Tratamiento de la incertidumbre sobre los parámetros en redes Bayesianas Gaussianas

Transcripción

1 Tratamiento de la incertidumbre sobre los parámetros en redes Bayesianas Gaussianas Miguel A. Gómez-Villegas (α) Paloma Maín (α) Hilario Navarro (γ) y Rosario Susi (β) (α) Dpto. Estadística e Investigación Operativa I (β) Dpto. Estadística e Investigación Operativa III UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID (γ) Dpto. Estadística e Investigación Operativa y Cálculo Numérico UNED Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

2 Objetivo Estudiar la incertidumbre asociada a los parámetros que describen una red Bayesiana Gaussiana (RBG). En este trabajo se desarrolla una metodología que permite estudiar dicha incertidumbre cuando la RBG se describe mediante su distribución conjunta. Introducimos los problemas en desarrollo que hacen referencia a la incertidumbre de los parámetros cuando la RBG se describe mediante un conjunto de distribuciones condicionadas. Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

3 Índice: problemas abordados y en desarrollo Redes Bayesianas y redes Bayesianas Gaussianas Definición de red Bayesiana y propagación de la evidencia Tipos de redes Bayesianas Definición de red Bayesiana Gaussiana y estructura de dependencias Propagación de la evidencia en redes Bayesianas Gaussianas Problemas abordados Análisis de sensibilidad de una vía Casos de dependencia extrema Sensibilidad para perturbaciones extremas Análisis de sensibilidad de n vías Análisis de robustez Análisis de sensibilidad: perturbación de la curtosis Problemas en desarrollo Análisis de sensibilidad cuando la incertidumbre se presenta en los parámetros de las distribuciones condicionadas que describen una RBG Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

4 Índice: introducción al modelo de interés Redes Bayesianas y redes Bayesianas Gaussianas Definición de red Bayesiana y propagación de la evidencia Tipos de redes Bayesianas Definición de red Bayesiana Gaussiana y estructura de dependencias Propagación de la evidencia en redes Bayesianas Gaussianas Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

5 Redes Bayesianas Una Red Bayesiana se define como un par (GP) donde: G es un grafo acíclico dirigido DAG en el que: los nodos representan a las variables aleatorias { n } y los arcos reflejan la estructura de dependencias P{p(x pa( ) p(x n pa( n ))} es el conjunto de distribuciones de probabilidad condicionadas donde pa( i ) es el conjunto de padres de i en G. El conjunto P define la distribución de probabilidad conjunta n p( x... xn) p( xi pa( i )) i Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

6 Redes Bayesianas Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

7 Redes Bayesianas Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

8 Propagación de la evidencia Se tiene evidencia de una variable cuando se conoce exactamente el valor que toma la variable en una situación concreta. La propagación de la evidencia es un mecanismo de inferencia que consiste en actualizar la información probabilística de las variables de la red cuando se tiene evidencia acerca del estado de alguna de las variables que compone el modelo. Este proceso se apoya en el Teorema de Bayes para trasmitir la información por la red. II Reunión de la Red Temática en Modelos Workshop Gráficos Métodos Probabilísticos Bayesianos y 8. Aplicaciones Madrid. 9//8 7//8

9 Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

10 Redes Bayesianas Gaussianas Una Red Bayesiana (GP) es una Red Bayesiana Gaussiana (RBG) cuando la distribución conjunta asociada a las variables de la red { n } es una distribución norma multivariante siendo la función de densidad de ~ N(μ Σ) f ( x) (π ) n / Σ / exp ( x μ) T Σ ( x μ) donde μ es el vector de medias y Σ la matriz de covarianzas. Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

11 Redes Bayesianas Gaussianas Por ser una Red Bayesiana la distribución conjunta se puede obtener como f (x) n i f ( x pa( i i siendo las distribuciones de probabilidad condicionadas f ( x i pa( i donde μ i es la media de la variable i β ij con j < i es el coeficiente de regresión de j en la regresión de i sobre sus padres y υ i es la varianza condicionada de i dados sus padres en el DAG. )) i + )) N μ i βij ( x j μ j ) υi j Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

