Unidad 11. Cuerpos geométricos

Transcripción

1 a las Enseñanzas cadémicas Página 07 Resuelve 1. Busca información sore los sólidos arquimedianos: a) Cuántos triángulos y cuántos cuadrados forman la superficie de un romicuoctaedro? ) Escrie el nomre de otros tres sólidos arquimedianos. a) La superficie de un romicuoctaedro está formada por 8 triángulos y 18 cuadrados. ) Cuoctaedro, icosidodecaedro, romicosidodecaedro.. Calcula, al estilo de rquímedes, la fórmula del volumen de una esfera, teniendo en cuenta las siguientes ayudas: La suma de los volúmenes de varias pirámides con la misma altura es: = 1 (suma de las superficies de las ases) ltura El volumen de la esfera se calcula aplicando la fórmula anterior a la suma de todas las finísimas pirámides, de vértice O y altura r, en que se puede descomponer la esfera. El área de la superficie esférica es 4π r. La suma de la superficie de las ases de las pirámides coincide con la superficie esférica, 4πr. La altura de cada pirámide es muy próima al radio de la esfera, r. V = 1 (Suma de las superficies de las ases) ltura = 1 (4πr ) = 4 πr 1

2 a las Enseñanzas cadémicas 1 Poliedros regulares y semirregulares Página Hemos señalado en rojo los centros de las caras frontales de estos poliedros, y en color más claro, los centros de algunas caras ocultas. Uniéndolos convenientemente se otienen los poliedros duales. Hazlo en tu cuaderno. octaedro cuo dodecaedro icosaedro tetraedro tetraedro

3 a las Enseñanzas cadémicas Página 09. Haz una tala con el número de caras, vértices y aristas de los cinco poliedros regulares. tetr. cuo oct. dodec. icos. caras vértices aristas a) Compruea que los cinco cumplen la fórmula de Euler. ) Compruea que el dodecaedro y el icosaedro cumplen las condiciones necesarias para ser duales. c) Compruea que el tetraedro cumple las condiciones para ser dual de sí mismo. tetr. cuo oct. dodec. icos. caras vértices aristas a) Tetraedro = Cuo = Octaedro = Dodecaedro = Icosaedro = ) l unir mediante segmentos los centros de cada dos caras contiguas de un dodecaedro, se forma un icosaedro. Si hiciéramos lo mismo con un icosaedro, otendríamos un dodecaedro. demás, el número de caras del dodecaedro coincide con el número de vértices del icosaedro, y viceversa. mos tienen el mismo número de aristas. Por tanto, son poliedros duales. c) l unir mediante segmentos los centros de cada dos caras contiguas de un tetraedro, se forma otro tetraedro. demás, el número de caras y de vértices en un tetraedro son iguales. El tetraedro es dual de sí mismo.. Hemos visto que esta figura no es un poliedro regular. Es semirregular? Esta figura no es un poliedro semirregular porque en todos los vértices no concurren los mismos polígonos.

4 a las Enseñanzas cadémicas 4. Esta pirámide truncada cuyas ases son cuadrados, es un poliedro semirregular? Por qué? No es un poliedro semirregular porque sus aristas no son todas iguales. 5. Eplica por qué las aristas de un poliedro semirregular tienen que ser todas iguales. Las aristas de un poliedro semirregular tienen que ser todas iguales porque son como poliedros regulares, solo se diferencian en que los primeros no tienen todas las caras iguales. 4

5 a las Enseñanzas cadémicas Truncando poliedros Página Vamos a truncar, dando cortes que pasen por los puntos medios de las aristas adyacentes, los restantes poliedros regulares. a) l truncar de este modo un tetraedro, se otiene una figura conocida. Cuál? ) El resultado de truncar el octaedro tamién es conocido. Comprendes, ahora, por qué a esta figura se le llama cuoctaedro? c) Qué figura resulta de truncar un icosaedro? Compárala con el resultado de truncar un dodecaedro que has visto antes y eplica por qué es un poliedro semirregular (recuerda, se llama icosidodecaedro). d) Relaciona los resultados anteriores con la dualidad de poliedros estudiada en el epígrafe anterior. a) La figura que se otiene es un octaedro. ) La figura que se otiene es un cuoctaedro. c) l truncar un icosaedro se otiene un icosidodecaedro, que se compone de pentágonos regulares y de triángulos equiláteros. En cada vértice confluyen dos pentágonos y dos triángulos (es un poliedro semirregular). l truncar un dodecaedro tamién se otiene un icosidodecaedro. d) La figura que resulta al truncar dos poliedros duales es la misma. 5

6 a las Enseñanzas cadémicas. Eplica por qué al truncar los poliedros regulares, ecepto el tetraedro, se otienen siempre poliedros semirregulares. Otenemos poliedros semirregulares porque al truncar siguiendo el patrón que se indica en la teoría, las caras que aparecen son dos tipos de polígonos regulares y en todos los vértices concurren el mismo número de caras.

