N q en ilotes Es decir que ara valores altos de φ' las diferencias son de un orden de agnitud.

17 Los otros coeficientes de la exresión se ueden calcular en este caso coo: S d q q B = 1+ tan φ ' = 1+ tan φ ' 1.3 L l = + φ φ = + φ φ φ 1 tan '(1 sin ') arctan 1 tan '(1 sin ') 1.57 l arctan = arctan( ) = 1.57 φ Sin ebargo, la exresión: h = qnqsd q q =γ lnqsd q q resulta que da lugar a un auento lineal con la rofundidad de la resión de hundiiento y esto en la realidad no se observa. Para una arena densa, la resistencia a la enetración (qc) se estabiliza en 300 k/c hacia 5 (0φ?) ientras que en arenas sueltas la estabilización se alcanza en 100 k/c. Para suerar esta dificultat se han rouesto otros odelos enos fundados teóricaente, coo or ejelo: En este caso, queda or tanto: = N φ z> φ 5 q tan ' t/ ara 0 = in( qn Sd,5N tan φ ') q q q q N (SPT) >50 N q Tio arena uy suelta suelta edia densa uy densa Por últio, debido a que la teoría es de dificil alicación se ha buscado un lanteaiento ás eírico que se escribe coo: en la que β no es constante: q qc 4N = (1<β< 3) β β c(k/c ) 4 N - Auenta al auentar q c - Auenta al auenta el diáetro del ilote

18 q c = = β R β Resistencia or unta en suelo granular según la nora NTE-CPI/77 Es decir que finalente se odría escribir coo: qc = 1 +αbq c

19 Resistencia or unta en Gravas En el caso de que exista una base granular de tio grava y no sea osible realizar el ensayo de enetración se uede toar: Gravas líias: Gravas arenosas: Gravas arcillosas: = 10 k/c = 80 k/c = 50 k/c En cualquier caso es recoendable eotrar la unta y disoner, coo ínio, de 6φ tanto or arriba coo or abajo del nivel de aoyo. Si solo se aoya, uede verse reducido a la itad de su valor de cálculo. Resistencia or unta en arcillas El coortaiento de las arcillas es as colejo que el de los ateriales granulares debido a que se generan resiones intersticiales durante la hinca, se uede roducir reoldeo del suelo con el consiguiente cabio de roiedades y se ueden roducir rocesos de consolidación siultáneaente. Generalente se trabaja en tensiones totales. En arcillas blandas ( q u <.5 k/c) uede desreciarse la contribución or unta del ilote ya que es equeña en coaración con la contribución que se obtendrá del fuste. Análogaente a coo se ha hecho en arenas se artira de la exresión general de B-H que en este caso de condiciones no drenadas es: en la que los factores N c y N q valen: h = cnsd u c c c + qnqsd q q N N q c = 1 =π+ = 5.14 y los factores de fora se ueden calcular coo: y los factores de eotraiento: d c d q S S q c B = 1+ tanφ= 1 L Nq B 1 = 1+ = 1+ = 1. N L 5.14 c D = + φ φ = B 1 tan '(1 sin ) arctan 1 1dq D π = dc = 1+ arctan = N tanφ N B π+ c D D π arctan B B c

20 Para finalizar resulta que la resión de hundiiento or unta es: =γ l c c n u u Coo uede verse el térino de sobrecarga se desrecia ya que todos sus factores correctores son la unidad en cuyo caso sólo aorta q = γ l que equivale rácticaente al eso del roio ilote. Es decir que la resistencia or unta en arcillas se evalua coo: = 9c Si se disone de la resistencia a la coresión sile o la resistencia a la enetración entonces dicha exresión se transfora en: qc = 9cu = 4.5qu 0.6 qc qu 7.5 Un caso articular son las antallas que actúan coo cientación y cuya resistencia or unta es: qc = 7.5cu = 3.75qu 0.5 qc qu 7.5 que tiene coeficientes diferentes al no haberse incluido el factor de fora (una antalla es análogo a una zaata corrida). u Resistencia or unta en roca En general uede establecerse una exresión de la resistencia or unta en función de la resistencia a la coresión sile: = αq D = β q 6φ D α = β φ en la que el aráetro β deende del tio de roca según: Tio de roca u Resistencia coresión sile q u (k/c ) Granito, órfido Caliza coacta no argosa Pizarra dura Arenisca coacta Noralente ara conseguir enetración de la unta del ilote en la roca de aoyo será necesario el uso de tréanos. En caso de hinca de ilotes refabricados se uede usar tabién la unta de Oslo que consiste en un aéndice ás estrecho del ilote en su extreo inferior en fora de aguja que uede enetrar en la roca. u β