12 Redes Bayesianas Gaussianas La parte cuantitativa de una RBG se puede determinar mediante: La distribución conjunta dada por los parámetros μ y Σ siendo el modelo ~N(μ Σ). La distribución condicionada de cada variable dados sus padres en el DAG es decir por la media μ i la varianza condicionada υ i y el coeficiente de regresión β ij con j<i en la regresión de i sobre sus padres. Colocando las varianzas condicionadas υ i en una matriz diagonal siendo Ddiag(υ i ) y los coeficientes de regresión β ij con j<i en una matriz triangular superior B Shachter y Kenley (989) presentan como calcular la matriz de covarianzas Σ Σ T ( I B) D( I B ) Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

13 Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8 Ejemplo de una RBG 5 5 μ } { 5 ) ( Σ μ N Se sabe que siendo ~N() ~N() ~N(+(x -) +(x -)) ~N() 5 ~N(5+(x -) +(x -)) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5 5 x x x f x f x x x f x f x f x x x x x f

14 Estructura de dependencias En una RBG además de obtener la estructura de dependencias mediante el DAG dicha estructura también se observa estudiando: la matriz de covarianzas Σ Si σ ij entonces i y j son independientes. la matriz de precisión K dada por Σ - Si k ij entonces i y j son independientes condicionalmente dadas el resto de variables del problema es decir i j (\{ i j }) k ij Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

15 Ejemplo de una RBG Relaciones de independencia Relaciones de independencia condicionada K Σ / / / / / / / / / / / ( 5 ) 5 ( ) ( 5 ) 5 ( ) Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

16 Propagación de la evidencia La propagación de la evidencia en RBG se apoya en el cálculo de la distribución de probabilidad condicionada de una normal multivariante. Si se considera la partición (YE) donde Y es el conjunto de variables no evidenciales y E{ e e} es la evidencia acerca de una variable la distribución de interés tras la propagación de la evidencia es Y E~N(μ Y E Σ Y E ) μ Y E μy +ΣY E σ ee ( e μ ) E Si i variable de interés de la RBG tras la propagación de la evidencia Y E e Y E e σ ie σ ie + i E e N( μi σ ii ) N μi ( e μe) σ ii σ ee σ ee Σ Y E Σ YY Σ YE σ ee Σ EY Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

17 Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8 Ejemplo de una RBG } { E Dada la evidencia PROPAGACIÓN DE LA EVIDENCIA siendo los parámetros ) ( μ σ σ μ μ + Y σ σ σ σ Y ( ) μ N Y Y σ Y E μ Y E Σ ( ) E E N 5 } { Y Y Σ μ 5 5 μ } { 5 ) ( Σ μ N

18 Motivación El proceso de construcción de una Red Bayesiana requiere que los expertos en el campo de aplicación especifiquen las dependencias entre las variables del problema para diseñar el DAG e indiquen los parámetros que describen la parte cuantitativa de la red. Este proceso de diseño y definición de la Red Bayesiana suscita la posibilidad de asignar erróneamente los parámetros y obtener resultados inadecuados. Por tanto es conveniente realizar un análisis de sensibilidad para determinar la sensibilidad de la salida de la red a perturbaciones en los parámetros. Autores como Laskey (995) Coupé et al. () Chan (5) han desarrollado técnicas para estudiar la sensibilidad de una Red Bayesiana aunque la mayoría de los análisis propuestos se han introducido para Redes Bayesianas Discretas. Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

19 Índice: problemas abordados y en desarrollo Problemas abordados Análisis de sensibilidad de una vía Casos de dependencia extrema Sensibilidad para perturbaciones extremas Análisis de sensibilidad de n vías Análisis de robustez Análisis de sensibilidad: perturbación de la curtosis Problemas en desarrollo Análisis de sensibilidad cuando la incertidumbre se presenta en los parámetros de las distribuciones condicionadas que describen una RBG Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

20 Metodología Se busca comparar dos modelos distintos: El modelo original El modelo perturbado donde se introduce la incertidumbre acerca de los parámetros (se define en cada análisis de forma distinta) Con ambos modelos se realiza de forma independiente la propagación de la evidencia y se obtiene la salida de la red dada por la distribución de interés condicionada a la evidencia. Se comparan ambas salidas con la medida de divergencia de Kullback-Leibler. Para los análisis de sensibilidad se repite el proceso hasta perturbar todos los parámetros inciertos. Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

