Divisibilidad y primeros resultados

Transcripción

1 Divisibilidad y primeros resultados En este capítulo recordamos conceptos ya conocidos por el estudiante en cursos anteriores y. Divisibilidad En esta primera sección repasamos algunos resultados conocidos por el estudiante e introduciremos notación que usaremos a lo largo de este curso. Las demostraciones de estos resultados elementales se omiten. Definición. Un número natural a es divisible por b 0, y se escribe b a, si eiste c N tal que a = bc; se dice a múltiplo de b, b divisor de a o que b divide a a. Un número p N es primo si sus únicos divisores son y p. Los conceptos de divisibilidad y primalidad se remontan hasta la antigüedad. La siguiente proposición se prueba fácilmente. Proposición.2 Sean a, b, c, m y n N. (i) Se cumple que a 0; a y a a; (ii)si a b entonces a bc para todo c N; (iii) Si a b entonces ac bc; (iv)si a b y b c entonces a c; (v) Si a b y a c entonces a mb + nc; (vi)si a b entonces a b; (vii) Si a b y b a entonces a = b. Dados a, b N, por el apartado (vi) de la proposición anterior eiste un único mayor entero positivo d N tal que d a y d b. Éste número se llama máimo común divisor y lo denotaremos por m.c.d(a, b).

2 8 Divisibilidad y primeros resultados Teorema.3 (Algoritmo de la división) Sean a, b N con a < b. Entonces eisten únicos q, r N tal que b = aq + r con 0 r < a. Es más, a b si y solo si r = 0. Una consecuencia inmediata del algoritmo de la división es que puede usarse el algoritmo de Euclides para calcular el máimo común divisor, d, de dos números enteros a, b, [?, p. 27]. En este caso, eisten m, n Z tales que m.c.d(a, b) = d = ma + nb. La identidad anterior se conoce como identidad de Bézout. La identidad de Bézout no sólo funciona en el anillo de los enteros, sino que también es válido en cualquier otro dominio de ideales principales (DIP). Una consecuencia de la identidad de Bézout es el siguiente corolario. Corolario.4 Si p es primo y p ab entonces p a ó p b. Teorema.5 (Teorema fundamental de la aritmética). Todo número natural puede descomponerse de manera única, ecepto por reordenación de los factores, en producto de sus factores primos. El teorema anterior nos resulta bastante obvio, al conocer perfectamente la estructura de Z y por tanto de N. Sin embargo, en otros anillos no es cierto. Sea Z( 5) := {a + b 5 ; a, b Z}. Los números + 2 5, 2 5, 3 y 7 son primos diferentes y se cumple que 3 7 = ( + 2 5)( 2 5). El anillo Z( 5) no es un D.F.U. (dominio de factorización única)..2 Algunos resultados acerca de la distribución de números primos La sucesión de los números primos, 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9,... ha interesado a los matemáticos a lo largo de la historia. Es fácil plantearse diversas preguntas. Algunas de estas preguntas podrían ser las siguientes. (i) cúantos números primos eisten?; (ii) Si eisten una cantidad infinita, podemos medir el tamaño de ese infinito?; (iii) cómo se distribuyen en el conjunto de los números naturales?; (iv) eiste alguna función algebraíca f : N N tal que f(n) es primo para todo valor de n N?.

3 Algunos resultados acerca de la distribución de números primos 9 Empezemos por la última de las preguntas. Es curioso comprobar que el polinomio f(n) = n 2 n + 4, n N, proporciona valores primos para n = y sin embargo f(4) = 4 2. P. Fermat in 650 conjeturó que los números F n definidos mediante F n = 2 2n +, n N, eran números primos para todo valor de n. Llegó a tal conclusión comprobando que F 0 = 3, F = 5, F 2 = 7, F 3 = 257, F 4 = 65537, eran primos. Sin embargo estaba equivocado. Euler en 732 probó que F 5 = = = , y hasta hoy no se han encontrado más primos de Fermat. Se ha probado que F n no es primo para 5 n 32. Hay que tener en cuenta que los números de Fermat son tan grandes que es difícil trabajar con ellos. La idea original de la prueba de Euler para F 5 puede encontrarse en ivorra/matematicas/prifer.htm. Más información sobre los números de Fermat aparece en la enciclopedia Wikipedia, number. Algunas propiedades de los números de Fermat son las siguientes. Lema.6 Sean (F n ) n los números de Fermat, definidos mediante Entonces F n = 2 2n +, n N. (i) F n (F n+k 2) para n, k ; (ii)m.c.d(f n, F m ) = para todo n m, es decir, dos números de Fermat distintos son primos entre sí. Demostración. Probemos (i) Notemos que 2k = ( + )( 2k 2k , para k y por tanto F n+k 2 = 22 n+k F n 2 2n + = 22 n 2 k 2 2n + = 2 k + = k 2 2k , donde = 2 2n y F n (F n+k 2) para n, k. Para (ii), supongamos que m F n y m F n+k con n, k. Es claro que m es impar y por la parte (i), m F n+k 2. Por tanto m 2 y al ser impar m y concluimos m =. Teorema.7 Eisten infinitos números primos en N.