21 Por últio, si hay roca o suelo uy duro ero en un esesor liitado uede suonerse una ecaniso de unzonaiento coo en el caso de cientaciones suerficiales (Hanna o Brown eyrhoff). terreno blando terreno duro Q 1 = q πφe u siendo e el esesor de la caa dura, q u su resistencia a la coresión sile

22 Resistencia or fuste. Ya se había indicado que la carga de hundiiento or fuste se calcula en función de la resión de hundiiento or fuste según: Q f l = πφ El ecaniso de rotura or fuste está uy bien definido ya que tiene lugar en la interfase ilote-terreno. Basta or tanto lantear la condición de rotura, que en este caso es la de ohr-coulob, en dicha interfase: 0 f h dz f = τ = a + σ ' tanδ en la que a es la adherencia, δ es el ángulo de rozaiento y σ h es la tensión efectiva horizontal que se uede exresar coo: σ h =Kσ v =Kγ z y or tanto resulta: f = τ = a + σh ' tan δ = a + Kγ' z tan δ Al usar esta condición de rotura se observa que la resistencia or fuste crece linealente con la rofundidad. Esto, sin ebargo, no es uy realista ya que al edir con el enetróetro (anguito) la resistencia or fuste en rofundidad se observa que se roduce una estabilización y que incluso con los ejores suelos (arenas densas) nunca se suera el valor líite de f = 1k/c Puesto que tanto la resistencia or unta coo la resistencia or fuste se estabilizan con la rofundidad entonces el cociente / f se antiene constante a artir de cierta rofundidad. En general la resistencia or fuste es ayor en suelos granulares que en suelos cohesivos debido a que en los rieros se basa en la coonente friccional (que deende del confinaiento) ientras que en los segundos las condiciones de rotura no drenada ilican que solo quede la coonente de adherencia. Sin ebargo, es habitual que en arenas el fuste se ovilice oco debido a que la unta se encuentra bien aoyada y el ilote asienta oco (baja deforabilidad del suelo en la zona de unta). Por el contrario, en arcillas, la caacidad ortante en la unta es baja y la deforabilidad del terreno alta (ilotes flotantes) y el fuste se oviliza siendo or tanto iortante la contribución or fuste del ilote. Por últio hay que rearcar que la coonente or fuste es uy sensible a la uesta en obra. Por ejelo, hay ucha diferencia si el ilote es hincado o erforado.

23 Resistencia or fuste en arenas Se arte de la condición general de rotura de ohr-coulob: f = τ = a + σh ' tan δ = a + Kγ' z tan δ y se discute a continuación la iortancia relativa de cada térino: - El térino de adherencia a, que está relacionado con la cohesión del suelo uede desreciarse en suelos granulares. - El ángulo de rozaiento δ corresonde al rozaiento en la interfase sueloilote y uede estiarse según: - δ = φ en el caso de ilotes de extracción ya que la rugosidad del ilote con el terreno uede ser buena. - δ = φ /3 en el caso de ilotes etálicos hincados que son uy lisos. - δ = φ /3 en el caso de ilotes hincados de horigón. - El coeficiente de euje K está uy influido or la fora de ejecución de los ilotes: - En ilotes de extracción uesto que el terreno se descorie al hacer la erforación y acaba eujando sobre el ilote, K a <K<K 0. En caso de tener que toar un valor seria aconsejable adotar K=K a que dejaría del lado de la seguridad. - En ilotes de deslazaiento uesto que el terreno se corie al hincar el ilote, K 0 <K<K. En caso de tener que toar un valor seria aconsejable adotar K=K 0 que dejaría del lado de la seguridad. Valores tíicos de K Arena suelta Arena densa Hincado erforado En todo caso, ya se ha dicho que es ás robable disoner de inforación enetroétrica que de ángulos de rozaiento. Esto quiere decir que se deberá estiar la resistencia or fuste en base a dichos resultados enetroétricos. En este caso: f qc = q (k/c c ) 4N β 0 < β < 00 La variable β auenta con la resistencia (ver figura adjunta). Por últio, el enetróetro estático tabién es caaz de aortar inforación directa de la resistencia or fuste, es decir, edida directa de f. En cualquier caso está liitada, coo ya se ha dicho, al valor de 1 k/c.