7 a las Enseñanzas cadémicas Página 11. qué distancia del vértice hemos de cortar los triángulos pequeños para que el heágono resultante sea regular? = 1 l, donde l es el lado del triángulo. 4. Descrie el tetraedro truncado. Cuántas caras tiene? Cuántas son de cada tipo? Cuántos vértices? Cuántas aristas? Cuánto mide la arista del tetraedro truncado con relación a la del tetraedro original? Tiene 8 caras, 4 heágonos regulares y 4 triángulos equiláteros. Tiene 1 vértices donde concurren dos heágonos y un triángulo. Tiene 18 aristas que miden 1 l, siendo l la medida de la arista del tetraedro original. 5. Descrie el octaedro truncado. Caras, tipos. Vértices. ristas. Tiene 14 caras, 8 heágonos y cuadrados. Tiene 4 vértices donde concurren dos heágonos y un cuadrado. Tiene aristas que miden 1 l, siendo l la medida de la arista del octaedro original.. Conociendo las características de un dodecaedro (caras, vértices), descrie cómo será el dodecaedro truncado. Tiene caras, 1 decágonos regulares y 0 triángulos equiláteros. Tiene 0 vértices donde concurren dos decágonos y un triángulo. Tiene 90 aristas. 7. Conocidas las características de un icosaedro, descrie cómo será el icosaedro truncado. Tiene caras, 0 heágonos y 1 pentágonos. Tiene 0 vértices donde concurren dos heágonos y un pentágono. Tiene 90 aristas que miden 1 l, siendo l la medida de la arista del icosaedro original. 7

8 a las Enseñanzas cadémicas Planos de simetría de una figura Página 1 1. Qué condiciones dee cumplir un plano para ser plano de simetría del tetraedro? Cuántos planos de simetría tiene el tetraedro? Para que un plano sea plano de simetría del tetraedro tiene que contener una arista y ser perpendicular a dos caras. El tetraedro tiene planos de simetría, uno por cada arista.. Diuja un prisma heagonal regular. Cuántos planos de simetría tiene? Y cuántos tiene una pirámide heagonal regular? El prisma heagonal regular tiene seis planos de simetría, uno por cada eje de simetría de sus ases, y otro plano de simetría paralelo a las dos ases. La pirámide heagonal regular tiene seis planos de simetría, uno por cada eje de simetría de sus ases.. Recuerda la relación de dualidad entre el cuo y el octaedro (caras-vértices). Basándote en los planos de simetría del cuo, descrie todos los planos de simetría del octaedro. Todos los planos de simetría del cuo inscrito en el octaedro son tamién planos de simetría del octaedro. Por tanto, el octaedro y el cuo tienen el mismo número de planos de simetría. 4. Qué planos de simetría tiene un cono? Y una esfera? Cualquier plano que contiene al eje del cono es plano de simetría de este. Hay, pues, infinitos. Cualquier plano que contenga al centro de la esfera es un plano de simetría de esta. Hay, pues, infinitos. O 8