4 0 Divisibilidad y primeros resultados Demostración. Propondemos dos demostraciones de este resultado. La primera se atribuye a Euclides. Supongamos que eiste un conjunto finito de números primos, P := {p, p 2, p 3,..., p n }. Consideramos m := p p 2 p n +. El número m no es primo, en caso contrario m P pero m > p i para todo i n. Por tanto eiste un primo p que divide a m y p P. Así, p = p i para algún p i P y p i m = p, p 2, p 3,..., p n +, y por tanto p i. En conclusión p i =, llegando a contradicción. La segunda demostración es debida a Polya y se basa en la siguiente observación. Sea (a n ) una sucesión de números naturales tales que m.c.d(a n, a m ) = para todo n m. Entonces el número de primos debe ser mayor o igual que el cardinal de la sucesión (a n ). Tomemos como a n = F n los números de Fermat. Por el Lema.0 (ii), m.c.d(f n, F m ) = y por la observación anterior, eisten infinitos números primos El siguiente teorema se debe a Euler. Este resultado constituyó un hito en la Teoría de números. La coneión entre los números primos y el función de variable compleja ζ, ζ(z) =, Rz >, nz n= fue la que retomó en 850 B. Riemann para plantear en su famoso artículo el camino para la demostración del teorema del número primo. Teorema.8 La suma de los inversos de los números primos diverge, Demostración. Sea s >. Debido a que p =. ( p s ) = j= p js, con p un número primo y al teorema.5, se cumple que n= n s = ( p s ). Sea R() = log( ) + para [0, 2 ]. Entonces

5 Teorema de Chebychev log( n s ) = n= log( p s ) = p s Es fácil probar que R() 4 2 para [0, 2 ], y por tanto Por tanto lim R( p s ) 4 s ( p s = lim s p 2s 4 n 2 = 2π2 3. n= log( n= ) n s ) =, R( p s ). y el teorema está probado Notas Un consecuencia inmediata del teorema anterior es la eistencia de infinitos primos y que se distribuyen de forma lenta en los números naturales. Otras demostración de este resultado puede encontrarse en Wikipedia, Proof that the sum of the reciprocals of the primes diverges El Teorema de Brun es un teorema probado por el matemático noruego Viggo Brun en 99. Sea P () el número de primos p, con p tal que p + 2 es también primo, (a los números p y p + 2 se les llama primos gemelos). Entonces, para = 3, se tiene que p,p+2,primos P () < c (log ) 2 (log(log ))2, para alguna constante c > 0. Este resultado prueba que la suma de los inversos de los primos gemelos converge, es decir, p + ( p + 2 = 3 + ) ( ) ( ) +... <. 3 El valor de esta suma se llama constante de Brun. Notemos que no podemos concluir la eistencia de infinitos primos gemelos y éste sigue siendo un problema abierto en teoría de números..3 Teorema de Chebychev En 850 el matemático Chebychev, introdujo las funciones aritméticas Θ y Ψ, definidas mediante Θ() := log p,, p donde la suma se toma sobre los primos p menores o iguales que y