24 q c f = = β R β Figura. Resistencia or fuste en arenas. Resistencia or fuste en gravas Puesto que en gravas es difícil la realización de ensayos de enetración, se ueden toar los siguientes valores de referencia: f (k/c ) Gravas líias (GW, GP) 1 Gravas arenosas (GS) 0.77 Gravas arcillosas o liosas (GC, G) 0.51

25 Resistencia or fuste en arcillas La estiación de la resistencia or fuste en arcillas es difícil or la generación de resiones intersticiales debido a su baja ereabilidad, el reoldeo que ueden sufrir durante la ejecución de los ilotes y la resencia de rocesos de consolidación en el terreno donde se instalan. Prácticaente se trata de una resistencia or adherencia lo que daría lugar a: l Q f = πφ adz 0 es decir que se suuesto que δ=0 que corresonde a la rotura de la interfase en condiciones no drenadas. La adherencia a deende de varios factores y lógicaente se odrá estiar a artir de la resistencia al corte sin drenaje del suelo c u. 0.5 Adherencia (k/c) Pilote liso Pilote rugoso Resistencia al corte sin drenaje (k/c) Adherencia en función de la resistencia al corte sin drenaje Esto indica que un osible fora de evaluar la adherencia uede ser: = a = β f c u Coo uede verse en la figura adjunta β es rácticaente igual a la unidad ara arcillas blandas (c u < 0.3 k/c ) ientras que va decreciendo a edida que va auentando la resistencia llegando a valer del orden de 0.. Kerisel rouso la siguiente exresión ara la deterinación de α: β = + cu 1+ 7c 1 ( c u en k/c u Finalente es conveniente exresar la resistencia or fuste en función de la resistencia a la enetración, en cuyo caso resulta: f = a = βc u qu = β sujeto en todo caso a la liitación de 1k/c. qc β 15 )

26 =β c =βq / βq /15 f u u c Resistencia or fuste en arcillas. Por últio, hay que hacer una serie de recoendaciones resecto a la evaluación de la resistencia or fuste que se ueden alicar ara quedar del lado de la seguridad: - En el caso de encontrar caas de arcillas uy blandas rofundas, la resistencia or fuste de las que se encuentran or encia no uede ser suerior a 3 veces la de las caas blandas. - En el caso de encontrar caas granulares intercaladas en arcillas, la resistencia or fuste de las caas granulares no uede ser suerior que veces la de las caas arcillosas. - En caas de arcilla con consistencia edia o suerior se deben desreciar los etros sueriores en contacto con la suerficie del terreno.

27 Resistencia or fuste en rocas En general no habrá que considerar el fuste en caas de roca ya que la roca interesa ara un aoyo or unta. Si hay que considerar algún caso: 1 f = q u 0