9 a las Enseñanzas cadémicas 4 Ejes de giro de una figura Página 1 1. Qué ejes de giro tiene una pirámide heagonal regular? De qué órdenes son? Y un prisma heagonal regular? (No pases por alto algunos de orden ). pirámide heagonal Hay solo un eje de giro de orden. Pasa por el centro de la ase y el vértice de la pirámide. prisma heagonal Hay un eje de giro de orden, el que pasa por el centro de las dos ases. Hay ejes de giro de orden : todos ellos son paralelos a las ases. de ellos pasan por el punto medio de las dos caras latelares opuestas, y los otros, por las aristas opuestas.. Qué ejes de giro tiene un ortoedro con las tres dimensiones distintas? De qué órdenes son? e 1 e Hay tres ejes de giro de orden, e 1, e y e. e. Estudia los ejes de giro del octaedro. Puedes asarte en los del cuo. Todos los ejes de giro del cuo son tamién ejes de giro del octaedro inscrito en él. Por tanto, el octaedro y el cuo tienen el mismo número de ejes de giro y de los mismos órdenes. Es decir: Tres ejes de giro de orden cuatro, que pasan por dos vértices opuestos. Seis ejes de giro de orden dos, que pasan por los puntos medios de dos aristas opuestas. Cuatro ejes de giro de orden tres, que pasan por los centros de dos caras opuestas. l comparar estos ejes de giro con los del cuo, se puede oservar la dualidad (caras vértices, aristas aristas): Los ejes que en el cuo pasan por los centros de caras opuestas, en el octaedro pasan por vértices opuestos. Los ejes que en el cuo pasan por aristas opuestas, en el octaedro pasan por aristas opuestas. Los ejes que en el cuo pasan por dos vértices opuestos del cuo, en el octaedro pasan por los centros de caras opuestas. 9

10 a las Enseñanzas cadémicas 5 Superficie de los cuerpos geométricos Página Calcula el área de estos poliedros otenidos a partir de un cuo de 1 cm de arista: 1 B C D Si hacemos el desarrollo de la figura, queda: Ò + 4 Ò FIG. + Ò FIG. 1 cm FIG. 1 1 cm 1 cm 1 cm fig. 1 = 1 + = 108 cm fig. = 1 = 7 cm fig. = 1 = 144 cm total = = 79 cm B Si hacemos el desarrollo de la figura, queda: 1 cm Ò + Ò FIG. + 1 cm FIG. 1 1 cm FIG. 1 cm 1 cm 1 cm = ,97 cm fig. 1 = 1 = 7 cm fig. = 1 = 144 cm fig. = 1 1,97 = 0,4 cm total = ,4 = 5,4 cm 10

11 a las Enseñanzas cadémicas C Si hacemos el desarrollo de la figura, queda: FIG. 1 1 cm h + Ò FIG. + Ò 1 cm FIG. 1 cm 1 cm 1,97 cm (ver B ); h = l 14,70 cm fig. 1 = = 1, 97 14, 70 14,7 cm fig. = 1 = 144 cm fig. = 7 cm total = 14, = 77,7 cm D Si hacemos el desarrollo de la figura, queda: FIG. 1 z Ò + + Ò z = + 8,49 cm potema del heágono regular: ap = z fig. 1 = 18 cm fig. = 8, 49 75, = 187,0 cm z FIG. z ap z = fig. = 1 1 fig. 1 = 144 7,5 = 1,5 cm total = 7, ,0 + 1,5 = 19, cm 1 cm z z l 7,5 cm FIG. 1 cm. Otén la medida de la superficie del prisma y de la pirámide. La ase de amos es un heágono regular. 8 cm B 8 cm z 10 cm 1 cm arista ase 8 cm altura prisma 10 cm arista ase 8 cm arista lateral 1 cm 11

12 a las Enseñanzas cadémicas a = 8 4,9 cm 8 cm 4 cm a ase = 8, 9 = 1, cm lateral = 8 10 = 480 cm total = 1, = 81,4 cm B ase = 1, cm potema de la pirámide = h = ,1 cm lateral = 8 111, = 71,44 cm total = 1, + 71,44 = 47,7 h 4 cm 1 cm. Calcula el área de estos cuerpos: B C 1 cm 1 cm total = π 1 + π 78,58 cm B g = 1+ 1,4 cm total = π 1,4 + π,0 C total = 4π 45,9 cm 4. Calcula el área de los siguientes cuerpos: 10 cm B 5 cm 17 cm 17 cm 1 cm ase grande = = 7 ase pequeña = 10 = 100 cm h = 17 8 = 15 cm 17 cm 10 cm lateral = = 1080 cm 8 cm total = = 185 B = π 1 + π 5 + π(1 + 5) 17 = 50,9 + 78, , = 1 570,8 cm h 1