21 Divergencia de Kullback-Leibler La divergencia de Kullback-Leibler (KL) se define como KL( f f ') f ( w) f ( w)ln dw f '( w) siendo f(w) y f (w) dos funciones de densidad definidas sobre el mismo dominio. Cuando las funciones de densidad que se comparan son normales multivariantes la divergencia KL se calcula con la siguiente expresión: KL( f f ') donde f es la función de densidad conjunta de ~ N(μΣ) y f la de ~ N(μ Σ ) ln Σ' + tr Σ T ( ΣΣ' ) + ( μ' μ) Σ' ( μ' μ) dim( ) Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

22 Problemas abordados Análisis de Sensibilidad de una vía Casos de dependencia extrema Sensibilidad para perturbaciones extremas Análisis de Sensibilidad de n vías Análisis de Robustez Análisis de sensibilidad: perturbación de la curtosis Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

23 A. Sensibilidad vía Análisis de Sensibilidad de una vía: RBG con una variable de interés i y una variable evidencial e. La divergencia KL como medida de sensibilidad se calcula con la expresión univariante tal que f ( x S p j i ( f ( xi e) f ( xi e δ )) f ( xi e)ln dxi f ( xi e δ ) Distintos modelos perturbados: Cada modelo perturbado se obtiene tras añadir una única perturbación δ a cualquiera de los parámetros que describen la RBG. δ cuantifica la incertidumbre acerca de un parámetro. e) Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

24 A. Sensibilidad vía: RESULTADOS Tras realizarse el análisis de sensibilidad de una vía añadiendo en cada paso la perturbación δ a cada uno de los parámetros que definen la red conjunta y considerando ρ ie () se obtiene que: La medida de sensibilidad vale cero siempre que la perturbación δ se sume a un parámetro de cualquier variable no evidencial distinta de la variable de interés i. Si la perturbación se presenta en la media de la variable de interés i la medida de sensibilidad es tal que μ S i ( f ( xi e) f ( xi e δ )) Y E σ ii Si la perturbación se presenta en la media de la variable evidencial e μ δ σ ie S e ( f ( x ) ( )) i e f xi e δ Y E σ ii σ ee δ Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

25 Si la perturbación se presenta en la varianza de la variable de interés i la medida de sensibilidad obtenida viene dada por δ δ e δ )) ln + Y E E σ ii σ ii + δ σ S ii ( f ( xi e) f ( xi Y siendo δ > σ Y E ii Si la perturbación se muestra en la varianza evidencial de e la medida de sensibilidad se calcula mediante σ ie δ δ + ( e μ ) ( ) Y E δ e + + σ σ σ σ δ σ δ σ ii ee ee ee ee S ee ( f ( x i e). f ( xi e δ )) ln + Y E Y E δ σ ii σ ii siendo δ > σ ee ( max ρ je ) j Y Si la perturbación se presenta en la covarianza entre la variable de interés i y la variable evidencial e la medida de sensibilidad es δ Y E σ + ( μ ) ii e e σ δ + σ δ σ ie ee S ie ( f ( x ); ( δ )) ln i e f xi e + Y E Y E δ σ eeσ ii σ ii σ σ σ < δ < σ + σ σ siendo ie ii ee ie ii ee Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

26 A. Sensibilidad vía: { 5 } N ( μ Σ ) EJEMPLO 5 μ Al asignar valores a los parámetros iniciales de la red los expertos están en desacuerdo con: μ δ5 5 7 μ 5 + δ 5 (δ 5 ) μ δ μ + δ (δ ) σ δ55 55 σ 55 + δ 55 (δ 55 ) σ δ 5 σ + δ (δ ) σ δ5 5 σ 5 + δ 5 (δ 5 ) S μ5 KL (f(x i e)f(x i eδ 5 )).8 S μ KL (f(x i e)f(x i eδ )).875 S σ55 KL (f(x i e)f(x i eδ 55 )).9 S σ KL (f(x i e)f(x i eδ )).77 S σ5 KL (f(x i e)f(x i eδ 5 )).89 Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

27 A. Sensibilidad vía Si se desconoce el valor que toma cada una de las perturbaciones pero si se conocen los parámetros inciertos es posible presentar las sensibilidades en función de una misma perturbación δ quedando: σ 5 S KL σ 55 S KL S KL μ 5 S mμ KL S σ S KL Perturbation δ Figura. Divergencias KL (S KL ) para cualquier valor de la perturbación δ. Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