28 Fórulas de hinca Las fórulas de hinca se usan rincialente ara control de cabios de terreno durante la ejecución, osible rotura del ilote durante la hinca, detección de caas fires de aoyo y, en general, control del terreno durante la ejecución H: altura de caida de la aza de eso P = g δ: rechazo, /gole El trabajo desarrollado or un eso P al caer de una altura H se uede escribir coo: T total = ηp siendo η un coeficiente de érdidas de energía, es decir que no toda la energía otencial se llega a transforar en trabajo. Tabién se designa coo rendiiento del sistea de goleo. Este trabajo se consue en: érdidas or choque no elástico, trabajo/energía consuido en la hinca y en deforación elástica del ilote y otros eleentos. La caída de la aza rovoca un cierto asiento del ilote δ. La carga de hundiiento del ilote uede deterinarse coo: Q h H P H P = δ P + P Deostración: : : v i : v : v : asa del ilote, asa de la aza, velocidad inicial de cada de la aza, velocidad del ilote desués de ser goleado, velocidad de la aza desués de ser goleado Las ecuaciones ara resolver el roblea lanteado son las de la teoría de choques, es decir, la conservación de la cantidad de oviiento: y la conservación de la energía cinética: v = v + i v

29 + = i f o v v v E E exresión que uede toar diferentes valores en función de que se considere choque elástico (con rebote) o no elástico (sin rebote): Choque elástico: i i f o v v v v v E E + = + = = Choque no elástico (sin rebote): (v =v ) i i v v v v + = + = ) ( 1 ) ( 1 1 i i f o v v v E E + = = + = = En la realidad se roduce una situación interedia que se uede exresar coo: ( ) choque i f o T v E E = ρ + = 1 1 que corresonde al caso elástico cuando ρ=1 y al caso no elástico (sin rebote) cuando ρ=0. Este coeficiente ρ recibe el nobre de coeficiente de ercusión. En rier lugar se igualará el trabajo disonible con la energía inicial: o i total E v H P T = = = η 1 lo que erite escribir las érdidas de energía coo: ( ) choque f o T H P E E = ρ η + = )1 ( Por otro lado, se ueden escribir dos contribuciones as del trabajo total, que son: Hinca del ilote: h hinca Q T δ = Deforación elástica del roio ilote: e elastico Q h T δ = 1 Finalente, la ecuación de conservación del trabajo total es: elástico hinca choque total T T T T + + = en la que se substituye: ( ) ( ) h e h Q Q H P H P δ δ ρ η = η 1 1

30 que tras algunas transforaciones algebráicas conduce a: Q h ηph P +ρ P = 1 δ+ δ P + P e que conduce a la fórula final si se desrecia la deforación elástica y se suone la ercusión coletaente lástica (sin rebote): Q ηph P δ P + P h = Pruebas de carga En casos de resonsabilidad donde se requieran garantias excecionales es recoendable realizar ruebas de carga sobre los ilotes construidos. Éstas ueden ser destructivas y no destructivas. En el rier caso, la inforación es ás coleta.

31 1.4. GRUPOS DE PILOTES. CARGA DE HUNDIIENTO Noralente los ilotes de agruan ara forar cientaciones a las que se da continuidad ediante el enceado. Dicho enceado es un eleento estructural cuya isión es transitir las cargas a los ilotes y no al terreno. De hecho, su aoyo al terreno será débil o inexistente debido a la elevada rigidez de los ilotes. La searación entre ilotes es una variable fundaental tanto ara el coortaiento del terreno coo ara la distribución de cargas en el gruo. Dicha searación s suele estar en el rango de.5φ a 4φ. En ilotes hincados en arenas se ha observado una ejora de la resistencia la hundiiento debido a la coactación del suelo en las inediaciones del gruo. El áxio efecto se observa ara s = 3.5φ. Para valores uy sueriores (s >>3.5φ) los ilotes se coortarán coo aislados y la ejora or efecto gruo será desreciable. Para valores uy inferiores (s φ) queda oco suelo entre los ilotes y se ierde eficiencia. El áxio efecto corresondería a: Q gruo h = 1.5 Q Coo en la ráctica es difícil de garantizar esta eficiencia, suele toarse: Q gruo h = En el caso de ilotes de extracción en arenas la descoresión del terreno uede dar lugar a una disinución de la resistencia or fuste, lo que llevaría evaluar la carga de hundiiento del gruo coo: gruo i Q = 0.7 Q φ s 4φ h h En suelos arcillosos, indeendienteente de la fora de ejecución, se roduce reoldeo de la arcilla lo que suele reducir la eficiencia del gruo de ilotes. Noralente se uede exresar coo: gruo i Qh =η Qh en la que η recibe el nobre de coeficiente de eficiencia. Dicho coeficiente se uede calcular coo (Coeficiente de gruo de Los Angeles): β (n- 1)+n(- 1)+ (- 1)(n- 1) φ η= 1 β= arctg( ) π n s en la que es el núero de ilotes or fila y n es el núero de ilotes or coluna del gruo. En el caso de arcillas, ara searaciones equeñas (s < φ) no debe descartarse la osible rotura en bloque del gruo coo si de una cientación seirofunda se tratara. En este caso uede llegarse a: gruo i Qh < 0.65 Qh lo que noralente requeriría de un cálculo en resiones de hundiiento suoniendo rotura global del conjunto (cientación suerficial con lanta la del gruo y eotraiento igual a la rofundidad de los ilotes). Q i h i h