13 a las Enseñanzas cadémicas 5. Calcula el área total del cono, del cuerpo que resulta de partirlo por la mitad y del tronco de cono otenido al cortar por una sección paralela a la ase, a 5 cm de la misma. B C 0 cm 8 cm 5 cm g = ,54 cm total = π 8 1,54 + π 8 = 74,4 cm B ase = π 8 100,5 cm ; 1/ lateral = π 8 154, 70,8 cm triángulo = 1 0 = 10 cm total = 100,5 + 70, = 51,1 cm C 5 cm 0 cm 15 cm 1,54 cm z y 8 cm 0 = 15 = 8 y = 8 = cm z = 5+ 5,9 cm total = π (8 + ) 5,9 + π 8 + π 551, cm. En una esfera de 0 cm de diámetro, calcula: a) El área de una zona esférica de de altura. ) El área de un casquete esférico cuya ase tiene un radio de 1 cm. a) zona esférica = π 15 55,49 cm 15 cm ) 1 cm = 15 1 = 9 cm y = 15 9 = 15 cm 1 cm y casquete esférico = π 15 55,49 cm 1

14 a las Enseñanzas cadémicas 7. Halla el área de: a) Un prisma recto cuya ase es un romo de diagonales 1 cm y 0 cm, saiendo que su arista lateral mide 4 cm. ) Una pirámide recta con la misma ase y la misma arista lateral que el prisma anterior. c) Un cuoctaedro de 10 cm de arista. d) Un dodecaedro truncado de 10 cm de arista. l 0 l = 10+ = 1 = 11, romo = 0 1 = 10 cm P romo = 4,5 cm 1 a) prisma = romo + P romo 4 = 1 59, ) Cara lateral de la pirámide: 4 cm l ap 4 cm potema de la pirámide: ap = = 4,97 lateral = 4 l ap/ = 115,90 cm ase = 10 cm pirámide = 5,9 cm c) cuadrados 1 = 10 = 00 cm 8 triángulos = 8 (10 10 /) : = 4,41 cm total = 94,41 cm d) 1 pentágonos y 0 heágonos. Área de un pentágono de lado 10 cm: 1 = 5 10, 88 = 17 cm Área de un heágono de lado 10 cm: = 10 8, = 59,80 cm total = = 7 0 cm 14

15 a las Enseñanzas cadémicas Volumen de los cuerpos geométricos Página Calcula el volumen de estos prismas, otenidos cortando un cuo de 1 cm de arista: 1 B C V = 1 = 84 cm B V = 1 = 19 C V = 4. Calcula el volumen de estas pirámides cuyas ases son polígonos regulares: 1 = 84 cm B 8 cm 15 cm 1 cm 15 cm = + 8,49 cm 15 cm h 1 cm h = 15 84, 1,7 cm V = 1 1 1,7 59,7 B 8 cm h = ,9 cm = 8 4,9 cm h 15 cm V = 1 8, 9 1,9 70,5 cm 15

16 a las Enseñanzas cadémicas. Calcula el volumen del tronco de cono y el del tronco de pirámide. B 5 cm 5 cm cm 8 cm 5 = = 15 cm V cono mayor = 1 π 8 0 = 1 40,41 cm V cono menor = 1 π 15 = 55,49 cm 5 8 V tronco de cono = 1 40,41 55,49 = 774,9 cm B = 8 4,9 cm 8 cm 8 cm V pirámide mayor = 1 8, 9 0 = 1108,8 cm 4 cm y y = 5, cm V pirámide menor = 1 5, 15 = 48 cm V tronco de pirámide = 1108,8 48 = 40,8 cm 4. Se corta una esfera de de diámetro por dos planos paralelos: uno pasa por el centro y el otro dista 1 cm del centro Calcula el volumen de cada una de las tres porciones en las que ha quedado dividida la esfera. 1

17 a las Enseñanzas cadémicas ) V porción (1) cilindro = π 18 1 = 888π cm V tronco (1) cono = 1 π 1 1 = 57π cm V porción (1) esfera = 888π 57π 10404,95 cm ) V porción () cilindro = π 18 = 1944π cm V porción () cono = 1 π π 1 1 = 18π cm V porción () esfera = 1944π 18π 1809, ) V porción () esfera = 4 π 18 = 1 14,51 cm 17