28 A. Sensibilidad vía CASOS DE DEPENDENCIA ETREMA Si i y e son independientes (ρ ie ): Conexión convergente en el DAG. S KL para incertidumbre en los parámetros evidenciales. La salida de la red depende solo de los parámetros que describen i. Si i y e son linealmente dependientes (ρ ie ): Conexión en serie o divergente en el DAG. S KL para incertidumbre en cualquier parámetro de i y e. Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

29 A. Sensibilidad vía SENSIBILIDAD PARA PERTURBACIONES ETREMAS El análisis presentado permite estudiar la sensibilidad de una RBG para cualquier tipo de incertidumbre asociada a los parámetros que describen la red (perturbaciones pequeñas y grandes). Con el objetivo de determinar el comportamiento de la divergencia KL para incertidumbres extremas se estudia el límite de las 5 expresiones obtenidas para el análisis cuando δ tiende a y a sus valores extremos. Para todos los casos la divergencia KL refleja el comportamiento extremo de la perturbación salvo en el caso de incertidumbre extrema en la varianza evidencial esto es debido al reducido efecto de dicho parámetro sobre i. Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

30 A. Sensibilidad vía SENSIBILIDAD PARA PERTURBACIONES ETREMAS En la gráfica del Ejemplo que muestra la divergencia KL para cualquier valor de la perturbación δ se observa este comportamiento de la medida de sensibilidad cuando las perturbaciones son extremas σ 5 S KL σ 55 S KL S KL μ 5 mμ S KL S σ S KL Perturbation δ Figura. Divergencias KL (S KL ) para cualquier valor de la perturbación δ. Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

31 Problemas abordados Análisis de Sensibilidad de una vía Casos de dependencia extrema Sensibilidad para perturbaciones extremas Análisis de Sensibilidad de n vías Análisis de Robustez Análisis de sensibilidad: perturbación de la curtosis Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

32 A. Sensibilidad n vías Análisis de Sensibilidad de n vías: RBG con un conjunto de variables de interés Y y un conjunto de variables evidenciales E. Distintos modelos perturbados: Cada modelo perturbado se obtiene tras añadir un conjunto de perturbaciones a los parámetros inciertos de la RBG. Dada la RBG con ~ N(μΣ) donde μ μ μ Cada modelo perturbado se obtiene tras añadir un conjunto de perturbaciones a cualquiera de los parámetros particionados mostrados siendo las perturbaciones: δ δ δ En función del conjunto de parámetros añadidos se obtienen 5 modelos perturbados distintos. Y E Y E Σ Σ Σ Δ Δ Δ YY EY YY EY Σ Σ Δ Δ YE EE YE EE Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

33 A. Sensibilidad n vías Resultados: Generalización del a. sensibilidad vía. Permite trabajar con un conjunto de variables de interés Y. 5 expresiones diferentes para S KL similares para las medias (μ Y μ E ) y para las varianzas (Σ YY Σ EE Σ YE ). Restricción en las S KL calculadas para las varianzas: se exige que las matrices de covarianzas del modelo perturbado antes y después de la propagación de la evidencia sean definidas positivas. Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

34 A. Sensibilidad n vías Cuando las medias de las variables de interés se perturban la medida de sensibilidad obtenida es S( f ; f [ ( ) ] T Y E δ Σ δ δ Y ) Y Y Cuando se perturban las medias de las variables evidenciales la medida de sensibilidad obtenida es S( f ; f ) [ ( ) ( ) ( ) ] T T Y E δ Σ Σ Σ Σ Σ δ δe E YE YE EE EE E Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

35 A. Sensibilidad n vías Cuando las varianzas y covarianzas de las variables de interés se perturban la medida de sensibilidad obtenida viene dada por S( f ; f Δ YY Σ ) ln Y E Σ + Δ Y E YY + tr Y E Y E ( Σ ( Σ + ΔYY ) ) dim( Y) Cuando las varianzas y covarianzas evidenciales se perturban la medida de sensibilidad obtenida es S( f ; f Δ EE Σ ) ln Σ + Y E Δ Y E EE + tr Y E Y E Δ EE ( Σ ( Σ ) ) dim( Y) + Cuando se perturban las covarianzas entre Y y E la medida de sensibilidad resultante es S( f ; f Δ YE ) + [ ( ) ) ( ) ( ) ) ] T T T Y E Δ EE ( e μ ) Σ + Δ Σ Σ Σ Σ Σ + Δ Σ ( e μ ) E EE EE EE YE YE EE EE EE Σ ln Y E M ( Δ Σ Y E YE ) + tr Y E Y E ( Σ ( Σ M ( ΔYE) ) ) dim( Y) + T T T Y E [( e μe) ( ΣEE ) ΔYE( Σ M ( ΔYE) ) ΔYEΣEE( e μe) ] donde M ( Δ YE ) Δ YE Σ EE Σ T YE + Σ YE Σ Δ + Δ Σ Δ T T EE YE YE EE YE Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8 E

