CÁLCULO I COMISIÓN 1 A-G COMISIÓN 2 H-Z. Profesora a cargo: Ing. María Ibarra. Profesor a cargo: Prof. Ing. Sergio Sedoff

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Ramona Piñeiro Castilla
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1 CÁLCULO I COMISIÓN 1 A-G Profesora a cargo: Ing. María Ibarra COMISIÓN 2 H-Z Profesor a cargo: Prof. Ing. Sergio Sedoff Práctica - Ing. Mario Kornuta - Ing. Alex Gutawsky - Ing. Briant Gauna Práctica - Prof. Javier Lisondo - Ing. Fernando Portillo - Ing. Cristian Flores

2 CÁLCULO I Contenidos mínimos: Funciones. Límite y continuidad. Derivada. Integral definida. Integral indefinida. Sucesiones. Series. Desarrollos en series de potencia. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

3 REGLAMENTO 75% de asistencia a las clases prácticas. 4 parciales: 2 parciales en el 1er semestre y 2 en el 2do. Cada parcial tiene un recuperatorio. El alumno que desaprueba ambos recuperatorios queda en condición de libre. El alumno que apruebe uno de los parciales (en cualquier instancia) accede a otra instancia de recuperación antes de iniciar el 2do semestre. Si aprueba sigue cursando y sino, queda en condición de libre. Lo mismo para el 2do semestre. Aprobando los 4 parciales se debe rendir un examen final teórico práctico oral. Los alumnos que aprueben los parciales en primera instancia con nota 7 o mayor, podrán rendir la materia en 2 etapas.

4 APOYO Todos los integrantes de la cátedra damos como mínimo 2hs por semana de consulta. Habrá un Taller de Apoyo, los lunes de 16 a 18hs.(nuevo proyecto)

5 BIBLIOGRAFÍA Zill, Dennis; Cálculo y Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica; 1987 Stewart, James; Cálculo de una variable; Thomson Editores; Larson, R.; Hostetler, R. & Edwards, B.; Cálculo, Vol 1; Mc Graw Hill; 1999

6 Desigualdades e Inecuaciones

7 Desigualdades Definición: Se denomina desigualdad a la comparación que se establece entre dos expresiones reales, mediante los signos de relación: < Menor que > Mayor que Menor o igual que Mayor o igual que

8 Propiedades Una desigualdad mantiene su sentido cuando se suma o se resta un mismo número a cada miembro de la desigualdad. Ejemplos: a) Si sumamos m a ambos miembros de la desigualdad, a b b) c) resulta: 5 < < < > > > 5 a + m b + m (Sumando 2 a cada lado de la desigualdad) (Restando 3 a cada lado de la desigualdad)

9 Una desigualdad mantiene su sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen por un mismo divisor, también positivo. Ejemplos: a) 3 < (Multiplicando por 2 cada lado de la desigualdad) 3 2 < < 12 5 b) 160 > 24 (Dividiendo por 8 cada lado de la desigualdad) > 20 >

10 Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen por un mismo divisor, también negativo. Ejemplos: a) 3 < (Multiplicando por -2 cada lado de la desigualdad) 3-2 > > b) 160 > 24 (Dividiendo por -8 cada lado de la desigualdad) < < -3

11 Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido. Ejemplo: 7 < < 10 3 (Elevando al cubo cada miembro) 343 < Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; sin embargo, si el grado de la potencia es par, cambia de sentido. Ejemplos: a) -3 > -6 b) -8 < -4 /( ) 3 /( ) 2 (-3) 3 > (-6) 3-27 > -216 (-8) 2 > (-4) 2 64 > 16

12 Si ambos miembros de una desigualdad son positivos o negativos, y se invierten, es decir, se elevan a -1, la desigualdad cambia de sentido. Ejemplos: -5 < -2 (-5) -1 > (-2) > -1 2 /( ) -1 /( ) < 6 5 > >

13 Clases de desigualdad

14 Intervalos Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente en la recta numérica. Intervalo abierto ] a,b [ = { x Є IR / a < x < b } Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b, sin incluir a a, ni b. Gráficamente: - + a Observación: ] a,b [ = (a,b) b

15 Intervalo cerrado [ a,b ] = { x Є IR / a x b } Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b, incluyendo a a y b. Gráficamente: - + b a

16 Intervalo semi-abierto o semi-cerrado I. [ a,b [ = { x Є IR / a x < b } Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b, incluyendo a a pero no a b. Gráficamente: - + a b II. ] a,b ] = { x Є IR / a < x b } Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b, no incluyendo a a, pero sí a b. Gráficamente: - + a b

17 Intervalos indeterminados I. [ a,+ [ = { x Є IR / x a } Incluye a todos los reales mayores o iguales que a - + a II. ] a,+ [ = { x Є IR / x > a } Incluye a todos los reales mayores que a - + a

18 III. ]-, b ] = { x Є IR / x b } Incluye a todos los reales menores o iguales que b - + b IV. ]-, b [ = { x Є IR / x < b } Incluye a todos los reales menores que b - + b

19 V. ]-, + [ = IR - IR + El infinito nunca se incluye dentro de un intervalo y además nunca se escribe en la desigualdad.

20 Inecuaciones Se denomina inecuación a cualquier desigualdad relativa. Los valores de la variable que verifican la inecuación forman el conjunto solución, el cual se presenta en función de intervalos.

21 Tipos de Inecuaciones De primer grado o lineales De segundo grado o cuadrática De grado superior Fraccionarias ax + b 0 ax 2 + bx 0 x 4 18 < 7x 2 9x + 10 x + 2 < 2 Con valor absoluto 3x + 4 < 5

22 Resolución de inecuaciones lineales El método más utilizado es el llamado método de los puntos de corte

23 Resolución de inecuaciones cuadráticas Resolución de inecuaciones orden sup

24 Resolución de inecuaciones fraccionarias

25 Valor absoluto

26 Interpretación Geométrica El valor absoluto de un número a, geométricamente es la distancia de ese número al origen. Por ejemplo 3

27 Interpretación Geométrica El valor absoluto de un número b a, geométricamente representa la distancia que existe entre esos dos valores. Por ejemplo 8 3

28 2 0, 2 0 Teoremas La distancia de un número al origen es siempre o cero, o positiva, NUNCA NEGATIVA 2 = 2 La distancia de un número al origen es igual que la distancia del opuesto de ese número al origen = 10 = 10 = 2 5 = 2.5 = 10 La distancia del producto de dos números al origen es igual que el producto de las distancias de esos dos números al origen.

29 Teoremas 2 3 = 2 3 = 2 3 La distancia del cociente de dos números al origen es igual que el cociente de las distancias de esos dos números al origen. 2 3 = 2 3 = 2 3 ൫ 2ሻ 2 = 2 2 = ( 2ሻ

30 Propiedades = = ( 5ሻ 0

31 Resolución de ecuaciones con valor absoluto Ejemplo: Resolver: x + 1 = 3x + 5

32 Resolución de inecuaciones con valor absoluto

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Inecuaciones lineales 1. Desigualdades 1.1. Definición: Una desigualdad es una comparación entre "a" y "b" tal que: a > b a < b Se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia a - b es positiva Se lee "a"