18 a las Enseñanzas cadémicas 7 Coordenadas geográficas Página 1 Hazlo tú Halla, en kilómetros, la medida del paralelo 45. r = radio del paralelo 45 r + r = R r =, r = 4501,58 km Perímetro = π 4501,58 = 884, km R 45 r 45 r 1. El metro, unidad de medida de longitud, se definía antiguamente como la diezmillonésima parte de un cuadrante de meridiano terrestre. Es decir, un meridiano terrestre tiene de metros. Según esto: a) Calcula el radio de la Tierra en kilómetros. ) Su superficie en kilómetros cuadrados. c) Su volumen en kilómetros cúicos. d) Calcula el área de un huso horario. a) Meridiano = Perímetro = π R = m = km R, km ) Superficie = 4π (,) = ,1 km c) Volumen = 4 π (,) = 1, km d) Área huso horario = , 1 = 1 074,5 km 4. Un arco va de un punto, situado en las costas de África a 0 latitud norte y 10 longitud oeste, a otro punto B, con la misma latitud y 80 de longitud oeste, siguiendo el paralelo común. a) Qué distancia ha recorrido? ) Qué distancia recorrería si la diferencia de longitudes de los dos puntos fuera de 180? a) Entre y B hay un arco de = 70 Como hemos visto en el prolema resuelto de esta página, el perímetro del paralelo 0 es 441,1 km. Por tanto, la distancia de a B es 4 41, ,77 km. 0 ) 4 41, 1 = 170,55 km 18

19 a las Enseñanzas cadémicas. En Río de Janeiro (4 O) son las 7 de la mañana. Qué hora es en Hiroshima (1 E)? Río de Janeiro 4 Oeste Hiroshima 1 Este Hay 1 horas de diferencia. Por tanto, en Hiroshima son las 7 de la tarde. Otra forma de hacerlo es: 1 = Hiroshima está en el huso horario número 9 al este. 4 = Río de Janeiro está en el huso horario número al oeste. Están, pues, a 1 husos horarios de diferencia. Por tanto, en Hiroshima son las 7 de la tarde (19 h). 19

20 a las Enseñanzas cadémicas Página Hazlo tú Calcula la distancia a la que tenemos que mirar una esfera de 40 cm de diámetro para ver la cuarta parte de su superficie. B = 0 10= = d (d + 10) = 00 d = 0 Tenemos que mirar a 0 cm de distancia. 0 cm O B d 10 cm P Hazlo tú Halla el área total y el volumen de un tronco de cono de de altura cuyos radios miden y 4 cm. 4 cm g = + = = 4 = 1 4 V tronco = V cono grande V cono pequeño = 1 π 18 1 π ,5 cm g = +, cm total = π( + 4), + π + π 4 1,91 cm 0

21 a las Enseñanzas cadémicas Ejercicios y prolemas Página Practica Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos 1. Calcula el área y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos: a) ) 1 cm 0 cm 1 cm 1 cm 15 cm 10 cm 10 cm a) Calculamos primero la altura de la ase, h. h = ,1 cm _ 0 81, 1, cm BSES = = ` cm LTERL = + = + = a V = 8,1 15 = 14,5 cm ) Calculamos primero la apotema, m, y la altura, h, de la pirámide. m = 1 5 = 1 cm; h = ,91 cm _ cm BSE = = ` = = 40 cm total = = 40 cm LTERL a V = ,91,7 cm. Calcula el área y el volumen de los cuerpos geométricos siguientes: total = = 85 a) Prisma de altura 0 cm y cuya ase es un romo de diagonales 18 cm y 1 cm. ) Pirámide heagonal regular de arista lateral 18 cm y arista ásica. c) Octaedro regular de 10 cm de arista. d) Cilindro de altura 7 cm y cuya circunferencia ásica mide 44 cm de longitud. e) Cono de radio 9 cm y generatriz 15 cm. f) Semiesfera de 10 cm de radio. g) Esfera inscrita en un cilindro de 1 m de altura. h) Casquete esférico de 7 cm de altura de una esfera de radio 1 cm. 1