6 2 Divisibilidad y primeros resultados Θ() := log p,, p m donde la suma se toma sobre los primos py numeros naturales m tales que p m. Notemos que se cumple [ ] Ψ() = Θ() + Θ( log 2 ) + Θ( 3 ) Θ( k ) +... = log p, log p donde [ ] denota la función parte entera. Las funciones Θ y Ψ son ejemplos de funciones aritméticas que estudiaremos con más detalle en el siguiente capítulo. Recodemos que dada (a n ) R + una sucesión, entonces lim sup n (a n ) eiste donde lim sup(a n ) := lim sup{a n ; n k}; n n similarmente, se define lim inf n (a n ). Teorema.9 Los tres cocientes π() / log(), Ψ(), Θ(), tienen los mismos tipos de indeterminación, es decir y lim sup lim inf k p π() Ψ() Θ() = lim sup = lim sup / log(), π() Ψ() Θ() = lim inf = lim inf / log(). Demostración. Probaremos la igualdad de los límites superiores dejando como ejercicio la igualdad de los límites inferiores. Sean A := lim sup π() / log() ; A Ψ() 2 := lim sup ; A Θ() 3 := lim sup. Notemos que A, A 2, A 3 R + { }. Como se cumple que Θ() Ψ() p log() = π() log(), se deduce que A 2 A 3 A. Tomemos > y 0 < α <. Entonces Θ() (π() π( α )) log( α ), α <p

7 Teorema de Chebychev 3 y por tanto Θ() α log()( π() α ) = α( π() / log() log() α ). Tomando lim sup se obtiene la desigualdad A 2 αa para todo α (0, ) y por tanto A 2 A, concluyendo la igualdad A = A 2 = A 3. En 848 fue Chebyshev quien demostró, que si dicho cociente tenía límite, este límite debía ser. Sin embargo, no fue capaz de demostrar que el cociente tenía límite. La prueba de este resultado fue completada solamente dos años después de la muerte de Chebyshev, en 896 por Hadamard y por de la Vallée Poussin, independientemente uno del otro. En realidad probaron que π() Li() = 2 dy log(y), 2. Lema.0 La desigualdad Θ() < (2 log(2)) se cumple para. Demostración. Notemos que basta probar la desigualdad para números naturales: Θ() = Θ([]) < (2 log(2))[] (2 log(2)),. ( ) 2m + Sea ahora m N y N :=. Se cumple que 2N < 2 2m+ ya que m ( + ) 2m+ = 2m+ j=0 ( ) ( 2m + 2m + j m ) + ( ) 2m + = 2N. m + Sea ahora p un número primo tal que p (m +, 2m + ]. Es claro que p divide al numerador pero no al denominador de N y por tanto p N. Por tanto y tomando logaritmos se tiene que Θ(2m + ) Θ(m + ) = 2m+ p>m+ 2m+ p>m+ p N, log(n) < 2m log(2). Probemos por inducción la desiguadad buscada para los números naturales. Se comprueba que Θ() = log() = 0 < 2 log(2). Supongamos que la desiguadad es cierto para todo número natural m con m < n (inducción completa). Si n es par, entonces Θ(n) = Θ(n ) < (2 log(2))(n ) < (2 log(2))n. Si n es impar, entonces n = 2m+ y por la desigualdad obtenida en el párrafo anterior y la hipótesis de inducción se obtiene,

8 4 Divisibilidad y primeros resultados Θ(n) < 2m log(2)+θ(m+) < 2m log(2)+2(m+) log(2) = 2(2m+) log(2), concluyendo el resultado. Se dice que un número p divide eactamente k veces a un entero n si p k divide a n pero p k+ no lo divide. Lema. El número de veces que un primo p divide a a m! es eactamente [ ] [ ] [ ] [ ] m m m m + p p 2 + p p n [ Demostración. Notemos que en la colección {, 2, 3,..., m} hay que son divisibles por p. En general hay [ m p k ] ] m p números números que son divisble por p k. Por lo tanto la cantidad de números [ enteros ] [ en {, 2, 3,..., m} que son m m divisibles eactamente k veces es igual a ], es decir, p divide a p k p k+ m! eactamente ([ ] [ ]) m m k p k p k+ = [ ] m p k, k k veces. El siguiente resultado es debido a Chebychev. Teorema.2 Eisten constantes 0 < c C tal que c log() π() C log(), > 2. Demostración. Notemos que por el Teorema.9, basta probar que eisten constantes c, C > 0 tales que Θ() < C, Ψ() > c, 2. La primera desigualdad se cumple por el Lema.0. Sea n N y N = ( 2n n ). Es claro que Por el lema., se tiene que donde s p = k y 0, entonces N > N = 22n 2n +. p 2n p s p, [ ] [ 2n n 2 ]. Debido a que [2y] 2[y] {0, } para todo p k p k

