Diseños D-óptimos bayesianos para modelos lineales heteroscedásticos

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1 XXVI Simposio Internacional de Estadística 2016 Sincelejo, Sucre, Colombia, 8 al 12 de Agosto de 2016 Diseños D-óptimos bayesianos para modelos lineales heteroscedásticos Catalina Patiño Bustamante 1,a, Víctor Ignacio López Ríos 1,b 1 Escuela de Estadística, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Colombia, Medellín, Colombia Resumen Al construir un diseño D-óptimo se suele suponer que la varianza del término de error es constante. Cuando este supuesto falla es necesario definir la matriz de información de Fisher de modo que ésta incorpore dicha varianza. En modelos lineales heteroscedásticos con varianza proporcional a una potencia de la media, el criterio de D-optimalidad depende de los valores locales de los parámetros del modelo. Esta dependencia se evita considerando una distribución a priori para el vector de parámetros e incorporarla en este criterio. En este trabajo se construirán diseños D-óptimos para modelos lineales heteroscedásticos a partir de distribuciones a priori discretas. Luego, mediante el cálculo de eficiencias, se compararán los diseños obtenidos. Palabras clave: Diseños D-óptimos, Distribuciones a priori, Modelos heteroscedásticos, Criterios de optimalidad. 1. Introducción Los diseños óptimos buscan las mejores condiciones experimentales donde se debe realizar un experimento con el fin de que se alcancen algunas propiedades estadísticas: minimizar la varianza de los estimadores de los parámetros, minimizar el volumen del elipsoide de confianza asociado a los parámetros del modelo, entre otros. La búsqueda de estos diseños requiere del cumplimiento de los siguientes supuestos: independencia, normalidad y homogeneidad de la varianza del término de error del modelo. Cuando este último supuesto no se cumple, es necesario definir la matriz de información de Fisher de modo que ésta incorpore dicha varianza. En la literatura hay varios aportes para la búsqueda de diseños D-óptimos tanto para modelos lineales como no lineales donde la varianza del término de error no es constante (Dette & Müller (2013), Dette & Wong (1999), Gaviria & López-Ríos (2014), Atkinson & Cook (1995). En todos los trabajos consultados, el criterio de optimalidad propuesto, depende de la elección de un valor local para los parámetros del modelo. Una forma de evitar esta dependencia es considerar una distribución a priori para el vector de parámetros e incorporarla en el criterio de optimalidad que se va a optimizar. Uno de los criterios más populares es el criterio D-optimalidad, el cual proporciona los puntos experimentales donde se minimiza el volumen del elipsoide de confianza. En este trabajo se buscan diseños D-óptimos cuando se usan diferentes distribuciones a priori a partir de un conjunto de datos que refleja la situación de interés y se hallan las eficiencias de cada uno de los diseños encontrados con las diferentes distribuciones a priori. a Estudiante de Maestría en Ciencias - Estadística. catpatinobus@unal.edu.co b Profesor asociado. vilopez@unal.edu.co 1

2 2 Catalina Patiño Bustamante & Víctor Ignacio López Ríos 2. Diseño Se considera el siguiente modelo Y i = η(ü i,β)+ǫ i, (1) donde η(ü i,β) = β 0 + β 1 x i1 + + β m x im, para i = 1,...,n corridas experimentales, Ü i varía en un espacio compacto χ R m, dotado de una σ-álgebra B, β R m+1, los errores son independientes, tienen distribución normal con media cero y varianza Var(ǫ i ) = σ 2 (η(ü i,β)) 2τ, para σ R +,τ R. Considerando el modelo (1), se define un diseño ξ como: Ü1... Ü d ξ = w 1... w d donde w j = ξ(ü j ),j = 1,...,d y ξ es una medida de probabilidad definida en B, tal que ξ tiene soporte finito, Sop(ξ) = {Ü j χ ξ(ü j ) > 0} = {Ü 1,...,Ü d }, d es el número de puntos de soporte de ξ y las observaciones Y(Ü) se hacen en Ü 1,...,Ü d con pesos asociados w 1,...,w d. 3. Matriz de Información Para el modelo especificado en (1) la matriz de información de Fisher para el diseño aproximado ξ está dada por (Gaviria & López-Ríos 2014): M(ξ,θ) = UWU T +VWV T, donde θ T = (β T,σ 2,τ), U (m+3) d = u 1 u d, V (m+3) d = v 1 w 1 0 v d, W = w d y para j = 1,...,d : u j = 1 ση(ü j,β) η(ü j,β) β T, 0, 0 ] T (m+3) 1 y v j = 2τ η(ü j,β) η(ü j,β) β T, ] T 1 2lnη(Üj,β), 2σ 2 (m+3) 1 Como M(ξ,θ) depende del vector de parámetros θ, el diseño también dependerá de los valores que tome dicho vector (en este caso los diseños encontrados se denominan diseños óptimos locales). Un modo de evitar esta dependencia es considerar una distribución a priori para θ, denotada por π, e incorporarla en el criterio de optimalidad que se va a optimizar. Después de calcular M(ξ,θ) interesa hallar el diseño que maximice algún funcional de valor real, denominado criterio de optimalidad de esta matriz. 4. Teorema de Equivalencia Para verificar que el diseño, obtenido por algún proceso de optimización numérica, es en efecto el óptimo se aplica el siguiente resultado, ver Gaviria & López-Ríos (2014). Teorema 1. Sean M(ξ,θ) la matriz de información del diseño ξ, el criterio D π -optimalidad, dado por φ Dπ (M(ξ)) = θ Θ φ D (M(ξ,θ)) π(θ) = θ Θ log M(ξ,θ) π(θ) donde π(θ) es una distribución de probabilidad discreta, θ Θ R p, p = m + 3 es el número de parámetros del modelo y χ un conjunto compacto. Entonces, el diseño ξ es D π -óptimo si la derivada direccional Φ Dπ en ξ en la dirección de ξ Ü satisface: Φ Dπ (M(ξ ),M(ξ Ü )) 0, Ü χ,