22 a las Enseñanzas cadémicas a) Calculamos primero el lado del romo, l. l = ,8 cm _ BSES = = ` 4 108, 0 85, LTERL = = total = , = 1081, a V = = 10 cm ) Calculamos primero la apotema de la ase,, y la de la pirámide, m. = 5, cm; m = cm _ 5, 9, BSE = = ` = 17 total = 9, + 0 = 99, = 0 LTERL a Calculamos la altura de la pirámide y el volumen: h = 17 5, 1,19 cm V = 1 9, 1,19 = 505,18 cm c) Calculamos la altura de las caras, m, y el área: m = , = , = 4,4 cm Para calcular el volumen del octaedro calcularemos el volumen de una pirámide de ase cuadrada y lo multiplicaremos por dos. h = 8, 5 7,1 cm V pirámide = ,1,7 cm V octaedro =,7 = 47,4 cm d) Calculamos primero el radio de la ase, r. r = 44 7 cm π = π 7 07, 88 cm = 44 7 = 1188 cm BSES LTERL 4 total = 07, = cm V = 15,94 7 = 415,8 cm e) Calculamos primero la altura del cono, h. h = 15 9 = 1 cm π 9 54, 47 cm BSE = = π 9 15 = 44, 1 cm4 total = 54, ,1 = 78,59 cm LTERL V = 1 54,47 1 = 1 017,88 cm f) = 4π 10 8, cm 4 π 10 V = 094,4 cm

23 a las Enseñanzas cadémicas g) = 4π ,9 cm V = 4 π ,78 cm h) = π ,79 cm 7 cm 7 cm 1 cm 1 cm 1 cm 7 cm 5 cm 7 cm 5 cm 5 cm 1 cm V porción cilindro = π 1 7 1,7 cm V tronco de cono = 1 π π , V casquete = 1,7 178, = 1488,07 cm. Halla el área y el volumen de estos cuerpos geométricos: a) ) 8 cm 4 cm 0 cm c) d) 0 cm 10 cm 0 a) Primero calculamos el radio de la ase inclinada, r. d = + 8 = 10 cm r = 5 cm _ π 4 π 5 18, 81 cm BSES = + π 4 ` 75, 4 cm LTERL = = a V = π 4 = 150,8 cm total = 18, ,4 = 04,1 cm

24 a las Enseñanzas cadémicas ) Calculamos primero la generatriz, g. g = + 8 = 10 cm _ π 10 π, 7 cm BSES = + π 10 π 10 7, 99 cm LTERL = + ` total =,7 + 7,99 = 70,7 cm a Para calcular el volumen del tronco de cono restaremos el volumen del cono grande del volumen del cono pequeño. Para ello deemos conocer la altura del cono pequeño,. = + 10 = 1 + = 1,5 cm 10 V tronco de cono = 1 π 10 7,5 1 π 4 1,5 = 1 π 7 70,7 cm c) Calculamos la apotema de la ase, ap, la apotema de la pirámide, m, y la altura de la pirámide, h. ap = 5, cm m = 10 9,54 cm h = 954, 5, 8 cm _ 5, 9, BSE = = ` 9, , 7 cm LTERL = = a V = 1 9, 8 = 49, total = 9, + 171,7 = 5, cm d) Deemos oservar que la porción de esfera que estamos eliminando es 0 = 1 de la 0 1 esfera completa, y que al calcular el área deemos añadir dos semicírculos de radio 0 cm. = 11 4π 0 + π 0 407,7 + 15,4 = 584,1 cm 1 V = π ,79 cm 4. Haciendo girar un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 9 cm y 1 cm alrededor de cada uno de ellos, se otienen dos conos. Diújalos y halla el área y el volumen de cada uno de ellos. 1 cm 9 cm g = 1+ 9 = 15 cm π 9 54, 47 cm BSE = = π , 1 cm LTERL V = 1 54, ,88 cm 4 total = 54, ,1 = 78,59 cm 4

25 a las Enseñanzas cadémicas 9 cm 1 cm g = 15 cm LTERL BSE = π 1 45, 9 cm = π , 49 cm4 total = 45,9 + 55,49 = 1017,88 cm V = 1 45, ,17 cm 5. Calcula la superficie de: a) Un prisma recto pentagonal regular cuyas aristas miden, todas, 10 cm. ) Un dodecaedro regular de arista 10 cm. Recuerda que la apotema de un pentágono regular de lado l mide 0,88 l. a) potema del pentágono =,88 cm S ase = 5 10, 88 = 17 cm S lateral = = 500 cm S total = = 844 cm ) S total = S pentágono 1 = 17 1 = 04 cm. Calcula el área total de los siguientes poliedros regulares y semirregulares de 8 cm de arista: B C D E F G Saemos que la suma de las áreas de las figuras y F es igual al triple del área de la figura B. Decimos, entonces que: + F = B Compruea cuáles de estas afirmaciones son ciertas: a) C + D = G ) B + C = G c) B + C = D d) F + B + C = E 5