32 En el caso de gruos de ilotes en roca se uede llegar a searaciones equeñas de hasta s = 1.5φ sin reducción de las cargas de hundiiento. Análisis de gruos de ilotes ediante zaatas equivalentes En algunos casos eseciales (ya se ha encionado el caso de gruo de ilotes en arcilla con searaciones equeñas) es osible un ecaniso de rotura global del gruo de ilotes. Noralente, esta situación ilica la necesidad de corobaciones adicionales or el osible colaso. Estas corobaciones tienen untos en coún con las corobaciones lanteadas en cientaciones suerficiales. A continuación se resentan algunos de estos casos: - Caas blandas rofundas encia y debajo de caa dura de equeño esesor: Un gruo de ilotes con la unta en dicha caa dura uede rovocar la rotura or unzonaiento de dicha caa dura. - Puede lantearse un unzonaiento en dicha caa dura - Se uede transitir la tensión hacia las caas blandas con un ángulo de 30 o en el caso de roca o terreno granular y 10 o en el caso de arcillas. - Pilotes flotantes en caa ás dura que una rofunda ás blanda: se uede transitir la tensión hacia las caas blandas con lanos divergentes eezando 5φ or arriba del lano de aoyo de los ilotes en el caso de arenas (ayor contribución or unta) o 1/3 l desde dicho lano de aoyo en el caso de arcillas (ayor contribución or fuste). En general el confinaiento es uy alto (q = γ l) lo que rovoca que dichos ecanisos sean oco robables.

33 1.5. DISTRIBUCIÓN DE CARGAS EN GRUPOS DE PILOTES Una vez que se ha obtenido la carga de hundiiento de un gruo de ilotes se uede establecer la siguiente condición de seguridad ara su corobación: FS hundiiento Qh = V en la que V es la carga vertical que transite la estructura al gruo de ilotes. Se uede suoner adeás que cada ilote, en situación de servicio, va a recibir: V Vi = n en la que n es el núero de ilotes del gruo. Estas dos exresiones no son válidas si el gruo de ilotes debe soortar esfuerzos horizontales equeños y oentos. Tanto unos coo otros tienen coonentes verticales al actuar sobre un gruo de ilotes. Estas coonentes son diferentes en cada ilote del gruo, udiendo llegar a invertir el esfuerzo total vertical sobre algún ilote (ilote traccionado). Para obtener la distribución de cargas verticales rovocadas or un sistea general de esfuerzos: V, H, uede hacerse de varias foras: - Prescindir del terreno y considerar que la unión de los ilotes con el enceado es articulada - Sustituir las reacciones del terreno or un eotraiento situado a una cierta rofundidad l' que deende de la deforabilidad del suelo y de los ilotes. Resolver el órtico corresondiente. - Considerar que los ilotes de encuentran en el interior de un edio continuo. gruo Incororación de oentos Se suone la unión articulada entre ilotes y enceado. Se suone que actuan V, x, y con lo cual, suoniendo una distribución lineal de tensiones, uede escribirse coo: en la que: V y yxi A I I x i σ = + + i x y I = Ay I = Ax x j j y j j y en el caso de areas iguales en todos los ilotes resulta: V V y x x i y i i= + + n y j x j j j que erite obtener la carga en cada ilote. En concreto, el ilote ás cargado y el enos cargado.