3 Diseños D-óptimos bayesianos para modelos lineales heteroscedásticos 3 donde Φ Dπ (M(ξ ),M(ξ Ü )) = θ ΘTr(M(ξ Ü,θ) M 1 (ξ,θ)) p, siendo ξ Ü el diseño que asigna toda la probabilidad al punto Ü. Además, Φ Dπ (M(ξ ),M(ξ Ü )) = 0 en todos los puntos de soporte de ξ. 5. D π -eficiencia Dados un diseño ξ y un diseño D π -óptimo ξ, es posible compararlos mediante la eficiencia, la cual se define a partir del cociente del criterio evaluado en ξ y en ξ, es decir: ef Dπ (ξ) = φ D π (ξ) φ Dπ (ξ ), donde 0 < ef D π 1. La eficiencia da una idea de qué tan cercano o alejado está el diseño ξ de la información dada por el diseño D π -óptimo ξ y se dice que el diseño ξ es comparable con el diseño D π -óptimo si su eficencia es cercana a Ejemplo Un investigador de la salud está interesado en estudiar la relación entre la presión sanguínea y la edad en 54 mujeres sanas entre 20 y 60 años (Ktuner et al. 2004): Tabla 1: Primeras observaciones. Edad Presión Se ajusta el modelo linealy i = β 0 +β 1 x i1 +ǫ i, donde los errores son independientes y tienen distribución normal con media cero y varianzavar(ǫ i ) = σ 2 (β 0 +β 1 x i1 ) 2τ,σ R +,τ R y se obtienen las estimaciones de los parámetros: θ 0 = (ˆβ 0, ˆβ 1,ˆσ,ˆτ) = (56.16,0.58, ,4.86). Los intervalos de confianza para ˆβ 0 y ˆβ 1 obtenidos en el ajuste y para ˆσ y ˆτ obtenidos mediante simulaciones Bootstrap son los siguientes (Rana et al. 2012): Tabla 2: Intervalos de confianza. 2.5% 97.5% ˆβ ˆβ ˆτ ˆσ A partir del valor local θ 0, se construyen las distribuciones a priori: para δ (0.1,0.4) se calculan θ 0 (1 δ) y θ 0 (1+δ), se consideran todas las combinaciones de los valores obtenidos mas el vector θ 0 y se le asigna la misma probabilidad a cada vector. A continuación se muestran algunos de los diseños óptimos obtenidos a partir de las diferentes perturbaciones del valor local:

4 4 Catalina Patiño Bustamante & Víctor Ignacio López Ríos Tabla 3: Diseños obtenidos para algunos valores de δ. δ x ] w ] ] ] En la siguiente gráfica se muestran los puntos de soporte para diferentes distribuciones a priori: Puntos soporte Figura 1: Puntos de soporte. δ Ahora se muestra la derivada direccional para los diseños con δ = 0.10 y δ = 0.28 : Φ D (ξ, ξ x ) edad Φ D (ξ, ξ x ) edad Figura 2: Derivada direccional para δ = 0.10 y δ = Mediante la D π -eficiencia, se comparan entre ellos algunos de los diseños obtenidos.

5 Diseños D-óptimos bayesianos para modelos lineales heteroscedásticos 5 ef Dπ δ 0 Figura 3: D π-eficiencia. Por último se muestran las D π -eficiencias calculadas para el diseño D-óptimo local y los diseños obtenidos a partir de perturbaciones del valor local del 15%, 20%, 25%, 30%, 35% y 40%. Tabla 4: D π-eficiencias. δ δ local Se puede concluir que al incorporar las distribuciones a priori se obtuvieron diseños con tres puntos de soporte y todos estos diseños son casi tan eficientes como el diseño D-óptimo local. Referencias Atkinson, A. C. & Cook, R. D. (1995), D-optimum designs for heteroscedastic linear models, Journal of the American Statistical Association 90, Dette, H. & Müller, W. (2013), Optimal designs for regression models with a constant coefficient of variation, Journal of Statistical Theory and Practice 7, Dette, H. & Wong, W. K. (1999), Optimal Designs When the Variance Is A Function of the Mean, Biometrics 55, Gaviria, J. & López-Ríos, V. (2014), Locally D-optimal Designs with Heteroscedasticity: A Comparison between Two Methodologies, Revista Colombiana de Estadística 37, Ktuner, M., Nachtsheim, C., Neter, J. & Li, W. (2004), Applied Linear Statistical Models, McGraw - Hill, Boston. Rana, S., Midi, H. & Imon, A. (2012), Robust Wild Bootstrap for Stabilizing the Variance of Parameter Estimates in Heteroscedastic Regression Models in the Presence of Outliers, Mathematical Problems in Engineering 95.