26 a las Enseñanzas cadémicas Para las figuras y B, primero calculamos la altura de los triángulos de las caras, h. h = 8 4,9 cm Figura a = 4 8, 9 = 4 7,7 = 110,88 cm Figura B = 8 7,7 = 1,7 Figura C c = 8 = 84 cm Figura D d = ,7 = ,7 = 05,7 Figura E ap heágono = h =,9 cm e = 8 8 9, + 8 = 10, = 1714,5 Figura F f = 0 8, 9 = 554,4 cm Figura G g = , 9 = 17,7 Todas las afirmaciones son ciertas. 7. Halla las áreas y los volúmenes de estos prismas regulares. En amos, la arista ásica mide 10 cm, y la altura, 8 cm. 10 cm 10 cm = 10 5 = 75 = 8, perímetro apotema ase = = , = 1, 5 cm lateral = P h = = 400 cm total = ase + lateral = 1, = 8 cm V = ase h = 1,5 8 = 17 cm En este caso el apotema de este prisma es el mismo que el anterior. perímetro apotema ase = = , = 4,4 cm lateral = P h = = 40 cm total = ase + lateral = 4, = 1,8 cm V = ase h = 4,4 8 = 771, cm

27 a las Enseñanzas cadémicas Página 4 8. Calcula las áreas y los volúmenes de los siguientes cuerpos geométricos: a) ) 4 m 10 m 5 m 15 m m 8 m c) d) 1 m 15 m 4 m,5 m 8 m 14 m 1 m 5 m a) Descomponemos el cuerpo en un cono, un cilindro y una semiesfera. Calculamos primero la generatriz del cono, g. g = 5+ 5,8 cm = πrg + πrh + 4πr = π 5,8 + π 5 + 4π 05,74 cm V = 1 πr h + πr h + 4 πr = 1 π 5 + π π 07,5 cm ) Descomponemos el cuerpo en dos cilindros, uno dentro de otro. = (πr πr ) + πrh + πrh = π(r r ) + πh(r + r) = = π(4 ) + π15(4 + ) 40,88 cm V = πr h πr h = πh(r r ) = π15(4 ) 55,49 cm c) Descoponemos el cuerpo en un prisma y una pirámide triangular. Calculamos primero la altura de la ase de la pirámide, h. h = 1 7 9,75 cm = V = , 1 = 445 cm , = 144,5 cm d) La figura resulta de quitarle al cilindro de radio,5 cm y altura 8 cm un cuarto del mismo. _ π, 5 97, cm BSES = π, , 78 cm` LTERL = + 4 total = 9,7 + 1,78 = 71,05 cm a V = π, ,81 cm 4 7

28 a las Enseñanzas cadémicas 9. Halla el área y el volumen de este tetraedro regular: B D 8 cm D H h O O C C Para hallar la altura H, recuerda que O = h, donde h es la altura de una cara. Calculamos lo que mide la altura h: D h O C h = 8 4 = 48 h =,9 cm ase = h = 8, 9 = 7, 7 cm total = 4 ase = 110,88 cm Calculamos lo que mide la altura H del tetraedro: H = 8 c 9, m = 4, H =,5 cm V = 1 H 1 BSE = 7, 7 5, = 04, cm 10. La ase de un ortoedro tiene dimensiones 40 cm 44 cm. Su volumen es 1 5,5 dm. Calcula las diagonales de sus caras y la diagonal principal. D 40 cm = 4 dm 44 cm = 4,4 dm 40 dm 44 cm V = ase h 1 5,5 = 4 4,4 h h = 11,7 dm d 11,7 dm d = 11,7 + 4 d =,7 dm 40 dm d' 11,7 dm d ' = 4,4 + 11,7 d ' = 1,5 dm 4,4 dm D = 4 + 4,4 + 11,7 D = 7,0 dm 8