34 Es iortante corobar que el ilote enos cargado no se encuentra a tracción. En caso de estar a tracción, uede variarse la searación ara evitarlo o oner ás eso en el enceado.

35 Incororación de esfuerzos horizontales La resolución de un órtico eotrado e hierestático soetido a un esfuerzo horizontal H da lugar a los siguientes esfuerzos horizontales, oentos y verticales: H H V xi yi H i Hx Hxil' H = yi = y = n Hy Hyil' H = xi = x = n H H y x x i y i = + y x i i Tanto los esfuerzos verticales coo los oentos deben añadirse a los anteriorente calculados. De fora que en total se roduce el siguiente esfuerzo vertical sobre cada ilote: V H H V xyi yxi x yi y i i= n Σy Σ i xi Σy Σ i xi En este caso de esfuerzos horizontales, la deterinación de l' uede hacerse ediante exresiones coo: siendo l l ' 1.4 = ara arcillas E /3 ' = 1. f 4 ara arenas Eo/El EI E I E l / Donde E o es el ódulo del terreno arriba y E l es el ódulo del terreno en unta. f x yi xi

36 Finalente, resecto a la distribución de cargas en gruos de ilotes se van a hacer algunos coentarios o recoendaciones: - El factor de seguridad al hundiiento de un gruo uede establecerse de fora conjunta, en cuyo caso uede ser que el ilote ás cargado se acerque a rotura. Noralente se uede considerar un factor de seguridad algo enor ara la corobación individual del ilote ás cargado. - Si se hace la corobación de hundiiento sobre el ilote ás cargado, se uede asegurar que el global tabién se cule. - Adicionalente hay que corobar la carga sobre el ilote enos cargado y verificar que no se encuentra soetido a tracción. En caso de que haya tracción uede hacerse lo siguiente: - Que sea del orden del eso del ilote coo áxio - Que el ilote no se arranque (solo contribución or fuste y con iso factor de seguridad que al hundiiento). - Auentar el eso del enceado - ejorar la inercia del gruo auentando la searación. - La NTE considera unos gruos equeños de, 3 o 4 ilotes. Coo las corobaciones que se describen en dicha nora se basan en una exresión general y el uso de un oento equivalente, entonces se usa lo siguiente: - Gruo de 1 ilote: x = y = 0 - Gruo de ilotes: x = 0, y 0 eq = y - Gruo de 3 ilotes: x 1.75 y eq = 1.75 x - Gruo de 4 ilotes: x 0, y 0 eq = x + y

37 1.6. COPROBACIONES EN ROTURA Y EN SERVICIO Carga de hundiiento: Situación de fallo de la estructura. Se debe asegurar que no se llega a esta situación tanto global coo localente. Incertidubre existente: existe incertidubre tanto en las cargas coo en la resistencia. En las cargas realizar una evaluación or el lado de seguridad. Pueden calcularse ayoradas. En la resistencia la incertidubre es tanto del coortaiento del terreno coo del ilote. Si el odelo usado es ás fiable se uede reducir el factor de seguridad. Coeficiente de seguridad: Su rincial isión es la de alejar el coortaiento de la estructura del estado de rotura ara que exista un argen suficiente ante eventuales estados de carga no revistos en el royecto. Adicionalente, el factor de seguridad erite cubrir inexactitudes de los odelos usados. Qh Q FS = o bien FS = Q V ad Noralente el valor de FS = 3 es un valor de referencia aunque se uede variar en función de diversos factores. Por ejelo, tradicionalente a la carga de hundiiento estiada ediante fórulas de hinca se le ha asociado un factor de seguridad del orden de 6. Asientos: Con la carga de trabajo o adisible (carga edia) se ueden calcular los asientos ya sea or exresiones eíricas, tablas o étodos basados en el coortaiento tensión - deforación del suelo. Pasos a seguir ara calcular un gruo de ilotes. Se trata de deterinar las variables: n, φ, s, l 1. Elegir un gruo de ilotes (n). Calcular V i (s), es decir, el ilote ás cargado del gruo 3. Se toa s =.5 φ 4. Corobar que V i Te lo que erite deterinar φ. Si se considera deasiado grande hay que volver a Corobar que FS = Q h /V i lo que erite deterinar l. Si se consideran los ilotes deasado largos hay que volver a 1. Nota: en ilotes coluna, la longitud l es un dato. Toe estructural de un ilote: Es la carga adisible del ilote coo estructura de horigón arado. Te= 0.5σ A σ A h ax 0.5σhorigon 750 t/ en ilotes refabricados 0.5σhorigon 600 t/ en ilotes ejecutados in situ A acero 0 horigon horigon acero acero