36 Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8 A. Sensibilidad n vías 5 μ } { 5 ) ( Σ μ N Conjunto de variables de interés: Y{ 5 } Conjunto de variables evidenciales: E{ } 5 δ Y Δ YY E δ Δ EE Δ YE Perturbaciones asociadas a los parámetros inciertos:

37 A. Sensibilidad n vías Calculando la sensibilidad con la divergencia KL para distribuciones multivariantes con las perturbaciones propuestas se obtienen los siguientes valores: S μy KL (ff μ Y ).9 S με KL (ff μ E ) S ΣYY KL (ff Σ YY ).9 S ΣEE KL (ff Σ EE ). S ΣYE KL (ff Σ YE ).889 Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

38 Problemas abordados Análisis de Sensibilidad de una vía Casos de dependencia extrema Sensibilidad para perturbaciones extremas Análisis de Sensibilidad de n vías Análisis de Robustez Análisis de sensibilidad: perturbación de la curtosis Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

39 A. Robustez Análisis de Robustez: RBG con un conjunto de variables de interés Y y un conjunto de variables evidenciales E. Un único modelo perturbado: Se obtiene tras añadir todas las perturbaciones asociadas a los parámetros inciertos a la vez. Resultados: La divergencia KL S KL determina la diferencia entre el modelo original y el modelo perturbado que cuantifica toda la incertidumbre de la RBG. p p f S ( f ; f ) E f ln p f Y E p Σ ln + tr Σ Y E Σ Y E Y E p Y E p Y E T Y E p Y E p Y E ( ( Σ ) ) + ( μ μ ) ( Σ ) ( μ μ ) dim( Y) Con este análisis se contrastan los resultados obtenidos al estudiar la sensibilidad en el modelo. Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

40 Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8 A. Robustez Perturbaciones δ Δ S KL δδ (ff δδ ).5 Variable de interés 5 Variable evidencial E{ } 5 5 μ } { 5 ) ( Σ μ N

41 Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8 A. Robustez Perturbaciones δ Δ S KL δδ (ff δδ ) μ } { 5 ) ( Σ μ N Conjunto de variables de interés: Y{ 5 } Conjunto de variables evidenciales: E{ } 5

42 Problemas abordados Análisis de Sensibilidad de una vía Casos de dependencia extrema Sensibilidad para perturbaciones extremas Análisis de Sensibilidad de n vías Análisis de Robustez Análisis de sensibilidad: perturbación de la curtosis Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

43 Perturbación de la curtosis Análisis de sensibilidad: perturbación de la curtosis RBG con un conjunto de variables de interés Y y un conjunto de variables evidenciales E. Un único modelo perturbado: Se obtiene tras introducir la distribución potencial exponencial multivariante. Distribución Potencial Exponencial multivariante ( n) random vector EP n (μσβ) f β r n nγ n n π Γ + β n + β [ ] T ( x) Σ exp ( x μ) Σ ( x μ) β ( ) r r r β Multivariate Normal β.5 Multivariate Double Exponential β Uniform r β Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

44 Distribuciones condicionadas PROPAGACIÓN DE LA EVIDENCIA ( i ) (p) f β ( i e ) ~ E p (μ i.e Σ ii.e g i.e ) ( e ) (n-p) (distribución elíptica) μ i.e μ i + Σ ie (Σ ee ) - (x e -μ e ) ; Σ ii.e Σ ii - Σ ie (Σ ee ) - Σ ei g i.e (t) exp {-½(t+ q e ) β } q e (x e -μ e ) T (Σ ee ) - (x e -μ e ) Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