29 11. Calcula el volumen del siguiente tronco de pirámide de ases cuadradas: Calculamos las alturas de las pirámides que forman el tronco: h 10 8 = = 0 + = h = 1 a las Enseñanzas cadémicas 10 m 1 m m V tronco = V pirámide mayor V pirámide menor = = 1 9, m 1. Cortamos una esfera de 4 cm de radio por dos planos paralelos: uno que pase por el centro y otro a 1 de este. Halla las superficies y los volúmenes de las tres porciones otenidas ) = π ,74 cm _ V π π cm PORCIÓN CILINDRO = = V 1 ` = π , π cm TRONCO CONO a V porción esfera = 91π 15,π 4,1 cm ) = π ,7 cm V V PORCIÓN CILINDRO TRONCO CONO = = π 4 8= 408π cm 1 π π 1 1 4, 7π cm V porción esfera = 4 08π 4,7π 4 89,1 cm _ ` a ) = 4π 4 19,11 cm ; V porción esfera = 4 π ,9 cm 1. Se corta una esfera de 50 cm de diámetro por dos planos paralelos a 8 cm y 15 cm del centro, respectivamente. Halla el volumen de la porción de esfera comprendida entre amos planos

30 a las Enseñanzas cadémicas V porción cilindro = π 50 (15 8) = π cm V tronco de cono = 1 π π 50 8 = 5 8,π cm V porción esfera = V porción cilindro V tronco de cono = Coordenadas geográficas = π 5 8,π = 11,7π cm 51,9 cm 14. Cuando en el huso 0 son las 8 a.m., qué hora es en el tercer huso al E? Y en el quinto al O? En el huso E son tres horas más, es decir, las 11 a.m. En el huso 5 O son cinco horas menos, es decir, las a.m. 15. Saemos que en Bilao (longitud O) son las 9 de la mañana. Utilizando el siguiente esquema, indica qué hora será en Monterrey (longitud 100 O). M 11 0' ' 0 7 0' B En Monterrey serán las de la mañana. 1. Roma está en el primer huso al E y Nueva York, en el quinto al O. Si un avión sale de Roma a las 11 p.m. y el vuelo dura 8 h, cuál será la hora local de llegada a Nueva York? = horas menos en Nueva York que en Roma. 11 p.m. + 8 = 19 7 a.m. hora de Roma. 19 = 1 p.m. = 1 a.m. es la hora de llegada a Nueva York. 17. Si en La Haana (8 O) son las 8 p.m., asigna su hora a cada ciudad en tu cuaderno: Maputo (Mozamique) p.m. Natal (Brasil) a.m. staná (Kazajistán) 8 p.m. Temuco (Chile) 0 a.m. Honolulú (Hawái) 11 a.m. Dakar (Senegal) 11 p.m. Katmandú (Nepal) a.m. Melourne (ustralia) 7 a.m. Maputo ( E) a.m. Natal 11 p.m. staná (71 E) a.m. Temuco (7 O) 8 p.m. Honolulú (158 O) p.m. Dakar (1 O) 0 a.m. Katmandú (85 E) 7 a.m. Melourne (144 E) 11 a.m. 0

31 a las Enseñanzas cadémicas 18. Dos ciudades tienen la misma longitud, 15 E, y sus latitudes son 7 5' N y 5' S. Cuál es la distancia entre ellas? R a α = 7 5' β = 5' Tenemos que hallar la longitud del arco correspondiente a un ángulo de α + β = 7 5' + 5' = 0 Distancia = πr 0 = π ,5 km La milla marina es la distancia entre dos puntos del ecuador cuya diferencia de longitud es 1'. Calcula la longitud de una milla marina. 1' = 0 1 grados; radio de la Tierra: R 70 km Milla marina πr π π = R 70 1,85 km Un avión tiene que ir de a B, dos lugares diametralmente opuestos en el paralelo 45. Puede hacerlo siguiendo el paralelo (PB) o siguiendo la ruta polar (NB). Calcula la distancia que se recorrería en cada trayecto. N B P 45 R Hallamos el radio del paralelo 45 : R = + = = R = R = R S = ,7 km 1. lejandría, Nueva Orleans y Houston tienen todas la misma latitud, 0 N. Sus longitudes son, respectivamente, 0 E, 90 O y 95 O. Qué distancia recorrería un avión que va de lejandría a Nueva Orleans por el paralelo 0 N? Y de lejandría a Houston? Utilizando el ejercicio resuelto de la página 1, saemos que el paralelo 0 tiene una longitud de 4 4 km aproimadamente. Entre lejandría y Nueva Orleans hay un arco de 90 0 = 0 ; por tanto, la distancia entre ellos es , km. 0 Entre lejandría y Houston hay un arco de 95 0 = 5, por lo que la distancia entre ellos es , km. 0 1