38 Asientos en ilotes Es uy dificil deterinar los asientos ediante étodos sencillos de cálculo. Los ás aroiado es realizar ruebas de carga, lo que uede resultar uy costoso. El asiento de un ilote se debe a dos térinos, uno de deforación del roio ilote y otro de deforación del terreno. La corobación de asientos es innecesaria en ilotes coluna sobre roca, en arenas densas y en arcillas duras. La deforación del ilote uede deterinarse coo: l σ s= dz = E 0 Por otro lado, existen exresiones eíricas ara el cálculo que se ueden encontrar en la literatura. Vl AE En ilotes flotantes se ueden usar las soluciones elásticas dadas or indlin. Por últio, uede ser conveniente y a la vez fácil de hacer, calcular los asientos de un gruo de ilotes coo si se tratara de una cientación equivalente. Para ello uede toarse una zaata equivalente aoyada a rofundidad de (/3)l y con suerficie la del gruo de ilotes.

39 1.7. SOLICITACIONES ESPECIALES Son solicitaciones que ueden resentarse eventualente y ser uy erjudiciales ara el coortaiento de los ilotes. - Fricción negativa - Cargas horizontales - Eujes laterales del terrreno - Pandeo - Tracción Fricción negativa Se roduce or consolidación del terreno, or ejelo: - Consolidación natural (es decir or eso roio) de un relleno reciento oco coactado. - Consolidación rovocada or un terralén: carretera en terralén que llega a uente que se cienta ediante ilotes. - Consolidación inducida or variación del nivel freático - Consolidación inducida or cabio de estructura del suelo (arcillas tixotróicas) causada or la roia hinca de los ilotes. El terreno se cuelga del ilote ya que éste no erite el deslazaiento relativo en el contacto. Si el ilote fuese uy liso, el resultado sería que su cabeza iría saliento. Coortaiento ideal de la interfase terreno-ilote: Tensión tangencial Deslazaiento Al auentar el deslazaiento relativo la tensión tangencial auenta hasta llegar a un valor líite que es la resistencia or fuste. A artir de este unto se antiene constante. Si osteriorente el deslazaiento relativo eieza a disinuir, entonces la tensión tangencial tabién disinuye. Eventualente, uede llegar a invertir su signo y entonces el fuste eieza a cargar sobre el ilote. Este efecto tiene el iso líite que en ositivo. Se llega a un valor que se antiene incluso con el

40 deslazaiento relativo descenciendo. Por últio, cuando el deslazaiento relativo vuelve a auentar (or carga de ilote), la tensión tangencial volverá a recuerarse y volverá a cabiar de signo hasta ser ositiva nuevaente. Casos de ilotes con afectados or rozaiento negativo Pilotes coluna: La fricción negativa uede desarrollarse en todo el fuste ya que la unta es un aoyo con uy oca caacidad de oviiento: Ley de tensiones tangenciales ositivas. Al rinciio auenta or auento de la tensión vertical con z. Luego disinuye or disinuir el deslazaiento relativo τ= a +σ' tanδ h Ley de tensiones tangenciales negativas. Al rinciio auenta or auento de la tensión vertical con z a esar del ayor deslazaiento relativo. Luego disinuye or disinuir el deslazaiento relativo El aso desde la situación de fricción ositivas hasta la fricción negativa se roduce de la siguiente fora:

41 Pilotes flotantes: En ilotes flotantes no es osible, or equilibrio de fuerzas, que le rozaiento negativo se desarrolle en todo el fuste. De hecho, cuando eieza a aarecer este efecto or la arte suerior, el ilote asienta. De esta fora siere queda una arte con rozaiento ositivo que erite una cierta caacidad ortante. Eventualente se uede llegar al hundiiento. Por otro lado, los asientos ara alcanzar el nuevo equilibrio ueden ser inadisibles. - + En la zona suerior (or encia del unto neutro) se roduce un auento debido al auento de las tensiones norales con la rofundidad. Alrededor del unto neutro el coortaiento es elástico. En la zona inferior, el auento de la tensión noral es coensado or el descenso en el deslazaiento relativo al llegar a la zona de la unto. La fricción negativa es erjudicial orque: - La carga de hundiiento se reduce - El estado tensional del ilote auenta - Auenta el asiento Físicaente uede suonerse que el coortaiento de la interfase suelo ilote se coorta de igual fora en rozaiento ositivo que en rozaiento negativo. Por ello, en suelo granular se calcula coo un térino de tio friccional ientras que en arcillas es un térino de tio adherencia. El friccional es caaz de desarrollar tensiones ayores que el de adherencia. Si bien es cierto que las arenas no consolidan, uede asar que una caa de arena siutada sobre una de arcilla que no consolidad rovoque unos efectos uy negativos sobre el ilote. El rozaiento negativo se uede reducir de las siguientes foras: - Disinuir el núero de ilotes ero que tengan ayor diáetro. Auenta la relación area/eríetro. - Ensanchar el ie del ilote ara disoner de ayor carga or unta.

42 - Lubricar el fuste. - Evitar la consolidación. El rozaiento negativo afecta a la condición de hundiiento, a la de toe estructural y a los asientos. Según la NTE la carga de hundiiento se calcula coo: Q = Q + Q R Q < 3Q h f f Q = Q + Q R Q > 3Q h f 1 f El rozaiento negativo debe añadirse tabién ara corobar la sección de horigón ás cargada a coresión: Vax + Ri Te Los valores áxios de R 1 y R deenden del tio de ilote. En coluna es valor áxio es la roia resistencia or fuste que noralente ya se ha calculado. En ilotes flotantes se reduce dicha resistencia or fuste a la itad ara tener en cuenta que el ilote asentará durante el desarrollo de dicha fricción negativa.

43 CALCULO DE LA CARGA DE HUNDIIENDO CUANDO SE PRODUCE FRICCIÓN NEGATIVA Sea: Qh = Q + Qf la carga de hundiiento de un ilote (contribución or unta ás contribución or fuste). Eventualente Q f uede descoonerse en varios térinos de acuerdo con las caas que se atraviesen. Por ejelo: Q = Q l + Q l + Q l + Q l f f 1 1 f f3 3 f4 4 Pilotes coluna: Terreno estratificado en el fuste consolidando las caas 1 y (las sueriores). Q = Q Q l Q l + Q l + Q l h f1 1 f f 3 3 f 4 4 Pilotes flotantes: Terreno estratificado en el fuste consolidando las caas 1 y (las sueriores): 1 1 Qh= Qf 1 l1 Qf l + Qf 3 l3 + Qf 4 l4 se suone desreciable la contribución or unta. otivo de la reducción or (1/): al variar Q f el ilote asienta y no se uede ovilizar todo el rozaiento negativo. Pilotes flotantes: Terreno hoogéneo en el fuste consolidando. Suoneos que las tensiones tangenciales se invierten en l/3 y valen la itad de la resistencia or fuste en esa zona, es decir: l 1 l Qh = Qf ( l - )- Qf 3 3 otivo: al variar Q f el ilote asienta y no se uede ovilizar todo el fuste en fricción negativa. Adeás, busca una situación de equilibrio con rozaiento ositivo y negativo. El esquea rouesto equivale a: l 1 l l l Qh = Q f l Qf = Qf l = l l = Qf = Qf l Qf