45 Distribuciones condicionadas ( i ) (p) ( e ) (n-p) Modelo original N n (μσ) f ( i e ) ~ N p (μ i.e Σ ii.e ) (distribución normal) Modelo perturbado f β ( i e ) ~ E p (μ i.e Σ ii.e g i.e ) EP n (μσβ) (distribución elíptica) f β ( i e )C Σ ii.e - g i.e ((x i - μ i.e ) T Σ - ii.e (x i - μ i.e )) Divergencia de Kullback-Leibler D KL ( f ( i e ) f β ( i e ) ) Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

46 Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8 Efecto del parámetro de curtosis ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i e i e i e i dx x x f x x f x x f log β e i β e i KL x x f x x f D ( ) ( ) KUMMER FUNCTION Γ + + exp log e p p e p e p q z p b p a U q p p dt q t t β β β

47 Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8 Ejemplo β. D KL 7.59 ; β. D KL.98; β.8 D KL.795 β.9 D KL.; β D KL ; β. D KL.59 β. D KL. ; β D KL 9.8; β D KL μ } { 5 ) ( Σ μ N Conjunto de variables de interés: Y{ 5 } Conjunto de variables evidenciales: E{ } 5 Perturbaciones

48 Índice: Problemas en desarrollo Problemas en desarrollo Análisis de sensibilidad cuando la incertidumbre se presenta en los parámetros de las distribuciones condicionadas que describen una RBG Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

49 Problemas en desarrollo La parte cuantitativa de una RBG se puede determinar mediante: La distribución conjunta dada por los parámetros μ y Σ siendo el modelo ~N(μ Σ). La distribución condicionada de cada variable dados sus padres en el DAG es decir por la media μ i (vector de medias μ) la varianza condicionada υ i (matriz diagonal D) y el coeficiente de regresión β ij con j<i en la regresión de i sobre sus padres (matriz triangular superior B). BUSCAMOS: Estudiar la sensibilidad del modelo cuando se tiene incertidumbre acerca de los parámetros de las distribuciones condicionadas que describen la RBG. Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

50 Problemas en desarrollo PROBLEMAS: Dificultades de cálculo al propagar la evidencia sobre el modelo perturbado. SOLUCIONES: Estudio de la sensibilidad del modelo inicial previo a la propagación de la evidencia. Relación entre medidas de divergencia KL: Determinación de la divergencia de KL a posteriori con la descripción del modelo antes de propagar la evidencia. Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

51 Sensibilidad del modelo inicial Sensibilidad del modelo inicial: Se trabaja con el conjunto de variables inicial que describe la RBG. La RBG se describe mediante la distribución condicionada de cada una de las variables del modelo dados sus padres en el DAG siendo i + i pa( i ) N μ i βij ( x j μ j ) υi j Se busca comparar dos modelos distintos con la divergencia KL: El modelo original El modelo perturbado: modelos perturbados distintos dependiendo de si la incertidumbre se presenta en las μ i (vector de medias μ) en las varianzas condicionadas υ i (matriz diagonal D) o en el coeficiente de regresión β ij con j<i en la regresión de i sobre sus padres (matriz triangular superior B). Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

52 Relación entre divergencias KL: aplicación a las RBG Parámetros perturbados + Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8

53 Publicaciones obtenidas () Gómez-Villegas M.A. Maín P. and Susi R. Sensitivity analysis of extreme inaccuracies in Gaussian Bayesian Networks. Proceedings of the Third European Workshop on Probabilistic Graphical Models pp. 9-. Rep. Checa. (7) Gómez-Villegas Miguel A. Maín Paloma and Susi Rosario 'Sensitivity Analysis in Gaussian Bayesian Networks Using a Divergence Measure' Communications in Statistics - Theory and Methods : Susi García Rosario Análisis de Sensibilidad en Redes Bayesianas Gaussianas. Ph.D. Thesis Dpto. Estadística e Investigación Operativa. Universidad Complutense de Madrid. Madrid. (8) Gómez-Villegas M.A. Maín P. and Susi R. Sensitivity of Gaussian Bayesian networks to inaccuracies in their parameters Proceedings of the th European Workshop on Probabilistic Graphical Models pp Dinamarca. Gómez-Villegas M.A. Maín P. and Susi R. Extreme inaccuracies in Gaussian Bayesian networks' Journal of Multivariate Analysis Maín P. and Navarro H. Analyzing the effect of introducing a kurtosis parameter in Gaussian Bayesian networks ' accepted for publication in Reliability Engineering & System Safety. Workshop Métodos Bayesianos 8. Madrid. 7//8