9 Teorema de Chebychev 5 [ log(n) ] ([ ] [ ]) [ ] 2n n log(n) s p = p k 2 p k. k Por tanto se tienen las desigualdaddes p 2n 2 2n 2n + < N < p 2n p [ log(n) Tomando logaritmos, tenemos que Ψ(2n) = [ ] log(n) > log(n) > 2n log(2) log(2n + ) para n N. Sea ahora, se cumple que [ ] [ ] [ ] Ψ() Ψ(2 ) > 2 log(2) log(2 +) > log(2) log(+) 2 log(2) Tomando lim inf, se sigue lim inf Ψ() log(2), y por tanto eiste c > 0 tal que Ψ() > c para > 2. Notas. Las constantes C y c del teorema anterior se pueden estimar. En [?, Theorem 4.6], se prueba las desigualdades para c = 6 y C = 6. En el teorema original de Chebychev, [?] se prueba que 0, 92 < Ψ() <, 06; El matemático inglés J. Sylvester en un trabajo de 88 probó que para suficientemente grande. ]. 0, < π() <, log() log() ; En 845 el matemático francés Joseph Bertrand verificó que para cada entero n entre 2 y 6,000,000 eiste siempre como mínimo un primo entre n y 2n. Este resultado pero para todo número n fue demostrado por primera vez por el matemático ruso P.L. Chebychev en 85. Vamos a dar una demostración elemental de este postulado, o sea una demostración donde se usan solo resultados elementales de matemáticas. Esta demostración es debida a P. Ërdos, uno de los matemáticos más geniales del siglo XX, que la descubrió cuando tenia solo 8 años. Teorema.3 (Postulado de Bertrand)Para todo entero positivo n eiste un primo p tal que n < p 2n.

10 6 Divisibilidad y primeros resultados Demostración. Supongamos que n 520. Consideramos la cadena de primos 2, 3, 5, 7, 3, 23, 43, 83, 63, 37, 52. Es directo probar que se cumple p i < p i+ < 2p i. Por tanto eiste p i tal que p i n < p i+ < 2p i 2n, y por tanto p i+ (n, 2n]. Sea n 52. La demostración la plantearemos por reducción al absurdo. Supongamos que no eiste ningún primo p (n, 2n]. Consideramos el número combinatorio N = ( 2n n que p no divide a N y por tanto N = p sp = p 2 3 n ) = (2n)! (n!), y sea p primo tal que p ( 2 2 3n, n]. Es claro p 2n p s p s p p, 2n<p 2 3 n [ ] donde s p = log(2n). Es claro que p sp 2n. Por otro lado si p > 2n entonces s p y por tanto 2 2n 2n + < N = p 2n p s p 2n<p 2 3 n p (2n) 2n 2n<p 2 3 n p Por el Lema.0, se tiene Θ(k) < 2k log(2) y por tanto p k p 22k, de donde se deduce la desigualdad 2 2n 2n + < (2n) 2n n ; simplificando y tomando logaritmos se obtiene la desigualdad equivalente 2 3 log(2) < (2n) 2 log(2n) + log(2n + ), la cual es falsa para n 52, llegando a contradicción. Notas. En [?, Teorema 4, p.393] se prueba que si 5, entonces eiste un primo p en el intervalo [, 0 9 ]. Es una área activa en teoria de números probar la eistencia de primos en intervalos del tipo (, + θ ) con θ <. Para terminar presentamos el siguiente corolario del postulado de Beltrand. Corolario.4 Eiste α (, 2) tal que la sucesión definida por α 0 = α y α n+ = 2 α n cumple que [α n ] es primo para todo n N. Demostración. Tomamos p = 3 y elegimos una sucesión de números primos p n tal que que

11 Teorema de Chebychev 7 2 p n < p n+ 2 +p n. Esta sucesión eiste por el postulado de Bertrand. Además, como p n 3, para todo n N, no puede ser p n+ = 2 +pn. Tampoco puede ser p n+ = 2 +pn ya que en este caso, p n + = 2k n y por lo tanto 2 +p n = (2 k n )(2 k n + ). Por consiguiente 2 p n < p n+ < + p n+ < 2 +p n. Sean u n := log (n) 2 (p n), y v n := log (n) 2 (p n + ) donde log (n+) 2 () = log log (n) 2 (), >. Entonces se cumple que p n < log 2 (p n+ ) < log 2 (p n+ + ) < + p n, y por tanto u n < u n+ < v n+ < v n. Por tanto, eiste lim n u n. Tomamos α = lim n u n y como u = log 2 (3), v = log 2 (4) = 2, resulta < α < 2. Además log (n) 2 (p n) = u n < α < v n = log (n) 2 (p n + ) y por tanto p n < α < + p n. Por tanto [α n ] = p n y es primo.